בתשובה לדורון שדמי, 20/09/05 14:51
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הבה נשכתב את התגובה הראשונה של פתיל זה, כדי להמנע כליל מניסוחים הקשורים למימד הזמן: אקסיומת הקיום של ZF: קיימת קבוצה A כך שלא קיים x עבורו x נכלל ב- A . כלומר, אקסיומה זו קובעת שקיימת קבוצה ריקה. ניסוח באנגלית: There is a set A such that, given any set x, x is not a member of A. הבה ונבחן לעומק אקסיומה זו:x אינו יכול להיות הקבוצה-ריקה כי איננו יכולים להשתמש במושג זה כתנאי שאינו תלוי באקסיומה המגדירה אותו, ולכן x הוא קבוצה לא-ריקה אשר איננה יכולה להכיל באף רמה שלה את הקבוצה-הריקה, לדוגמא: {{}} אינו אפשרי כי {} היא הקבוצה-הריקה, וכאמור אסור להשתמש בקבוצה-הריקה כאלמנט במסגרת האקסיומה המגדירה אותו. {{{}}}, {{{{}}}},..., {{},{}}, {{},{{}}}, (כולל היררכיית פון-נאומן שבבסיס המספרים הטבעיים, וכו')... אינם אפשריים כנ"ל. נובע מכך ש- x אינו קבוצה של קבוצות-ריקות, לדוגמא:{{.}}=x או {_}=x וכו'. אולם אז מתעוררות מייד שתיי בעיות: א) אם x אינו קבוצה של קבוצות-ריקות הריי שקבוצה של קבוצות-ריקות, או קבוצות מקוננות שבבסיסם קבוצה ריקה, קיומן אינו מוכרע במסגרת ZF. ב) קבוצה שאינה ריקה חייבת להיות מבוססת על אלמנט יסוד שאינו קבוצה. מהנ"ל למדים אנו כי ZF אינה תורת-קבוצות "טהורה", והיא משתמשת בהנחה סמוייה של קיומם של אלמנטים שהם אינם קבוצה, כדי להגדיר את הקבוצה הריקה. כמו-כן היא אינה מכריעה במסגרתה בעניין קיומן או אי-קיומן של קבוצות מקוננות, שבבסיסם קבוצה ריקה. אשמח לדעתכם, תודה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אולי עדיף "איננו יכולים לקבוע האם x היא קבוצה ריקה או לא משום שאיננו יכולים להשתמש במושג זה כתנאי שאינו תלוי באקסיומה המגדירה אותו" ולהמשיך מפה. מה דעתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""איננו יכולים לקבוע האם x היא קבוצה ריקה או לא משום שאיננו יכולים להשתמש במושג זה כתנאי שאינו תלוי באקסיומה המגדירה אותו". ובכך אתה נותן לגיטימיות למצב אי-כריעות כחלק ממערכת הטוענת קטגורית לכריעות. אז כאן אתה צריך להחליט מהו טבעה של מערכת אקסיומטית. לפי השיטה הנוכחית, כל אי-כריעות מחייבת הוספה מיידית של אקסיומה נוספת למערכת. במילים אחרות, אם אי-כריעות מתקיימת כחלק אינהרנטי של אקסיומת-הקיום של ZF, הריי שמייד נדרשת מטא-אקסיומה כדי לפתור את הבעיה וחוזר חלילה ... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מנסה לתת לגיטימיות לכלום. אני מנסה להיות קונסיסטנטי: אם אי אפשר להשתמש במושג באקסיומה, אז נא לא להשתמש בו ויקרה מה שיקרה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם אי אפשר להשתמש במושג באקסיומה, אז נא לא להשתמש בו ויקרה מה שיקרה." מזל טוב, זה בדיוק מה שעשיתי ע"י שינוי הנוסח הפתלתל של אקסיומת-הקיום של ZF מ: קיימת קבוצה A כך שלא קיים x עבורו x נכלל ב- A ל: קיימת קבוצה ללא כל תכולה, ונכנה אותה הקבוצה הריקה. האם אתה מסכים למהלך שנקטתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מסכים, כי לדעתי להגיד "קבוצה ללא כל תכולה" זה אותו דבר כמו להגיד "אין אף X שנכלל בו". לדעתי הבעיה היא הפוכה: באקסיומה מקורית *לא* השתמשו במושג הקבוצה הריקה. ב*ניתוח* שלך של האקסיומה השתמשת במושג, לכן הניתוח שלך נופל, אבל האקסיומה שרירה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"באקסיומה מקורית *לא* השתמשו במושג הקבוצה הריקה." גרוע בכך, באקסיומה המקורית השתמשו באי-כריעות x כדי להכריע את A. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכול להיות, אני קצת לא עוקב ( מה זה אי כריעות x ?). בכל אופן, אם לא השתמשו שם במושג הקבוצה הריקה, אבל בניתוח שלך *כן* השתמשו בו, עלי להניח שההסבר שלך פסול. אני עדיין מחכה להסבר על ההבדל בין "קבוצה ללא כל תכולה" לבין "אין אף X שנכלל בו". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"( מה זה אי כריעות x ?). " אי-כריעות x היא: x אינו ידוע (קבוצה-ריקה?/לא קבוצה ריקה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל x יכול להיות כל קבוצה, אין שום הגבלה על x. האם זה שקול לאי כריעות? נניח שאני אומר : n הוא מספר טבעי, אבל לא אומר לך האם הוא זוגי או אי זוגי. האם נפלתי פה בכשל של אי כריעות? האם אסור לי להמשיך להתייחס לn עד שאני מוודא את העניין? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אבל x יכול להיות כל קבוצה, אין שום הגבלה על x. האם זה שקול לאי כריעות? נניח שאני אומר : n הוא מספר טבעי, אבל לא אומר לך האם הוא זוגי או אי זוגי. האם נפלתי פה בכשל של אי כריעות? האם אסור לי להמשיך להתייחס לn עד שאני מוודא את העניין?" א) x הוא קבוצה. ב) אנו עוסקים באקסיומת הקיום של קבוצה מסוימת (ולא בהגדרה כללית של קבוצה) כאשר המשמעות של "כל קבוצה" מתקיימת בין לא פחות משתיי אפשרויות קוטביות (ריקה/לא-ריקה). ג) אסור לנו להשתמש בקבוצה המסויימת כתנאי בהגדרת הקבוצה המסויימת. ד) מצד שני אסור לנו לא-להכריע בעניין x כי אז אנו מקבלים קיום של אי-כריעות בין שתיי אפשרויות הקשורות ישירות בהגדרת קיום (והיא איננה זהה כלל וכלל לתכונה משנית (לדוגמא:זוג/פרט) של אלמנט קיים (לדוגמא: n)) המחיבות אותנו להשתמש מיידית במטא-אקסיומה כדי להכריע, וחוזר חלילה... ה) לכן x חייב להיות קבוצה לא-ריקה, על כל המשתמע מכך בקשר לקבוצות מהסוג {{}}. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מרגיש איך הערפל יורד עלי: אנחנו אומרים שלא קיימת שום קבוצה ששייכת לA . האם הראית שאחת מהקבוצות שלא שייכות לA איננה הקבוצה הריקה ? זה נשמע לי כמו הסיפור עם הבננות שמשה סיפר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אבל x יכול להיות כל קבוצה, אין שום הגבלה על x. האם זה שקול לאי כריעות? נניח שאני אומר : n הוא מספר טבעי, אבל לא אומר לך האם הוא זוגי או אי זוגי. האם נפלתי פה בכשל של אי כריעות? האם אסור לי להמשיך להתייחס לn עד שאני מוודא את העניין?" בו ונדליק את אורות הערפל (המצבר על חשבוני). רצונה *הכנה* של השיטה הפורמליסטית הוא לקיים אלמנטים התלויים רק ואך ורק במערכת אקסיומות עיקבית. אז כבר יש לנו כללים שאנו חייבים ללכת לפיהם. הקבוצה היא מושג לא-מוגדר אך יש לה מספר מאפיינים אשר אינם תלויים במערכת-האקסיומטית והם: א) הקבוצה מכילה או לא-מכילה איברים. ב) קבוצה המכילה איברים, איבריה יהיו מובחנים בבירור זה מזה ללא תלות במקומם בקבוצה. עתה אנו ניגשים כדי להגדיר בבירור את קיומם הריגורוזי של הקבוצות השונות ואין לנו כל אפשרות להתעלם מ-(א) או (ב) בעת ניסוחה של אקסיומה בשפה-פורמלית. מכייון שכך הם פני הדברים, x (לפי (א)) הוא קבוצה ריקה או לא-ריקה. כייון שאסור לנו להשתמש בתנאי (ריק) של אקסיומה המקיימת את התנאי(אחרת אנו מניחים את המבוקש), x חייב להיות לא-ריק. התעלמות מודעת מ-(א) משתמשת במודע באי-הכרעה, הגוררת מיידית הוספת מטא-אקסיומות למערכת, ויש שתיי דרכים להמנע ממנה והם: א) x חייב להיות לא-ריק, אך אז {{}} וכו' אינם מוגדרים במסגרת ZF . ב) הגדרה קיום ישירה של הקבוצה המסוימת, וזוהי הדרך שבה נקטתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. אתה כותב: " הקבוצה היא מושג לא-מוגדר אך יש לה מספר מאפיינים אשר אינם תלויים במערכת-האקסיומטית והם: א) הקבוצה מכילה או לא-מכילה איברים " איזה מין קבוצה זאת שלא מכילה איברים? האם אפשר להשתמש במאפיין הזה ולטעון ב"כנות" שאסור לנו להשתמש במושג הקבוצה הריקה לפני שהגדרנו אותה? נראה לי שכל מה שעשית הוא שקראת לאקסיומה "מאפיין". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נראה לי שכל מה שעשית הוא שקראת לאקסיומה "מאפיין"." אני מדבר בשלב זה רק ואך ורק על כללי השיטה הפורמלית, ולפי שיטה זו, שום דבר אינו קיים ללא הגדרה פורמלית ריגורוזית. אך מצד שני אנו ניגשים לנסח הגדרה פורמלית כאשר אנו יודעים במה אנו עוסקים ומהו המידע ההכרחי המאפשר לנו להבין במה אנו עוסקים, ולכן נוצר פה שילוב של תודעה+הגדרה-פורמלית אשר אינם ניתנים להפרדה. התודעה יודעת כי חייבת להיות הגדרה פורמלית כדי לקיים אלמנט במסגרת פורמלית, אך מצד שני היא איננה יכולה להתעלם מהעובדה שהיא זו שיצרה את כללי המשחק הפורמלי, אשר איננו יכול להיווצר ללו המידע ההכרחי המאפשר לה להבין במה היא עוסקת. בקיצור, מערכת פורמלית היא לא פחות משילוב מודע בין תוכן תבוני לכללי-משחק פורמליים, ושילוב זה אינו מאפשר קיומה של מערכת פורמלית עצמאית המנותקת מהתודעה ותובנותיה. כתוצאה מכך, יש לראות את התמונה בשלימותה, וכאשר רואים את התמונה בשלימותה, מקבלים את תגובה 331134 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""אבל x יכול להיות כל קבוצה, אין שום הגבלה על x" משום מה איני רואה את תגובתי האחרונה אז הנה היא שוב: הרי ברור לחלוטין כי השיטה הפורמלית היא פרי יצירתה של התודעה. ברור גם כי כאשר אנו מישמים את השיטה הפורמלית אנו בוחרים להשתמש בתודעתנו בהתאם לכללי המשחק הפורמליים שקבענו. כדי להמנע מהנחת המבוקש, אנו נמנעים במודע מלהכריע מהו x באקסיומה (שאנחנו יצרנו) המגדירה את הקבוצה הריקה. בכך אנו מאפשרים מצב אי-כריעות כחלק בלתי נפרד מאקסיומת-הקיום של ZF, אשר מחייב אותנו (לפי אותם כללי-משחק פורמליים שקבענו) להוסיף מיידית מטא-אקסיומה אשר תפתור את מצב אי-הכריעות שיצרנו במו תודעתנו, וכן הלאה וכן הלאה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון: במקום: "בכך אנו מאפשרים מצב אי-כריעות כחלק בלתי נפרד מאקסיומת-הקיום של ZF, אשר מחייב אותנו (לפי אותם כללי-משחק פורמליים שקבענו) להוסיף מיידית מטא-אקסיומה אשר תפתור את מצב אי-הכריעות שיצרנו במו תודעתנו, וכן הלאה וכן הלאה..." יש לקרוא: בכך אנו מאפשרים מצב אי-כריעות כחלק בלתי נפרד מאקסיומת-הקיום של ZF, הגוררת מיידית שינוי יסודי בשיטה הפורמלית, המאפשרת אי-כריעות AND כריעות כתנאי יסוד שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רוצה לתקן את המשפט: "התעלמות מודעת מ-(א) משתמשת במודע באי-הכרעה, הגוררת מיידית הוספת מטא-אקסיומות למערכת," ל: "התעלמות מודעת מ-(א) משתמשת במודע באי-הכרעה, הגוררת מיידית שינוי יסודי בשיטה הפורמלית, המאפשרת אי-כריעות AND כריעות כתנאי יסוד שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי קצת בלילה על כל הפתיל הזה. אני רוצה לנסות תרגיל קטן כדי לראות האם אני בכיוון: א)אקסיומת הזוגיימ: יש מספרים טבעיים N שמורכבים מM+M כאשר M הוא טבעי. הבה ונבחן לעומק טענה זאת: M אינו יכול להיות זוגי כי איננו יכולים להשתמש במושג זה כתנאי שאינו תלוי באקסיומה המגדירה אותו. מכאן שM הוא אי זוגי. מסקנה: אף מיספר זוגי אינו מתחלק ל 4. האם אני מובן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצויין אייל צעיר, אם אתה מקפיד על המנעות מהנחת-המבוקש אז אקסיומת הזוגיות צריכה להראות כך: כל מספר טבעי הניתן להפרדה לשתי קבוצות בעלות קרדינל זהה, הוא מספר זוגי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון התגובה הקודמת: כל מספר טבעי הניתן להפרדה לשתי רב-קבוצות המכילות את המספר 1,והן בעלות קרדינל זהה, הוא מספר זוגי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לחילופין אפשר להשתמש בנוסח זה: כל מספר טבעי הניתן להפרדה לשתי קבוצות המכילות מספרים טבעיים, ושסכומן שווה זו לזו, הוא מספר זוגי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואף פשוט יותר: מםפר-זוגי הוא: מספר-טבעי שהוא סכום שניי מספרים-טבעים שווים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז המסקנה שלי מקובלת עליך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצערי, לא אני כתבתי את תגובה 331255, שמציגה בצורה יפה מאוד את הכשל שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לצערי, לא אני כתבתי את תגובה 331255, שמציגה בצורה יפה מאוד את הכשל שלך." כשל? על איזה כשל אתה מדבר? א) M אכן אינו יכול להיות מספר זוגי בעצמו לפי ההגדרה, כי אסור להניח את המבוקש בהגדרה פורמלית. ב) לכן אנו *חייבים*, בהסתמך על החוקים הפורמליים, לשנות את ההגדרה של המספרים הטבעיים להגדרה ישירה, שאיננה משאירה כל אפשרות להנחת-המבוקש, והגדרה זו היא: מםפר-זוגי הוא: מספר-טבעי שהוא סכום שניי מספרים-טבעים שווים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מםפר-זוגי הוא: מספר-טבעי שהוא סכום שני מספרים-טבעים שווים יפה. הבה נבחן טענה זאת: שני המספרים הטבעיים השווים אינם יכולים להיות זוגיים כי איננו יכולים להשתמש במושג זה כתנאי שאינו תלוי באקסיומה המגדירה אותו. מכאן, שמספרים אילו אינם זוגיים. מסקנה: אף מיספר זוגי אינו מתחלק ל 4. האם עד כאן מובן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אסור להניח שהמספרים זוגיים, בתוך ההגדרה של מספר זוגי, אז למה מותר להסיק ש"מכאן, שמיספרים אלו אינם זוגיים" ? הרי אם "זוגי" עוד לא מוגדר אז גם "אי זוגי עוד לא מוגדר". אבל אפשר לדבר על מספרים טבעיים כלשהם, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת תהיה השאלה הבאה שלי. קודם אוכיח שמספרים זוגיים אינם מתחלקים ל 4. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהצלחה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מםפר-זוגי הוא: מספר-טבעי שהוא סכום שני מספרים-טבעים שווים" אייל אלמוני אני מקבל את דבריך, אכן הפעם הגזמתי בלהט הדו-שיח ושכחתי את שאמרתי כבר לעוזי בעניין דומה בתגובה 328578 אקסיומת הזוגיים איננה אקסיומת קיום של המספרים הטבעיים, אלא היא מגדירה תכונה מישנית של המספרים-הטבעיים, אשר הוגדרו ע"י אקסיומת-קיום משלהם. לכן M יכול להיות כל מספר-טבעי, כולל מספר-זוגי. בוא ונבחן אם מצב זה מקביל למקרה של הגדרת הקבוצה-הריקה. מושג הקבוצה אינו מוגדר כלל וההגדרה האלמנטרית הקשורה למושג הקבוצה, עוסקת *באקסיומת-קיום* של אלמנט (קבוצה-ריקה) שבסיס קיומו אינו מוגדר. מכיוון שזוהי אקסיומת-קיום, איננו יכולים להניח את *מצב-הקיום* המבוקש באקסיומת-קיום של המבוקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את ההסבר שלך. הטענה לגבי הזוגיים היתה מעגלית. טענות מעגלית אינן קבילות לוגית. אין לזה שום קשר לאקסיומות קיום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא הבנתי את ההסבר שלך. הטענה לגבי הזוגיים היתה מעגלית. טענות מעגלית אינן קבילות לוגית. אין לזה שום קשר לאקסיומות קיום." היא איננה מעגלית כי מעגליות מתקיימת רק במקרה של הנחת המבוקש בהגדרת-קיום של אלמנט, ולא בשום תכונה משנית שלו, המבוססת על קיומו. בקיצור, הגדרת המספרים-הזוגיים נסמכת על קיום המספרים-הטבעיים, והיא איננה שקולה להגדרת-הקיום של הקבוצה-הריקה, כי מושג הקבוצה אינו מוגדר, ולכן אקסיומת-הקיום של הקבוצה-הריקה איננה תכונה משנית של קבוצה במקרה דנן, אלא היא לובשת במקביל שניי קובעים והם הגדרת קיום+תכונה. אין להניח את המבוקש בעת הגדרת-קיום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון קטן: במקום "שניי קובעים" יש לקרוא "שניי כובעים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באיזו שפה זה "שניי" ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשפת ה''י'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון נוסף: במקום: "אין להניח את המבוקש בעת הגדרת-קיום." יש לקרוא: " אין להניח את המבוקש במנותק מהגדרת-קיומו." תיקון זה בא כדי להסיר כל ספק של שימוש במושג הזמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל הבעיה שלי לא היתה להוכיח את קיום המספרים הטבעיים אלא את קיום המספרים ה*זוגיים*. מושג המספר הזוגי אינו מוגדר ללא אקסיומת הקיום שלו ולכן אקסיומת הקיום של המספרים הזוגיים אינה תכונה משנית של המספרים הזוגיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מושג המספר הזוגי אינו מוגדר ללא אקסיומת הקיום שלו" האקסיומה של המספר-הזוגי אינה אקסיומת-קיום, אלא אקסיומה המגדירה תכונה של אלמנט קיים, ואלמנט זה הוא מספר-טבעי כלשהו. אין הדבר נכון לגבי הקבוצה הריקה, כפי שהסברתי בתגובה 331598 . עיין נא גם בתגובה 331627 כדי להבין היטב את עמדתי בנושא. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני כמעט מבין. אבל נדמה לי שמדובר על אקסיומת הקיום של הקבוצה *הריקה* לא אקסיומת קיום של *קבוצה*. אנו מגדירים *תכונה* של אלמנט קיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אנו מגדירים *תכונה* של אלמנט קיים." מושג הקבוצה הוא בפירוש מושג לא מוגדר בתורת הקבוצות, ולכן כל אקסיומה המשתמשת במושג זה גם מקיימת אותו, או במילים אחרות, מושג הקבוצה אינו יכול להתקיים במנותק מהשיטה הפורמלית המגדירה אותו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז מה? הדילמה שהצגת היתה לגבי הקבוצה ה*ריקה*, לא לגבי מושג הקבוצה. הסברת שאקסיומת הקיום של הקבוצה הריקה ("קיימת קבוצה A כך ש...") היא פגומה, משום שאנו לא יכולים להניח שקיימת קבוצה ריקה כאשר אנו מנתחים את האקסיומה ומכאן היסקת ש x איננה הקבוצה הריקה. (כל זאת בהנחה שאני הבנתי אותך נכון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הדילמה שהצגת היתה לגבי הקבוצה ה*ריקה*, " לא, הדילמה שהצגתי היא לגבי *הקבוצה הריקה*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, אני הצגתי דילמה לגבי *טבעי זוגי*. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני הצגתי דילמה לגבי *טבעי זוגי*." אין פה שום דילמה כי *טבעי* מוגדר לחוד ו-*זוגי* מבוסס על קיומו של *טבעי*. לא כך הם פני הדברים בהגדרת *הקבוצה הריקה*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי להמנע מהנחת המבוקש באקסיומת-קיום, מתעלמים המתמטיקאים מתוכן אפשרי של x , כאשר הטענה העומדת בבסיס התעלמות זו היא:"היות ולא הגדרנו מה זאת קבוצה הרי שאנו מקבלים מצב של אי-כריעות x כתנאי ריגורוזי להגדרת A." אם כך, ניתן להבין כי אי-כריעות הינה מצב תקין לחלוטין בניסוח שפה פורמלית, כאשר אי-כריעות זו מאפשרת לנו להכריע. אם כך הם פני הדברים, אז לשם מה אנו צריכים את כל המשחקים הסכולסטיים המבוססים על אי-הידיעה המלאכותית המבוססת על המשפט המכונן "אני לא-יודע שאני יודע". שאלה: מדוע אני טוען כי זהו המשפט העומד בבסיס x ? תשובה: ברור לחלוטין כי מושג הקבוצה אינו מובן אם אין אנו מגשרים בתודעתנו בין המושג "ריק" לבין המושג "לא-ריק". כייון שכך, אנו יודעים היטב מהם מצבי הקיום המינימליים של x , אך במקום להשתמש בידע זה בגלוי ולהגדיר ישירות את הקבוצה הריקה כ-"קבוצה ללא כל תכולה", אנו יוצרים סוכן מלאכותי פרי תודעתנו אנו ששמו הכמת "לכל", ושולחים אותו לעשות בשבילנו את העבודה, תוך התעלמות מוחלטת מתלותו של כמת זה בקיומנו אנו. אם אינך מסכים איתי, הוכח נא, לדוגמא, שהכמת "לכל" אינו יציר תודעתנו. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אם נוסיף ל-ZF את האקסיומה "קיימת קבוצה", זה יפתור את כל הבעיות שלנו. כי אז, "ריקנותה" של קבוצה מסוימת תהיה תכונה משנית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שעוזי אמר פעם שלא צריך את האקסיומה הזאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי שלא, הרי יש את האקסיומה שלפיה קיימת קבוצה ריקה. אך דורון מתעקש לא לקבל את האקסיומה הקיימת בתור אקסיומת קיום. הוא רוצה שהיא תהיה ''תכונה משנית''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אז אם נוסיף ל-ZF את האקסיומה "קיימת קבוצה", זה יפתור את כל הבעיות שלנו." ממש לא, כי באותה מידה ניתן להוסיף לZF את האקסיומה "קיימת שדחרדקףיה". ללא הגדרה מופרטת הניתנת לבקורת, אין שום טעם בהגדרת קיום של אלמנט מתמטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו כן, אנא עיין ב: תגובה 331514 תגובה 331512 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. כאשר טענה היא מהצורה "לכל x..." אין טעם לשאול "האם הוא הקבוצה הריקה?". אין טענה כזאת - ולכן היא לא יכולה להיות לא-כריעה בשום מובן. אתה מתעקש להכניס את המושג "אי-כריעות" לדיון במובן הלא-נכון. 2. "מערכת הטוענת קטגורית לכריעות (=שלמות)" - אם יש מתמטיקאי שמאמין ש-ZF שלמה, צריך לשלוח מיד סירת חילוץ לאי הבודד שעליו הוא לכוד, וישא"ק. 3. "כל אי-כריעות מחייבת הוספה מיידית של אקסיומה נוספת למערכת" - לא, היא לא. 4. גם אם מוסיפים אקסיומה, היא לא "מטא-אקסיומה". היא סתם עוד אקסיומה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"1. כאשר טענה היא מהצורה "לכל x..." אין טעם לשאול "האם הוא הקבוצה הריקה?" אייל צעיר, כבר הייתי בסיפור הזה עם עוזי. אני לא שואל כלום אלא קובע קטגורית שכדי להמנע מהנחת המבוקש באקסיומה המגדירה את הקבוצה-הריקה, x איננו יכול להיות הקבוצה הריקה. כייון שכך, {{}} ודומיה אינן מוגדרות במסגרת ZF , וכל קבוצה לא-ריקה (כולל תת-קבוצות או קבוצות-מקוננות) מבוססת על על אלמנט שאינו קבוצה-ריקה. אם אתה מתעקש להשתמש באי-כריעות x כדי להכריע את A, הרי שאתה משנה את כללי-היסוד של השיטה הפורמלית, אשר מבוססת מעתה על כריעות AND אי-כריעות = TRUE . האם זה מקובל עליך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזוב אותך מקבוצות ומ-ZF. התלונות שלך הן לא באמת על ZF אלא על טענות פשוטות בלוגיקה בסיסית, שלא ברור מה אתה רוצה מהן. נניח שכולנו יודעים ומבינים מהי בובת בבושקה. אקסיומה ב1-BS: קיימת בובת בבושקה כך שכל בובת בבושקה בעולם איננה נמצאת בתוכה. נסח את הבעיה בטענה האקסיומטית הנ"ל2, בלי אזכור של ZF, בלי מתמטיקה, בלי בניית מספרים טבעיים, בלי קבוצות ריקות, מלאות או מזמזמות לסירוגין. ___________ 1 זה לא מה שאתם חושבים. מדובר ב-Babushka System 2 אני מבטיח לך שהיא נכונה. עלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שזה בדיוק הזמן המתאים לשלוף מהכיס את הבבושקה המלאה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נראה לי שזה בדיוק הזמן המתאים לשלוף מהכיס את הבבושקה המלאה." נפלא עומר, אבל אביב עוד לא מעכל מהו הידע המינימלי המאפשר לו להבין מה זאת בבושקה קונבנציונלית. ידע זה הוא לא פחות מבבושקה ריקה AND בבושקה לא-ריקה (כאשר בבושקה לא-ריקה אינה זהה לבבושקה מלאה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נניח שכולנו יודעים ומבינים מהי בובת בבושקה." איך אתה יכול להבין שבובת-בבושקה ריקה ובובת-בבושקה לא-ריקה זה אותו דבר? הסבר נא לי את התכונות המשותפות לשתיהן המאפשרות לך לדעת ולהבין מהי בובת-בבושקה ללא שום "נניח שכולנו" כי "נניח שכולנו" היא "הנחת המבוקש" ובמקרה זה "הנחת המבוקש", היא מושג הקבוצה עצמו. אך משום שלא הגדרת את מושג הקבוצה (או מה זאת בובת-בבושקה, כדבריך) אז על מה אתה מדבר בדיוק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אביב לא קרא לקבוצה ''בובת-בבושקה''. אביב דיבר על בובות-בבושקה אמיתיות, שכולנו מכירים, ואנו מגדירים בתבונתנו הרבה. עכשיו הצבע נא על הכשל באקסיומת הבבושקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומת ה-BS. אני מבקש לדייק במושגים. אני ממליץ על הפסקת הדיון שלך עם דורון *על מתמטיקה*, כל עוד אין לו תשובה אמיתית ומעניינת לשאלה שלי למעלה (תגובה 331378 היא לא תשובה רצינית). הבעיה שלכם איתו (או שלו איתכם) היא הרבה יותר בסיסית מדיון סבוך על הגדרות של קבוצות, על אקסיומות ZF, או על כל ממבו ג'מבו מתמטי אחר. דיון כזה אולי נשמע מורכב ומתוחכם משום שהוא מכיל מושגים במתמטיקה, אבל לא על זה אתם בכלל מתוכחים ומדברים. אתם אפילו לא תסכימו על היכולת שלנו לטעון טענות פשוטות לגבי אוטובוסים. הויכוח איתו היה קיים גם בעולם בו מושג הקבוצה לא היה מוכר לנו ו-ZF היתה צירוף מקרי של שתי אותיות. לכן הכותרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק. נשהה כרגע את הדיון המתמטי, ונמשיך לדון בבובות-בבושקה. דורון: תגובתך בבקשה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חברה משום מה אתם עושים הר מעכבר, אז כדי להקל עליכם הנה תגובתי על טהרת הבבושקה: "נניח שכולנו יודעים ומבינים מהי בובת בבושקה." איך אתה יכול להבין שבובת-בבושקה ריקה ובובת-בבושקה לא-ריקה זה אותו דבר? הסבר נא לי את התכונות המשותפות לשתיהן המאפשרות לך לדעת ולהבין מהי בובת-בבושקה ללא שום "נניח שכולנו" כי "נניח שכולנו" היא "הנחת המבוקש" ובמקרה זה "הנחת המבוקש", היא מושג הבבושקה עצמו. אך משום שלא הגדרת מה זאת בובת-בבושקה אז על מה אתה מדבר בדיוק? מכיוון שאינני יודע מה זאת בבושקה "באופן כללי" (כי לא הגדרת דבר כזה) הריי ש: "קיימת בובת בבושקה כך שכל בובת בבושקה בעולם איננה נמצאת בתוכה" אינה אומרת לי דבר וחצי דבר. יותר מכך, מדבריך ניתן להבין שהדבר שאתה מדבר עליו אינו תכונה אלא אלמנט ספציפי הנושא תכונה זו, ואם אלמנט זה יאבד, תאבד גם התכונה מן העולם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואתה עוד טוען שההגדרות של המתמטיקאים נטולות תבונה? כאשר אביב מדבר על בבושקות הוא מדבר על זה: http://blog.tapuz.co.il/weirdo1986/images/513997_314... לא על שום מושג מתמטי תיאורטי. אם אתה לא מסוגל לדבר עליהן, כך שהטענה "קיימת בובת בבושקה כך שכל בובת בבושקה בעולם איננה נמצאת בתוכה" תגיד לך משהו, הרי שאתה זה שלא מסוגל לדבר על אובייקטים תוך שימוש בתבונה, ואתה זה ש"מרוקן מושגים ממשמעותם המקורית". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""קיימת בובת בבושקה כך שכל בובת בבושקה בעולם איננה נמצאת בתוכה" אסביר את דברי שוב: כשאתה אומר לי קיימת בובת-בבושקה, אינני יכול שלא לחשוב עליה בשני מצבים יסודיים שהם: א) בובת-בבוקשה ריקה. ב) בובת-בבושקה לא-ריקה. למעשה ללא (א) AND (ב) אינני יודע מה זאת בובת-בבושקה. לכן המשפט:""קיימת בובת בבושקה כך שכל בובת בבושקה בעולם איננה נמצאת בתוכה" כבר ידוע לי מ-(א), ולכן הוא מיותר בתכלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש (אולי) בובות שמקיימות את א', ויש (אולי) בובות שמקיימות את ב'. ע"פ הכרותי את המציאות, אין בובה שמקיימת את א' AND ב' (למה אתה משתמש ב-"AND" כל הזמן? מה רע ב"וגם"?). הטענה שקיימת בובה ריקה איננה מוכחת מהעובדה שהבובות מתחלקות ל"ריקות" ול"לא-ריקות". גם את בני האדם ניתן לחלק ל"בני אדם שהם מטוסים" ול"בני אדם שהם לא מטוסים". לא נובע מכך שיש בני אדם שהם מטוסים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''הטענה שקיימת בובה ריקה איננה מוכחת מהעובדה שהבובות מתחלקות ל''ריקות'' ול''לא-ריקות''. גם את בני האדם ניתן לחלק ל''בני אדם שהם מטוסים'' ול''בני אדם שהם לא מטוסים''. לא נובע מכך שיש בני אדם שהם מטוסים.'' כל מה שעשית זה לחבר תכונה שאינה שייכת לבני-אדם באופן שיאפשר לך להסיק כי אין בני-אדם עם התכונה שבחרת (זה, דרך אגב, שימוש בהנחת המבוקש). ריקנות ואי-ריקנות הן תכונות מהותיות להבנת בובת-בבושקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה, דרך אגב, שימוש בהנחת המבוקש" - אני אשמח לשמוע מה ההנחה. יותר מזה - אני אשמח לשמוע מה ה*מבוקש*. אני לא זוכר שניסיתי *להוכיח* משהו. רק הראיתי כשל ב"הוכחה" שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקשר בין מטוסים ובני אדם? האם אתה מוצא שקילות בין הנ"ל כדוגמא לטיב הקשר שבין בובת-בבושקה למושגים "ריק" ו-"לא-ריק"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. אבל אתה טענת שבגלל ש"בובת בבושקה היא ריקה או לא ריקה" קיימת בהכרח בובת בבושקה ריקה. אני הדגמתי את האבסורד בטענה הזאת. כדי לדעת שיש בהכרח בובת בבושקה ריקה אנחנו צריכים להניח הנחה כזאת. זאת ההנחה שאביב כתב, ושאתה מתחמק מהשאלה לגביה: האם יש בה בעייתיות, או לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"האם יש בה בעייתיות, או לא?" אני לא עושה בשום הנחות אלא קובע כי אין להבין מה זאת בובת-בבושקה ללא הקשר *ההכרחי* לשניי המושגים *המינימליים* שהם: "ריק"/"לא-ריק". לכן אין שום סיבה לקיום האקסיומה הפתלתלה של אביב, כי אפשר מיד ובאופן ישיר להצהיר על קיומה של בובת-בבושקה ריקה. " אני הדגמתי את האבסורד בטענה הזאת." אתה הדגמת את האבסורד במערכת שלא ניתן להסיק ממנה דבר על בובת-בבושקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושש שאתה לא מצליח להבדיל בין BS לבין המערכות שעליהן אתה מדבר בד"כ. לא שאני לוקח את ה"דיון" הבלתי אפשרי איתך ברצינות, אבל: ההנחה היתה שקיימת בובה שאין בה בובה אחרת ולא שיש בובה ריקה. ההנחה שלך שיש בובה שאין בה שום דבר (בובה ריקה), נראת לי לאו דווקא נכונה אמפירית (אני בטוח שתמצא בתוך כולן לפחות איזו מולקולת אוויר אחת ובטוח שתמצא שיש בתוך כולן מרחב) ולכן היא לא הוכנסה למערכת BS. בהקשר של בובות בבושקה, ריקנות איננה מושג בסיסי. אין סיבה להכניס למערכת טענות מפוקפקות בתור אקסיומה. אנחנו יודעים מהי בובת בבושקה, גם בלי הנחת קיומה של בובה ריקה (אני די משוכנע שאתה אפילו לא מסוגל לדמיין בובה כזאת ובטוח שלא ראית באמת בובה כזאת מעולם). לא ניתן להסיק דבר? מה לגבי משפט ESWEWADS המפורסם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא שאני לוקח את ה"דיון" הבלתי אפשרי איתך ברצינות," אביב, הריי במו ידיך אתה מונע ממך כל יכולת להבין את דברי, אם זאת הגישה המכוננת שלך לדיון איתי. האם ברור לך היטב כי הצהרה כזאת למעשה הינה "הרשעה עצמית" המודה באי-מוכנות לדו-שיח פתוח ואמיתי? "ההנחה היתה שקיימת בובה שאין בה בובה אחרת ולא שיש בובה ריקה." אכן, אי-מוכנתך להבין את דבריי מתגשמת באי-הבנה שלך את דבריי, והיות ובחרת מראש שלא להבין את דברי (בהתאם להצהרתך בראש תגובה זו) אפנה אותך ישירות לתגובה 331811 ולא אוסיף לדון איתך בנושא זה, אלא אם תצהיר במפורש שאתה מתכוון לדיון רציני וישר איתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצהיר במפורש שאני לא מתכוון לדיון רציני וישר איתך. אני גם מצהיר במפורש שדיון כזה איננו אפשרי ואני ממליץ למתדיינים האחרים ש"משחקים בכאילו" או "מקווים לשווא" לחדול מהדיון איתך. חבל"ז ועל המקום בשרת. אני מברך על פרישתך מהדיון. התחלתי את "פתיל הבבושקה" משום שאני מנסה לשכנע את האייל הצעיר שהדיון ביניכם הוא בכלל לא על מתמטיקה ושעפ"י גישתך "אי הבנה" זה לא דבר שיש לנסות לתקן באמצעות דיון, אלא הבסיס ממנו ניזון הצורך שלך בדיון. אין כמו שימוש מעורפל במושגים שלא נהירים לכל (לכן מתמטיקה היא הכלי המועדף על הטרחן), כדי ליצור דיון שהוא חסר פשר מצד אחד, אבל נראה כאילו "יש בו בכל זאת משהו" מן הצד האחר. אתה בסה"כ "תופס טרמפ" על נסיונם הרגיל של אנשים עם מושגים מתמטיים מורכבים - תחושה במהלך מפגש ראשוני עם מושגים מתמטיים של "רק אם נתאמץ עוד קצת אז נבין". מתמטיקה בשבילך זו לא המטרה והיא לא הנושא - היא בסה"כ כלי. אבל אתה אמרת את זה בעצמך טוב יותר, אז נסכם בזאת: "אם אנשים היו חושבים כמוני, הייתי רואה במציאות זו מקום שלא ראוי להתקיים בו". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השתכנעתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''השתכנעתי.'' אייל צעיר, מצאת לך סולם רעוע ביותר כדי לרדת מעץ שמעולם לא העזת לטפס עליו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הלוואי שיהיו לי סולמות רעועים כאלה כל החיים. ואני אוסיף גם חידת טריוויה, במיוחד בשבילך: *במה* בעצם השתכנעתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"*במה* בעצם השתכנעתי?" שקיומה של חירות הדיעה בעולמנו הינו חיוני למשמעות קיומנו, אך חירות דיעה זו באה לידי ביטוי בעת דיון, ואין להשתמש בדרכים נלוזות כדי להמלט מדיון, על מנת לשמור על קיומה של דיעה מסוימת בתנאים סטריליים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. קרא את תגובה 331822 מההתחלה, ונסה שוב להבין: במה השתכנעתי? אגב, גם אביב לא התכוון לזה כשהוא ציטט אותך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני מצהיר במפורש שאני לא מתכוון לדיון רציני וישר איתך." תודה לך על כנותך הפתלתלה. "אין כמו שימוש מעורפל במושגים שלא נהירים לכל" אחזור שוב על המושגים הנ"ל: המהתטיקה היא תוצר התודעה שלנו, וכל מושג שלה תלוי בקיומה של התודעה. אינני מתכוון לתכנים מנטליים אישיים אלא לתנאים המנימליים ההכרחיים לקיומה של תודעה המסוגלת ליצור ולהשתמש במתמטיקה. תנאים מינימליים אלה הם: א) רצף (הזכרון המאפשר קשר בין אלמנטים) ב) אוסף (מגוון המצבים המנטליים המקושרים ע"י הזכרון) ג) גישור בין (א) ל-(ב) ""אם אנשים היו חושבים כמוני, הייתי רואה במציאות זו מקום שלא ראוי להתקיים בו". אינני מדבר על כפיית מתודות חשיבה כאלה או אחרות (כמקובל בשפה פורמלית) אלא על חקירת התנאים האלמנטריים ההכרחיים המאפשרים לנו יצירה ושימוש בשפה פורמלית. מוגבלותך למתודות חשיבה ((ב) בלבד), אינה מאפשרת לך לחקור את התכונות המינימליות ההכרחיות והלא-אישיות המתקיימות בתודעתך ולבסס את שפת המתמטיקה ישירות אליהם, כבסיס הפשוט ביותר לכינוננה של שפה-פורמלית, אשר אינו תלוי כהוא זה בשום מתודת חשיבה מסויימת. ביסוסה של שפה פורמלית שלא על מתודות חשיבה מסוימות, מעניק לה באופן טבעי את תכונת הכלליות, הנחשקת ע"י דובריה של שפה פורמלית. "מתמטיקה בשבילך זו לא המטרה והיא לא הנושא - היא בסה"כ כלי." בזה אתה צודק בהחלט. המתמטיקה, לתפיסתי, הינה הכלי המדוייק ביותר לפיתוח שילוב הפן הלוגי והפן האתי של התודעה היוצרת אותה והמשתמשת בה. אין כאן מערכת סגורה כמו בשיטה הדדוקטיבית, אלא ניצול טבעי של תכונת ההפנייה העצמית של כל תודעה המודעת לעצמה מחד, ומאידך מודעותה הכנה לקיומו של הלא-נודע בבחינת: "אני יודעת שאני לא יודעת". ומה אתה וחבריך עושים? אתם מתשתמשים בתובנה המכוננת: "אני לא יודע שאני יודע" ובכך אתם: א) מתעלמים מקיומה של התודעה כבסיס לשפה פורמלית (התבססות על הגדרות טכניות ולא על תובנות מכוננות). ב) טוענים לקיום אלמנטים של שפה פורמלית במנותק מתודעתכם (הכמת "לכל" וכו'). ג) מגדירים בצורה מלאכותית את תנאי אי-הידיעה (אולי x הוא A ואולי הוא לא A , וכו'). ד) משתמשים בשפה הפורמלית כמטרה ולא כאמצעי-תקשורת לפיתוח קשריה הפמנימיים והחיצוניים של התודעה (המטרה היא מערכת מכנית הקולטת מידע ומכריעה T או F במנותק ליוצר המערכת). ה) כופים מתודות חשיבה מסוימות ברמת הפעילות המנטלית, במקום לחקור את התנאים המינימליים והלא אישיים המאפשרים את עצם קיומה של פעילות מנטלית פוריה (רצף+אוסף)(שפה פורמלית הינה שיטה השואפת לפתרון אובייקטיבי (במנותק מיוצרה) של בעיות (ואז מתעוררת השאלה: "מה הטעם בפתרון בעיות שאינן נוגעות לנו בשום צורה ואופן?")). לא צריך להתאמץ במיוחד כדי להדגים את חולשתה המובנית של החשיבה הדדוקטיבית הפלטוניסטית או פורמליסטית, אשר עושה ככל יכולתה כדי להתעלם ממקור קיומה, שהוא לא פחות מאשר התודעה המודעת לעצמה ולגישור שבינה לסובב אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסיבה לא ברורה 1, לא הצלחתי למצוא את מספט ESWEWADS המפורסם ב-http://babushkaworld.wolfram.com . 1 הסיבה יכולה להיות העובדה שהמשפט לא קיים, העובדה שהאתר לא קיים, או העובדה שהמדע הזה לא קיים. לכן הסיבה לא ברורה. ככה זה כשאתה מתבסס על כריעות AND אי-כריעות כבסיס להסקת מסקנות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
:) Theorem: Every Session (of concurrent openings of B-dolls) Will End With A Delightful Surprise.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, המשפט הזה. יש לו גם הרחבה (במערכת חזקה יותר, כמובן) עבור ביצי הפתעה ומשחק חבילה עוברת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא ונבחן את עולמו של אביב: האקסיומה של אביב: "קיימת בובת בבושקה כך שכל בובת בבושקה בעולם איננה נמצאת בתוכה." בעולמו של אביב (שאמור להיות מוכר לנו) קיים אלמנט הנקרא בובת-בבושקה. כדי להבין את האקסיומה של אביב אנו מתבססים על ידיעת המושג בובת-בבושקה, ומושג זה אינו יכול להיות מובן ללא השימוש במושגים "ריק"/"לא-ריק". מכיוון שבובת-בבושקה ריקה הינה הכרחית לקיומה כבובת-בבושקה, אין כל צורך באקסיומה של אביב, המבוססת על משחק ההונאה העצמית של "אני לא יודע שאני יודע". "אני לא יודע שאני יודע" שהכמת "לכל" הוא שלוחה שלי, ולכן אני מעניק לא יכולת הכרעה המנותקת ממני. "אני לא יודע שאני יודע" כי קיימת בובת-בבושקה ריקה, ולכן אני מחבר אקסיומה מיוחדת לשם קיומה. ----------------------------------------------------------------------- אחזור שוב על התובנה המכוננת של פתיל זה: יש להבחין היטב בין ההצהרה :"אני יודע שאני לא יודע" לבין ההצהרה:"אני לא-יודע שאני יודע". הבה ונבחן את ההבדלים: "אני יודע שאני לא יודע" הינה הצהרה ישירה וישרה המודעת לגבולות הידיעה ומקבלת את אי-הידיעה כחלק בלתי נפרד וטבעי של התודעה. "אני לא יודע שאני יודע" הינה הצהרה פתלתלה ושיקרית, שבמקום להודות בגלוי באי-ידיעה היא מנסה ליצור מאופן מלאכותי את תנאי אי-הידיעה שלה, כדי להמנע מאי-ידיעה אמיתית הנובעת מגבולות התודעה. המתמטיקה המודרנית מבוססת על ההצהרה "אני לא יודע שאני יודע", וגישה זו מיושמת כבר בשפה פורמלית כמו ZF כתשתית מכוננת לאקסיומת הקיום של הקבוצה-הריקה. הבה ונדגים: There is a set A such that, given any set x, x is not a member of A. הגדרת A נסמכת על אי-ידיעת x (כדי להמנע מהנחת המבוקש במנותק מהגדרת-הקיום שלו)וזאת כאשר ידוע לנו בבירור כי x יכול להיות ריק או לא-ריק. מושג הקבוצה עצמו תלוי לחלוטין ביכולתנו לגשר בין המצבים הבסיסיים "ריק" ו- "לא-ריק", וללא יכולת גישור זו הטמונה בתודעתנו, אין לנו שום אפשרות לדון כלל במושג הקבוצה. אך במקום לנתח בפשטות ובאופן ישיר מהם הדרישות המינימליות ההכרחיות המאפשרות לנו לדון במושג הקבוצה, בוחרת קהילת המתמטיקאים ה"טהורים" לעסוק בחקר הסיבוכיות שהם עצמם יוצרים באופן מלאכותי, כאשר שם המשחק הוא "אני לא יודע שאני יודע" המוביל את השחקן להכחשת קיומו הוא תוך זיהוי תנאי אי-הידיעה שהוא יצר במו ידיו, כמצב עצמאי (אובייקטיבי) המנותק ממנו. יש להבין שתנאי אי-ידיעה מלאכותי זה הוא בדיוק המרחב המאפשר את המשך קיומו "המעניין" של משחק סכולסטי "הרודף אחרי זנבו שלו". ההבחנה בין "אני יודע שאני לא יודע" לבין "אני לא יודע שאני יודע" מאפשרת למעוניינים בכך "להפריד ראש מזנב" ולהביט נכוחה. המתמטיקה-המונדית הינה שפה המבוססת על "אני יודע שאני לא יודע". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תרגיל בית: 1. הצג לכיתה בובת בבושקה שאין בה כלום (הדבר אותו אתה מכנה "בובה ריקה"). 2. הצג לכיתה בובה שאין בה בובה אחרת. באיזו משימה תצליח לדעתך ובאיזו תכשל כישלון חרוץ? הסבר, פרט והבא דוגמאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תשובתי בתגובה 331817 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה ונבחן מספר תנאים הכרחיים ויחסים יסודיים הקשורים למושג הקבוצה. קבוצה הינה תחום שרירותי שהוגדר על ידינו ואשר אפשר לשייך או לא לשייך אליו אלמנטים. אם אין אנו משייכים שום אלמנט הרי שתחום שרירותי זה הינו ריק מאלמנטים, וניתן לכנותו בשם קבוצה-ריקה, אך מכיוון שאין הרבה סוגי ריקנות, קיימת רק קבוצה ריקה אחת, ולכן ניתן להשתמש ב-ה ידיעה ולכנות קבוצה זו בשם הקבוצה הריקה. יש הרבה קבוצות לא ריקות, ואם אנו קובעים כלל שלפיו האלמנטים שבכל קבוצה מובחנים בבירור זה מזה ללא תלות במיקומם בקבוצה, הריי שאנו מקבלים מגוון אינסופי של קבוצות, כאשר כל קבוצה מאופיינת ע"י תכולה יחודית. ניתן לבחון את היחסים השונים בין קבוצות לבין עצמן ו/או לקבוצות אחרות. אחת מהבחינות הראשונות עוסקת במוסג אפשרות קיומה של קבוצת כל הקבוצות, ובמסגרת בחינה זו אנו בוחנים את קיומה של קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן. נשאלת השאלה, מהי קבוצה שאינה מכילה את עצמה? לדוגמא: אם A היא קבוצה, אז מהי A אשר איננה מכילה את A ? נאמר ש: A={1} אז מהי A אשר איננה מכילה את A ?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהירות כאן: כשאומרים "קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן" משתמשים במשמעות מילולית של "הכלה" שהיא שונה מהמשמעות המתמטית. בלשון מתמטית אין בעיה עם קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן (היא פשוט הקבוצה הריקה, כי כל קבוצה מכילה את עצמה), והבעיה היא עם "קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''והבעיה היא עם ''קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן''.'' אנא תן דוגמא לקבוצה שהיא איננה איבר של עצמה, וכמו כן הדגם נא קבוצה שהיא איבר של עצמה. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקבוצה {מוקי הכלב} איננה איבר של עצמה: "מוקי הכלב" איננו קבוצה. אם אתה מתעקש לעבוד על טהרת הפורמליזם, הקבוצה { {} } (הקבוצה שהאיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה) איננה איבר של עצמה: האיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה, אבל היא עצמה איננה ריקה - יש בה איבר אחד (שהוא, כאמור, הקבוצה הריקה). אני לא יודע מה הדרך המתמטית לטפל בקבוצות שמכילות את עצמן ואם ב-ZF קבוצות כאלו קיימות בכלל. בתור דוגמה לקבוצה שהיא איבר של עצמה אפשר להביא את הקבוצה A המוגדרת כך: {A}. כמובן שזו הגדרה מעגלית ונראית לי בעייתית מאוד. אני אישית לא רואה סיבה למה לא לוותר לחלוטין על האפשרות של קבוצה להיות איבר של עצמה. עכשיו, זכור שבתורת הקבוצות אומרים שקבוצה A מכילה קבוצה B אם כל איבר של B הוא גם איבר של A. אני מקווה שההבדל בין "A מכילה את B" ובין "B היא איבר של A" ברור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עכשיו, זכור שבתורת הקבוצות אומרים שקבוצה A מכילה קבוצה B אם כל איבר של B הוא גם איבר של A." אנא השתמש במונחים מתמטיים, האם B מוכל ב-A ניתן להבנה רק כחד-חד ועל, או גם בצורות מיפוי אחרות. בקיצור, האם אתה מתכוון ש: "B הוא איבר של A" איננו יכול להיות חד-חד ועל (Bijection) ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" הקבוצה { {} } (הקבוצה שהאיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה) איננה איבר של עצמה" {{{}}} איננה קבוצה ריקה בדיוק כמו ש-{{}} איננה קבוצה ריקה. האם {{{}}} היא כן איבר של עצמה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. איזו העתקה חד חד ערכית ועל אתה רואה בהגדרה של הכלה? 2. בהחלט יכול להיות מצב שבו A איבר של B ו-B איבר של A. אם אתה זוכר, כאשר דיברנו על הגיאומטריה האוקלידית, ציינו שניתן להתייחס לישרים ולנקודות כקבוצות: ישר הוא קבוצה של נקודות, נקודה היא קבוצה של ישרים. אם ישר הוא איבר של נקודה, אזי הנקודה היא איבר של הישר (ולהפך). 3. אתה מבקש מגדי להשתמש במונחים מתמטיים. משעשע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין כאלה ב ZFC, משום שעל פי axiom of foundation אין שרשרת יורדת אינסופית של שייכות. מה שכן, אורי הזכיר שאפשר לוותר על האקסיומה הזו ואני גם זוכר משהו מעורפל בנידון, אבל לא זוכר את הפרטים (אורי? עכשיו תורך :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי באיטליה. בקצרה, ניתן להשמיט את האקסיומה הנ"ל ואז מקבלים כל מיני קבוצות "משונות". בתוך העולם הגדול שמתקבל ניתן להגדיר את WF - כל הקבוצות שהן Well Founded שזה בעצם החלק של העולם שכן מקיים את האקסיומה והכל בו עובד כרגיל. חוץ מזה אני זוכר במעומעם איזושהי אקסיומה, במקום foundation, שאומרת שיחס השייכות מכיל כל קומבינציה (סופית) אפשרית, אבל אני לא זוכר אם זה גורר משהו מענין ולא חושב שמישהו מתעסק בזה ברצינות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "הייתי באיטליה"? פרט ונמק.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "האייל האלמוני"? פרט ונמק. :-) שבוע, לאגו די גארדה, לאגו די קומו וכל מיני אגמים קטנטנים ויפיפיים בסביבה. לקינוח, קנסונלי די ברגאמו בחמאה ובייקון. הצלחתי (לא ברור איך) לא לעלות במשקל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יו, איך אני מקנאת! זה נשמע כף אטומי... יש לכם איזה קשרים עם איטליה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כף היא נקבה. קשרים עם איטליה? הלוואי, אבל לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בתור דוגמה לקבוצה שהיא איבר של עצמה אפשר להביא את הקבוצה A המוגדרת כך: {A}" {A} היא בפירוש לא A , אז איך אתה בכלל מגיע למסקנה ש-{A} היא "איבר של עצמה של A"? כדי ש-A באמת תהיה איבר של עצמה , צריכה A להיות איבר ב-A לדוגמא: A={{},A} אבל אז יש לנו רקורסיה אינסופית של רקורסיות אינסופיות, אשר אינן נותנות לנו להגדיר את A, ולכן A לא מוגדרת עם היא איבר של עצמה, ולכן אין כזו קבוצה שהיא איבר של עצמה.מכאן שהשאלה: "האם קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר של עצמן, היא איבר של עצמה או לא"? איננה שאלה רלוונטית מכיוון שאין דבר כזה "קבוצה שהיא איבר של עצמה", ולכן התשובה לשאלה היא:"קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר של עצמן, איננה איבר של עצמה, ולכן היא סותרת את התנאי *כל* ולכן היא סותרת את קיומה, ולכן היא לא קיימת מלכתחילה, וכל הפרדוקס של ראסל הוא רוב מהומה על לא מאומה. מה דעתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. גדי הגדיר את הקבוצה A כ-{A}. גם ההגדרה שלך לקבוצה (אחרת) A כ-{A,{}}. טובה באותה מידה. אז מה אתה רוצה? ב. באופן כללי, אין שום דבר גרוע ברקורסיה אינסופית. בעצם, אני לא בטוח שאני יודע מה זו רקורסיה סופית. ג. אכן, הפרדוקס של ראסל עסק בתפיסה של תורת הקבוצות שכן אפשרה בנייה של קבוצת כל הקבוצות. בעקבות אותו פרדוקס נבנתה ZF, שלא בהכרח מאפשרת (ואפילו מונעת, אם להסתמך על הנאמר במעלה הפתיל) בנייה כזאת. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |