 |
טרחנים כפייתיים במתמטיקה | 1571 |  |
||||||||
 |
|
 |
|||||||||
 |
 |
פרסומים אחרונים במדור "מדע"
|
| הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות |
|
|
|
||
|
||||
|
קצת באיחור, אמנם: ימים ספורים אחרי שציירתי את הקריקטורה ההיא התברר לי שהיא הרבה פחות מוגזמת ממה ששיערתי. הנה משהו שנכתב ברצינות ע"י פסיכולוגית פמיניסטית מכובדת1: 'Is e=mc2 a sexed equation?...Perhaps it is. Let us make the hypothesis that it is insofar as it privileges the speed of light over other speeds that are vitally necessary to us. What seems to me to indicate the possible sexed nature of the equation is not directly its uses by nuclear weapons, rather it is having privileged what goes the fastest...' [Luce Irigaray, Le sujet de la science est-il sexue?] ואתם חשבתם שזה קל להיות שוטה, הה? מסתבר שכמה שלא תתאמץ, תמיד יימצא מישהו שעושה את זה יותר טוב באופן טבעי.__________________ 1- "After this she began work as a esearch assistant at the Centre National de la Recherche Scientifique in "Paris where she is currently Director of Research - לא שאני יודע משהו על המוסד הזה, אבל זה נשמע מכובד. |
|
|
 |
|
|
 |
||
|
||||
|
אם גם אתם, כמוני, חשבתם שהשיא הזה לא יישבר בעתיד הנראה לעין, נא לחשוב שוב1. תקציר מנהלים: דוקטורית נכבדה מקנדה קוראת לביטול השימוש באותיות גדולות (Capital letters) כי הן מבטאות חוסר שוויון. מי יודע, אולי המתנגדים לעונש מוות יצטרפו לקריאתה מסיבותיהם שלהם, בזמן שהמתמטיקאים מתחילים לחשוב על המתמטיקה החדשה, נטולת אי-שויונות, שעליהם לפתח. לא, זאת לא בדיחה, או לכל הפחות זה לא התכוון להיות בדיחה. _____________ 1- הגעתי לשם דרך הבלוג המפחיד של ג'רי קוין |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא תקציר, זה עיוות. המשפט הרלוונטי: we join leaders like e. e. cummings, bell hooks, and peter kulchyski, who reject the symbols of hierarchy wherever they are found and do not use capital letters except to acknowledge the Indigenous struggle for recognition (שים לב לאות שפותחת את המילה החמישית מהסוף)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז האם זה הופך את הדוקטורית הנכבדה לאנטי-קפיטליסטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הקשר ההיסטורי מעניין אותכם ויש לכם קצת זמן להרוג: ההערה שזרקתי בתגובה 742769 על הנרי השמיני הייתה בהשראת פרק בשם A Capital Offence (מפודקאסט על ההיסטוריה של השפה האנגלית) שעוסק בחלק מזמנו של הנרי השמיני ונושאו הוא המובנים השונים של אותה מילה. בפרט, אם ניקח ציטוט מהבלוג (*ולא ממנה*): presumably the big letters are white and oppress the small LOCs (letters of color). אז קצת היסטוריה:במקור היו רק אותיות גדולות. עם השנים התפתחה כתיבה רהוטה יותר שהיא המקור לצורת האותיות הקטנות. צורת האותיות החלה להתקבע גם בעקבות הדפוס, שדרש צורות אותיות קבועות. אבל מאיפה השם Capital? במקור מדובר על אותיות גדולות שהיו בראש פרק. המילה chapter לפרק מקורה באותו ראש פרק. כשהיו ספרים כתובים ביד, האותיות הללו לא היו סתם כתובות: הן היו מאוירות. אבל לעיתים לא רק האות הגדולה שבראש פרק: גם פסקה נפתחה באות גדולה מאוירת. וכותבי ספרים השאירו להם מקום. האותיות הללו הן המקור לאותיות הגדולות. כמובן שהיו עוד שלבים בדרך, והדפוס שינה את הדברים בצורה משמעותית (כבר לא משתלם לאייר אותיות). אבל אם יש אותיות שצריך היסטורית לקרוא להן letters of color, זה האותיות הגדולות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, זה יותר פשוט ולא מצריך פרקטלים. הייתי מסביר מה זה אבל עוזי כבר בסביבה ואני פוחד1. __________________ 1- אה, ווט דה הל, הכי גרוע אני אטען שהייתי עייף. אם אני זוכר נכון, בשני מימדים יש הרבה שטחים סופיים (אינטגרלים שמתכנסים כשהתחום שואף לאינסוף) שתחומים ע"י קו באורך אינסופי (הקו של הפונקציה) - חשוב על 1 חלקי x^2 למשל, בתחום מ 1 עד אינסוף. סובב את המשטח הזה סביב ציר האיקסים, ואתה מקבל חצוצרה שעונה על התנאי בכותרת. אם יש לך פח של צבע אתה יכול למלא את החצוצרה הזאת בצבע, אבל אינך יכול לצבוע אותה. פרדוקס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדגמה פשוטה יותר של אותו פרדוקס שאינה מחייבת אינטרגלים: סדרה של מעגלים שמונחים אתד על השני, כשהרדיוסים שלהם הם הסידרה ההרמונית. הגובה אינסופי, סה"כ ההיקפים אינסופי, אבל השטח הכללי סופי. אפשר, אם כך, לצבוע אותם אבל לא לצבוע את ההיקפים שלהם. בעולם כזה לא פלא שקשה לי להירדם בלילה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה! לא הכרתי. אבל משיקולים דידקטיים, לא עדיף ריבועים במקום מעגלים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ייתכן, אבל בגללה החפיפה החלקית בין צלעות ריבועים סמוכים החישוב של ההיקף הכולל קצת קשה יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואללה. אבל קל לראות במקרה הזה שאם הגובה אינסופי, בוודאי שההיקף הכולל סופי (אם כי זה קצת מסבך דידקטית). או שאפשר להעמיד את הריבועים כמעוינים, בהטייה של 45 מעלות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההיקף הכולל אינסופי, התכוונת? (ההיקף גדול מהגובה באופן טריוויאלי, הלא כן?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, התכוונתי שההיקף הכולל אינסופי. תודה על התיקון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואי, לקח לי זמן להבין שהם מונחים אחד *על* השני אבל באותו מישור... אולי עדיף היה לומר אחד ליד השני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אופס. אולי הכי טוב היה לתת קישור לסרטון וזהו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולשלם בלהגדיל את מספר המימדים ב-50%? קשה להאמין שזה יעשה את זה פשוט יותר להבנה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
[במחשבה שנייה - זה אבל מחזק את סיוטי הצביעה שלך. כי לצבוע היקף של מעגל נראה לי מראש דבר בעייתי ולא מוגדר היטב - אין מברשת מספיק קטנה בנמצא - אבל לצבוע מעטפת של כדור נשמע הרבה יותר סביר.] |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אז משהו לא מסתדר לי כאן ברמת ההגיון הבסיסי. אם השטח אינסופי, אי אפשר לצבוע את כל הכדורים בצבע. לא מפליא. מצד שני, אם הנפח סופי, אפשר למלא את כל הכדורים האלה בכמות סופית של צבע. ובכן: קח את הצבע שבו מולאו את הכדורים, והתבונן בשטח הפנים שלו (של הצבע). זו לא צביעה של הכדורים? נכון, צביעה "מבפנים" ולא "מבחוץ", אבל אין הבדל בנוסחת שטח הפנים של כדור, אם מדובר בשטח פנים פנימי או חיצוני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם משהו עוד נשאר לא ברור, הנה הסיכום שלי: משום מה, כשמגיעים למסקנה ששטח פני החצוצרה (או היקף העיגולים) אינסופי, יש מי שקופצים למסקנה שאי אפשר לצבוע אותה. דומני שכשנתקלתי לראשונה ב"פרדוקס" זה מה שנאמר, ואני קיבלתי את זה כמובן מאליו, בלי הרהור ובלי ערעור, וככל שהתלבטתי במשמעות של ה"פרדוקס" לא מצאתי פתרון שיניח את דעתי ולא שמתי לב שההנחה הזאת עצמה ראויה לבחינה. משום מה גם בימים שעוד היו כאן יותר אנשים שיכלו לתקן זאת, המשפט "אתה יכול למלא את החצוצרה הזאת בצבע, אבל אינך יכול לצבוע אותה" עבר בלי שקיבלתי בו במקום הערה לסדר - או שקיבלתי ולא שמתי לב כי לא עקבתי בקפידה אחרי הדיון המייגע - כך שהשנים חלפו כשה"פרדוקס" ממשיך לחיות במחשבתי כעובדה. ההערה הנון-שלנטית של אורי חתכה את הקשר הגורדי הזה במכת חרב קלילה, והשאירה אותי נכלם ועם תמיהה על העיוורון המתמטי שלי (וכנראה גם של אחרים, כולל שלך): אם עובי שכבת הצבע שואף לאפס מספיק מהר, גם טיפת צבע קטנה אחת תספיק לצביעת המשטח האינסופי כפי שכל מי שלמד חדו"א 1 אמור לדעת גם מתוך שינה. _______________ זה בטח המקום בו שאני טועה שוב, בצורה עוד יותר מביכה, אבל כבר אמרו חזלנו שאין הביישן למד. קדימה, זירקו ביצים סרוחות ועגבניות רקובות על שוטה הבית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני ממליץ על ביקור במלון של הילברט - לפני שמנסים להפעיל אינטואיציה מתמטית או צבעית או אחרת על משטחים אינסופיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסיתי להזמין מקום עבורי ועבור חברי האמיתיים (באנגלית זה נשמע טוב יותר), אבל פקיד הקבלה קנטור אמר שאין להם מספיק חדרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אח, בר מזל שכמותך, החברים שלי הם דמיוניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"פקיד הקבלה אמר בקנטור:" | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכל זאת, אם רוצים לחזור לאינטואיציה המקורית, ניתן לומר שההגדרה 'לצבוע משטח' משמעותה 'לצבוע את כל המשטח בצבע שעוביו אחיד.' שהרי כשמילאנו את הספירות, מילאנו אותן בצבע בצפיפות קבועה ולא באיזה צבע מתחכם שמתדלל והולך ככל שהספירות קטנות והולכות. לדלל את הצבע בצורה הדרגתית זו קצת רמאות, כי זה קצת דומה ללשרטט קו בין אפס לאחד 'רק על הרציונליים' ולטעון שהאורך שלו הוא אפס והנה כיסינו קו עם נקודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם כשמילאנו את העיגולים השתמשנו בכמות קטנה והולכת של צבע ככל שהתרחקנו מהעיגול הראשון. הדרישה שעובי הצבע יהיה אחיד לא מופיעה, והמחשבה שככל שהשכבה דקה יותר הצבע ''מדולל'' יותר (אני מניח שאתה מתכוון לכך שהוא יהיה בהיר יותר) נובעת כמובן רק מנסיוננו בעולם הפיזיקלי, לא המתמטי. ברור למדי שבאופן בלתי מודע שתי ההנחות האלה מתגנבות בחשאי כשמדברים איתנו על צביעה, וככל הנראה זה מונח בבסיס אותו עיוורון עליו דיברתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא לא הכמות (פר עיגול), אלא הצפיפות ליחידת שטח/נפח. עובי צבע אחיד שקול לכך שצפיפות הצבע ליחידת נפח (במילוי) או שטח (בצביעה) תהיה אחידה. וזו אגב דרישה די הגיונית - כי אחרת אפשר לצבוע בערך כל צורה אינסופית בכל כמות סופית של צבע, כל עוד דעיכת טור הצפיפות גדולה מספיק מדעיכת טור הגידול בשטח/נפח, וזה הופך את כל המינוח של "אפשר לצבוע/למלא" ללא מעניין (או חסר משמעות) בכלל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה היא, שככל שרדיוס הכדורים קטן, לכל עובי שכבה שתבחר יהיה מתישהו כדור שקוטרו קטן מעובי השכבה הזאת, לכן עובי השכבה חייב לקטון גם כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, אבל לדעתי זה מסביר למה *אי אפשר* לצבוע את הכדורים (במובן של צביעה בעובי אחיד, קטן ככל שתרצה), בעוד אפשר למלא את הכדורים בצבע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה המשמעות של “צביעה” של משהו כשהמשהו הזה הוא יותר קטן מאורך הגל של ה”צבע” (ולכל אורך גל, יש N שהקוטר של כל הכדורים שמעליו קטנים ממנו)? במילים אחרות, צביעה היא דבר פיזיקלי והאובייקטים שאנחנו דנים בהם הם מתמטיים, ואם אתה מדבר על “צביעה” של אובייקט מתמטי אתה צריך להביא בחשבון שמצד אחד יש גבול תחתון לקוטר של כדור או מעגל פיזיקלי, בניגוד לכדור או מעגל מתמטי ומצד שני לא יכול להיות נפח או שטח או אורך אינסופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורך הגל בכלל לא רלבנטי בראייה (הה) שלי לגבי הענין פה. צביעה היא ''כיסוי'' בשכבה דקה, אורכי הגל לא מעניינים כאן. (לצורך הענין - הכדורים לבנים והצבע היחידי הוא שחור). אני דוקא חושב שאנלוגית הצביעה והפרדוקס (לכאורה) שהיא יוצרת - ופתרונו - דוקא מחדדים את ההבנה המתימטית של מה שקורה כאן, ולא רק מסיחים את הדעת בהיותם 'פיזיקליים' ולא מתימטיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחרי שקראתי את “כאוס” בצעירותי העשוקה וראיתי שאין שום דבר “פרדוקסלי” בקו שאורכו אינסופי שסגור בשטח סופי, אני לא חושב שיש כאן פרדוקס בכלל, והבעייתיות שבצביעה נובעת רק מהנסיון להחיל מציאות פיזית על אבסטרקציה מתמטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''כאוס'' מתחרה על תואר ''ספר המדע הפופולרי הגרוע ביותר שקראתי''. בכל משפט שני שלו ניכר שהמחבר לא מבין כלום בתחום שהוא כותב עליו. הלקח שלי ממנו הוא לקרוא ספרי מדע פופולרי שכותבים מדענים ולא עיתונאים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי אותו מזמן ואני לא זוכר שהוא השאיר אצלי רושם שלילי, אבל אולי זה מפני שגם אני לא מבין יותר מדי בתחום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני לא מבין בתחום. הקריטריון העיקרי שלי לגבי ספרי מד"פ, הוא מה אני מבין ולומד כשהם מדברים על דברים שלא למדתי, לא על אלה שכן. זכורני אי אז במילניום הקודם כשקראתי את "קיצור תולדות הזמן" של הוקינג, שכל עוד הוא דיבר על פיזיקה שכבר הכרתי - הבנתי אותו מצוין. ברגע שעבר לתחומים מתקדמים יותר, ההבנה שלי צנחה פלאים1. אבל מעבר לזה, אני זוכר שהז'רגון שבו הוא השתמש היה פומפוזי ומלאכותי, דרמטי ומתלהם. כל תובנה ותגלית היו מפעימים, פורצי דרך ומזעזעי אמות הסיפים. בהסתכלות של רבע מאה אחורה, אפשר אפילו לומר שבמבחן הזמן תורת הכאוס (המגניבה כשלעצמה) היתה הרבה פחות משמעותית וקידמה את המדע והאנושות הרבה פחות מההייפ שעשתה כשנכתב הספר. 1 מעבר לצניחה הטריויאלית הצפויה, כמובן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל שטח הוא איננו "שכבה דקה" של משהו. שטח הוא בעובי של בדיוק אפס. בוא נסתכל על אותו בעיה במימד אחד. אם יש לך קטע באורך של 1מ, עדיין יש עליו מספר אינסופי של נקודות (למעשה מספר שאיננו בר מניה). איך אורך סופי מספיק "לצבוע" אינסוף נקודות? כי נקודה היא בגודל אפס. באותה מידה, אם נדמיין רק את אחד המיכלים הסופיים בתור מיכל צבע שבו "שכבות צבע" מסודרות זו על זו - אז יש בו אינסוף שכבות צבע. מספר שאיננו בר מניה. בין כל שתי שכבות צבע, יש שכבת צבע נוספת. עם כל כך הרבה צבע אפשר לצבוע את כל החדרים במלון הילברט אינסוף פעמים. אז תשים בכל חדר כדור אחד, ותצבע אותו על הדרך.. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>> איך אורך סופי מספיק "לצבוע" אינסוף נקודות? אהה, סוף סוף הבנתי משהו בדיון הזה- פרדוקס החץ של זינון! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה העובי מפריע לך בצביעה אבל השטח/נפח לא מפריע לך במילוי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק להיפך (ואני רואה שהנקודה שלי לא הובנה) - מה ש*כן* מפריע לי זה שאנחנו לא מיישמים את אותם כללים על המילוי ועל הציפוי. כפי שניסיתי (לא בהצלחה) לומר בתגובה קודמת, אצלי האנלוגיה לעובי הציפוי היא צפיפות המילוי. כדי ליישם את אותם כללים על שניהם יש לבחור בין שני תסריטים: א. בשניהם הצפיפות/עובי אחידים בכל המרחב שאנחנו מנסים למלא/לכסות. ב. בשניהם מותר לשנות את הצפיפות/עובי כפונקציה (כלשהיא) של המיקום באותו מרחב. אם בוחרים ב-א' - צפיפות אחידה ועובי כיסוי אחיד - ה'פרדוקס'1 האינטואיטיבי תקף לגמרי: ניתן למלא את כל הספירות בצבע/נוזל בצפיפות אחידה, עם כמות סופית של צבע, ולא ניתן לצבוע או לכסות את שטחי הספירות בכמות סופית של צבע. אם בוחרים ב-ב' - ה'פרדוקס' נעלם כפי שהוסבר יפה למעלה במספר אופנים, כי עכשיו כן ניתן לצבוע או לכסות את שטחי הספירות בכמות סופית של צבע. אבל מהצד שני, לא רק שניתן למלא את כל הספירות בכמות סופית של צבע: ניתן למלא את כל המרחב התלת מימדי האינסופי כולו בכמות סופית של צבע2. רוצה לומר - בכללי המשחק מסוג ב', כל ההדגמה של ספירות, חצוצרות, שטחים ונפחים הופכת ללא מעניינת, לא מפתיעה, וטריוויאלית: כי בכללים האלה כל משטח(יריעה/נפח/וואטאבר) תמיד אפשר למלא/לצבוע בכמות סופית של צבע, אז למה לטרוח בכלל לנסח את כל המבנים המורכבים האלה כדי לומר משהו? זה משחק כדורסל שבו כל מי זורק כדור קולע סל. את מי זה מעניין? ולכן, לדעתי, אם לא רוצים להפוך את כל האנלוגיה למשעממת לחלוטין, חייבים לדבוק בכללי משחק א' לשני התחומים המדוברים. משחק כדורסל שבו רק צד אחד קולע סל בכל זריקה הרבה פחות הוגן (והרבה יותר משעמם) משילוב טרנסג'נדריות בספורט נשים. ולבסוף - כאן אני פוסע בשדה מוקשים, כי מי שלא מכיר זה יעבור מעליו ומי שמכיר בטח יחשוף את הבורות החלודה שלי מרחוק - כל הטיעון הזה מזכיר לי קצת את ההבדל בין אינטגרלי רימן לאינטגרל לבג. אצל רימן, כל dx שקול לרעהו, וכשאתה סוכם הסרגל שלך לא משתנה (כמו העובי/צפיפות של כללי משחק א'). באינטגרל לבג, כמדומני (שיעול שיעול), אינטרוול האינטגרציה עצמו משתנה על פי פונקציה כלשהי, מה שבאמת מאפשר להגיע לתוצאות מאד מוזרות. וזה קצת שקול למשחק מסוג ב'. 1 זאת מילה מבלבלת, כי זה לא פרדוקס, אבל זו ה"הפתעה" בכל הדוגמה הזו והסיבה לקיומה. 2 הגדר פונקציה על כל המרחב שהאינטגרל שלה סופי אבל היא תמיד גדולה מאפס (למשל גאוסיאן כמדומני), ושנה את 'צפיפות' הצבע בכל נקודה במרחב בדיוק לפי הפונקציה הזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברשותך, בוא נתרכז רק בעניין מגדל העיגולים, כלומר המרחבים שמעניינים אותנו הם בעלי מימד אחד או שניים. ראינו בקלות שמגדל העיגולים הוא יצור בעל היקף אינסופי ושטח סופי, וזה לכשלעצמו לא נראה בעייתי, לפחות לי. כלומר, אני חי בשלום עם כך שניתן להגדיל היקף של צורות בלי להגדיל את השטח שלהן. העובדה שאי אפשר לצבוע משטח אינסופי בשכבת צבע בעובי אחיד שאינו אפס היא טריויאלית, ואם "האנלוגיה לעובי הציפוי היא צפיפות המילוי" המעבר מגודל סופי במימד מסויים לגודל אינסופי במרחב אחר הוא זה שצריך להיות מעניין או מטריד, אבל הוא (בעיני) חסר כל עניין מיוחד. מה שהפריע לי (ולטרחן בפוטנציה ומן הסתם להרבה אחרים) היה שלכאורה ע"י מילוי שטח המעגלים בצבע אתה בהכרח צובע גם את ההיקף שלהם (מבפנים, אבל השפה היא בעובי אפס אז מה זה משנה?) כי הצביעה מגיעה עד השפה, וזה סותר את ה"עובדה" המוטעית לפיה לא ניתן לצבוע משטח אינסופי1. זה שפתרון התעלומה עדיין משאיר הבדל בין המרחבים השונים לא נראה לי מעניין במיוחד, אבל מובן ש-YMMV. (אני משאיר לאחרים, אם יטרחו, להתעסק עם אינטגרלי לבג. בינתיים אני יכול להציע למעוניינים הוכחה חביבה לכך ש π=4 או, למי שמעדיף, ש 2 = 2√. הפתרון טריויאלי ומפתיע בעת ובעונה אחת, כשההפתעה היא בעיקר בכך שאף פעם לא חשבתי על זה ולא נתקלתי בזה (אה, כמה זה מתבקש בתור הערה/הארה צדדית כשמלמדים את משפט פיתגורס, וכמה אני מצטער שלא ידעתי על זה בשעתי כדי להתקיל את המורה שלי למתמטיקה בתיכון. היה יכול להיות שמח!). ______________ 1- אני משער שמקור הבלבול הוא שהמחשבה האינטאיטיבית אומרת שאם המשטח שעוביו אפס הוא אינסופי, כל שכבה שעוביה יותר מאפס "גדולה" ממנו ולכן אינסופית אף היא. כאמור, טעות פשוטה שנובעת מעירוב מרחבים ממימד שונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אכן הוכחה משעשעת. היית מצפה ממורה סביר למתימטיקה בתיכון לא להיבהל מהוכחות שכאלה). ועוד אסוציאציות מהתואר הראשון שעולות אצלי, בהשראת "מילוי שטח המעגל צובע את ההיקף מבפנים": מסתבר, שכשמגדירים כדורים במימדים הולכים וגדלים1, נפח הכדור הולך ומתרכז סביב שפת הכדור, כך שבמימדים ששואפים לאינסוף *כל* נפח הכדור נמצא במעטפת. 1 מימד 1 - קו, שניים - מעגל, שלושה - כדור תלת מימדי וכן הלאה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתפלאי. "היית מצפה ממורה סביר למתימטיקה בתיכון" - מישהו שעבד איתי פעם היה נשוי למורָה למתמטיקה בתיכון (לא ביררתי לכמה יחידות היא מכינה את תלמידיה), ודי הופתעתי לגלות שהיא לא הכירה את המשפט האחרון של פרמה (זאת לאחר שבפעם קודמת הופתעתי מכך שמישהו אחר, בעל דוקטורט במתמטיקה שעבד בתור מתמטיקאי, לא הכיר אותו. אמרתי לו בצחוק שאני זקוק להוכחה של העניין ההוא עם a^n + b^n = c^n והוא ענה לי במלוא הרצינות שהוא יחשוב על זה). הרעיון שעקום יכול להיות קרוב כרצונך לעקום אחר (בהגדרה סבירה של "קרוב" לפיה השטח הכלוא בין שני הקוים קטן כרצונך) ובה בעת להיות בעל אורך שונה נראה לך אינטואיטיבי? לי ממש לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אם הרעיון לא לגמרי אינטואיטיבי, קצת חשיבה תגלה מלא דוגמאות הפוכות. למשל: אותו עקום כשמציירים אותו הלוך וחזור. מה זה משנה כמה קרובים ההלוך והחזור הזה, ברור שאורכו של העקום כפול. דוגמה אחרת: כשילדים מציירים, יש כאלה שממלאים מלבן ארוך בקו אחד ארוך, ויש כאלה שמקשקשים כמעט במאונך לו לכל אורך הדרך. ברור שהקשקוש ארוך יותר. או מעולמם של אלה שנהגו לשרבט צורות במחברות משבצות בשיעורים משעממים - אלו גילו די מהר שמהלך המדרגות (שהוזכר בסרטון) מקרב אותך אבל לא מקצר את הדרך. אבל נמשיך לאסוציאציות - כידוע העקום השני לא רק שאורכו יכול להיות שונה - הוא יכול להיות פי אינסוף יותר ארוך מהראשון, אם נקרא לו פרקטל (כזה או אחר). אבל כזכור לי גם מפעם, דוקא בענייני הפרקטלים היתה אפשרות להגדיר אכן את הפרקטל כצורה בעלת מימד שבור - נניח 1.51. ז"א - אם קצת ניזכר בשטח הצבוע - הטענה היא שפרקטל יכול להיות "כל כך יותר ארוך מקו ישר", שהוא כבר תופס במרחב משהו שהוא בין קו למישור. 1 היה שם איזה לוג, לא משנה. ___ וגילוי נאות - לא ברור לי בכלל למה שמורה למתימטיקה בתיכון תכיר את משפט פרמה. הוא לא קשור לשום נושא בחומר הנלמד. נכון שזו פרפראה נחמדה בתרבות הפופולרית, בעיקר אחרי כמה ספרים בנושא. אז מה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
__________ לתומי שחשבתי שמי שהולך ללמוד מתמטיקה באוניברסיטה התעניין בנושא במידה שמבטיחה לפחות היכרות עם המשפט של פרמה, וללא ספק טעיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
You're one of today's lucky 10,000 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהקישור: US birth rate ~ 4,000,000 אבל Israeli birth rate of mathematicians ~ 4 ואידך זיל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני גאה לספר שעוד כשהייתי נער, גיליתי (לגמרי בעצמי) את ה"פרדוקס" של המדרגות שהולכות ונצמדות ליתר של משולש יש"ז, אבל האורך הכולל שלהן נשאר קבוע, ולא מתכנס לאורך היתר. זה אכן הפתיע אותי, אבל מזמן למדתי לחיות בשלום עם העובדה הזאת. קבל "פרדוקס" דומה בהסתברות: על השולחן מונח שקל אחד. מטילים שוב ושוב קוביה, וכל עוד לא התקבל "עץ", מכפילים אחרי כל הטלה את הסכום שעל השולחן. מיד אחרי שמתקבל לראשונה "עץ" מנקים את השולחן, והוא נשאר נקי למשך כל אינסוף ההטלות שאחרי רגע זה. בוא נקרא X_n לסכום שעל השולחן אחרי ההטלה ה-n. הסכום הזה הוא 2 בחזקת n אם כל n ההטלות הראשונות היו "פלי", דבר שקורה בהסתברות חצי בחזקת n, אחרת הוא 0. לכן התוחלת של X_n היא 1. מהו הגבול של סדרת התוחלות? זה הגבול של הסדרה הקבועה 1, שהוא כמובן 1. מצד שני, בהסתברות 1, מתישהו יתקבל "עץ", כלומר הגבול של סדרת ה-X_n הוא 0, והתוחלת של 0 היא 0. כלומר: התוחלת של הגבול שונה מהגבול של התוחלת. שלוש הערות: 1. התהליך שתיארתי הוא בדיוק אסטרטגיית ההימורים שנקראת "מרטינגייל", שממנה נגזר מונח מתמטי יותר כללי באותו השם. 2. צריך להיות זהירים כשמדברים על ההתכנסות של X_n, כי X_n הוא מה שנקרא "משתנה מקרי", ויש כמה דרכים (לא שקולות) להגדיר התכנסות של סדרת משתנים מקריים. בסיפור שלנו, X_n מתכנס ל-0 בשלושה מתוך ארבעת המובנים ה"מקובלים" להתכנסות. 3. הדמיון בין הבעיה הגיאומטרית לבעיה ההסתברותית הוא שבשני המקרים יש לנו סדרת אובייקטים (עקומים מזגזגים בגיאומטריה, סכומי כסף על השולחן בהסתברות) שמתכנסת במובן מסוים לאובייקט נוסף (יתר המשולש, המספר 0), וכן פעולה שאפשר לבצע על האובייקטים (מדידת אורך, חישוב תוחלת). בשני המקרים הגבול של סדרת תוצאות הפעולה על סדרת האובייקטים הוא לא אותו דבר כמו תוצאת הפעולה על גבול סדרת האובייקטים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מטילים שוב ושוב מטבע, כמובן, ולא קוביה. אוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(קוביה דו-ממדית) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(דו-צידית) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שזה בעצם קוביה חד מימדית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קוביה מעץ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין עם עקומים קרובים כרצוננו שהם בעלי אורך שונה אינו מהווה בעיה של ממש, הוא מפתיע רק ממבט ראשון. כאשר זוכרים את העובדה (שבמקרה הוזכרה לאחרונה) שאפשר להגדיל היקף של עקום סגור לכל גודל בלי שהשטח יגדל, ברור שהשטח שבין שני העקומים אינו מהווה מגבלה על האורך של אף אחד מהם. קו מזוגזג בזיגזוגים צרים מאד יכול לספק כל אורך שתרצה ובה בעת לתחום שטח קטן ככל שתרצה עם הקו השני, והפונז נתן דוגמא לאפשרות דומה. גם אם מגדירים את הקירבה ביו הקוים לא ע"י השטח אלא ע"י המרחק המכסימלי בין שתי נקודות מתאימות על העקומים (בהתאמה חח"ע ועל כלשהי) אין בעיה לראות שזה לא בהכרח מגביל את האורך, כפי שאלכסון הריבוע מראה. על ההימורים בשיטה הזאת דיברנו רבות באייל, אולי בדיון הזה עצמו, כפי שאתה בטח זוכר, כולל השאלה מתי לברוח מהימור שבו ניחוש נכון מזכה אותך בפי 3 מהסכום עליו הימרת (בלי להכנס לשיקולי "תועלת"). אגב, עד היום חשבתי שמרטינגייל הוא איזו הרחבה של אינטגרל ולא ידעתי שהוא קשור להסתברות או סטטיסטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד הערה שאני חייב להוסיף על הנושא: התכונה הזו, שהתוחלת של הגבול שונה מהגבול של התוחלת, היא בעצם אי רציפות של פונקציית התוחלת, ביחס להגדרה הזו של גבול של משתנים מקריים. על מנת להבהיר את הקשר: רציפות של פונקציה ("רגילה" מהמספרים הממשיים לעצמם) היא בדיוק התכונה שהפונקציה מופעלת על גבול של סדרה מתכנסת שווה לגבול ההפעלה של הפונקציה על איברי הסדרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה שאני מתפרץ לשדה מוקשים: זה באמת לא ההבדל בין אינטדרל רימן ללבג. ההבדל העיקרי (בפישוט ניכר וחוסר דיוק מסוים) הוא שבלבג אנחנו לוקחים dy במקום dx, כלומר מחלקים את הטווח ולא את התחום לקטעים קטנים ומסתכלים מה גודל המקור של כל קטע. כמובן שהמקור הוא לא בהכרח קטע, כך שצריך קודם כל להגדיר מה הוא אורך של קבוצה כללית. האורך הזה נקרא מידת לבג. אחרי שעושים זאת, מקבלים אינטגרל שההגדרה שלו מסובכת, אבל יש לו תכונות פחות מוזרות מאשר לאינטגרל רימן. למשל, אם סדרת פונקציות חסומות מתכנסת נקודתית, אז סדרת האינטגרלים שלהן מתכנסת לאינטגרל של הפונקציה הגבולית (שבהכרח קיים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ה-dy שלך הוא בערך מה שהתכוונתי ב"אינטרוול האינטגרציה עצמו משתנה על פי פונקציה כלשהי", שכן y היא פונקציה של x, אבל זה לא באמת משנה. אני סומך על כל מה שתגיד בנושא בעיניים עצומות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה העמדה שלך לגבי מה שאורי יגיד בעיניים פקוחות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קל וחומר. אבל אם כבר שאלת - אתה מזכיר לי סיפור מיתולוגי מהתואר הראשון שלי, שבו קיבלנו תרגיל בית לחשב זרימה של אויר סביב כנף או משהו כזה, מהסוג שדורש כמה עמודי אינטגרלים מסובכים כדי לפתור. ישבנו כל החוכמולוגים וטחנו, ולא כל כך הצלחנו (או שאולי מישהו הצליח אבל לא היה בטוח שהצליח). ככלות כל הקיצים, התקשר אחד מהסטודנטים לאבא שלו, המאד מוכשר, וזה פתר את התרגיל בטלפון בחמש דקות בעיניים עצומות1. A very humbling experience indeed. 1 האב המוכשר הזה איבד את ראייתו שנים לפני כן.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת היתה כמובן פראפראזה על "תסגור את החלון, קר בחוץ" - "ואם אסגור אותו יהיה חם בחוץ?" אה, אם כבר מדברים על אוירודינמיקה, יש משהו שמטריד אותי: ההסבר שמופיע במליון מקומות בקשר ליצירת העילוי ע"י פרופיל הכנף מניח, מסיבה שאני לא מבין, ששתי מולקולות של אויר שנפרדות זו מזו בשפת ההתקפה של הכנף צריכות להפגש שוב בשפת הזרימה (לכן זאת שעוברת את המסלול הארוך מעל הכנף צריכה לנוע יותר מהר מאחותה בצד התחתון וכך נוצרים הפרשי לחצים בזכותו של ברנולי). למה, בעצם? 1 למדת עם אלון עמית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשאלתך בנושא הכנף, זה ממש לא נכון. אין שום סיבה שמולקולות שנפרדו בשפה הקדמית של הכנף יפגשו בשפה האחורית שלה. לו זה היה נכון, מטוסים לא היו יכולים לטוס הפוך (והם יכולים). יותר מזה, למטוסים הראשונים היו כנפיים שטוחות ולא מעוגלות. האפקט המרכזי שיוצר עילוי הוא לא חוק ברנולי (אם כי גם הוא תורם לעילוי) אלא הזווית שבין הכנף ובין כיוון התנועה של המטוס, שדוחף את האוויר למטה (תחשוב על עפיפון שעומד מול הרוח). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה היא כנראה שניהם - גם ברנולי וגם זווית ההתקפה. אבל אכן ברנולי לא נוצר כי ''המולקולות צריכות להיפגש בשפת הזרימה של הכנף''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החוכמה המקובלת[*] היא שהעילוי נוצר גם כתוצאה מזוית המשטחים (עם החסרון הברור של גרר רציני, שאינו מפריע לעפיפון אבל למטוס הוא כמובן בעייתי מאד) - וזה מה שמאפשר לטוס הפוך ולעשות תעלולים אחרים ע"י משחק עם משטחי העילוי, אבל בהחלט גם על ברנולי קשישא. מה שחסר לי עדיין הוא הסבר ל"(אם כי גם הוא תורם לעילוי)" כלומר למה יש בכלל הבדל במהירות האויר מעל ומתחת לכנף, כאשר אנחנו מסכימים שההסבר המקובל אינו נכון. _____________ 1- במובן שהיא מופיעה במליון מקומות, וחיה במוחי מאז הפעילות הראשונה בקלוב התעופה, לפני כשישים שנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב ידיעתי, אפקט ברנולי הוא לא הכי משמעותי מבין האפקטים שתורמים לעילוי. הערך Lift (force) [Wikipedia] מפורט מאוד ומסביר על התרומות השונות ועל הסיבות להבדלים במהירות האוויר מעל ומתחת לכנף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפקט ברנולי הוא כנראה הסבר קצת פשטני של מערכת מאד מורכבת, אבל הוא מכיל גרעין של אמת. גם לפי הויקיפדיה שקישרת, הפרשי הלחצים (והמהירויות) בין שכבות האויר שמעל לכנף לאלה שמתחתיה הם גורם משמעותי מאוד בעילוי הכנף1. בפנים נכנסות תופעות יותר מסובכות, כמו למשל שנוצרת שכבת גבול של אויר סביב הכנף, שבה יש זרימה הרבה יותר איטית מאשר יותר רחוק מהכנף. ובתור דוגמאת נגד לתיזת "רק זוית ההתקפה עושה עילוי", אפשר להביא את תופעת ההזדקרות - ברגע ששכבת הגבול 'ניתקת' מהכנף, העילוי קורס לכמעט אפס והמטוס צולל, וכל זה למרות שזוית ההתקפה עדיין סבירה לחלוטין מבחינת אפקט העילוי-עקב-לוח-שטוח. לכן כל הסבר שמניח שעיקר העילוי הוא עקב זוית התקפה ולא עקב צורת הכנף והזרימה סביבה, חוטא למציאות. 1 הויקיפדיה אפילו טורחת לציין שמהירות האויר מעל הכנף *גבוהה* יותר מהנגזר מההסבר הפשטני של "מולקולות האוויר רוצות להיפגש מאחורי הכנף". אבל זה רק מגביר את אפקט ברנולי, לא מקטין אותו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, חשבתי לחסוך לעצמי את זה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ניסיתי לא להיות ברור מדי, אז עכשיו אתה עושה לי אאוטינג? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קטונתי מול גאוני האייל, אבל אני לא כל כך בטוח שיש פה פרדוקס. עכש״מ, אי אפשר להשליך יחידת מידה של שטח דו ממדי על קו חד ממדי. כאשר עובי הקו הדמיוני הוא אפס אז לאינטואיציה שלנו אין בעיה להעביר קו אינסופי בתוך כל יחידת שטח נתונה (נאמר, כדי לעזור לדמיון החזותי, ריבוע של 1x1). במקרה הזה, כשהקו המדובר הוא ההיקף והגובה, אפשר לדמיין פינצטה עדינה האוחזת בקצה הקו ומושכת אותו אל האינסוף כאשר השטח שמסביבו הולך ונמתח גם הוא אל האינסוף כמו מסטיק בזוקה גמיש במיוחד. בכל נקודה בה נהיה, תמיד אפשר למתוח עוד מבלי לשנות את גודל השטח. ____ ולשינה טובה בלילה אני ממליץ על הספר "The Newton Papers: The Strange and True Odyssey of Isaac Newton's Manuscripts" כבר שבוע שאני נרדם איתו ועוד לא צלחתי את הפרק השני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, ברור שזה לא פרדוקס אלא רק נראה כזה. אחרת יש סתירה במתמטיקה מה שהיה אולי משמח את גדל אבל זוכה להרבה יותר פרסום מהסרטון הזה. זה - כמו החצוצרה ההיא - נראה, לפחות לי, פרדוקסלי כי כשאני ממלא את כל השטח זה כולל את השפה, דהיינו גם היא נצבעת בעיני רוחי. אני מניח שיש איזה עניין דקיק - תרתי משמע - עם מרחב סגור או פתוח, כלומר אתה יכול להגיע עד השפה ממש בלי לגעת בשפה ממש (ויסלחו לי אלוהי הטופולגיה על הסמטוכה שאני בטח עושה) שפותר את הבעיה בלי שהיקום קורס לתוך עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תנוח דעתך, לא חשבתי אף לרגע שהפרדוקס הוא במתימטיקה, אלא רק באינטואיציה שלנו :) ועד כמה שאני מבין, אתה יכול גם לגעת בשפה ממש (אך לעולם לא לעבור אותה) ועדיין לצבוע שטח סופי עם מעטפת אינסופית. ניסיתי להדגים ביצד הדמיון שלנו יכול לתפוס בקלות את העובדה שקו אינסופי שעוביו אפס יכול להיות תחום בשטח סופי, ומשם הלאה למסטיק שמציג בעיה דומה למה שתיארת1. אך במבחן התוצאה, נראה שהדוגמא שלי לא מוצלחת במיוחד... ___ 1. הפסל של תיאטרון הבימה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאתה צובע מבפנים, העובי של שכבת הצבע הולך וקטן ככל שמתקדמים בחצוצרה. את זה אפשר לעשות גם מבחוץ, ואז צריך רק כמות סופית של צבע. (הקטנתי את מספר סימני השאלה בכותרת על מנת שלא ליצור רושם של התלהמות מיותרת) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אין לך אופי. אני לא הקטנתי, למרות האזהרה האוטומטית.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסבר יפה. בדיוק התחלתי להתכנס לכיוונו כשסיימתי לקרוא את התגובה הקודמת שלך. ואז ראיתי שהקדמת אותי ואפילו בתיאור מוצלח יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במחשבות שלי שכבת הצבע היא בעובי אפס, אבל התשובה שלך מבהירה לי שצבע בעובי אפס הוא בעצם שקוף, ויחד עם הצבע גם הפרדוקס מתאיין. ובכל זאת... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובמחשבה שלישית לא חייבת להיות בעיה לצבוע שטח אינסופי באמצעות טיפת צבע קטנה אחת כל עוד עובי שכבת הצבע הוא אפס ממש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראש קצפת שכמותי. מי אמר שאי אפשר לצבוע משטח בגודל אינסופי? (הקליק שנשמע כאן היה האסימון שנפל) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים עלה בדעתי שכשאני עונה להודעה שמדברת אל ''גאוני האייל'' אני כביכול משייך את עצמי לקבוצה הזאת. הצחקתי אותי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשקשה לי להירדם בלילה אני מודד היקפים של כבשים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני את אורך החוף של בריטניה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרופא שלי ממליץ לחשוב על קבוצת כל הקבוצות שלא שייכות לעצמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא בטח מטפל בכל האנשים בקהילה שלא מטפלים בעצמם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הרופא דווקא נורמלי לחלוטין. הספר שלי, מצד שני... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש שתי הוכחות נחמדות שאני יכול לחשוב עליהן: אם נסמן x=0.999... אז 10x=9.999... (אם אתה לא מסכים איתי כאן נעבור להוכחה השנייה). לכן 10x-9=0.999... כלומר 10x-9=x, ואחרי העברת אגפים וצמצום תקבל x=1. אם לא הסכמת איתי אפשר משהו בסגנון של אינפי (אם אתה מקבל את ההנחות שציינתי בהודעה הקודמת): נראה שלכל e חיובי מתקיים שאחד פחות x קטן מ-e. בשביל זה פשוט קח y=0.9999 רציונלי גדול מספיק כך שאחד פחות y קטן מ-e, ואז ברור שאחד פחות x קטן מ-e כי x גדול מ-y. צרף לזה את העובדה ש-x קטן או שווה ל-1 ותקבל שבהכרח x=1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש מי שטוען שההוכחה הראשונה לא נכונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא יכול להיות גם טוען וגם טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הזה, הוא טוען, מנמק, והנימוק שלו משכנע. מאד יפתיע אותי אם הוא טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. למרות הכותרת המפוצצת, הוא לאטען שההוכחה שגויה, אלא שחסרה לה הצדקה מסוימת (האם המספר הזה בכלל קיים). ב. לא משכנע בכלל, לי זה נשמע כמו התחכמות לא רצינית. אין סיבה טובה לטרוח להראות שהמספר הזה קיים, יותר מאשר להראות שהייצוג העשרוני של שליש קיים. זה כמעט בהגדרות של ייצוג עשרוני. כל השלבים בהוכחה מערבים פעולות חשבון אלמנטריות על שברים עשרוניים בין 0 ל-1 (או ל-10, זה לא משנה). פעולות לגיטימיות ובנאליות. בניגוד גמור אגב לדוגמה ה'דומה' שהוא מביא שבה יש אינסוף מספרים *לפני* הנקודה, שברור שהיא שגויה ולא רלבנטית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. בלי ההצדקה הזאת אפשר גם להוכיח ש-0 חלקי 0 זה 0 (או 1, או 100, או ∞, או -4.21...). ב. ראית את ההכוחה שלו? לא, זה לא "בהגדרה של יצוג עשרוני". ז"א, המספר 0.9999.... בהגדרה של ייצוג עשרוני הוא 1, אבל זה נובע מההגדרה של יצוג חשבוני, ולכן זאת לא הוכחה אלא הנחת המבוקש. בשביל להוכיח אתה צריך לא לצאת מהנחת המבוקש, ז"א להגדיר למה אתה מתכון כשאתה כותב 0.99999... ואיך אתה עושה עם אריתמטיקה עם מספרים כאלה. זה נחמד, זאת דרך יפה לשכנע תלמידי חטיבה, אבל זאת לא "הוכחה". לא ברור לי למה הדוגמה שהוא מביא היא לא רלוונטית. ברור שהיא "שגויה" ובגלל זה זאת דוגמה טובה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. גם לא נכון,וגם לא קשור. זה שהוכחה אחרת צריכה את ההצדקה לא אומר שההוכחה הזו צריכה אותה. זה כבר לוגיקה, לא אלגברה. ב. לא מבין את השאלה. ראיתי את הסרטון, כן. וזה לא נובע מההגדרה של ייצוג עשרוני. לו היה נובע,לא היה צריך להוכיח את זה בדרכים אחרות. היא טובה בתור דוגמה 'שגויה', היא גרועה כי היא משווה כרובים לחורים שחורים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. נראה לי שכן. בהרחבה, למיטב הבנתי, כל הוכחה שמוכיחה יחס בין כל שני אובייקטים מתמטיים מחייבת להצדיק ששניהם מוגדרים היטב. לא ברור לי איך זה לא נכון או איך זה לא קשור1. ב. מה זאת אומרת "זה לא נובע מההגדרה של ייצוג עשרוני" מה, לדעתך, ההגדרה של יצוג עשרוני של 0.9999....? 1 בכלל, מטא הערה, נראה לי שאתה מדבר בהרבה יותר מידי ביטחון עצמי. אולי "זה נראה לי לא נכון" במקום "לא נכון", או "אני לא מבין איך זה קשור" במקום "לא קשור", או "אני לא רואה איך זה נובע מההגדרה המוכרת לי" במקום "זה לא נובע מההגדרה", או "אני חושב שהיא לא מוצלחת" במקום " היא גרועה כי היא משווה כרובים לחורים שחורים". אני לא משוכנע שהביטחון העצמי שלך מוצדק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ואני משוכנע לחלוטין שהבטחון העצמי שלי לא מוצדק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התחושה שלי אחרי צפייה בסרטון: הטענה "ההוכחה שגויה" היא סוג של קליקבייט. הגזמה. הסרטון מעלה 2 טענות עיקריות: א. יש לוודא שהאובייקטים הרלוונטים מוגדרים היטב ב. ושהפעולות שמבצעים עליהם לגיטימיות בהנתן אותה הגדרה על פניו נשמע הגיוני. רק במקרה של ..0.9999 ההגדרה האינטואיטיבית (אחרי שלמדת על מספרים עשרוניים) היא סכום סדרה אינסופית מתכנסת: ויקיפדיה, בעיקר הסעיף convergent series אז ההוכחה המקורית עונה על 2 הנקודות: א. מכיוון שהסדרה מתכנסת אז המספר ..0.9999 מוגדר היטב. ב. סדרה כזו גם משמרת פעולות אלגבריות פשוטות - פרטים בויקי. בקיצור.. מה שאני לוקח מהסרטון הוא את 2 הנקודות למעלה, אבל לא את זה ש "ההוכחה שגויה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
("...ההגדרה האינטואיטיבית (אחרי שלמדת על מספרים עשרוניים) היא סכום סדרה אינסופית מתכנסת..." אני חושב שרוב האנשים לומדים על מספרים עשרוניים כמה שנים לפני שהם לומדים (אם בכלל) על סדרות מתכנסות, ז"א אני מניח שרוב האנשים חיים די הרבה שנים עם הגדרה "אינטואיטיבית" אחרת, ורק שהם לומדים איך על סדרות מתכנסות הם משנים את ההגדרה... מצד שני, יכול להיות שאני חריג, ואינפי נשמע אינטואיטיבי לרוב הילדים בבית הספר היסודי) "...מכיוון שהסדרה מתכנסת אז..." אבל, היא מתכנסת ל-1. ז"א, למיטב הבנתי, אם הוכחת שהיא מתכנסת אין צורך בשאר ההוכחה, ואם הנחת שהיא מתכנסת אז ההנחה שלך דורשת הוכחה (וברגע שתוכיח אותה ייתרת את שאר ההוכחה). לכן, אני בכל זאת חושב שההוכחה לא נכונה (ז"א שהיא לא הוכחה - התוצאה נכונה בגלל שההנחה נכונה). למיטב הבנתי, אם ההוכחה היתה: נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב בלי לחשב לאן היא מתכנסת, ואז נבצע את המשחק האלגברי - אז היא היתה הוכחה נכונה. אבל, לא ראיתי בשום מקום שבו מביאים את ההוכחה הזאת שמוכיחים את זה שהיא מתכנסת, ונראה לי די מסורבל גם להוכיח שהיא מתכנסת וגם להמנע בכח מלחשב לאיזה מספר היא מתכנסת. כל היופי של ה"הוכחה" הזאת הוא שהיא לא מסורבלת, אבל ברגע שהוספת את דרישת ההתכנסות, להמנע מלהראות לאן היא מתכנסת נראה לי כמו סרבול שלא לצורך (בעיקר שקל להראות לאן היא מתכנסת). ולכן, למיטב הבנתי, היא מניחה את המבוקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
==> ונראה לי די מסורבל גם להוכיח שהיא מתכנסת וגם להמנע בכח מלחשב לאיזה מספר היא מתכנסת קרא בויקי, אפשר לדעת שסדרה מתכנסת בגלל שהיא חסומה מלמעלה. לא צריך לחשב את הגבול בשביל זה. אני מבין למה אתה טוען שההוכחה הזו מניחה את המבוקש. תן לי להציע פרפסקטיבה אחרת. ההוכחה הזו מוכיחה תכונה אחת של המספר 0.999... על בסיס תכונה אחרת (זה שהוא מספר סופי ומוגדר). זה כמו להוכיח שבמשולש שווה שוקיים יש 2 זוויות שוות. אתה יכול להגיד שמשולש שווה שוקיים הוא "עסקת חבילה" שבה יש גם שוקיים שוות וגם זוויות שוות, וזה "מסורבל" להתעלם מהזוויות השוות. אבל עדיין להוכחה הזו יש ערך ולכן עושים אותה בחטיבת הביניים. והרשה לי להציע הסבר לערך של ההוכחה האלגברית. אין ספק שהבעיה היא: 1. המשפט 0.999... = 1 איננו חשוב במיוחד ו2. יש הוכחות אחרות, שבעיניך יותר אלגנטיות. אבל יש סדרות אחרות שההוכחות הקלות והאלגנטיות לא יעבדו אבל אולי הכלים האלגבריים כן? דוגמא מפורסמת היא הסכום האינסופי 1+2+3+.. שאפילו לא מתכנס. ועדיין אפשר לטפל בו בכלים אלגבריים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסכים ומוסיף - מספיק להוכיח ש*כל* ייצוג עשרוני מחזורי (או לא?) הוא סדרה מתכנסת - ו-0.999... הוא לא מקרה מיוחד בכלל. וכמו שאתה אומר, זו הנחת יסוד - אולי חבויה - מאחורי כל שימוש בייצוג עשרוני אין סופי. והרי יש המון מספרים רציונליים שיש להם ייצוג עשרוני (ומחזורי!) אינסופי. 2/7, 4/9, 1/13, 5/6, יו ניים איט. בשביל לפקפק בקיומו של המספר הפסאודו-מיוחד המדובר, צריך לפקפק בקיומם של רוב מוחלט של הייצוגים העשרוניים של מספרים רציונליים. מרגע שהסכמנו שמותר בכלל להשתמש בייצוג עשרוני עבור מספרים רציונליים - מבלי לומר מילה או חצי מילה (או 0.333... מילה) על המספר 'המבוקש' - ההוכחה עומדת על רגליים מוצקות כפי שתיארת בתגובה הקודמת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברגע שקיבלת שאפשר לייצג מספרים רציונלים (שלא מתחלקים ב-2 או 5) על ידי סדרה מחזורית, בהכרח קיבלת ש-0.9999.... הוא 1. זאת בדיוק הנחת המבוקש. (למשל, אם קיבלת ששליש הוא 0.3333...., ושלוש כפול שליש זה 1, אז מה זה 0.99999....?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נאמר זאת כך - הטענה הנגדית לפיה *אי* אפשר לייצג מספרים רציונליים על ידי ייצוג עשרוני היא כל כך מרחיקת לכת ומופרכת, שלא פלא שהטרחנים המתימטיים נמנעים מלטעון אותה ומתמקדים במספר הפלא רב התשיעיות שלנו. אבל כדאי שאשאיר לאח של אייל להמשיך מכאן, נראה שהוא עושה עבודה יותר טובה ממני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא לא האם או איך אפשר להוכיח מה ולאיזה מספר שווה 0.99999... השאלה היא לאיזה מספר אנו רוצים שהוא יהיה שווה *על פי הגדרה* ועד כמה ההגדרה הזאת שימושית. הרי תמיד אפשר להגדיר שזה שווה למשהו אחר (אף אחד לא מפריע לך לעשות זאת), אבל ההגדרה האחרת יכולה להיות חסרת ערך/לא מעניינת/לא שימושית/מובילה לשטויות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדבר הכי נחמד שלמדתי מהסרטון הזה הוא דוקא מהתגובות: אחת הפופולריות שבהן מציעה, לגבי 1/3, לעבור לייצוג 'עשרוני' בבסיס 12. ואז: 1/3 הוא 0.4, וקל לראות ששלושה כאלה הם 1.0, בלי ענייני אינסוף למיניהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. הטענה הנגדית היא, כמובן, לא ש''אי אפשר לייצג מספרים רציונליים על ידי ייצוג עשרוני''. ב. טענה שטרחנים המתימטיים נמנעים מלטעון היא לא טענה שלא ראוי לטעון (אם כבר, אולי ההפך). ג. אולי באמת כדאי שתשאיר את זה לאח של אייל. להבדיל ממך, אני חושב שהוא מבין את הבעיה, להבדיל ממך, הוא מסביר את עצמו ומנמק בסבלנות, ולהבדיל ממך הוא עושה את זה בלי לדבר בעודף ביטחון עצמי (שאני חוזר שוב - אני די משוכנע שבמקרה שלך בדיון הזה, הוא ממש לא מוצדק). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, לפחות ברמת המטה אנחנו מסכימים, הידד! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" ההוכחה הזו מוכיחה תכונה אחת של המספר 0.999... על בסיס תכונה אחרת" איזה תכונה? שהוא שווה לעצמו? זה מפתיע? אולי נכון יותר להגיד שההוכחה הזאת מראה שהמספר המיוצג על ידי 0.9999... יכול להיות מיוצג בצורה עשרונית פשוטה יותר רק על בסיס זה שהוא סופי ומוגדר. זה נכון, אבל נראה לי די ברור מאליו. בקשר לסדרות אחרות, לא הבנתי את הטענה שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נחזור קצת אחורה. אני רוצה לנסות זווית אחרת. כתבת ואני מצטט: " אם ההוכחה היתה: נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב בלי לחשב לאן היא מתכנסת, ואז נבצע את המשחק האלגברי - אז היא היתה הוכחה נכונה" האם אפשר להחליף את ה"נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב מבלי לחשב לאן היא מתכנסת" במשפט "ידוע שהיא מתכנסת"? וכשאני שואל האם אפשר, אני מתכוון לשאול האם בניסוח החדש הזה, ההוכחה האלגברית תשאר נכונה בעיניך. בעיני זה טריוויאלי שמותר. כי מותר בהוכחות במתמטיקה להשתמש במשפטי עזר מבלי להוכיח אותם1. מה דעתך? --- 1 כל עוד הם נכונים. אפשר לדבר על משפט העזר בתגובות הבאות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ידוע שהיא מתכנסת כמו שידוע ש-0.9999... זה 1? נראה לי ברור ש"מותר", הרי אני לא חושב שמישהו מצפה ממך לכתוב את הפרינקיפיה1 מחדש. אבל נראה לי שכשאתה נעזר ב"משפטי עזר" לא מוכחים אתה צריך שהם יהיו "חלשים" יותר ממה שאתה מנסה להוכיח. נראה לי שאף אחד לא היה מתרגש אם היית מוכיח ש 1 + 1 = 2 בעזרת זה ש"ידוע" ש 1 + 2 = 3. 1 פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל) [ויקיפדיה] |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
===> נראה לי שברור שמותר תודה. משפט העזר: כל שע"א הוא מספר ממשי סופי. שע"א - שבר עשרוני אינסופי. מספר עשרוני בין אפס לאחד עם אינסוף ספרות אחרי הנקודה. למשל 0.41304... הוכחה (אחת. אני מאמין שיש אחרות): שע"א הוא טור אינסופי (סכום אינסופי של סדרה). מספיק להראות שהטור מתכנס. כל טור כזה חסום מלמעלה על ידי הטור 0.9999... ועל פי מבחן ההשוואה להתכנסות טורים, מספיק להראות ש 0.9999.. מתכנס. הטור 0.9999.. מקיים את היחס 0.1 בין כל שני איברים עוקבים. לכן גם הגבול של היחס הזה (כאשר הטור שואף לאינסוף) הוא 0.1. נסמן את הגבול הזה כ r. על פי מבחן המנה להתכנסות טורים, r<1 ולכן הטור הזה מתכנס. מש"ל חזרה לשיחה א. הוכחתי את משפט העזר בלי להשתמש בזה ש 0.9999 שווה ל 1. אני מקווה.. תקן אותי אם אני טועה. ב. 0.9999... הוא סוג של שע"א ולכן המשפט רלוונטי להוכחה. ג. אני אשמח לשמוע את דעתך לגבי משפט העזר הספציפי הזה. האם מבחינתך, זה בסדר להסתמך עליו בההוכחה שלנו. וכאשר אני כותב "בסדר" אני רוצה לדעת האם מבחינתך היה קורה מה שכתבת בתגובה האחרונה. "אף אחד לא היה מתרגש" אם היה רואה את ההוכחה שמתבססת על משפט העזר הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל להוכיח את משפט העזר שלך הוכחת שהמספר אותו אתה רוצים ''לחשב'' מתכנס. לדעתי, היה יותר פשוט להראות גם לאן הוא מתכנס באותה הזדמנות. לכן זה נראה כאילו כל המשחק האריתמטי הוא עיקוף אחרי שלמעשה כבר יש לנו את ההוכחה (רק, שאנחנו מסתירים אותה בעזרת משפט עזר שאותו אנחנו לא אומרים בגלוי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
==> לדעתי, היה יותר פשוט להראות גם לאן הוא מתכנס באותה הזדמנות יכול להיות שזה היה יותר פשוט. אבל זאת לא המטרה שלי. אני מחפש משפט עזר שלא מתבסס על הערך ש 0.999... מתכנס אליו. לכן אני אשמח אם תענה על השאלות לגבי משפט העזר כפי שהצגתי אותו (ולא לגבי איזשהו חישוב אחר שייתכן שהוא יותר פשוט) אכתוב אותן שוב: א. האם אתה יכול לבדוק ולאשר שמשפט העזר לא מתבסס על זה ש 0.9999... = 1 ? ב. האם מבחינתך, זה בסדר להסתמך עליו בההוכחה שלנו. בסדר פירושו שההוכחה המתבססת עליו אינו סובלת מהתופעה שכתבת כאן: "אף אחד לא היה מתרגש אם היית מוכיח ש 1 + 1 = 2 בעזרת זה שידוע ש 1 + 2 = 3." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, לא הייתי ברור. א. כן (למיטב הבנתי). ב. לא (מהסיבות שהבאתי למעלה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. תודה. ב. לא כל כך הבנתי את התשובה. בוא נעזוב את השאלה הזו. אחזור עכשיו כמה צעדים אחורה. 1. כתבת ואני מצטט: "אם ההוכחה היתה: נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב בלי לחשב לאן היא מתכנסת, ואז נבצע את המשחק האלגברי - אז היא היתה הוכחה נכונה" 2. אח"כ אישרת להשתמש במשפט עזר "ידוע שהיא מתכנסת" - בתנאי שהוא בעצמו לא מבוסס על מה שרוצים להוכיח. 3. אח"כ הצגתי משפט עזר: כל שע"א הוא מספר סופי1 4. ואז אישרת שמשפט העזר הנ"ל אכן לא מבוסס על מה שרוצים להוכיח2 אז אפשר להגיד שלשיטתך, אם ההוכחה היתה: "ידוע ש ...0.999 הוא מספר סופי, כי כל שע"א הוא כזה. ואז נבצע את המשחק האלגברי" אז ההוכחה היתה נכונה. בוא נקרא להוכחה כזו "הוכחה אלגברית מתוקנת". אני מכיר בזה שההוכחה האלגברית בדרך כלל לא מנוסחת ככה3. אני מכיר בזה שיש עוד הוכחות אחרות. אולי פשוטות יותר. אני מבין שההוכחה האלגברית המתוקנת נראית בעיניך מעקף מסורבל. סבבה. אבל האם תוכל להסכים שה"הוכחה אלגברית מתוקנת" היא נכונה? --- 1 "מספר סופי" שקול ל "מתכנסת למספר מוגדר היטב". 2 בתשובה על סעיף א בתגובה האחרונה 3 בסרטון שהבאת, בדקה 1:22 המרצה מזכיר שהוא ראה רק וידאו אחד ש"לא עשה את הטעות הזו" (להניח שהמספר 0.999.. קיים) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאני קצת חוזר על עצמי. אני אנסה לנסח את התשובה לשאלה שלך בדרך אחרת. אני מקווה שהעובדה שאני נותן שלוש תשובות שונות לשאלת כן ולא לא תרגיז אותך יותר מידי. א. כן, היא נכונה. היא נכונה במובן שכל משפט שבה נכון מתמטית. באמת ידוע לנו שהמספר מוגדר וסופי, באמת ידוע לנו שאפשר לעשות חישובים על יצוגים עשרוניים אין סופיים בדרך שבא אנחנו עושים חישובים על יצוגים עשרוניים סופיים, כל שורה בהוכחה עצמה נכונה, והשורה האחרונה (1)נובעת מהשורות שלפניה, (2)מה שרצינו להוכיח, ו(3)נכונה. ב. לא, היא לא "נכונה". היא לא נכונה משום שבתוספת של "ידוע לנו שהמספר מוגדר וסופי" אנחנו מסתירים את "משום שידוע לנו ש-0.9999...=1" ולכן זאת הנחת המבוקש ולא ממש הוכחה. ג. תחת נסיבות מסויימות, מאד מוזרות לדעתי, היא "נכונה". אחרי הכל, להסיק באופן לוגי מסקנה "חדשה" מאקסיומות מסוימות. ברגע שהוכחנו משהו, אנחנו יכולים להעזר בו להוכיח משהו "חדש". אנחנו לא יכולים להשתמש במה ש"ידוע" אם לא הוכחנו אותו (ז"א, ידוע ש-10+10 זה 20, אבל זה לא נכון אם אנחנו עוסקים בעולם בו החיבור מוגדר כמודולו 11). יצוג עשרוני אין סופי הוא משהו שמוכר לרובינו מגיל מאד צעיר, לכן קשה מאד למחוק את הידע הזה ולנסות להתחיל מהתחלה ולבנות את הידע מחדש באופן לוגי. אם החלטת לבנות את העולם הלוגי שלך כשאתה מראה ש-0.9999... מוגדר ומתכנס, לא מחשב לאן הוא מתכנס (בגלל שבחרת לשחק עם הידיים קשורות מאחורי הגב), ומכניס את המשפט הזה לעולם המשפטים הידועים שלך, ואחר כך, משתמש במשפט הזה כמשפט עזר להוכחה האלגברית, אז כן, זאת הוכחה "נכונה", אבל לי זה נראה כמו להראות ש-1+1=2 בעזרת זה שידוע ש-1+2=3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מסכים איתך על ב. שלך. ===> משום שידוע לנו ש-0.9999...=1 לא נכון. אתה הסכמת שמשפט העזר שלי לא מסתמך על כך ש 0.999... = 1. אני לא מצליח להבין איך זה מתיישב אם מה שאתה אומר כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הסברתי את זה בג? כן, "משפט העזר" בדרך בה הוכחת אותו, לא מסתמך על כך ש 0.999... = 1. אבל זה רק נובע מהדרך שבחרת לנסח ולהוכיח אותו, והדרך שבחרת לנסח ולהוכיח אותו, נובעת רק מהעובדה שאתה ממש מתאמץ שלא להוכיח את התוצאה הסופית לפני שתערב את החלק האלגברי. "בעולם נורמלי" לא נראה לי סביר שמשפט העזר מגיע למצב "ידוע" מבלי שהוכחנו ש-0.99999=1. ב. מתייחס לעולם נורמלי, ג. מתייחס לעולם המוזר בו 1+2=3 הוא שלב בהוכחה ש-1+1=2. (אני יודע שכתבתי ממש את זה כבר שלוש פעמים. מצטער, אני לא יודע איך לנסח את המובן מאליו בצורה שונה). 1 "ידוע" במובן של הוכח, לא במובן של לא צריך להוכיח משום שהמורה בכתה ג' אמרה לי שזה ככה וזה נשמע הגיוני ומסתדר עם כל מה שאני יודע על יצוג עשרוני של מספרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הביטוי עולם מוזר גרם לי לחייך כי נזכרתי בבעית תרבוע המעגל. יש למצוא ריבוע שווה בשטחו למעגל. אבל המתמטיקאים ממש מתאמצים לא להשתמש בנוסחה של שטח מעגל. מותר להשתמש רק במחוגה וסרגל. אני לא צוחק.. אם אני נראה לך מתאמץ שלא לצורך, על הבעיה הזו עבדו אלפי שנים. מתמטיקאים יקרים, הנה הפתרון: a^2 = pi * r^2 עושים שורש וסיימנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הבעיה היא לא לחשב שטח הריבוע או את אורך הצלע אלא לעשות את זה רק בעזרת סרגל ומחוגה עם מספר צעדים סופי. ההבדל בין מה שהם עשו למה שאתה עשית הוא שהם הטילו על עצמם מגבלה מבלי שהם ידעו מה תהיה התוצאה של המגבלה הזאת ואתה הטלת על עצמך מגבלה בגלל שרצית לקבל תוצאה מסויימת) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי שוב את ההסבר שלך. אני רוצה לסכם את המחשבות שלי, כי אני חושב שהדיון קצת מיצה את עצמו. אני מתייחס לסעיף ג. מה שאתה אומר זה נראטיב שמנסה למכור לנו הוכחה אחרת. עם הרבה דברים אני לא מסכים. אבל זה קצת עניין של טעם. הבעיה היא שהוידאו אומר באופן מפורש שההוכחה האלגברית שגויה. זהו בעיני קליק בייט. הגזמה פרועה. לכל היותר אפשר להגיד "חסר פרט קטן בהוכחה - בהנתן שהמספר הזה סופי". ואפילו בעיני קטנוני. זה דומה לכך שתסתכל על ההוכחה ששטח מעגל הוא פאי אר בריבוע ותגיד - היי! לא הוכחתם שבכלל קיים מספר כזה פאי. איך אתם יודעים שבכל המעגלים בעולם יש את היחס הזה, ושהוא בכלל מוגדר? בקיצור, הוידאו מנסה ללמד דברים מעניינים על ההגדרה של שבר עשרוני אינסופי, ועל מה שאפשר לעשות איתה. אבל הוא עושה את זה בצורה שפוסלת איזשהי הוכחה שאין איתה שום בעיה. להיפך היא הוכחה יפה לו רק בגלל שהיא משתמשת בכלים קלים יותר - אלגברה פשוטה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חותם על כל מילה, קליקבייט בריבוע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אני אסכם את המסקנות שלי - זאת לא "הוכחה יפה" ש"משתמשת בכלים קלים יותר", בגלל שמאחורי השימוש בכלים הפשוטים יותר עומדת ההנחה שמה שאתה מנסה להוכיח נכון (וכמו שהראת, אתה צריך להתאמץ על מנת להוכיח את אותה הוכחה בלי ההנחה הזאת). אם במקום "הוכחה" היינו משתמשים במושג אחר (עדות? ראיה?) אז נראה לי שלא היתה בעיה, אבל זאת לא "הוכחה". קליקבייט? מן הסתם, הוא צריך להרוויח כסף. כל ה"דיון" על 0.9999... הוא קליקבייט בבסיסו, הרי מהרגע שקיבלת את העבדה שאפשר לייצג את כל המספרים רציונליים בעזרת יצוג עשרוני מחזורי, קיבלת בהכרח את העובדה ש-0.999... הוא 1, וכולנו קיבלנו את זה כנכון בכיתה ג' (יכול להיות שלא לכולם זה נאמר במפורש?) ומאז לא היתה לנו סיבה לפקפק בנכונות של זה. קטנוני, מן הסתם דיון כזה חייב להיות קטנוני במידה מסוימת. אם מישהו "יוכיח" לי ששטח מעגל הוא פאי אר בריבוע ומההוכחה לא ייצא שבכל המעגלים בעולם יש יחס זהה אז אני לא יודע מה הוא הוכיח, אבל הוא לא הוכיח ששטח מעגל הוא פאי אר בריבוע (אולי הוא הוכיח את זה לגבי מעגל ספציפי? איך? למה?). אולי, בעצם, זה ההבדל בין "להראות" ששטח מעגל הוא ... לבין "להוכיח" ששטח מעגל הוא..., אז כן, ה"הוכחה" האלגברית מראה ש-0.999... הוא 1, וכן, היא עושה את זה באופן יפה תוך כדי שימוש בכלים פשוטים, אבל היא לא מוכיחה את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(א. באמת התפלאתי שצעדת למלכודת הזו. יכולת להוכיח, אני מניח, גם בלי להשתמש במספר הנידון) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם היית טורח לקרוא מה אמרו אותם "דתיים בדת האוולוציה" על המאמר של וילסון, היית לומד שהם לא טענו טענות על חילול הקודש, לא הסתמכו על פסקי הלכה של "גדולי האוולוציה" או "חכמי האוולוציה", לא ציטטו טקסטים עתיקים לא רלוונטיים ולא קראו להדיר את ווילסון מהשתתפות בתפילות לדארוין המשיח. הויכוח שלהם הוא ויכוח מדעי המתנהל בין מדענים שאוחזים בדעות שונות, ואם 1371 מהם נמצאים בצד אחד, זה לא הופך אותם לעדר יותר משאנחנו חלק מעדר שמאמין שכדור הארץ מסתובב סביב השמש. דוקא מעדר אפשר היה לצפות שיאמר אמן כשהמשכוכית (וילסון הוא ממיסדי האסכולה הדארויניסטית במדעי ההתנהגות) משנה כיוון. לטובת קוראים שאינם מכירים את אמנות הויכוח שלך אני רוצה לציין שהציטוט כביכול שאומר :"דעתו אינה נכונה רק משום שהוא בדעת מיעוט מזהיר" אינו בשום פנים ציטוט, אלא הוא פרשנות שלך, וכך גם ההמשך "לכן חובה לפסול את בדיקתה על הסף". כאמור, מדובר על ויכוח מדעי בשאלה עתיקה וותיקה לגבי ברירת קבוצות, כשהממסד אכן אוחז בתיזה מסוימת שיכולה להתברר כנכונה או שגויה כדרכן של תיאוריות מדעיות. קטונתי מלהביע דיעה לעצם העניין, אבל התופעה של מדענים שלקראת סוף דרכם מאבדים קצת את הצפון היא תופעה מוכרת, לדוגמא לינוס פאולינג שהתפרסם אצלנו לאחרונה בעקבות התנגדותו לשכטמן, התפרסם יותר במסע הצלב שארגן בשעתו למען ויטמין C כפתרון למליון ושתיים מחלות. אם הייתי צריך להמר, הייתי שם את הכסף על הממסד, אבל בניגוד לענייני דת, אם וילסון צודק אין ספק שהאמת שלו תוכר, גם אם זה ייקח עוד כמה שנים. בסף הכל הויכוח הוא בשאלה אם ברירת שארים מספיקה כדי להסביר תכונות אלטרואיסטיות בחברות של חרקים מסוימים, או שהניתוח המתמטי מלמד שהיא אינה מספיקה וצריך להחזיר את ברירת הקבוצות לתיאוריה. לא משהו שמאיים למוטט את הדארויניזם, למגינת ליבם של בריאתנים ומדענים ראשיים לשעבר. לכל זה אין שום קשר עם "מדען" ראשי של משרד החינוך שלא מאמין באבולוציה, כפי שהויכוח שהתעורר בדבר נויטרינו מהיר מהאור אינו מעיד לטובת אגודת כדור הארץ השטוח. ___________________ 1- אצלך הם כבר הפכו ל 147, מחר בטח הם כבר יהיו אלפים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אם וילסון צדק בעניין ברירת הקבוצות, הוא כבר לא יזכה לראות את דעתו בעניין מתקבלת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה שהיה ל- Scientific Amrerican לומר עליו אחרי מותו 1 הרגיז, בצדק, הרבה אנשים, ביניהם ג'רי קוין וסקוט אהרונסון שהודיע בעקבות כך על הפסקת כל שיתוף פעולה עם המגזין. החלטתי ללכת בעקבות סקוט וגם אני מפסיק לפרסם מאמרים בסיינטיפיק. זה ילמד אותם! _______________ 1- כולל הפנינה הבאה: "the so-called normal distribution of statistics assumes that there are default humans who serve as the standard that the rest of us can be accurately measured against" . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משעשע אבל גם מפחיד ומטריד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשהם פיטרו מרצים, שחקנים, מורים ומגישי טלוויזיה, העלמתי עין, כי יש לי עבודה כשהם תקפו את התפלגות הנורמלית שתקתי, כי אני לא רנדומלי כאשר הם סילפו את נוסחת GFR, פיהקתי, כי אין לי מוסר כליות ועכשיו, כשהם מצקצקים על שימוש יתר בפרפראזה חבוטה, אני מבין שמם עדכני היה עושה את העבודה טוב יותר (: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתאר לעצמי שהמקור הוא "האם הביקור בישראל שינה את דעתך לטובה או לרעה על הסכסוך הישראלי פלסטיני, ועל יחסי ישראל הולנד". אבל אז - אם מדובר בתרגום אוטומטי כושל - איך "לרעה" הפך ל-bed? האם היה בלופ גם בודק-איות אוטומטי כושל, שלפי ההקשר הסמנטי (sleep) החליט לתקן את bad ל-bed? קיימים בכלל בודקי איות כאלה? או שאולי מדובר בתרגום של משפט משפה שאינה עברית, בה סביר לעשות במקור שגיאת איות המבלבלת בין מיטה ורעה? אבל כמעט בטוח שעברית מעורבת כאן ("האם" ו-"mother", ו-"שינה" ו-"sleep"), אז בעצם מדובר בתרגום רב-שלבי משפה שלישית, לעברית ואז לאנגלית? ואם כבר תרגום אוטומטי, למה לאנגלית ולא להולנדית? משהו כאן מוזר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התרגום של המשפט הזה היום ע"י גוגל טוב בהחלט: "Did the visit to Israel change your opinion for better or worse about the Israeli-Palestinian conflict, and about Israel-Holland relations"
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאמר טיטרוטובי שלישי שקיבלתי אתמול נדחה היום. אני תוהה מי יישבר ראשון ;-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צר לי לומר, אני מהמר עליך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדכון מהחזית: אם לא התבלבלתי בספירה, היום דחיתי את המאמר הטיטרוטובי העשירי שקיבלתי לטיפול. שני הצדדים מפגינים נחישות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יישר כח! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יודע אם המאמרים שדחית התפרסמו לבסוף בכתבי-עת אחרים? יישר כח על הסינון. זה מייאש הדברים האלה, ומדכדך לדעת שספרים טיטרוטוביים פורסמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה במקומה. בימים האחרונים גיליתי שאפילו בכתב העת שאני שייך למערכת שלו התפרסמו כמה מאמרים על סטטיסטיקה טיטרוטובית, מן הסתם אחרי ש"טופלו" בידי עורך אחר. שלחתי שני מיילים בעניין לגורמים במערכת אבל טרם קיבלתי תגובה. אני תוהה מה לעשות אם יתעלמו ממני, או אם ינסו לטאטא את הפאשלה מתחת לשטיח. רק הבוקר, בעקבות המייל שלך, טרחתי לבדוק בגוגל סקולר, ולחרדתי גיליתי שהטיטרוטובולוג הסדרתי ששלח לי את כל המאמרים פרסם בשנתיים-שלוש האחרונות עשרות מאמרים טיטרוטוביים. לא בדקתי לעומק, ונראה לי שרוב הפרסומים הם בכתבי עת "טורפניים" או קיקיוניים, אבל יש כמה וכמה פרסומים ב- PLOS One ובז'ורנלים של אלסוויר ושפרינגר. גם פה אני תוהה מה לעשות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוי ואבוי. עכשיו אני רואה שהוא פרסם למעלה מ-80 מאמרים רק ב-2021 (אם כי לפחות אחד מהם לא קשור לטיטרוטוביות). האימה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוי ואבוי בריבוע. מסתבר שחבר המערכת ב- Plos One שטיפל במאמרים הטיטרוטוביים שהתפרסמו בז'ורנל, הוא טיטרוטובולוג בעצמו. הצצתי עכשיו באחד המאמרים שאותו עורך חיבר (ושהתפרסם לא ב-Plos One, אלא באחד הז'ורנלים של אלסוויר). המאמר עוסק בשימוש במספרים טיטרוטוביים לצורך קבלת החלטות בנוגע לאגירת אנרגיה (!). אחרי כמה עמודי הקדמה וסקירה שנראו (לי, במבט חטוף) סבירים, מתחילה המתמטיקה. ושם ... אלוהים ישמור. אני ממש מוטרד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה רמת ההתמחות המתמטית שנדרשת כדי להבין את מה שהבנת? כלומר, אם אתה מראה את זה לחבר מערכת אחר ב־Plos One, הוא יצליח להבין את זה? או שכנראה יהיה לו את מי לשאול כדי להבין את זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Plos One זה ז'ורנל מאד מאד רחב, שבמוצהר מפרסם מאמרים בכל תחומי המדע. אז סביר להניח שחבר מערכת אקראי, שהוא בהסתברות גבוהה ממדעי החיים, יגיד (בצדק) שהוא לא רואה את עצמו מתאים לשפוט מאמר טיטרוטובי. אבל אני מאמין שכמעט כל אדם בעל דוקטורט ומעלה במתמטיקה או בתחום קרוב, יזהה תוך כמה דקות שמדובר במאמר בעייתי. ומעבר לתוכן עצמו, יש נורות אזהרה מסוג אחר. כאמור, הטיטרוטובולוג שאני מתעסק אתו פרסם למעלה מ-80 מאמרים ב-2011. העורך מ-Plos One פרסם באותה התקופה יותר מ-70 מאמרים (לא כולם טיטרוטוביים, אני חושב). ה"אב המייסד" של הטיטרוטובולוגיה (הזכרתי אותו בתגובה 732875) פרסם עד היום למעלה מ-2,000 מאמרים, כמעט כולם ב-20 השנים האחרונות. כל מי שמבין איך מדע מתנהל אמור לדעת שאין שום סיכוי שקצב פרסומים כזה משקף מחקר אמיתי, ולהסיק שמשהו פה דפוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם בא לך, שלח לי פרטים ואני אחולל קצת רעש, בלי להזכיר את שמך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכתוב בpubpeer <דמיין לינק> | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, זאת אכן דרך פעולה הגיונית. בכל אופן, לפני כמה ימים כתב לי בעניין מישהו בכיר במערכת הז'ורנל ''שלי''. הוא ביקש (וקיבל) קצת הבהרות, ואמר שהעניין ייבדק. אני מעדיף לחכות לעדכון ממנו לפני שאני עושה משהו נוסף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחרי עוד התכתבות עם אותו בכיר, אני יכול לבשר על התקדמות ממשית ראשונה: הז׳ורנל מקפיא טיפול במאמרים של הטיטרוטובולוג "שלי" עד לסיום בדיקה מטעם המערכת, ייתכן שבשיתוף מומחים חיצוניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני שמח לבשר שבז'ורנל "שלי" הוחלט לפסול בדיעבד (retract) את כל המאמרים הטיטרוטוביים. הנה, תרמתי משהו לעולם. השלב הבא: לפנות לז'ורנלים מכובדים (לכאורה?) אחרים שפרסמו תכנים טיטרוטוביים, ולהסב את תשומת ליבם לבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש פסילה טיטרואקטיבית, שאפו! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאפו! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. אני שמח לראות שההימור שלי כושל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה שואל האם "טיטרוטוביות" זה בעצם Vortex Math? לא, אבל אני לא מתכוון לענות יותר על שאלות כאלה ;-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לא, בעצם? (אני מקווה שלא תכעס, אבל הסקרנות גברה עלי ונראה לי שהצלחתי לגלות למה אתה מתכוון ב-"טיטרוטובי" - וזה אכן מריח כמו ערימה גדולה של בולשיט.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה טובה, ואין לי תשובה מלאה. משהו בכיוון של אתיקה מקצועית, וחיסיון דמוי חיסיון רופא/חולה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רואה מה עשית כאן (ומי החולה). :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שאתה מחליט ח"ו להישבר, איך טכנית אתה יכול לעשות זאת? חוץ מלהתפטר ממערכת כתב העת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, זה פשוט. אני תמיד יכול לסרב לטפל במאמר שהוצע לי (והרבה פעמים עושה את זה, אם כי עד היום לא במאמרים טיטרוטוביים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמה טרחה שלך כרוכה בלקבל מאמר כזה ולדחות אותו? האם זה משמעותית יותר טרחה מלסרב לקבל אותו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לסרב לטפל במאמר זה שניים-שלושה קליקים. לטפל במאמר טיטרוטובי זה בשבילי עכשיו פחות מחצי שעת עבודה (לרפרף עליו ולוודא שעדיין מדובר בטירלול, לנסח פיסקה או שתיים שמסבירות למה הוא נדחה בלי שיפוט, וטיפה מנהלות). להשוואה - טיפול מלא במאמר זה סדר גודל של יום עבודה או שניים (במצטבר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אלה שרואים ביטוי שהוכנס להוכחה של משפט ושואלים שאלות כמו "מאיפה הפלצת אותו?". תצא הנשמה עד שתמצאו תשובה שתספק אותם. אז כדאי להתרחק. הם גורמים לי להעריץ מרצה אחד שלמדתי אצלו שיעור או שניים, ושפה ושם היה תופס עצבים על הסטודנטים. סיפרו לי עליו שפעם אמר "תשאלו שאלות. אני אוהב ששואלים שאלות". אבל כשמישהו שאל שאלה צעק עליו "איפה אתה חושב שאתה נמצא?". לא ראוי, אבל לפחות ככה בטוח לא יעכבו אותו יותר מדי על שאלות. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |