בתשובה לעוזי ו., 24/04/04 20:44
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"הוכחות מתמטיות הן - בסופו של דבר - מניפולציה של סמלים" וזה בניגוד למוזיקה או ספרות? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
למרבית הפליאה ( לכאורה) הרבה יותר *קל* לפרמל ולמכן את המניפולציות הדרושות כדי להוכיח משפטים מאשר לפרמל ולמכן את המניפולציות הדרושות ליצור סיפור(אם כי גלילה רון-פדר-עמית כנראה הצליחה) או נעימה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אף אחד לא אמר (בטח לא אני :-) ) שלא ניתן לשכנע מחשב לבצע מניפולציות של סמלים שיהיו, או ייראו כמו, ספרות או מוזיקה. עם זאת, קצת יותר קל להניע מחשב לייצר מתמטיקה "טובה" מספרות טובה או מוזיקה טובה. לא *הרבה* יותר קל, אגב. הזכרתי קודם את תחושתי שמחשב שיוכל לגלות לבד את המספרים המרוכבים, נניח, ולהוכיח את משפט קושי, יכול כנראה גם לכתוב שיר קצר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך להיות "מניפולציות *סופיות* של סמלים", במובן האלגוריתמי. אנחנו לא יודעים מה זה שיר, אבל הוכחה היא סדרה סופית של טענות, שאפשר לבדוק את הנכונות שלה בקלות. למשל, בלוגיקה מסדר ראשון אפשר לעבוד כך. תהי A קבוצה של אקסיומות. "הוכחה" היא סדרה של טענות, כך שעבור כל טענה a שאינה אקסיומה, מופיעות מוקדם יותר ברשימה הטענות "b גורר a" ו- "b" לאיזשהו b. אם מספר האקסיומות סופי (כמו בלוגיקה פסוקית או לוגיקה מסדר ראשון), המחשב יכול לעבור על כל ההוכחות באורך 1, אחר-כך כל ההוכחות באורך 2, וכן הלאה - עד להוכחת כל טענה שאפשר להוכיח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(כמובן שגם אם מספר האקסיומות הוא אינסופי אך בן-מנייה, כמו בניסוח מסדר ראשון של תורת המספרים, אפשר לייצר סדרתית את כל ההוכחות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וגם אפשר לייצר את כל השירים באורך תו, שני תווים וכולי. הבעיה בשני המקרים זה לזהות מתי המשפט מעניין והשיר שווה. בשני המקרים העניין דורש התערבות אנושית. היתרון במשפטים זה שאפשר לשאול " האם אפשר להוכיח או להפריך טענה X בפחות מ N צעדים", להציב בתור X משהו "מעניין" וללחוץ על כפתור ה"RUN". בקיצור, התוכנית (המדכאת לטעמי) זה להפוך את המתמטיקה לפיתרון בעיות שחמט באמצעות מחשב. ספקולציה: בעתיד יתפתח ענף במתמטיקה שיעסוק בבנית היוריסטיקות ניפוי טובות למכונות ההוכחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין סיבה להיכנס לדיכאון, אין באמת תכנית (או אפשרות מעשית) להפוך את המתמטיקה לפתרון בעיות-שחמט באמצעות מחשב. למעטים העוסקים בבניית מערכות-הוכחה יש, בינתיים, יומרות מצומצמות בהרבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין איזו השפעה תהיה למערכות כאלה על המתמטיקה (כמו ההשפעה של המצאת המצלמה על הריאליזם?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שכבר יש ענף כזה במתמטיקה, למעשה אחד הענפים הלוהטים-מסחרית שלה: הוכחת נכונות אוטומטית של מעבדים (ושל תוכנות; קצת פחות לוהט). אני לא יודע על זה בדיוק, למרות שבמשרדים מסביבי יושבים הרבה אנשים שזה בדיוק מה שהם עושים, אבל אאל"ט הם בונים טענות בלוגיקה טמפורלית, ואז מנסים (לגרום למחשב) להוכיח או להפריך אותן. ומכיון שהבעיה היא קשה חישובית, משתמשים בהיוריסטיקות, ושם המשחק הוא חידוד ההיוריסטיקות. יכול להיות שטענות כלליות במתמטיקה, ולא כל שכן טענות מעניינות, שונות באופיין מטענות הנכונות של מעבדים, ושלכן הן דורשות היוריסטיקות שונות; אבל במחשבה ראשונה נראה לי שלא, שלאחר תרגום לשפה הפורמלית היבשה אלה וגם אלה יראו סתם כמו רצף משמים וטכני של סמלים, אותו דבר עבור המחשב. בעצם, לאור תגובה 214540 (המשפט האחרון בה), אני כנראה מחמיץ משהו. מה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שטענות מתמטיות "נראות אותו דבר", אחרי פירמול, כמו טענת נכונות של מעבדים ותוכנות, זה לא אומר שיש להן (כיום) אותו עומק - אם תרצה, מורכבות ההוכחות שונה מהותית בין המקרים. כמו כן, יש להבדיל בין תהליך גילוי המשפטים והמבנים העמוקים, להוכחות עצמן; ראובן חשש מרדוקציה של המתמטיקה לחידת-שח, וגם זה הבדל שכדאי להביא בחשבון. התהליך שמתחיל מאקסיומות ומייצר הוכחות יוכיח אמנם בסופו של דבר את כל המשפטים ב(נניח) תורת המספרים, לפחות את אלו היכיחים במסגרת הפורמלית בה הוא עובד. אבל זו טענה דומה קצת לטענת הקופים ומכונות-הכתיבה - נכון, ברם ממש ממש ממש לא מעשי. את ההיוריסטיקות הדרושות כדי להפוך מוכיח עיוור כזה למתמטיקאי אנחנו עוד לא מבינים, ותחושתי היא (שוב) שנבין אותן בערך באותה שנה בה נדע לבנות אינטליגנציה-מלאכותית על באמת. גיאומטריה של המישור היא דוגמה מטעה קצת. לא ידוע לי על מערכת הוכחה שמתחילה ממעט מאוד ומסוגלת להוכיח אפילו טענה פשוטה כמו (נניח, סתם) שיש פערים גדולים כרצונך בין ראשוניים עוקבים, שלא לדבר על "כל ראשוני המשאיר שארית 1 בחלוקה ל-4 הוא סכום של שני ריבועים" ומשפטים פשוטים-יחסית שכאלה, הדורשים קפיצה מחשבתית רצינית. וזו באמת רק ההתחלה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מקבל (שכאתה אומר "מערכת הוכחה" בפסקה האחרונה אתה מתכוון למחשב + תוכנה, נכון? לא למערכת פורמלית מופשטת.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(כן, ודאי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רק רוצה להוסיף "הערת אזהרה" כאן. האמירה "את ההיוריסטיקות הדרושות כדי להפוך מוכיח עיוור כזה למתמטיקאי אנחנו עוד לא מבינים, ותחושתי היא (שוב) שנבין אותן בערך באותה שנה בה נדע לבנות אינטליגנציה-מלאכותית על באמת" נשמעת לי בדיוק מה ששחמטאי טוב היה אומר לפני 30 שנה לגבי תוכנות שח, והנה, תוכנות שח שמנצחות רבי אמנים הן דבר כמעט יום יומי, ובכל זאת אנחנו די רחוקים מהשנה בה נוכל לבנות א"מ *על אמת*. בקיצור, יש משהו שובניסטי בדעה שיש ב*מתמטיקה* משהו קווזי מיסטי, וכש*נבין* אותה *באמת* , נבין מה זה אינטלגנציה. אני חושב שמקור התחושה שלך היא שיש משהו "יצירתי" במתמטיקה, וכשנדע לפענח את היצירתיות הזאת נהיה על הסוס לקראת יצירתיות בכל תחום. השאלה הגדולה היא האם כל מה שמייצר פיתרונות יצירתיים אכן נחן ביצירתיות? אין עוררין שתוכנות שח 1 מייצרות לעיתים מהלכים יצירתיים, אבל כולנו מבינים שהתהליך שהמכונה עושה שונה בצורה מהותית ממה ששחמטאי עושה. ועוד עניין קטן, מכיוון שדנים כאן בענייני אבולוציה ואינטלגנציה, לעניות דעתי, כישרון מתמטי ויצירתיות מתמטית הם סרח עודף אבולוציוני והמוח האנושי הוא לא מי יודע מה מותאם לזה, פשוט יצא ככה. למה שמכונה לא תיטיב לייצור מתמטיקה (ומתמטיקה טובה)? 1 דיסכליימר, הפעם האחרונה ששיחקתי שח היה בגיל 10 וגם אז הפסדתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה באמת מישהו שחזה שמחשב לא יוכל אף-פעם לשחק שח ברמה סבירה, ומזכירים זאת לפרקים בתור אזהרה לפסימיים. אבל אני מאמין שמעט אנשים שיודעים משהו על שח ומחשבים היו צופים את מה שאמרת לפני 30 שנה. שח זה מסובך, יצירתי ויפה, אבל מוגבל מאוד מאוד בהשוואה למתמטיקה (או שירה, או אפילו תרגום). את ההאשמה בשוביניזם ובקוואזי-מיסטיות אני מוכרח ממש לדחות :-) הדגשתי שמדובר בתחושה שלי, וייתכן שאני טועה, אבל אני סבור שאני מכיר מתמטיקה (ושח) טוב מספיק כדי לטעון זאת ברמת-ביטחון סבירה. "מכיר מתמטיקה" לא מתייחס לידיעת החומר, אלא לתהליך בו מתמטיקאים ממציאים ומגלים ומוכיחים; קטונתי כנמלה (באמת), אבל יש לי מושג לגבי איך זה קורה. וכשיש שם יצירתיות, אני מתקשה לראות מדוע זו יצירתיות "אחרת" מסוגים אחרים של יצירתיות אנושית. "האם כל מה שמייצר פיתרונות יצירתיים אכן נחן ביצירתיות" זו שאלה בעייתית קצת, בעיני. מי קובע שהפתרון הוא יצירתי? אולי הניסוח הזה מצביע על אחד הקשיים שאני רואה ב-AI, ונדמה לי שכבר הזכרתי אותו פעם: מי שירצה להתעקש ולטעון שמחשב אינו יצירתי ואינו מרגיש ואינו אינטליגנטי, יוכל תמיד להמשיך להתעקש ואין דרך להוכיח לו אחרת. אני ממש לא מסכים שכישרון מתמטי ויצירתיות מתמטית הם סרח עודף - כפי שציינתי, אלו לא דברים שבאים לבד אלא קשורים לתכונות כלליות יותר בעלות השפעה שרידתית משמעותית. (שוב, רק תחושה, לא משפט מתמטי). "למה שמכונה לא תיטיב לייצור מתמטיקה (ומתמטיקה טובה)?" - מי אמר שלא? אני מאמין ש"מכונה" (לא יודע איך להגדיר זאת, תינוק-מבחנה שגדל ברחם מברזל זו מכונה?) תיטיב יום אחד גם לקפל כביסה וגם להוכיח משפטים. למה לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תהליך מחשבתי של שחקן שח, יצירתי ונשגב ככל שיהיה, נגמר בסוף בפרש לגימל ארבע. מחשב יכול לחקות את התשובה הסופית הזו, ולך תסביר אם הוא הבריק או שסתם בדק מיליארד אפשרויות. במתמטיקה, בשביל הוכחות קשות באמת המתמטיקאי ממציא לעיתים תורות שלמות שפשוט לא היו שם קודם (Kummer, אחד מגיבוריי, הוא דוגמה מופלאה). כשמחשב יעשה את *זה*, לא יהיה לי אכפת "איך" הוא הגיע לזה - בעיניי הוא עבר את מבחן טיורינג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל"שחמטאי אבל תהליך המחשבה של שחקן שחמט לא מסתיים במהלך בודד אלא מתבטא לאורך כל המשחק, ממש כמו שהוכחה *יפה* מתבטאת באוסף כל השלבים. כבר היצעתי בתגובה אחרת מבחן טיורינג לשחמטאים. אני מאוד מופתע שאתה דורש ממכונה דברים שאתה לא דורש ממתמטיקאי אנושי. "להמציא תורה שלמה שפשוט לא היו שם"? כמה מהמתמטיקאים הפעילים היום עושים יותר מאשר ארטיקולציה אינפינטסימלית של פרדיגמה זו או אחרת? וכל האחרים אינם אינטלגנטים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הובנתי כהלכה, והאנלוגיה בין סדרת מהלכים בשח לסדרת צעדים בהוכחה אינה מדוייקת. אם אתה ניצב מול מסך שמשחק שח ותוהה עם מאחוריו אדם או מכונה, התוכן שאתה מביט בו הוא סדרה של צעדים כמו Nf3 O-O וכאלה. אם אתה ניצב מול מסך שמוכיח משפט במתמטיקה, אתה רואה פרוזה, ולא בכדי. אם תראה סדרה ארוכה של סמלים לוגיים, תדע מיד שמדובר במחשב (פרימיטיבי). העובדה שלמדנו כבר כיצד לפרמל טיעונים מתמטיים, אין דבר בינה לבין הדרך בה אנשים באמת חושבים על בעיות מתמטיות, וזה שורש הפער בין מערכות-הוכחה-ממוחשבות דהיום לבין אינטליגנציה מתמטית אמיתית. קח לדוגמה את החידה ששאלתי פה לא מזמן, על הצפרדעים. האיילים שפתרו אותה הפגינו יצירתיות, משהו שונה מהותית מהיכולת לעשות מניפולציה של שרשראות של סמלים. אם מישהו היה מנסה לפתור את החידה ע"י שהיה מפרמל את הנתונים ומתחיל לעשות תחשיב פסוקים ומודוס-פוננסים, הוא גם היה נכשל (מסיבות פרקטיות) וגם, אילו הצליח, ההוכחה שלו היתה משהו שאף בן-אנוש לא יכול להבין. איני יכול למצוא אנלוגיה למצב הזה בשחמט - ומבחינה מתמטית, מדובר בחידונת קטנטונת עם פתרון קצרצר ביותר. לכן גם אינני דורש מהמכונה דברים שאיני דורש מאנשים. אולי הדוגמה של קומר היתה נשגבת מדי: כל מתמטיקאי, בכל מאמר שהוא מפרסם (כמעט) ובכל חידה שהוא פותר (כמעט), ממציא המצאות (קטנות או גדולות) שאינן "מכניות", במובן שהן אינן גיזום היוריסטי מחוכם של עץ-כל-ההוכחות-הפורמליות-האפשריות. לא ברור לי למה כוונתך ב"ארטיקולציה אינפינטסימלית של פרדיגמה זו או אחרת", אבל אם אני מנחש נכון, אז לא - זה לא המצב, כלל וכלל לא. נכון, לא כולם ממציאים כל יום את תורת האידאלים, אבל בפירוש גם לא מתקדמים באופן מכני או חצי-מכני לאורך איזו פרדיגמה נתונה. אילו זה היה המצב, היה אפשר להתחיל לבנות מחשב-מתמטיקאי; אי-אפשר, לא כי חסר כוח חישוב או איזו היוריסטיקה, אלא כי הבנה של תהליכי המחשבה הנחוצים *באמת* לצורך זה אינה בנמצא, אפילו לא בחיתוליה. וכשההבנה הזו תגיע, אני לא מאמין שהיא תגיע במבודד מהבנה של חשיבה יצירתית באופן כללי. זה כל מה שאני טוען. הקשר בין מכונות-ההוכחה הפורמליות של היום להוכחות של מתמטיקאים אנושיים הוא דומה מאוד לקשר בין תוכנות מחשב שכותבות שירה למשוררים אנושיים. למעשה, השני אפילו יותר מוצלח: הפלט של תוכנות השירה נראה כמו שירה. הפלט של תוכנות ההוכחה נראה כמו פלט של תוכנת הוכחה, וכשמחשב יוכל להסביר בעברית פתרונות לחידות, אני אומר שוב - הוא יהיה מוכרח להיות אינטליגנטי "באמת". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבתי תגובה מאוד ארוכה, אבל ראיתי שאני מסתבך ושמתי את זה בצד. במקום זאת אגיד משהו קצר על יצירתיות. אני מסכים שיצירתיות במתמטיקה נובעת מאותו מקור של יצירתיות בכל תחום. העניין הוא שבנוסף ליצירתיות, צריך גם סוג מסויים מאוד של מיומנות טכנית. השאלה היא האם אפשר להפריד בין היצירתיות לבין המיומנות. נדמה לי שהגישה שלך היא שגם את המיומנות אי אפשר להעביר למכונה, ושהתסריט של דיליטנט מקורי ויצירתי שמעלה השערות אבל המכונה "מוודאת" אותם הוא לא סביר ( ע"ע השערת X והשערת Y). את הדאגה שלך על הוכחות מסובכות שאי אפשר להבין, תן לי לנסח ( ותוך כדי כך, לעוות לצרכי) בצורה אחרת: יש דיליטנט מקורי ששואל שאלה מרתקת בתורת המספרים ( נניח), ולאחר כעשרים שנה, זוכה אדם במדלית פילדס בזכות ההוכחה המבריקה שהוא נותן לשאלה הנ"ל, תוך כדי זה שהוא פותח אופקים מדהימים בתחומי מתמטיקה מגוונים. אותו מתמטיקאי נותן כאות הוקרה את עותק ההוכחה שלו לדיליטנט ששאל את השאלה במקור, ואותו דיליטנט חלשה דעתו מהקריאה, ונאלץ להודות שהוא אינו מבין דבר1. עכשיו מה? האם נכשל זוכה המדליה מכיוון שלא הצליח לתת הוכחה ברמה של האדם שניסח את השאלה? האם ההוכחה שלו פחות שווה משום כך? ועוד משהו בקשר לשובניזם: לא התכוונתי במלא הרצינות חלילה ( אני מתבדח גם שאין לך יום הולדת:)) .אבל שקול את הדוגמא הבאה: נדמה שאיזה מתמטיקאי אמר פעם על בעיה מפורסמת עם הוכחה "מכוערת" -" מסתבר ככלות הכל,שזאת לא היתה בעיה טובה". למזלם של המתמטיקאים הטהורים יש להם את הלוקסוס של להגדיר כל בעיה שההוכחה שלה לא מוצאת חן בעיניהם כ "בעיה לא טובה ככלות הכל". 1 הכנס כאן את האגדה על משה ועקיבא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינני טוען שאי-אפשר להעביר לפחות חלק מן המיומנות הטכנית למחשב, עושים זאת כבר היום. להמציא הוכחה (וגם לשער השערה מעניינת) דורש סוג של יצירתיות החורג מן המיומנות הטכנית הזו. את הדוגמה עם הדילטנט ממש לא הבנתי. איפה העליתי את הצורך לדאוג שפתרון של בעייה יהיה מובן למי שהמציא אותה? נהפוך הוא - הוכחות יפות הן בד"כ עמוקות הרבה יותר מהשאלה. אני זוכר במעורפל את הסיפור שהזכרת בסוף, אך איני סבור שפירשת אותו נכונה. בעיות אפשר להמציא בקלות, אך רובן "אינן טובות" לא כי הן קלות, או כי ההוכחה שלהן מכוערת, אלא כי הן מבודדות ולא תורמות להבנתנו הכללית של היקום המתמטי. יש, לעומתן, בעיות המנסות לתפוס איזושהי הבנה עמוקה שחסרה לנו, שדי ברור שאם נפתור אותן - נתקדם באמת. גם את עניין ה"לוקסוס" לא הבנתי... "לא מוצאת חן" בעיני מי? ברוב המקרים יש די הסכמה לגבי היופי או החשיבות של תוצאה מתמטית, וגם נדמה לי שהזכות לשפוט יופי שמורה גם לפיזיקאים ולמלחינים, בתחומם. דווקא את התגובה הארוכה שהשמדת אני סקרן לראות, כי נראה לי שאני מפספס משהו שמפריע לך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין עם הדיליטנט הוא פשוט: כמו שהדיליטנט לא מבין את ההוכחה, למרות שהיא "יפה" למבינים בהוכחות, גם הוכחה ממוחשבת לא צריכה להיות נהירה (או אפילו "יפה") למתמטיקאים אנושיים. מספיק שהיא נכונה. שפת מכונה היא קשה להבנה, אבל בכל זאת אפשר לעשות איתה דברים יפים. הלוקסוס זה לא להחליט אם תוצאה היא "יפה" או לא, אלא אם הבעיה "טובה" או לא. אולי זה עניין של דרגות- אני מודה שבמדעים שאני יותר מכיר יש מושג של בעיה "טובה" במובן של פוריה מבחינת יכולת ההתקדמות בה, אבל יש גם מקרים אחרים. אני מתקשה לדמיין חוקרים רפואיים אומרים משהו כמו "סרטן? אה, זה בעיה לא טובה, לא תורמת להבנת היקום, עדיף להתמקד בפצעי בגרות". אם אני כבר מלהג, עוד עניין קטן וקצת לא קשור בקשר ל"יופי" ו"פשטות" של תאוריות כקריטריונים. נהוג להצהיר על שתי התכונות הללו כקווים מנחים בפיתוח תאוריות. אני חושב שיש להיזהר כאן.תלמיד שנה א בפיסיקה עלול לחשוב שיחסות כללית זה חשבון טנזורים מכוער ומסובך לעומת הפשטות הניוטונית. הרבה תאוריות הם מאוד מסובכות "טכנית" ודווקא בכך היופי שלהם, אבל כדי להעריך את היופי צריך הבנה טכנית מאוד עמוקה, והרבה פעמים ההצהרה על "פשטות" באה מאנשים כל כך מוכשרים שמה שבעיניהם פשוט, הוא בלתי מובן לאחרים. מה אני מנסה להגיד? שלא רק יופי הוא בעיני המתבונן, אלא גם פשטות, ולנסות להשתמש בשני הקריטריונים הללו בבואנו לבחור בין תאוריות "מתחרות" כמו שכתוב בספרים המפארים את השיטה המדעית, הוא לא טריוויאלי. לא צריך יותר מדי לדאוג שמה שמצאנו הוא מסובך או "מכוער". אולי פשוט צריך להתרגל לזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דילטנט: עכשיו הבנתי, אבל יופיה של ההוכחה לא עומד אצלי במרכז הטיעון. כתבתי "אם מישהו היה מנסה לפתור את החידה ע"י שהיה מפרמל את הנתונים ומתחיל לעשות תחשיב פסוקים ומודוס-פוננסים, הוא גם היה נכשל (מסיבות פרקטיות) וגם, אילו הצליח..." - החלק הראשון הוא באמת העיקר. רופאים לא עוסקים בהבנת היקום, אלא בהבנת גוף-האדם וריפוי מחלות. בהקשר הזה, אני מאמין שהם בהחלט מעדיפים בעיות עקרוניות על-פני תופעות שוליות וספציפיות, ומסתמא עוד קריטריונים שהופכים תחום-מחקר ל"יפה" בעיניהם. בעניין היופי והפשטות, אני מסכים: אין קריטריון טריוויאלי להכרעה. אבל לפעמים יש מדדים מאוד אובייקטיוויים לפשטות - נפח ההצגה, מספר המשוואות, מספר הקבועים השרירותיים, וכאלה. נכון שבעל הבנה טכנית עמוקה יראה את זה אחרת מסטודנט בשנה א'. ויותר מזה, אף אחד לא הבטיח לנו גן של תאוריות פיסיקליות יפות ופשוטות: ייתכן שהיקום הוא באמת מכוער ומסובך. אם כך, חבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(רקע קצר: בנסיון להוכיח את משפט פרמה, Kummer הבחין שמספר שלם אפשר לאפיין באמצעות אוסף המספרים שהוא מחלק; אם כך, הוא הציע, אפשר לטפל ב"מספרים אידיאליים"1, האוספים האלה, במקום המספרים המקוריים. האבחנה הקריטית כאן היא שישנם אוספים של מספרים שמתנהגים בדיוק כמו "מספרים אידיאליים", אבל אין להם מספר "אמיתי" שמחלק את כולם.) ממבט ראשון חשבתי ש- Kummer הוא דוגמא לא מוצלחת, משום שהרעיונות שלו (בדיעבד, כמובן) הם מאד טבעיים. הוא "בסך הכל" ניסה לענות על שאלות קלות הקשורות למספרים הטבעיים, עבור מספרים שלמים "אחרים". במקום זה, אפשר לבחור דוגמא מבין המספר העצום של תאוריות שלא מכלילות שום דבר, הן *באמת* לא היו שם קודם. למשל, פולינומי Jones, שמדביקים פולינום לכל קשר2, ומאפשרים לנו להוכיח שקיימים קשרים השונים זה מזה. אבל במבט שני, Kummer הכניס לתאוריה רק אטום אחד חדש, והגיע לתוצאות מדהימות. צריך להתחיל בקטנות... 1 שאחר-כך הפכו ל"אידיאלים". 2 קשר = שרוך ששני קצותיו מחוברים. 3 נסו *להוכיח* ש"תלתן שמאלי" ו"תלתן ימני" הם שונים, דהיינו שאי אפשר לעבור מאחד לשני בלי לצאת מהמרחב שלנו או לקרוע את השרוך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפולינומים של ג'ונס הם באמת דוגמה יפה, אבל הרקע להופעתם הוא יותר מורכב; ג'ונס בכלל לא הסתכל על קשרים, אלא על אלגבראות פון-נוימן, ועשה סדרה מופלאה של המצאות וקפיצות מחשבתיות. אני לא מבין מספיק (קרי: אני לא מבין כלום) בשורש האלגברי של המצאתו כדי לקבוע אם זה היה "טבעי, בדיעבד" כמו התורה של קומר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כבר, הפולינומים של ג'ונס מכלילים את הפולינומים של אלכסנדר, כך שגם הם לא ממש נולדו יש מאין. בכל אופן נראה לי שהבהרנו את הנקודה העיקרית (שהיא: מתמטיקאים יכולים לדבר שעות על משהו שמעניין רק אותם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שבאמת הבהרנו את הנקודה העיקרית (אבל צריך לשאול את ראובן). (ואת הנקודה שהזכרת בסוגריים הבהרנו כבר מזמן, ועוד לא באמת התחלנו...) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כבר שוב שורבבתי לדיון, אני רוצה להגיד שמלכתחילה הבנתי את ההערה של עוזי על פירמול המתמטיקה כהערה שנאמרה בבדיחות הדעת, ושברור לי שהמתמטיקה רחוקה מאוד ממצב של סריקת כל הביטויים שאפשר לגזור מאקסיומות נתונות. יחד עם זאת, הרעיון הבסיסי הצית את דמיוני ולכן הפלגתי בכיוון של מכונות הוכחה ושובניזים של מתמטיקאים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל אחד יכול לדבר שעות על מה שמעניין (רק) אותו. המתמטיקאים מצטיינים בכך שהם יכולים גם לשתוק שעות (או שנים, ראה ווילס) על משהו שמעניין אותם. ______________ שכ"ג מלמד את עוזי דבר או שניים על מתמטיקאים :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ווילס הוא לא חריג? אני חושב שבספר יחסי הציבור שלו (סליחה, "המשפט האחרון של פרמה") דווקא מדברים על המתמטיקאים כדברנים יחסית (ברמה המקצועית) כי אין אצלם חשש מגניבת פטנטים. הממ, RSA זה לא פטנט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ספר יחסי הציבור שלו"? העובדה שויילס בחר לעבוד בבידוד היא אכן יוצאת-דופן, אבל הנסיבות היו לא שגרתיות. אני לא סבור שמתמטיקאים הם יותר דברנים מאקדמאים אחרים, והסיבה העיקרית להיות בשקט, אם כבר, זה לא פטנטים אלא החשש מלהיות scooped. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיחה, בדיחה. מאוד אהבתי את הספר, וגם את "סודות ההצפנה". מה זה scooped? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נגנב. יענו, רגע לפני שאתה מסיים, מישהו אחר שעקב אחר צעדיך כותב יותר מהר את המ.ש.ל., מפרסם וזוכה בתהילה (כמו מישהו שגונב לך איזה סקופ בעיתון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, סקופ זה לא גניבה, זה פשוט מישהו שהקדים אותך, לאו דווקא בשל משהו לא הוגן. נניח ששני מדענים פותרים אותה בעיה ושולחים לפרסום בעיתונים שונים, מבלי שאחד יודע על השני או מבלי לדעת שהאחד כבר פתר את הבעיה ששניהם עובדים עליה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה אתה מתכוון ב-"אינטליגנציה-מלאכותית על באמת", או בניסוח אחר, מה אתה תופס כ- "אינטליגנציה אמיתית"? חבר שלי (המביא לכך דוגמאות למכביר) טוען שברגע שמחשב מצליח לבצע פעולה מסויימת שקודם לכן רק בני-אדם יכולים היו לבצע, אוטומטית אותה פעולה כבר לא נחשבת כ"בינה". ואם זה כך, אז יוצא שכל הדיבור על "בינה אמיתית", המצויה כביכול אצל בני-אדם, היא בעצם סוג של מס-שפתיים, או לפחות סוג של בלבול מושגי מבחינה פילוסופית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה הזאת מוכרת, אבל אפילו אם נקבל אותה כפשוטה בסופו של דבר ניאלץ להכיר בכך שיש בינה מלאכותית או שאין ''בינה'' בכלל. זאת בהנחה שהמחשב יוכל, בסופו של דבר, לעשות כל מה שהאדם עושה (לי אין ספק שזה יקרה מתישהוא, אבל חוששני שלא אהיה בסביבה לאנשלבץ אתכם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלוקה הזו בין "מחשב שמבצע פעולה מסוימת" לבין "בינה" הזכירה לי את ג'והן וואטסון, האבא "הרשמי" של התורה ההתנהגותית (ביהייויוריסטית). וואטסון, שהיה חוקר התנהגות בעלי חיים, כתב בשנת 1913 את מה שנחשב למניפסטו המייסד של הזרם ובו הוא טען שעפ"י הראיה הביהייויוריסטית היא "ענף אובייקטיבי של מדעי הטבע... לאינטרוספקציה אין שום ערך מדעי... [ולכן] אין שום קו מהפריד בין אדם לחיה". עפ"י השיטה, יש ערך ומשמעות רק להתנהגות החיצונית של האובייקטים - אדם, חיה, ומקרה שלנו - מכונה - ולכן אסור "לעולם להשתמש במונחים כמו תודעה, מצב מנטלי, נפש, תוכן [המחשבות], אישור אינטרוספקטיבי, דמיון וכיוב"'. הדברים היחידים שניתן ושצריך לבדוק הם "גירוי ותגובה, עיצוב מערך של הרגלים, שילוב הרגלים וכדומה", משום שרק אותם ניתן למדוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהקשר הנוכחי, ב"אינטליגנציה אמיתית" התכוונתי לומר משהו שמקיף עוד מתחומי המחשבה האנושית, למשל יכולת לנהל שיחה, למצוא מטפורות וכו'. כלומר, ניסיתי לטעון שלא ניתן לבודד את היכולת לחקור תחום מתמטי ולדון בו עם בני-אדם מ"סממנים" אחרים של אינטליגנציה. העמדה שמציג החבר שלך מוכרת לי היטב, וכבר הזכרתי אותה כמה פעמים מעל דפי האייל - מי שירצה להיות "שוביניסט אנושי" יוכל תמיד לטעון שכל מה שאינו ילוד-אישה אינו "באמת" מרגיש, אינו "באמת" חושב, או אף אינו "באמת" רואה. אי אפשר כמובן להוכיח את ההיפך. כל אחד מאיתנו מאמין שהוא עצמו בעל התכונות הללו, ואנו מוכנים להשליכן על חברינו בשל היותם דומים לנו חיצונית ונראים מתפקדים באופן דומה. אין לנו, ולא תהיה לנו עד כמה שאני מסוגל לראות, עדות אחרת. הגישה הזו באמת מעקרת את התוכן משאלת ה"בינה", ולכן לדעתי היא לא גישה מעניינת במיוחד. אני חושב שדבר דומה ניסה לומר Dijkstra בציטוט שכבר הבאתי פעם: "השאלה אם מכונות יכולות לחשוב דומה לשאלה אם צוללות יכולות לשחות". (אגב, אני גם סבור שה"איש ברחוב" שיישאל האם מכונה מסויימת היא אינטליגנטית או בעלת רגשות, ייתן את רוב המשקל למראה החיצוני, ומשקל נמוך יחסית למבחן-טיורינג. צור רובוט הנראה כמו נערה צעירה, מתנועע כמו נערה צעירה, מסוגל לדמוע ולצעוק אך בקושי לדבר, ותמצא הרבה פחות אנשים שיהיו מוכנים להתעלל בו פיזית מאשר במשהו שנראה כמו ארון בגדים אבל מנהל שיחה אינטליגנטית. על-כן אין ברירה, בעיני, אלא להשתמש במשהו דמוי מבחן-טיורינג כדי לקבוע הימצאותה של בינה, אם כי המבחן המקורי גם הוא יש בו פגמים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ספר נחמד מאוד על זהויות מתמטיות ואיך להוכיח אותן באמצעות מחשב ( רק רפרפתי אבל מה שראיתי מאוד מצא חן בעיני): |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון ציילברגר כבר הוזכר כמה פעמים בדיון (למשל, בתגובה 214282). ותיקון קטן לתגובה ההיא: שלוש ב. אחד אינו האלטר אגו שלו אלא המחשב/תוכנה שלו. יש לו כמה וכמה מאמרים עליהם הם חתומים במשותף וכמה של אחד בלבד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שאני זוכר שאלה ב-Monthly שפורסמה ע"י שלוש ב. אחד לבדו. לא נראה לי כמו משהו שהתוכנה עשתה לבד, אבל מי יודע. הספר A=B הוא אכן מצויין, ואני נוזף בעצמי שלא הזכרתי אותו קודם - האמת שלא ניחשתי שהוא יעניין את ראובן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים שכנראה מתמטיקה היא קצת יותר פָרמילה ממוזיקה או ספרות (עד כמה? הנה כבר התפתח פתיל בעניין). רק רציתי לעדן את הניסוח: "הואיל והוכחות מתמטיות הן ... מניפולציה של סמלים ... מכאן ש...מחשבים יוכלו להוכיח כל תוצאה מתמטית". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבאתי את ראשי הפרקים של הנימוק מציילברגר, ולא התכוונתי לטעון שהמבוא ("הואיל ו...") גורר את המסקנה (טוב, גם בחוזים זה לא כך). אבל זה כמו השדונים של סטניסלב לם: מכיוון שכל הוכחה היא סדרה סופית של סמלים, כל מה שצריך הוא שדון שייצר המון מועמדים-להוכחה, שדון שיסנן את ההוכחות הנכונות (ושדון שיקרא את המשפטים ויחליט איזה מהם מעניינים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה מסמלים קטעים מוזיקליים או ספרותיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה מסמלים משפטים במתמטיקה? אני חושש שלא הבנת את כוונתי ב"מניפולציה של סמלים" (וכוונתם של עוזי ושל ציילינגר). מתמטיקאי עושה "מניפולציה של סמלים" במובן זה שהוא "רק" רושם סימנים על דף בסדר מסוים. אותו דבר עושים המלחין והסופר. הסמלים האלו אחר כך גורמים לתגובות מרתקות במוחם של המאזינים והקוראים; אבל יש מקום לפחות לדון באפשרות שגם מחשב "טיפש" ידע יום אחד לרשום סמלים בסדר כזה שיגרום לנו להתרגש. וכשם שיש מקום גם לפקפק באפשרות כזו, כך יש מקום גם לתהות האמנם מחשב ידע לעשות כל מה שיש לעשות עם הסמלים המתמטיים (בפרט, כפי שנאמר כאן, לדעת מה מעניין). לא, אין לי דעה מעניינת במיוחד בשאלות האלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני (חושב שאני) מבין את כוונתך. בכל זאת, נראה לי שיש קשר בין האפשרות שהסמלים האלה הם ייצוגים של משהו מחוץ למערכת עצמה, לבין האפשרות שמחשב יוכל לעשות את כל מה שאדם יכול לעשות עם הסמלים האלה. בפרט, נראה לי שאולי כאן יש הבדל בין מוזיקה וספרות לבין מתמטיקה - במיוחד אם נחשוב שהמתמטיקה היא מערכת חוקים שרירותית (אני יודע שאף אחד כאן לא טען את זה). (גם לי אין משהו מיוחד נוסף לומר בעניין, ואפשר לסיים את זה כאן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(בכל זאת, עוד תגובונת) אפשר גם לטעון שמוזיקה וספרות הן מערכות חוקים שרירותיות. מי שטוען זאת לגבי מתמטיקה יצטרך להסביר (ואני לא בטוח שאי-אפשר) איך זה שמתמטיקאים נוטים להסכים מה מעניין ומה יפה בתחומם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך ספרות יכולה להיות מערכת חוקים שרירותית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רציתי להתחיל מלהסביר לגבי מוזיקה, ואז לטעון שבספרות זה יותר קשה, כי שם הרגשות שמתעוררים בנו קשורים הרבה יותר מאשר במוזיקה לתפיסת העולם והידע שלנו. אבל גיליתי שאפילו במוזיקה אני לא מצליח לטעון זאת. לא חשוב איך תופסים את הנפש האנושית, ומה המנגנונים שגורמים לה לתגובות רגשיות למוזיקה; ברור שרצפי סמלים מוזיקליים מסוימים גורמים לתגובות מסוימות, ואחרים לא, בגלל התאמה כלשהי לנפש שלנו (דרך התאמה לנויריופיזיולוגיה, למי שמעדיף). ואז מוזיקה היא שרירותית לכל היותר במידה שהניורופיזיולוגיה שרירותית; וזה כבר מרוקן מתוכן את המילה "שרירותי". ועוד לא נכנסנו בכלל לקשר בין יופי מוזיקלי למתמטיקה (הא!), כפי שלמדנו בדיון 1777. בקיצור, אני חוזר בי מהחלק הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאתה משתמש במובן חזק מדי של המילה "שרירותי". במובן זה, שום מושא נתפס אינו יכול להיות שרירותי (כי הוא מתאים לחושים שלנו או למכשירים שלנו). אני חשבתי על שרירותי במובן של מערכת סמלים כייצוגים של דברים אחרים, חיצוניים למערכת עצמה. ספרות (הן המשפטים עצמם והן מבנה היצירה) נראית לי כמעט-לחלוטין מייצגת מציאות חיצונית, ומכאן הכוח שלה. לגבי מוזיקה, אני לא יודע. אפשר גם לחשוב על מבחן של המרה של הסמלים: אני חושב שאפשר להחליף את הסמלים המתמטיים באופן שרירותי באחרים בלי לאבד דבר מהמשמעות שלהם. אני לא חושב שאפשר להחליף צלילים מסויימים באחרים במקטע מוזיקלי באותה צורה, או מילים במילים נרדפות בספרות טובה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שמקביל להחלפת הסמלים המתמטייים באחרים הוא, נראה לי, החלפת הצורה הגרפית של האותיות בצורות אחרות (אבל בהחלפה של אחד לאחד, כך שהמילים עצמם תשארנה), והחלפת שיטת הרישום לתווים מוזיקליים. אלה, נראה לי, בהחלט משמרים את המוזיקה ואת הספרות (לאחר שנתרגל לקרוא אותם). זו היתה תגובה נקודתית לפסקה האחרונה שלך; שאר מה שכתוב בתגובתך נראה לי הגיוני, אבל האמת היא שכבר איבדתי את חוט הפתיל. סליחה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |