בתשובה לאח של סמיילי, 27/10/05 15:29
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341510
דורון שדמי • בתשובה לאח של סמיילי יום ה', 27/10/2005, 19:13
אקסיומת ההיקפיות:

1) יש זהות בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת.

2) יש שוני בין קבוצות A ו-B, אם קיימת קבוצה C ב-A אך לא ב-B או ב-B אך לא ב-A.

מ-(1) ו-(2) אנו למדים כי זהות בלבד אינה מספיקה כדי להבחין בייחודיות קבוצות עפ"י הקבוצות המוכלות בהן, ולכן אקסיומת ההיקפיות אינה יכולה לומר משהו הקשור רק ליחס שבין זהות לשייכות.

(1) ו- (2) מתקיימות אםם ניתן להבחין בין זהות לשונות, לדוגמא:

אם אנו מבחינים *רק* בשונות הריי ש-{a,a,a,a} מובחן כ-{}.

אם אנו מבחינים *רק* בזהות הריי ש-{a,b} מובחן כ-{}.

לכן מובחנות היא שילוב של זהות ושונות לכלל מערכת אחת (זיהוי-שונות) המאפשרת הבחנה בייחודיות קבוצה עפ"י איבריה (שלפי ZF הן קבוצות).

אקסיומת ההיקפיות "לא תמיד עובדת" ב-(2) לדוגמא:

אם אנו בוחנים את יכולתה של אקסיומת ההיקפיות לקבוע את היחודיות בין {1} ל- {2}, אז היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינו יכול להתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות, או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C.

איזה טעם יש לשמר אקסיומה זו, עם בכל מקרה היא מבוססת על יכולת זיהוי-השונות הטמונה בנו, ואנו משתמשים בכל מקרה ביכולתנו כדי "לסתום חורים" שבהם אקסיומת-ההיקפיות לא-עובדת?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341527
אח של סמיילי • בתשובה לדורון שדמי יום ה', 27/10/2005, 19:57
1 ו2 הם אותו דבר.

דורון, אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות. בלעדיה, אולי יש עוד קבוצה שאיבריה הם רק a ו b ? ואם יש כזו למה אתה מתכוון כשאתה כותב {a,b}?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341822
דורון שדמי • בתשובה לאח של סמיילי שבת, 29/10/2005, 0:42
אח של סמיילי:
"אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות"

אח של סמיילי:
"בעולם יש רק 2 איברים ({{1},{2}}). אף אחד מהם לא שייך ל {1}, ואף אחד מהם לא שייך ל {2}. לכן אם אקסיומת ההקפיות היתה נכונה, 2 הקבוצות הנ"ל היו שוות. אבל הן לא."

אח של סמיילי הסבר נא את הסתירה הקיימת בדבריך כי אתה טוען דבר והיפוכו, במקרה דנן:

{a,b} הינה צורה כללית המייצגת בין השאר גם את {{1},{2}}, אז הסבר נא איך {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות (כדבריך) *וגם* מבוססת (כדבריך) על *הגדרה* המשתמשת באקסיומת ההקפיות ?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341842
אח של סמיילי • בתשובה לדורון שדמי שבת, 29/10/2005, 2:28
כבר שאלת אותי את זה ועניתי לך. לא זוכר איפה, אז אני עונה שוב: מותר להשתמש באקסיומה כדי למצוא מודל שבו היא אינה מתקיימת. אין כאן כל סתירה. במקרה שלנו מגדירים את המודל (= העולם) בעזרת אקסיומת ההקפיות, ובעולם זה אקסיומה זו אינה מתקיימת.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341847
דורון שדמי • בתשובה לאח של סמיילי שבת, 29/10/2005, 3:44
הפעם הבנתי אותך, תודה.

אנא עיין בתגובה 341846
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות