בתשובה לדורון שדמי, 04/09/05 23:04
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אלש"ד, אבל כשאתה כותב "אמנם מדובר על מערכות דדוקטיביות אשר הינן מספיק חזקות כדי לעסוק באריתמטיקה, אך ממבט אסטרטגי ניתן להסיק כי השיטה הדדוקטיבית ככלל, אינה יכולה להוכיח ללא תנאי את האמיתיות או השיקריות של תוצריה." האם אני יכול להסיק (באופן א-דדוקטיבי) ש"ההסקה האסטרטגית" איננה דדוקטיבית? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
על בעיית 3n+1 כהמשך להרהור של דורון ביחס לשיטה הדדוקטיבית, ברצוני להעלות כאן בפורום לדיון ביננו, את ההשערה המענינית ששמעתי לפני 5 שנים מסוזן גורני ( ניו-יורק) , שהבעיה 3n+1 אינה כריעה בתורת המספרים. כן אראה כי ממוצע הגידול פונקצית Collatz לאחר k שלבים הוא תמיד אחד. פתרון של הבעיה השניה של הילברט על ידי גדל ( 1931) הסעיר את העולם המתמטי משום שנסתם הגולל על הניסיון להוכיח שאין במתמטיקה כל סתירה לוגית. כן הוכח שתורת המספרים ותורות אחרות עשירות דין אינן שלמות. אפשר לאמור שמשפטי גדל נתפסו כאמירה נגטיבית על המתמטיקה שהם מראים כביכול כי לשפת למתמטיקה יש מגבלות. מתודת ההוכחה של גדל הייתה לפתח את פרדוקס השקרן ולבנות באמצעותו משפט בתורת המספרים שבפרשנות אחרת שלו הוא אומר על עצמו "לי אין הוכחה". היום, בחלוף יותר מ 70 שנה אנו יודעים שמשפט גדל הוא אולי אחד המשפטים החשובים במתמטיקה. קיימת הסכמה רחבה למצוא פרשנות אחרת חיובית של התוצאה המרשימה. אחד הדרכים לכך היא הניסיון להצביע על בעיות פשוטות לכאורה בתורת המספרים ולהוכיח כי הם עצמם בלתי כריעות בתורה של תורת המספרים. מועמדים לכך הם למשל השערת רימן (1859) וגם בעיית 3n+1 המכונה השערת Collatz ( 1937). פונקציית Collatz מוגדרת c(n)=n/2 כאשר זוגי ו c(n)=(3n+1)/2 כאשר n הוא מספר איזוגי. אנו מגדירים סידרה באמצעות פונקציה Collatz לדוגמא הסדרה : 13,10,5,8,4,2,1,2,1, .2 . . . השערת 3n+1 : כל סידרה המוגדרת לפי החוקיות של פונקצית Collatz מגיעה ל 1 . אם a היא סידרת Collatz נסמן ב v את וקטור השאריות מודלו 2 ו את אותו וקטור שאריות עד המקום ה k . נציין ב את מספר ה 1 ים בוקטור הזה. מתקיים : אם הוא וקטור הנבחר באופן רנדומלי שבו מתקיים אז יתקיים בהכרח ולכן הסדרה קטנה ומכאן שהיא תגיע בסופו של דבר למחזור הטבעי שלה 1,2,1,2,. . . משפט Teras: הצפיפות של המספרים הפותחים סידרת Collatz המתכנסים ל 1 שואפת ל 1 . אבל למרות העובדה הפשוטה טרם נמצאה הוכחה מתמטית עבור כל המספרים. נציין כי Conwey הוכיח כי אפשר שסוג כזה של בעיות מתמטיות אכן יכללו בקטגוריה של בעיות בלתי כריעות. על סמך הזיקה בין המתמטיקה לפיסיקה וכן הראיה שפונקציה Collatz מייצגת פעולות מניה פשוטות בטבע נוסחה ההשערה הבאה. השערה 1 ( Susan Gurney ( : הבעיה 3n+1 היא בלתי כריעה בתורת המספרים. כאן נתעניין בהפעלת הפונקציה C k פעמים בדיוק על האיברים ב M . נסמן זאת C(n,k) . נניח כי . נתבונן בטווח [0,1,2, . . . , m-1] Mk= קצב הגידול של C הוא היחס הממוצע על כל איברי Mk של הביטוי C(n,k)/n ונסמן זאת ב E(k) . 8k 8k+1 8k+2 8k+3 8k+4 8k+5 8k+6 8k+7 n במקרה זה מתקיים:k 9k+2 3k+1 9k+4 3k+2 3k+2 9k+8 27k+26 C(n,3) 1/8 +9/8 +3/8 + 9/8 +3/8 +3/8 + 9/8 + 27/8 = 64/8=8 כלומר בממוצע הפונקציה לא גדל ולא קטנה. E(3)=1 . קל לבדוק כי E(1)=1 וגם E(2)=1 . משפט 1: לכל k מתקיים E(k)=1 . הוכחה : נחלק את הקבוצה Mk למספרים זוגיים ואי זוגיים. עבור הזוגיים נשתמש בזהות C(2n)=C(n) ולכן החלק הממוצע ל E הנובע מהם על פי אינדוקציה הוא ½ . עבור המספרים האיזוגיים נשתמש בזהות C(2n+1)=3n+2 . מאחר והעתקה 3n+2 היא פרמוטציה מודולו m/2 נוכל גם כן להשתמש באינדוקציה ולקבל כי תרומת אי הזוגיים לקצב הגידול היא ½ ולכן קצב הגידול עבור מספר k מקיים : E(k-1)=1/2 + 1/2= 1½ + E(k-1) ½ = E(k) ראינו אם כך אם כך שלכל k קצב הגידול של פונקציה Colltaz לאחר k הפעלות של הפונקציה הוא 1 . מאחר השתמשנו בעובדה כי 3 הוא הפיך מודולו החזקה של 2 אבל כל הרחבה של פונקצית Colltaz עם פרמטר שהוא מספר איזוגי אחר לא יתקיים האיזון עבור הפעלה אחת בלבד של הפונקציה. אבל מתקיים על פי אותה הוכחה אידוקטיבית שקצב הגידול לאחר k צעדים שואף לקצב הגידול לאחר הפעלה אחת בלבד של הפונקציה. ולכן הוא (a+1)/4 וקיים איזון רק בבעיה הקלאסית כאשר a=3 .מכאן נבין יותר מדוע קשה לפתור את הבעיה המתמטית המכונה 3n+1 . קיבלנו אם כך ראיה מסוימת להשערה של אי הכריעות של הבעיה המכונה 3n+1 . בכינוס על אחדות המתמטיקה שהתקיים באוניברסיטת הארוורד בדיוק ! לפני שנתיים ציין מיכאל אטלן כי על פי תפיסתו במתמטיקה של ה 50 שנים הבאות תהיה מעוצבת בהבנת האינטרקציה שבין הפסיקה על המתמטיקה ולא רק בכיוון ההפוך כמקובל. אם נתרגם את דבריו לבעיה זו יתכן כי התרגום של עיקרון אי הודאות של היזנברג בתורת הקוונטים יהיה המושג של אי-כריעות בתורת המספרים. עלינו לפתח אם כך תורת מספרים קווטית כדי לנסות ולפתור את בעיית 3n+1 המפורסמת. משה קליין גן אדם |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון טעות : מיכאל אטיה ולא מיכאל אטלן [ קיבל בזמנו את מדלית פילדס, על פיתוח K theory לאחרונה מדלית אבל ] ".. אנו מצפים היום לניוטון חדש שיפצח את מהות האניגמה שבין המתמטיקה לפיסיקה ] תחילת ספטמבר 2003 בכינוס על אחדות המתמטיקה לציון יום ההולדת 90 של המתמטיקאי הנודע היהודי ישראל גלפנד, אוניברסיטת הארוארד - בוסטון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מר גן אדם, בתגובה תגובה 327609 ביקשתי הבהרה מאד פשוטה. נבצר ממני להבין באם השתמשת בשאלתי כקרש קפיצה להגיגים שאינם ממין הענין שאלתי או שמא אכן נסית לענות לי אך עקב היותי לש"ד, לא השכלתי להבינך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לרון בן יעקוב שלום, חשיבה דדוקטיבית אינה חשיבה אסטרטגית כי בחשיבה החותרת לתוצאות ממשיות יש לכוננן כל פעם מחדש את דרך הפעולה אל נוכח מה שמתרחש באותו רגע. יופיה ועוצמתה של המתמטיקה באמת הוא שהיא יכולה להיות מצד אחד מדויקת ופורמלית אבל יש בה גמישות מחשבה היכולה להתאים את עצמה במדויק אל שפע החיים. אבל צריכה להיווצר קודם כל קהילה של חוקים ויוצרים שמעונינת וחפצה לחבר את הדדוקציה עם האינדוקציה וליצור תפיסה אורגנית של המתמטיקה. משה אני ממליץ לך לקרוא את עמוד 115 באפילוג לספרו היפה של איאן סטיוארט המספרים של הטבע " .. הזמן בשל לפיתוח סוג חדש של מתמטיקה, ..." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לרון שלום מה כוונתך ב "ההסקה האסטרטגית" ? תודה משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הי גדי, תודה על הערות הבונות ביחס למאמר ששלחתי לך "על מושג האירציונליות" אם אכן על פי האגדה, פיתגורס באמת הרג את תלמידו היפסוס בעקבות תגליתו אפשר כי היפסוס בעצמו היה עשוי להרחיב את תגליתו להרהור/עירעור על החשיבה הדדוקטיבית.. בכל מקרה אשלח לך את המאמר מתוקן לאחר השינויים שאכניס בו. משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משה שלום, אכן אני מסכים, זאת הנקודה עליה בקשתי הבהרה. אנא עיין בפסקה מספר 5 בדברים שכתב דורון בתגובה 327576 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"האם אני יכול להסיק (באופן א-דדוקטיבי) ש"ההסקה האסטרטגית" איננה דדוקטיבית?" שום מערכת אינה יכולה לעבור בחינה עמוקה ומקיפה כאחת במסגרתה שלה בלבד, ולכן הדרך המועדפת, לפתות לדעתי, היא ליצור את האפשרות של בחינה צולבת של מספר שיטות-חשיבה הבוחנות זו את זו מנקודות מבט שונות, כאשר המסקנות וההכרעות נתונות בידיה של תודעתינו אנו, ולא בשום גורם החיצוני לתודעתנו. בסופו של דבר המתמטיקה היא דיון אמיץ, נוקב ופתוח לפיתוח שיטות-דיאלוג פוריות בין תודעות. זהו הדבר היסודי שהמתמטיקאים "הטהורים" מתעלמים ממנו, ובכך הופך הנכס היקר ביותר העומד לרשותם (תודעתם הם) "לכתם-העיוור" של שיטתם הדדוקטיבית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מחדד את תגובתי הקודמת לגבי מושג-הדיאלוג ומוסיף, כי דיאלוג אמיתי בין תודעות אינו פוסל שום דיעה או זווית ראיה על הסף, מכיוון שהיא אינה מתאימה למושגיה של מערכת דדוקטיבית מסוימת כי: א) ראינו שמערכות דדוקטיביות "חזקות" (המושפעות ממשפטי אי-הכריעות של גדל) אינן סגורות (שלמות) אם הן שואפות להחשב לעיקביות. ב) לעולם אין אנו יודעים מה ערכו של רעיון, באופן מיידי וללא עוררין, כפי שנוהגת קהילת המתמטיקאים הנוכחית ברעיונות שאינם תואמים את תפיסת עולמם (שעל פי דברי אלון עמית עצמו, היא מבוססת ברובה על אמונה המשותפת לקבוצת אנשים בעלי עניין משותף). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |