בתשובה להאייל הצעיר, 04/09/05 23:55
 |
|
 |
||
|
||||
 |
צריך להיות:"של חלק מהטענות שניתן לנסח בה". אשמח לדעת עם יש מאפיינים משותפים למערכות האקסיומטיות שאינן מושפעות ממשפטי גדל, האם תוכל לציין אותם? "כאן אנחנו בדיוק חלוקים. אני לא מאמין שיש איזושהי מסקנה מההגדרות שנמצאת מחוץ לאותו תחום סגור, כלשונך." עצם הצורך להוסיף אקסיומות נוספות למערכות המכילות משפטים בלתי כריעים, מצביע על כך שמערכות אלה אינן יכולות להיות סגורות, כאשר המושג סגור שקול למושג שלם. במילים אחרות, מערכות אלה אינן יכולות להיות גם שלמות (סגורות) וגם קונסיסטנטיות. לחילופין אפשר להבין את אי-השלמות של מערכות אלה בצורך שלהן להיות פתוחות תמידית להוספת אקסיומות נוספות, על מנת לפתור בעיות בלתי-כריעות חדשות הנוצרות מהוספת האקסיומות הקודמות. ידוע היטב שמשפטי גדל גנזו את החלום של הילברט להגדיר שיטה מכאנית כללית להוכחת משפטים במסגרתה של כל מערכת אקסיומטית. וכבר הסברתי בהרחבה שהשאיפה למנגנון מכאני כזה שקולה לאי-תבוניות של השואף לכך, כי הוא אינו מבין שכל שיטה מכאנית כזו היא לא יותר מההשתקפות שלו בסוכן מתווך (מכאני) שהוא עצמו יצר, הזין לתוכו מידע, והוא זה שמפרש את תוצאותיו (זכור נא את המבחן לגילוי תבוניות התלוי ביכולתו של המתבונן לזהות את השתקפותו בראי כשייכת לו. שאיפתו של הילברט גורמת לו להכשל במבחן זה). "אינני יודע מה זו "הוכחה ללא תנאי"" במקרה זה הכוונה לכך שאינך צריך לזהות תכונות של מערכת אקסיומטית נתונה, כדי לדעת אם יש או אין בה משפטים בלתי כריעים. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
צריך להיות:"של חלק מהטענות שניתן לנסח בה". כמו כן אשמח לדעת מהם תכונותיהם המשותפות (אם יש כאלה) של המשפטים שלא מושפעים ממשפטי גדל, ללא קשר למערכת אקסיומטית מסוימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א) אינני יודע איך לדבר על משפט ללא קשר למערכת אקסיומטית. ב) במערכת לא שלמה, טענה ניתנת להכרעה אם יש הוכחה לה או לשלילתה. עד כמה שידוע לי (וזה לא הרבה), אין תכונה משותפת ''מעניינת'' יותר של אותן טענות בכל המערכות הלא-שלמות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אשמח לדעת עם יש מאפיינים משותפים למערכות האקסיומטיות שאינן מושפעות ממשפטי גדל, האם תוכל לציין אותם?" המשפט של גדל עוסק במערכות אקסיומות אפקטיביות, עקביות, שמוכיחות את אקסיומת פאנו (או אקסיומות איזומורפיות להן). אף מערכת אחרת לא מושפעת ממנו. אם אתה שואל באופן כללי על מערכות לא שלמות, אז חשוב להדגיש שהמילה "שלמות" (כמו המילה "עקביות") מניחה הנחה מהותית על המערכת: שבשפת המערכת, לכל טענה מוגדרת שלילתה (שים לב שההגדרה של מערכת אקסיומות לא מזכירה בכלל שלילה). אתה מוזמן לקרוא עוד בדיון 1396. "כאשר המושג סגור שקול למושג שלם" קודם השתמשת במושג "סגור" במשמעות אחרת: אמרת שהמתמטיקה בנויה מתחומים סגורים, כך שמההגדרות של תחום אחד לא ניתן להסיק מסקנות על תחום אחר (הכיוון של ההוכחות הוא פנימה). אנא קרא את תגובתי הקודמת בהתאם להגדרה זו. "ידוע היטב שמשפטי גדל גנזו את החלום של הילברט להגדיר שיטה מכאנית כללית להוכחת משפטים במסגרתה של כל מערכת אקסיומטית." הם גנזו רק את החלום להכריע ב*כל* שאלה. שיטה מכאנית כללית להוכחת משפטים באמת הוגדרה ע"י אלן טיורינג. אינני יודע מדוע סופדים לחלומו של הילברט. אמנם הילברט שם דגש חזק על עיקרון השלמות 1, אבל אלמנטים אחרים של החלום שלו מתגשמים בגדול. הוא אפילו לא חשב שאפשר לפרמל עד כדי כך את המתמטיקה. בעולם המתמטי של היום, לא זו בלבד שהכל מבוסס על אקסיומות יציבות, אלא שגם דרך ההיקש שלנו פורמלית לחלוטין. תמיד מציינים את פרדוקס ראסל כנקודת משבר בתפיסה הזאת, אבל היא זאת שהביאה לתובנה שגם למושגים הבסיסיים ביותר במתמטיקה (כמו "קבוצה") אפשר להתייחס כמושגי יסוד, ולתת להם בסיס אקסיומטי מוצק. "אינך צריך לזהות תכונות של מערכת אקסיומטית נתונה, כדי לדעת אם יש או אין בה משפטים בלתי כריעים." כדי להוכיח טענה על המערכת (שלא מתקיימות לגבי מערכות אחרות) אתה חייב להצביע על תכונה כלשהי של המערכת, שתבדיל אותה ממערכות אחרות. 1 "אנחנו צריכים לדעת. אנחנו נדע."; "במתמטיקה לא ניתקל בחוסר היכולת לדעת." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון טעות: דיון 2396. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |