בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 16/04/04 20:42
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"שכנע אותי שאי אפשר להגדיר את אפס חלקי אפס בתור אפס". מה זאת אומרת "אי אפשר"? בטח שאפשר. אפשר גם להגדיר את אפס חלקי אפס להיות שורש פאי. השאלה היא, למה שנבחר לעשות זאת. נכון, 0 כפול 0 זה 0, אבל גם 0 כפול 7 זה אפס, ועכשיו מה? 0 חלקי 0 זה פתאום 7? אבל יש סיבות יותר טובות: רציפות, למשל. אם תיקח משהו מאוד קרוב לשמונה ותחלק אותו במשהו מאוד קרוב לשתיים, יצא לך משהו מאוד קרוב לארבע - תמיד. אבל אם תיקח משהו מאוד קרוב לאפס ותחלק אותו במשהו מאוד קרוב לאפס, יכול לצאת מיליון, מינוס שבע-מאות, אפס, כל מיני דברים - תלוי במצב. בקיצור, אתה מוזמן להגדיר 0/0=0, אבל זה פשוט לא מועיל, לא אלגנטי, ולא כלום. איך אתה מציע, אגב, להגדיר את 7/0? אינסוף? זהירות - זה יכול גם להיות מינוס אינסוף. לא ניתן להרחיב את ההגדרות של כפל וחילוק על הממשיים כך שכל החוקים הרגילים יישמרו, מה לעשות. אז עדיף פשוט להשאיר את זה לא מוגדר, שלא נתבלבל. עם 0^0 יש את אותה הבעייה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
העניין היה שהגדרה של מספר כלשהו שהוא לא אפס חלקי אפס שווה מספר כלשהו זה בלתי אפשרי, כי זה גורר מיידית סתירות כמו 1=0. ההגדרה של אפס חלקי אפס שווה אפס היא אפשרית (כלומר אין בה "כשל עקרוני") אבל כמו שאמרתי, "ואז נשאלת השאלה "למה?"" להגדיר משהו חלקי אפס בתור אינסוף זה טיפה בעייתי, כי אז אתה צריך להגדיר אינסוף בתור מספר, לא? עד עכשיו בכל מקום שבו נתקלתי באינסוף (שזה תורת הקבוצות ואינפי), לא התייחסו אליו אף פעם בתור מספר. לכל היותר בתור "הרחבה" של המספרים הממשיים, בצורה כזו שאינסוף גדול מכל מספר ממשי (אבל אינו מספר בעצמו) ומינוס אינסוף קטן מכל מספר ממשי. העניין הוא שאני מבין קטן מאוד, ולכן אני סקרן לדעת אם יש פיתוחים מתמטיים מתקדמים יותר שבהם כן מדברים בצורה גלוייה על "חמש חלקי אפס שווה אינסוף" ולא "הגבול של סדרה ששואפת לחמש חלקי סדרה ששואפת לאפס הוא אינסוף". אני לא רוצה לחשוב שאני "יודע" ש"אסור" לחלק באפס, ולפסול על הסף כל פיתוח מתמטי שמשתמש בזה, ואז לגלות שדווקא יש בו היגיון ואני סתם דוגמטי (או ההפך - לקבל גם קשקושים שבהם מחלקים באפס, רק כי אני לא בטוח מספיק שאי אפשר) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כרגיל, כל מה שכתוב להלן מקורו מפוקפק ביותר. תיקונים והרחבות יתקבלו בברכה. כן, מקובל לפעמים להרחיב את הממשיים או את המרוכבים כך שיכילו את "אינסוף" כמספר וינסו להכליל את האריתמטיקה לגביו (ולדבר על דברים כמו "חמש חלקי אפס שווה לאינסוף"). כשמרחיבים את הממשיים, יש להוסיף שני סמלים: אינסוף, ומינוס אינסוף, והמבנה החדש מאבד את תכונותיו כשדה: ההרחבה הזו מאפשרת הכללות וניסוחים אלגנטים של משפטים שונים (למשל בתורת המידה, לפחות אצל רודין1). כשמרחיבים את המרוכבים, מספיק להוסיף סמל אחד (אינסוף). גם אז האריתמטיקה לא נשמרת, אבל ממילא יותר מעניין המבנה הטופולוגי שנוצר (ספירת רימן) שמאפשר לדבר למשל על "סינגולריות באינסוף" ושוב, כמובן, להכליל ולפשט משפטים (בקשר להעתקות מביוס, למשל): האריתמטיקה במקרה הזה: For all finite a ==> a+inf=inf+a=inf לא ניתן להכליל ביטויים כמוFor all b!=0 ==> b*inf=inf*b=inf a/0 (a!=0) or b/inf (b!=inf) אבל לפחות אהלפורס2 כותב במקרים אלה באופן די חופשי ש-a/0=inf and b/inf=0 (המקור של האינסוף בשני המיקרים הנ"ל הוא אנליטי (גבול), לא מתורת הקבוצות (עוצמות או סודרים)).(וסלחו לי על שניצלתי את ההזדמנות ליחצ"ן את האתר הנ"ל, המקור הטוב ביותר, מכל הידועים לי, ל-Text books באנגלית. גם הספרים לא רעים :)) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאפילו אני כבר נתקלתי קצת בהרבה הזו של הממשיים. אבל מאחר שהוא גורם לכך שתכונות השדה יאבדו, אין לנו כאן את האריתמטיקה ששאלתי עליה. אבל נחמד, בכל מקרה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כרגיל, כל מה שכתוב להלן מקורו מפוקפק ביותר". למה החששנות הזו? :-) לא כתבת שום דבר טפשי, ורודין ואלפורס הם מקורות לא מפוקפקים בכלל. האתר combooks.co.il חדש לי, וכרגע נראה גם שהוא קצת מרגיש לא טוב. בכל אופן, מהיותו ישראלי אני מניח שדמי המשלוח שלו נמוכים מאלו של אמאזון - האם בכך יתרונו? והמחירים באמת דומים לאלו באמאזון או bn? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הצלחתי להבין אם אתה עדיין סבור שלהגדיר 0/0=0 תורם למשהו. כדאי להבין שאין, באופן כללי, פיתוחים מתמטיים מתקדמים מאחורי הרחבת כללי החילוק והכפל. לפעמים (כמו בתורת המידה, שכבר הזכירו) נוח להרחיב אותם, ולוותר על תכונות השדה, אבל גם שם זה לא איזה משהו עקרוני אלא בסה"כ מכשיר לחסוך מלל בתיאור התוצאות. בהגדרה האלגברית של שדה, כפי שאתה כבר כנראה יודע, אין ל-0 הופכי וממילא אסור לחלק בו. אפשר להגדיר מבנים אלגבריים אחרים, ואתה מוזמן להציע כאלה - רק דע שמחוץ למבנים המקובלים (חוג, חבורה, שדה, אלגברה, מודול, חבורה-למחצה ואולי עוד כמה) לא נתגלו מבנים מאוד מעניינים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה הייתי ממש לא מובן. מעולם לא חשבתי שלהגדיר 0/0 תורם למשהו, אבל בניגוד לחלוקות של מספרים אחרים באפס, לא ראיתי אף פעם שזה מוביל לסתירה מיידית, ולכן הייתי סקרן אם זה פסול מיסודו, כי זה מוביל לסתירה, או אם זה סתם לא יעיל ולא אסתטי. אולי זה רק אני, אבל אני מעדיף שיהיה לי ידע גם על דברים שאני לא חושב שמועילים, אבל רוצה להיות מסוגל לענות למי שיטען מולי שהם כן מועילים/אפשריים. כן, אני עוד צעיר ותמים, ויכול להרשות לעצמי ללמוד גם דברים שכאלה. חוץ מזה, חלוקה באפס זה משהו שהטריד אותי מילדות, אז אני רוצה להכיר את הנושא כמה שיותר לעומק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה תלוי למה אתה קורא "מוביל לסתירה". יש משפטים מקובלים שתצטרך להוסיף להם סייגים אם אתה רוצה ש-0/0 יהיה פעולה מקובלת, אחרת באמת תקבל טעויות (הזכרנו כבר משפטי גבול, ובטח יש עוד). לא שאתה זקוק לאישור שלי, אבל ברור שזה בסדר גמור לאסוף ידע על דברים לא "מועילים", לצעירים וזקנים כאחד. רק שגם בתוך התחום הזה אפשר לבחור נושאים עמוקים יותר או פחות, ונושא החלוקה באפס נגמר בערך במקום אליו הגענו. אם אתה סקרן לגבי המושג "מספר" וכללי חיבור וכפל, יותר כיף ללמוד על surreal numbers או סתם תורת השדות; אל דאגה, חלק מאלה הוא בלתי מועיל להפליא. נראה לי שתיהנה מאוד מזה: |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |