בתשובה לעוזי ו., 02/04/04 12:24
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אכן, טפשי מצדי שלא עליתי על האנלוגיה לרציונליים... אולי בגלל שאני בעצם לא מתמטיקאי. הפתרון שהגעתי אליו בסוף היה מורכב ולא-סגור-עד-הסוף, ואחת הסיבות שהעליתי כאן את השאלה היא כדי לראות אם יש פתרון אלגנטי. מסתבר שכן. יופי. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
למרות ששלשת ימי ההגבלה של אלון עמית טרם חלפו, נוסיף לארכיון את הפתרון המלא. אנחנו מחפשים שרשרת של קבוצות של מספרים טבעיים (כלומר, משפחה של קבוצות, שמכל שתיים מהן אחת מכילה את השניה), שבעצמה אינה בת מניה. צעד ראשון: עוברים למספרים רציונליים במקום טבעיים. ממילא אפשר יהיה לתרגם כל דבר בחזרה. צעד שני: לכל מספר ממשי a, לוקחים את הקבוצה X_a של כל הרציונליים הגדולים מ- a (הדברים האלה נקראים "חתכי דדקינד" 1) הקבוצה X_a מכילה (ממש!) את X_b כאשר a>b. צעד שלישי: מראים שהאוסף הזה אינו בן מניה; למשל, לכל סדרה של 0 ו- 1, המספר הבינרי שהיא מגדירה אחראי לקבוצה, שונה מכל קבוצה אחרת. 1 כשבונים את המספרים הממשיים צריך להתאמץ יותר - החתכים הם קבוצות מיוחדות של רציונליים, שבסוף התהליך יקראו "מספרים ממשיים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אפילו די פשוט. לאור הניסוחים המסובכים מאוד1 שלכם בניסיון להצפין את הפתרון, ובכל זאת לדון בו, הפשטות הזו די מפתיעה. 1 עיין תגובה 210041 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הצעד של התרגום לא ברור לי עד הסוף. איך קבוצה של מספרים טבעיים הפכה לה פתאום לקבוצת כל המספרים הרציונליים הגדולים ממספר ממשי מסויים? זה בגלל שאפשר לעשות התאמה חד חד ערכית ועל בין כל קבוצות המספרים הטבעיים לכל קבוצות המספרים הרציונליים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אתה יכול להתאים כל קבוצה חלקית של הממשיים, לקבוצה חלקית של הטבעיים בהתאמה חח"ע ועל. תחשוב על זה ככה: נניח שיש מספר טבעי "מוצמד" לכל מספר רציונלי. אז אתה פשוט מחליף כל מספר רציונלי בקבוצה, בטבעי שייך לו - וכך אתה מקבל קבוצת מספרים טבעיים יחודית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל האם אתה שומר על ההכלה שנדרשת בשאלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקום קבוצה של מספרים רציונליים, נחשוב על קבוצת השמות שלהם (שהם, במקרה, מספרים טבעיים). שם שייך לקבוצת שמות אם ורק אם המספר ''שלו'' שייך לקבוצה המתאימה - ולכן ההכלה נשמרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונת "לכל קבוצה חלקית של *הרציונליים*", נכון? גם אחרי שלמדתי קצת תורת הקבוצות, החלפה שכזו עדיין לא נראית לי טבעית. אני יודע שתיאורטית אפשר לבצע אותה בלי מחשבה שנייה, ואם מתעקשים אפשר גם להראות התאמה מהסוג הנ"ל בדרך קונסטרוקטיבית, אבל זה עדיין לא נראה הגיוני. מילא, הזמן יעשה את שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסדר, ועכשיו אפשר גם לפתור את החידה השנייה: בנה משפחה עצומה של קבוצות של טבעיים כך שהחיתוך של כל שתיים הוא סופי. אז קודם נבנה משפחה כזו ברציונליים: לכל ממשי x נבחר סדרה כלשהי A_x של רציונליים המתכנסת ל-x, למשל נביט בפיתוח העשרוני של x וניקח כל פעם רישא ארוכה יותר: 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... הקבוצות A_x כוללות מספרים רציונליים, והחיתוך של כל שתיים הוא סופי: שתי סדרות המתכנסות למספרים שונים אינן יכולות להתלכד אינסוף פעמים. עכשיו נביט בהעתקה חח"ע f מהרציונליים לטבעיים (יש כזו) ונמיר כל A_x ב-(f(A_x. קיבלנו קבוצות של טבעיים, והחיתוך בין כל שתיים הוא כמובן עדיין סופי. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |