בתשובה לאממ, 11/11/03 22:11
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כשעוסקים במספרים ממשיים, אפשר להגדיר את "השורש של x" כ"המספר החיובי (היחיד) שריבועו שווה ל- x", ולהבחין שריבוע של מספר חיובי הוא תמיד חיובי. הבעיה היחידה שההגדרה הזו עשויה ליצור היא בלבול לשוני: כמו שלכל אדם יש תאריך לידה, כך יש לכל מספר שורש; ואם כך - ניקח את "השורש של מינוס אחת", נעלה אותו בריבוע, ונקבל את המספר ה*חיובי* מינוס אחת! הפגם ב"פרדוקס" הזה הוא, כמובן, שאין כזה דבר "השורש של מינוס אחת", ותמיד כשאומרים "השורש של x" צריך לזכור שהמושג בכלל לא מוגדר אם x שלילי. (גם בעניין הקווים, אין שום קושי מתמטי בעובדה שהם לא מקיימים את האקסיומות האוקלידיות; למתמטיקאים זה ממש לא חשוב). במתמטיקה מגדירים כל הזמן מושגים חדשים בגלל שיש "צורך" (פרקטי) בהגדרה; ההגדרות לא יכולות לנבוע מאקסיומות, משום שהמושג שמגדירים הוא (תמיד) מושג חדש - הוא לא הופיע באף אקסיומה או משפט לפני שהוגדר. ההגדרה של x/y היא "אותו מספר (יחיד) שאם נכפיל אותו ב- y נקבל x". ההגדרה מתקבלת על הדעת אם אכן *קיים* מספר *יחיד* כזה; כלומר, אם עובדים בשדה של מספרים (ולא במערכת כללית יותר, כמו המספרים השלמים עם הפעולות מודולו 6), ו- y שונה מאפס. 1/0 לא מוגדר, מפני שבמערכת שבה אנחנו רגילים לעבוד *אין* מספר שאם נכפיל אותו באפס נקבל 1 (אפשר להוסיף מספר כזה באופן מלאכותי (ולקרוא לו אינסוף, למשל), אבל אז המערכת מאבדת כמעט כל תכונה אחרת שהיתה לה, ומפסיקה להיות שימושית). גם 0/0 לא מוגדר, כי *כל* מספר שנכפיל ב-0 יתן 0; הביטוי הזה לא יכול להתייחס למספר יחיד, מסויים. בכל מקרה, כאשר מתמטיקאים מגדירים מושג חדש, הם מוודאים שהוא "מוגדר היטב" (כלומר: שההגדרה תקפה, אינה תלויה בבחירות שרירותיות שאולי עשינו בתהליך שקובע את התוצאה, שהיצור שאותו רוצים להגדיר אכן קיים (בתנאים שבהם רוצים להגדיר אותו) וכן הלאה). אין חשש שההגדרות האלה יתנגשו עם אקסיומות, או עם ידע מוקדם אחר. אגב, אם יזדמן לך ללמוד מתמטיקה מודרנית בצורה כלשהי, תופתע לגלות מה מועט המקום שתופסות בה התכונות המיוחדות של המספרים שאנחנו מכירים. |
 |
 |
 |
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |