בתשובה לברקת, 23/08/03 18:19
 |
|
 |
||
|
||||
 |
קודם כל אנסה להבהיר את מהות הטענה, ואח"כ אולי יהיה פחות קשה להאמין שזה משהו שאפשר להוכיח - ואנסה להגיד גם משהו על ההוכחה. "לבנות זווית של 20 מעלות" פירושו: נתונות שתי נקודות A ו-B על הדף, ואנו צריכים לייצר באמצעות סרגל ומחוגה נקודה שלישית C באופן שהזווית בין הישר AB לישר AC היא 20 מעלות. ומה פירוש "לייצר"? פשוט מאוד: אנו יכולים להעביר ישר בין כל שתי נקודות שכבר בנינו, ולבנות מעגל שמרכזו בנקודה שכבר בנינו והוא עובר דרך נקודה נוספת שגם אותה בנינו, וכך לבנות נקודות נוספות שהן נקודות החיתוך של ישרים ומעגלים שאנו מציירים. זה יותר פשוט ממה שזה נשמע, וחשוב להבין זאת. אם נצייר מעגל שמרכזו A והוא עובר דרך B, יש על מעגל זה בהחלט נקודה שיוצרת זווית כנדרש, אבל זה לא נקרא שבנינו אותה. כדי לבנות אותה יש להעביר עוד ישרים ומעגלים, עד שהחיתוך של איזה ישר עם איזה מעגל (או שני ישרים, או שני מעגלים) יהיה נקודה C כזו. למה אלה חוקי המשחק? ככה. זה מה שהיוונים קראו לו בנייה בסרגל ומחוגה. אפשר לעשות הרבה דברים עם סרגל ומחוגה: אפשר לחלק קטע לאיזו כמות של חלקים שרוצים, אפשר לחלק זווית, נניח, ל-21/64 חלקים, שזה *כמעט* שליש, וכו'. אם עכשיו נכניס קואורדינטות לסיפור, נהפוך את השאלה לאלגברית (ואני מקווה שאנו לא חורגים מתחום ההסבר להדיוטות): נניח ש-A בראשית הצירים ו-B נמצאת במרחק 1 ממנה על ציר x. כעת, לכל נקודה במישור מתאים זוג מספרים. למשל, (1,1) היא נקודה היוצרת זווית של 45 מעלות עם AB, ואותה דווקא לא קשה לבנות. אפשר לשאול: אם אפשר לבנות את הנקודה (x,y), האם ניתן לומר משהו אינטיליגנטי על x ו-y? מסתבר שכן. הנה עובדה מבלבלת אך נכונה: לכל נקודה חדשה שבונים יש קואורדינטות שהן פתרונות של משוואה ריבועית, שהמקדמים שלה הם קואורדינטות של נקודות שכבר בנינו. לא נורא חשוב להבין את הטענה הזאת, אך חשוב להבין את מה שנובע ממנה: יש מגבלות רציניות על המספרים (x,y) המופיעים כקואורדינטות של נקודות שאפשר לבנות עם סרגל ומחוגה. מספרים שהם רציונליים, או שורשים ריבועיים של רציונליים, או שורשים של שורשים כאלה (נניח משהו כמו שורש של (שורש שתיים ועוד שלוש)), וכן הלאה, אפשר לבנות. כל דבר אחר, לא. לבסוף, מראים שהמספר סינוס-של-20-מעלות הוא לא כזה. לכן לא ניתן לבנות זווית של 20 מעלות. לגבי השאלה "ממתי יודעים את זה", צריך לחפש קצת בספרים או ברשת, כי אין לי את זה בראש. אין ספק שידעו להוכיח את זה בראשית המאה ה-19, וגם שחשדו שזה כנראה המצב (בלי להיות מסוגלים לתת הוכחה פורמלית) עוד הרבה קודם. ספר מוצלח מאוד בנושא הוא "Galois Theory" של Ian Stewart. הוא נותן הרבה רקע היסטורי, אבל בעיון חפוז לא מצאתי תשובה מדוייקת לשאלה. עזרתי? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
איך מוכיחים שמספר לא ניתן להצגה על ידי פעולות חשבון ושורש ריבועי? יש הוכחה כזו (לגבי מספר כלשהו) שהיא מספיק פשוטה להביא אותה פה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
0. (ההסבר דורש מושג טכני אחד, מימד של הרחבת שדות, שקצת קשה להסתדר בלעדיו. זהו בדיוק ה"מימד" הזכור לטוב ממרחבים וקטוריים, אלא שכאן המרחב הוקטורי הוא השדה הגדול.) 1. איזה מספרים אפשר לבנות? נזהה את הנקודות במישור עם המספרים המרוכבים (ציר "ממשי" וציר "מדומה"). קל יחסית לבנות בסרגל ומחוגה את כל המספרים הרציונליים, ו(על-ידי העלאת אנך) גם את המספרים מהצורה a+bi כאשר a ו- b רציונליים. האוסף הזה הוא שדה. כעת, חיתוך של מעגל וישר (או מעגל ומעגל) עשוי להוסיף מספר חדש למערכת, וכך להגדיל את שדה-המספרים-שיודעים-לבנות; מכיוון שזו הוצאת שורש ריבועי, השדה החדש יהיה ממימד 2 מעל השדה הקודם. לכן, כל מספר שאפשר לבנות, שייך לשדה שאליו מובילה שרשרת של הרחבות ממימד 2 (המתחילה במספרים הרציונליים). גם הכיוון ההפוך נכון: אם מספר שייך לשדה שנמצא בקצה שרשרת כזו, אז אפשר להוציא שורשים ולטפס במעלה השרשרת עד שמגיעים אליו. 2. מה אי-אפשר לבנות? אם מספר יוצר שדה שאינו ניצב בקצה שרשרת כזו, לא ניתן יהיה לבנות אותו. בפרט, שורשים של משוואות ממעלה איזוגית אי-אפשר לבנות (כי הם יוצרים שדות ממימד אי-זוגי) (אבל לא רק את אלה). 3. אפשר לקבל דוגמא? המספר (x=cos(20 מקיים את המשוואה 8x^3-6x-1=0, שהיא ממעלה שלישית. לכן הוא יוצר שדה ממימד 3, ולכן לא ניתן לבנות אותו בעזרת מחוגה וסרגל. אם-כך, אי-אפשר גם לבנות זווית של 20 מעלות (כי לו זה היה אפשרי, הניצב במשולש עם זווית כזו היה באורך x). 4. נימוק נפלא. מה עוד אפשר להוכיח איתו? ארבע מ"חמש הבעיות של ימי קדם": א. אי-אפשר להכפיל את הקוביה (במחוגה וסרגל) (כי זה דורש לבנות שורש שלישי של 2, הרחבה ממימד 3). ב. אי-אפשר לשלש את הזווית (ראה לעיל). ג. אי-אפשר לרבע את המעגל (דורש שורש-פאי, ופאי אינו שייך לשדה ממימד סופי מעל הרציונליים). ד. אי-אפשר לבנות מצולע בן 7 צלעות (כי (cos(2Pi/7 הוא שורש של פולינום איפריק ממעלה 6; 6 אינו חזקה של 2). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה... :-( באמת הלכתי קצת לאיבוד ברגע שהתחלת עם האלגברה. הצלחתי להבין רק, שאין לזה קשר לעולם האמיתי. כלומר, שבתיאוריה אי אפשר לבנות זוויות כאלה (למרות שעל הנייר קל לחשב אחד חלקי 18 של המעגל ולבנות זווית כזו). האם נכון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך "קל" לחשב 1/18 של מעגל? הדרך הכי פשוטה שאני יכול לחשוב עליה היא לקחת חוט, לגזור אותו באורך השווה להיקף המעגל, לחשב 1/18 שלו ואז לשים שוב על המעגל. ואם אין לך חוט בהישג יד? ליוונים לא היה. אפילו שנתות על הסרגל לא היו להם. השאלה היא לא האם ניתן לבנות זווית של 20 מעלות, ברור שאפשר. השאלה אם אפשר לעשות את זה עם סרגל ומחוגה בלבד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה לך. (כמו בשאלת הברידג' ששאלתי פה פעם, אני שוב מגלה שהמומחים באייל מאבדים את הקשר לטמבלים מהעם. ברור שלא קלטתי שהדגש הוא על סרגל ומחוגה). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |