בתשובה לדורון שדמי, 27/10/05 15:16
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341393
אח של סמיילי • בתשובה לדורון שדמי יום ה', 27/10/2005, 15:29
ראשית, בעברית כותבים "מה זה", ולא "מזה".

1. מה המשממעות של "איזה שהוא קשר" ?
המשמעות היא הקשר הכתוב באקסיומה הזו. (כלומר יש שוויון בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת). זה די דומה לחוק הדיסטריביוטיבי במספרים השלמים שקושר בין הכפל לחיבור.

2. מה המשמעות של "ושייכות הוא יחס אחר" ?
שייכות היא איזה שהוא יחס דו מקומי. אם מדובר על מודל כלשהו של ZFC, אזי הוא מקיים את כל האקסיומת שכתובות שם.

3. מה ניתן להבין מתוך הנוסח המעורפל: "אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות."
חזור ל1.

4. מזה "מקיים איזה שהוא קשר" ?
כנ"ל.

5. מזה "מודל" ?
מודל הוא קבוצה בה האקסיומות של תורה כלשהי מתקיימות. למשל, כל קבוצה היא מודל של התורה הריקה (שלא אומרת דבר).
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341510
דורון שדמי • בתשובה לאח של סמיילי יום ה', 27/10/2005, 19:13
אקסיומת ההיקפיות:

1) יש זהות בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת.

2) יש שוני בין קבוצות A ו-B, אם קיימת קבוצה C ב-A אך לא ב-B או ב-B אך לא ב-A.

מ-(1) ו-(2) אנו למדים כי זהות בלבד אינה מספיקה כדי להבחין בייחודיות קבוצות עפ"י הקבוצות המוכלות בהן, ולכן אקסיומת ההיקפיות אינה יכולה לומר משהו הקשור רק ליחס שבין זהות לשייכות.

(1) ו- (2) מתקיימות אםם ניתן להבחין בין זהות לשונות, לדוגמא:

אם אנו מבחינים *רק* בשונות הריי ש-{a,a,a,a} מובחן כ-{}.

אם אנו מבחינים *רק* בזהות הריי ש-{a,b} מובחן כ-{}.

לכן מובחנות היא שילוב של זהות ושונות לכלל מערכת אחת (זיהוי-שונות) המאפשרת הבחנה בייחודיות קבוצה עפ"י איבריה (שלפי ZF הן קבוצות).

אקסיומת ההיקפיות "לא תמיד עובדת" ב-(2) לדוגמא:

אם אנו בוחנים את יכולתה של אקסיומת ההיקפיות לקבוע את היחודיות בין {1} ל- {2}, אז היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינו יכול להתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות, או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C.

איזה טעם יש לשמר אקסיומה זו, עם בכל מקרה היא מבוססת על יכולת זיהוי-השונות הטמונה בנו, ואנו משתמשים בכל מקרה ביכולתנו כדי "לסתום חורים" שבהם אקסיומת-ההיקפיות לא-עובדת?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341527
אח של סמיילי • בתשובה לדורון שדמי יום ה', 27/10/2005, 19:57
1 ו2 הם אותו דבר.

דורון, אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות. בלעדיה, אולי יש עוד קבוצה שאיבריה הם רק a ו b ? ואם יש כזו למה אתה מתכוון כשאתה כותב {a,b}?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341822
דורון שדמי • בתשובה לאח של סמיילי שבת, 29/10/2005, 0:42
אח של סמיילי:
"אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות"

אח של סמיילי:
"בעולם יש רק 2 איברים ({{1},{2}}). אף אחד מהם לא שייך ל {1}, ואף אחד מהם לא שייך ל {2}. לכן אם אקסיומת ההקפיות היתה נכונה, 2 הקבוצות הנ"ל היו שוות. אבל הן לא."

אח של סמיילי הסבר נא את הסתירה הקיימת בדבריך כי אתה טוען דבר והיפוכו, במקרה דנן:

{a,b} הינה צורה כללית המייצגת בין השאר גם את {{1},{2}}, אז הסבר נא איך {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות (כדבריך) *וגם* מבוססת (כדבריך) על *הגדרה* המשתמשת באקסיומת ההקפיות ?
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341842
אח של סמיילי • בתשובה לדורון שדמי שבת, 29/10/2005, 2:28
כבר שאלת אותי את זה ועניתי לך. לא זוכר איפה, אז אני עונה שוב: מותר להשתמש באקסיומה כדי למצוא מודל שבו היא אינה מתקיימת. אין כאן כל סתירה. במקרה שלנו מגדירים את המודל (= העולם) בעזרת אקסיומת ההקפיות, ובעולם זה אקסיומה זו אינה מתקיימת.
The axiom of extensionality והנחת המבוקש 341847
דורון שדמי • בתשובה לאח של סמיילי שבת, 29/10/2005, 3:44
הפעם הבנתי אותך, תודה.

אנא עיין בתגובה 341846
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות