בתשובה לאלון עמית, 26/01/04 19:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם אנחנו כבר בענייני מוביוס: אם ניקח טבעת רגילה ונמשוך את השפות שלה נקבל צילינדר1. אם גם נקרב אותן זו לזו יתקבל כדור. אם נעשה אותו דבר לטבעת מוביוס, נקבל בקבוק קליין? ______________ 1- כן, אני יודע שגם הטבעת היא צילינדר, אני מנסה להסביר את הכיוונים של פעולת המשיכה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שלחלוטין הבנתי את פעולת המשיכה, אבל אם זה מה שאני חושב, אז לא - תקבל מה שנקרא מישור פרוייקטיבי, או cross-cap (כן, ההוא). זה בכל אופן מה שתקבל אם תיקח טבעת מביוס ודיסקית עגולה ותדביק את שפתה של הדיסקית העגולה לשפתה של הטבעת. לא לנסות בשלושה ממדים. בשביל הסבר יותר ברור מה זה מישור פרוייקטיבי תצטרך או לחכות כמה ימים, או שעוזי יסביר, או אולי מישהו אחר יגלה נכונות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מאמין ב- CP^2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אני אנסה. המישור הפרוייקטיבי הממשי (RP^2 ולא CP^2 כפי שכמה כופרים חושבים) הוא המשטח המתקבל באחת מהדרכים הבאות: 1. לוקחים פני כדור ומזהים כל נקודה עם הנגדית לה (כלומר את x עם x-). 2. לוקחים דיסקית ומדביקים (מזהים) כל נקודה שנמצאת על השפה עם הנגדית לה. 3. לוקחים טבעת מביוס ומדביקים לה לאורך השפה דיסקית. 4. לוקחים מעגל ודיסקית. מדביקים את שפת הדיסקית למעגל אבל במקום שסיבוב סביב שפת הדיסקית יתאים לסיבוב יחיד סביב המעגל, אצלנו הוא יתאים לשני סיבובים. 5. (למכורים באמת) מסתכלים על אוסף כל הישרים במרחב. לכל ישר תתאים נקודה במישור הפרוייקטיבי. נגדיר מרחק בין נקודות כזוית בין הישרים המתאימים. מסתבר שמתקבל כך משטח. את המישור הפרוייקטיבי אי אפשר לשכן במרחב השלושה מימדי אבל בדומה לבקבוק קליין אפשר לשכן כמעט את כולו, חוץ מגיחה קצרה שחייבים לעשות למימד גבוה יותר. ואני בטוח שלא הבנתי מהי פעולת המשיכה שהוזכרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
5. ישרים *העוברים דרך הראשית*. ותודה על העזרה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבטחתי הסבר טיפה יותר מפורט, ובינתיים מצאתי עוד שתי סיבות טובות להקדיש לזה כמה פסקאות: אחת, זו דוגמה טובה ל"שינוי חוקי-המשחק" במתמטיקה אליו רמזתי במאמר, ושתיים - הפלא ופלא - לאקאן עצמו נזקק לגיאומטריה פרוייקטיבית ב-Ecrits שלו, מעבר להתייחסות הקצרצרה ל(כנראה)-cross-cap בפסקה אותה טחנו בפתיל זה. ולכך נראה לי שעוד אשוב במקום אחר. בגיאומטריה "רגילה" (אפינית), אנו מוצאים: 1. כל שתי נקודות שונות קובעות ישר יחיד. 2. כל שני ישרים שונים קובעים נקודה, *אלא* אם הם מקבילים. יש פה חוסר סימטריה מצער, ומצב יוצא-דופן מצער לא פחות. נדמיין ישר אופקי, וישר אחר החותך אותו. נקבע על הישר השני נקודה כלשהי הנמצאת מעל הישר הראשון , ונסובב את הישר כמו פרופלור סביב הנקודה הזו, נגד כיוון השעון. נקודת החיתוך תרוץ ימינה, מהר יותר ויותר, עד שבסוף היא "תעוף לאינסוף" ותיעלם, בדיוק בשלב בו שני הישרים מקבילים. מיד לאחר מכן היא תופיע שוב - מצד שמאל דווקא, ותמשיך להתקדם ימינה לעבר מצבה המקורי כשהישר ישלים חצי סיבוב. היה נחמד אילו יכולנו להוסיף נקודת-חיתוך "וירטואלית" של שני הישרים המקבילים, נקודה שיש לדמיין אותה כנמצאת גם הרחק-הרחק ימינה "מחוץ למישור, באינסוף" וגם הרחק-הרחק שמאלה. אותה נקודה חדשה נמצאת על כל ישר אופקי, ולכן גם בחיתוך של כל שני ישרים כאלה. אך היא לא נמצאת על ישרים בעלי שיפוע אחר. מדוע? כי אם אותה נקודה וירטואלית תימצא גם על ישר משופע, נקבל שהישר האופקי והמשופע נחתכים בשתי נקודות: הרגילה, והוירטואלית. זה לא רצוי לנו - באנו לתקן, לא לקלקל. לכן נוסיף נקודות וירטואליות שונות לכל שיפוע, למשל נקודה המתאימה ל"שיפוע של 30 מעלות צפון-מזרחה", שהיא כמובן גם אותה הנקודה המתאימה ל"שיפוע של 30 מעלות דרום-מערבה" (זהו אותו ישר). הבה נראה מה מצב הכללים שהזכרנו קודם. האם כל שני ישרים שונים נחתכים בנקודה? כן. אם הם לא מקבילים, הם נחתכים בנקודה "רגילה", ואם הם מקבילים, הם נחתכים באותה נקודה וירטואלית שהוספנו במיוחד עבור השיפוע שלהם. האם כל שתי נקודות שונות עדיין קובעות ישר? אם שתי הנקודות הן "רגילות", אז כן - ממש כמו קודם. אם אחת מהן וירטואלית, ואחת רגילה, התשובה לשמחתנו היא שוב כן - זהו הישר היחיד העובר דרך הנקודה הרגילה בשיפוע המתאים לנקודה הוירטואלית. ומה אם שתיהן וירטואליות? המממ... הפתרון פשוט: אם הוספנו עוד שלל נקודות, דבר לא מונע מאיתנו להוסיף עוד *ישר*, ישר אחד ויחיד "באינסוף" העובר דרך כל הנקודות הוירטואליות. לשמחתנו, הוספת ישר זה מסתדרת היטב עם שני הכללים: נסו לחשוב מהי נקודת החיתוך היחידה של הישר הוירטואלי באינסוף ושל ישר רגיל. את הישר החדש כדאי לדמיין דווקא כמעגל גדול גדול המקיף את כל המישור. זהו המישור הפרוייקטיבי, ולמרות שהוא נראה מבלבל, הוא הרבה יותר סימטרי ופשוט מהמישור המוכר. נניח למשל שאנו מנסים למיין עקומות ממעלה שנייה (חתכי-חרוט). במישור הפרוייקטיבי אין שום הבדל בין אליפסות להיפרבולות: לעיניהם של בני-תמותה הן נראות שונות מאוד, אך למי שחי במישור הפרוייקטיבי הן פשוט אותו דבר מנקודת-מבט אחרת. נשאר להסביר איך הופכים את הסיפור הנחמד הזה למשהו טיפה יותר מדויק, ואיך הוא קשור להגדרות השונות שהביא ניר. זה לא קשה (אם כי קצת מאתגר בלי לוח וגיר), אבל ההודעה כבר התארכה1 אז נשאיר זאת לפעם אחרת. 1 ממוצע האורך של הודעותי האחרונות הוא קרוב מאוד לבלתי-נסבל, חוששני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהתחלה בארמת דמיינתי את הישר החדש כמעגל המקיף את המישור. הבעיה היא שאז "מקבלים" שהוא נחתך עם כל ישר רגיל בשתי נקודות, במקום באחת. אולי עדיף לדמיין אותו כחצי מעגל המקיף את חצי המישור הימני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדיין "נקבל" שהוא נחתך פעמיים עם ישרים רגילים אנכיים. אפשר, לחילופין, לדמיין את הישר החדש כישר אנכי שנמצא מימין למישור. אז תהיה בעיה שהוא לא נחתך בכלל עם ישרים רגילים אנכיים. אבל יש כאן שיפור-מה, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי נדמה שלא דייקת בהערה המקורית שלך: המעגל הגדול חותך כל ישר בשתי נקודות *שהן בעצם אחת*, אם תזכור איך עלינו לדמיין נקודות באינסוף. בכל אופן, זה נכון שאפשר להסתפק בחצי מעגל, בתנאי שלוקחים אותו עם נקודת-קצה בקצה אחד ובלי נקודת-קצה בקצה השני, וכך פותרים את בעיית הקוים האנכיים. (אני מתכוון לחצי-מעגל שנראה כמו האינטרוול [0,1), המכיל את 1 ולא מכיל את 0, מכופף לקשת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שתי הנקודות הן בעצם אחת לפי החצי-הגדרות החצי-מדויקות, אבל המטרה של הדמיוּן היא לקבל אינטואיציה חזותית, ושתי הנקודות לא נראות כמו אחת. ומבחינה זו, גם עם המעגל החצי-פתוח לא פותר את בעיית הקוים האנכיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לא צריך לרדת עלי עם חצי-הגדרות, זה הכי טוב שאני יודע לעשות :-) אכן המטרה היא לקבל אינטואיציה חזותית, אבל אין ברירה אלה לחשוב על צמד נקודות קוטביות כנקודה אחת - שני ישרים מקבילים נחתכים בנקודה זו, ועליה להימצא בו-זמנית בשני ה"קצוות" שלהם. (אגב, למה המעגל החצי-פתוח לא פותר? הרעיון הוא לבחור נציג אחד מכל זוג נקודות, ומעגל חצי-פתוח עושה זאת בהצלחה לדעתי). אבל, כיוון שכבר אני מואשם באי-דיוק, הנה דרך אחת מסודרת ואף שימושית מאוד להסתכל על המצב. נחשוב על המישור כאילו הוא ממוקם בתוך מרחב תלת-ממדי עם מערכת צירים סטנדרטית (Y, X ו-Z), אך שלא כצפוי נחשוב עליו כעל המישור Z=1, כלומר ממוקם בגובה מטר מעל "הרצפה". נשים לב שכל נקודה במישור זה אפשר לחבר לראשית הצירים ולקבל ישר במרחב, העובר דרך הראשית וחותך את המישור שלנו בנקודה זו. באופן דומה, כל ישר במישור שלנו מגדיר מישור במרחב, המכיל את הישר וגם עובר דרך הראשית. מי שאוהב אלגברה לינארית יכול לחשוב על הישרים-דרך-הראשית כתת-מרחבים חד-ממדיים, ועל המישורים האלה כתת-מרחבים דו-ממדיים. נשים לב שישרים במרחב העוברים דרך הראשית יש טיפה יותר מאלה שייצרנו עד כה: יש גם את אלה "על הרצפה", המוכלים במישור Z=0 ועל-כן מקבילים למישור המוגבה שלנו. יש גם מישור אחד, Z=0 עצמו, שאיננו חוצה את המישור המוגבה. עכשיו אפשר לנחש מה התמונה המתקבלת. כדי להגדיר את המישור הפרוייקטיבי, מתייחסים ל*כל* ישר-דרך-הראשית במרחב כאל "נקודה", ולכל מישור-דרך-הראשית כאל "ישר". בינתיים נמשיך להשתמש במרכאות עבור המושגים הפרוייקטיביים כדי לא להתבלבל. אומרים ש"נקודה" נמצאת על "ישר", כצפוי, אם הישר המתאים ל"נקודה" מוכל במישור המתאים ל"ישר". מהגדרה זו אפשר כבר לפתח את שאר המושגים הגיאומטריים: ה"ישר" המוגדר ע"י שתי "נקודות" שונות הוא ה"ישר" המכיל את שתיהן, ויש באמת תמיד בדיוק אחד כזה. החיתוך של שני "ישרים" שונים הוא תמיד "נקודה". אלו טענות קלות באלגברה לינארית, וגם אינטואיטיביות מאוד גיאומטרית. התמונה ממנה התחלנו, של המישור המוגבה, מאפשרת לראות שעל רוב ה"נקודות" אפשר באמת לחשוב כנקודות במישור המוגבה, ועל ה"ישרים" כישרים במישור זה. אבל רק לרוב. יש "נקודות" המתאימות לישרים במרחב העוברים דרך הראשית במישור Z=0, ולכן לא חותכים את המישור המוגבה. "נקודות" אלו הן כמובן הנקודות החדשות באינסוף, אלא שעכשיו יש להן משמעות מוגדרת ואינטואיציה גיאומטרית ברורה: "נקודה" כזו היא פשוט ישר אופקי במרחב. ה"ישר באינסוף" הוא פשוט המישור Z=0 עצמו. זהו מודל ה"ישרים דרך הראשית" של המישור הפרוייקטיבי שהזכיר ניר, ועכשיו ראינו דרך טבעית לראות במודל זה את המישור הרגיל פלוס נקודות וישר באינסוף. במקום לחתוך עם הישר המוגבה, אפשר לחשוב על ספירה סביב ראשית הצירים. כל ישר דרך הראשית חותך ספירה כזו בשתי נקודות קוטביות, וכל מישור דרך הראשית חותך אותה במעגל גדול, מעגל שהוא כמו קו-משווה. זו הדרך לראות את המישור הפרוייקטיבי כספירה שבה נקודות קוטביות מזוהות ל"נקודה" אחת. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |