בתשובה להאייל האלמוני, 31/08/05 21:30
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בכינוס בנושא "אחדות המתמטיקה " שהחל בדיוק לפני שנתיים באוניברסיטת הארוורד אמר מיכאל אטיה ( מדלית פילדס, מדלית אבל ) כי אנו מצפים היום לניוטון חדש שיפצח את מהות האניגמה שבין המתמטיקה לפיסיקה ( הבעיה השישית של הילברט) כדי ליצור פיסיקה חדשה שיש בה עיקרון קביעות מהירות האור ועיקרון היחסות הצביע אינשטיין בשנת 1905 על ההנחה הסמויה של הפיסיקה והוא כינה זאת "טראנספורמציות גלילאו". כשעבר לטרנספורמציות לורנץ הוא קיבל כי האורך , המסה, והזמן הם גדלים יחסיים. ההנחה הסמויה של המתמטיקה הרגילה היא שהקו מורכב מרצף של נקודות. החבירה בין הרצף לבדידיות בוראת את המספרים האורגנים, תפיסה חדשה של תורת הקבוצות ומושג הפונקציה. אם במקרה, מסתובב היום ביננו, אותו ניוטון נכסף, הרי תסכים איתי אלון עמית, כי הוא ודאי אחד מאלו אותן הכללת וכינית בשם : "טרחנים כפייתיים במתמטיקה" משה |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
האם ניאו-ניוטון יתעקש לטעון שכל המתמטיקה עד ימיו מקורה בטעות? האם ניאו-ניוטון יתעקש שהממסד המתמטי מתעלם ממנו כי הוא מפחד מהרס יסודות המתמטיקה? האם ניאו-ניוטון יהיה בטוח שלתיאוריה המתמטית שלו יש השלכות פילוסופיות הרות גורל? האם ניאו-ניוטון לא יבין מה רוצים ממנו כשמצביעים על טעויות שלו? האם ניאו-ניוטון יתנסח במעומעם? האם ניאו-ניוטון יצפה להררי תהילה (כסף) ופרסום בזכות גילויו המתמטיים? כל אלה מאפיינים של טרחנים כפיתיים שאלון הציג במאמר ובתגובות שלו. לא כל מי שמחדש תיאוריות מתמטיות הוא טרחן כפייתי: אוילר, קנטור, טיורינג, לובצ'בסקי, ריימן, המתמטיקאים שפיתחו את הגיאומטריה הפרויקטיבית וגם קונווי שכולם אוהבים להזכיר פה פיתחו כולם תיאוריות מתמטיות חדשות ונפלאות. הם לא ענו על ההגדרה של טרחן כפייתי. אגב, אותו ניאו-ניוטון יצטרך לעסוק ב*פיזיקה*, ולא במתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניוטון עסק גם במתמטיקה, וסטודנטים למדעים סובלים עד היום בשנה הראשונה שלהם מההמצאות המטורפות שלו (בגרסה שאמנם רוככה ושופרה רבות על ידי אחרים). השם של ניוטון צץ בדיון הזה בגלל הקישור שהוא ביצע בין מתמטיקה ופיזיקה (להבדיל מאיינשטיין שאני לא בטוח כמה חשובה הייתה תרומתו למתמטיקה, אבל די ברור שהיא הייתה פחותה בסדרי גודל מתרומתו לפיזיקה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצטער לא הבנתי אותך אייל צעיר, האם מיכאל אטיה הוא טרחן כפייתי במתמטיקה אם הוא הרצה בפני 200 מתמטיקאים מכל העולם על הצורך שיש היום בשינוי הפרדיגמה של שפת המתמטיקה באמצעות פיצוח מהות הקשר בין פיסיקה למתמטיקה שאלה מרתקת ביותר שאין לה תשובה כבר אלפי שנים . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. או לפחות "לא בהכרח". טרחנות כפייתית היא לא פונקציה של עמדות. טרחנות כפייתית היא עניין של אופי. לכן טרחנות כפייתית קיימת גם בתחומים אחרים, ולא רק במתמטיקה. לגבי השאלה של אטיה: גם השאלה לא הייתה קיימת אלפי שנים. מאז שניוטון החל לנסח את טענותיו הפיזיקליות (הלא-טריוויאליות 1) בניסוח מתמטי, כל הפיזיקה מתנסחת באופן מתמטי. תורת היחסות מתנסחת באופן מתמטי, תורת הקוונטים מתנסחת באופן מתמטי... בקיצור, אנחנו יודעים לא מעט על הקשר בין מתמטיקה ופיזיקה, וזה היה המצב מאז שהאנושות בכלל התחילה _לחשוב_ על פיזיקה באופן מתמטי. אם הכוונה היא לאקסיומטיזציה של הפיזיקה, המכשול הוא לא במתמטיקה. אנחנו לא יודעים מספיק על הפיזיקה. המחקר בכיוון זה צריך להיות אמפירי. המתמטיקאים יכולים לבמשיך לעבוד בינתיים בשקט. אגב, הגישה שלך ושל דורון עוסקת בקשר בין מתמטיקה ופיזיקה? 1 בעיות תנועה פשוטות, למשל, מדגימות שימוש במתמטיקה לצורך הסקת מסקנות "פיזיקליות". אך הפיזיקה של בעיות אלה היא טריוויאלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שבמצב העניינים הנוכחי, זה לא נכון ש"המתמטיקאים יכולים להמשיך לעבוד בשקט". יש שאלות מהותיות על מבנה היקום (באיזו יריעה מדובר; אצל ניוטון היה מדובר ב'מרחב אוקלידי', עם אורך-רוחב-גובה בלתי תלויים, מה שהמתמטיקאים קוראים R בשלישית; אצל (מינקובסקי ו)איינשטיין עברו לדבר על יריעה תלת-ממדית הכוללת ממדי זמן ומרחב, תחת האילוץ t^2-(x^2+y^2+z^2)=1. אם רוצים לאחד את מכניקת הקוונטים עם הגרביטציה, מתברר שזה פשוט מדי), שהפתרון להן צריך לבוא ממיון של יריעות אלגבריות עם תכונות מסויימות. האינטואיציה הפיזיקלית אמורה לתרום את האקסיומות שהמרחב יקיים, והמתמטיקה את המיון של מרחבים שעונים על כל הדרישות. בהמשך תבוא מתמטיקה שלמיטב ידיעתי עדיין לא קיימת, ותצליח לחשב עבור כל מועמד את 19 הקבועים היסודיים שבאים איתו (מסת האלקטרון, למשל). אז יבוא תורם של הנסיונאים שיצטרכו לבחור מהקטלוג את היקום האמיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול להסביר קצת מה פירוש "מיון של יריעות אלגבריות עם תכונות מסוימות"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה המשפט היחיד מכל התגובה שאני באמת מבין... הכוונה היא למצוא (עד כדי 'שקילות', שהיא משהו שאתה יכול להגדיר כרצונך) את כל היריעות האלגבריות שמקיימות תכונות מסויימות. כדוגמא ל"תכונות מסויימות", יריעות Calabi-Yau שמופיעות בתורת המיתרים הן יריעות רימן קומפקטיות שנושאות תבנית סימפלקטית תואמת, ומחלקת Chern הראשונה שלהן מתאפסת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכל ברור, חוץ ממילה אחת: מה זו "יריעה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יריעה (manifold) היא מרחב טופולוגי שנראה לוקלית כמו R^n. דוגמא טריויאלית: R^n דוגמא פחות טריויאלית: הספרה ב-R^n היא יריעה קומפקטית n-1 מימדית. דוגמא עוד פחות טריויאלית: (פני השטח של) הטורוס הוא יריעה קומפקטית ממימד 2. דוגמא לגמרי לא טריויאלית: (פני השטח של) בקבוק קליין הוא יריעה קומפקטית דו-מימדית שאינה ניתנת לשיכון ב-R^3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הכוונה המדוייקת ב"נראה לוקלית כמו"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכל נקודה יש סביבה כך ש-. (זה "לוקלית". במקרה שלנו, לכל נקודה יש סביבה הומיאומורפית למרחב אוקלידי.) זה סוג פשוט (או מסובך, תלוי בהשקפה) של יריעות. במקרים אחרים, דורשים גם משהו מהפונקציות ש"תופרות" את הסביבות הללו אחת לשניה (ההרכבה של R^n->יריעה->R^n שהולכת דרך סביבה אחת וחוזרת דרך אחרת, חופפת לה); אפשר לדרוש שתהיינה גזירות n פעמים, אנליטיות-ממשיות, אנליטיות-מרוכבות, לינאריות-למקוטעין, ועוד. כל בחירה כזו יוצרת תורה אחרת של יריעות, והתורות הללו שונות למדי זו מזו. אגב, עוזי דיבר על "יריעה אלגברית" שזה משהו אחר קצת: Algebraic variety. זו יריעה המוגדרת כאוסף האפסים של קבוצת פולינומים, לא בהכרח מעל הממשיים (או המרוכבים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"יריעה אלגברית" נשמע מסקרן. באיזה ספרים וקורסים שסטודנט לתואר ראשון יכול לא להימלט מהם בצרחות אחרי שתי דקות אפשר למצוא את זה? זה קשור לטופולוגיה אלגברית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכל קשור להכל, אבל לא - יריעות אלגבריות הן נושא המחקר העיקרי ב*גיאומטריה* אלגברית, דווקא. יצא לזה מוניטין של תחום קשה מאוד, ואי-אפשר לומר שזה לגמרי בלתי-מוצדק; גיאומטריה אלגברית מודרנית דורשת שליטה בכמות עצומה של אלגברה קומוטטיבית1, השפה של סכמות, קטגוריות, טופולוגיה אלגברית, תורת המספרים ועוד. אני לא יודע לגבי הטכניון, אבל באוניברסיטה העברית לא ידוע לי שיש קורסים על גיאומטריה אלגברית לתואר ראשון. גם ספרים להדיוטות (=בוגרי תואר ראשון) אין ממש בשפע; יש ספר שאני מכיר של Keith Kendig, אבל בעיני הוא ממש לא מלהיב. אני חושב שהספר שהכי כדאי להתחיל ממנו הוא דווקא Rational Points on Elliptic Curves של סילברמן וטייט; הוא לא ממש על גיאומטריה אלגברית (אלא על עקומים אליפטיים ותורת המספרים), אבל הוא מסביר היטב את הקשר בין גיאומטריה ואלגברה שיש בתחום הזה, והוא באמת ספר כיפי. אומרים ש-Fulton הוא טוב למתחילים, ואולי גם Shafarevich אבל עברו שנים מאז שעיינתי בו ואני לא זוכר כמה הוא נגיש. אם אתה כן מעוניין דווקא להימלט בצרחות, אתה יכול לנסות את גריפית'ס-האריס או את Hartshorne או את ממפורד. 1 לאנג כתב פעם "It is possible to write endlessly about commutative algebra", ואני די מאמין לו (גם בגלל שהוא גרפומן לא קטן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גיאומטריה אלגברית זה Algebraic Geometry לעומת זאת Geometric Algebra זה אלגברה גיאומטרית? ואחר כך אתם מתפלאים שאף אחד לא מבין את הקהילה שלכם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Geometric Algebra זה שם של ספר (נהדר) של ארטין, אבל זה לא הפך להיות שם של "תחום". מי מתפלא? :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו בדקתי1, מתברר שיש שני תחומים דומים עם השם Geometric Algebra (אחד באמת ספר של ארטין שלא הכרתי עד עכשיו. השני פותח על ידי הסטניס ודווקא די פופולרי במקומות מסויימים). שניהם לא Algebric Geometry. בעצם, זאת הבעיה שלכם. אם הייתם ממציאים שמות קצת יותר מקוריים, לא היתה לכם בעיה. אני מציע, בתור התחלה, תפסיקו לקרוא לקבוצה קבוצה (במקום זה תקראו לה "קבוצית"), ולרצף "רצף" (אני מציע "ריצופית"). ואז פתרנו את כל הבעיה של דורון שדמי (טוב, צריך להחליף גם את המושגים קו ונקודה, אבל העיקרון ברור וחסכוני). 1 למשל, http://66.102.7.104/search?q=cache:1nzbh6GZvh0J:www.... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאשר לא יודעים את ההבדל בין מונחים למושגים, הכול מתבלבל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלום לא ברור, חוץ ממלה אחת - "יריעה"...:) בכל אופן, תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יהיה נחמד אם לא תפנה אלי כשאתה מגיב למישהו אחר. (ולא, אני לא אסכים איתך.) |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |