בתשובה לאלון עמית, 18/08/03 18:19
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בעזרת איזה אקסיומות מגדירים את המספרים הממשיים? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
את הממשיים אפשר *לבנות* מתוך המספרים הטבעיים (בונים את המספרים הרציונליים, וממשיכים בעזרת "חתכי דדקינד" או סדרות קושי). לאחר שבונים אותם, אפשר להוכיח שאוסף הממשיים מהווה שדה סדור שלם ארכימדי יחיד. אם-כך, אפשר לקחת את התכונות האלה כהגדרה אקסיומטית, וזה בדיוק מה שעושים בקורסים בחשבון אינפיניטיסימלי שבהם אין זמן לפיתוח מסודר של כל המערכת. (יתכן שאי-אילו מלים בתגובה זו דורשות הסבר נוסף; לא לפחד להצביע). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי רק מזכיר גם את התורה של שדות סגורים-ממשית (Real Closed Fields), שלמטרות מסויימות היא נוחה יותר. זו לא הגדרה אקסיומטית של הממשיים, אבל זו תורה סימפטית גם מההיבט האלגברי וגם מההיבט הלוגי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, ברמת ה-"להזכיר" הזכרתי... אבל הנה עוד פרטים. ההקשר ממנו צמחה התורה הוא הבעייה ה-17 של הילברט, שנפתרה יחסית מהר ע"י ארטין ושרייר. את האקסיומות של שדה אני מניח שמכירים. שדה נקרא "ממשי" אם 1- איננו סכום ריבועים בשדה, ו-"סגור ממשית" אם הוא ממשי אבל כל הרחבה אלגברית שלו איננה כזו. אני מדגיש שוב שהתכונה "סגור ממשית" איננה כמובן ייחודית לשדה המספרים הממשיים, ולכן לא מדובר כאן על מערכת אקסיומות לשדה זה ספציפית. מצד שני, כרגיל במתמטיקה, מאוד מועיל לראות כמה מידע אפשר לחלץ מתכונה מסויימת של אובייקט מתמטי כאשר "מפשיטים" אותה, וכאן זה עובד מצויין. בקיצור, אפשר לראות שעל שדה סגור ממשית אפשר להגדיר סדר (a גדול מ-b אם a-b הוא ריבוע), ואח"כ להוכיח כל מיני תכונות נחמדות (המוכרות מהממשיים) כמו שלכל פולינום ממעלה אי-זוגית יש שורש (היופי הוא שכאן עושים את זה "בלי אינפי"). מההיבט הלוגי, כפי שציינתי, התורה היא סימפטית כי היא כריעה ושלמה. אפשר למצוא עוד פרטים בהרבה ספרים על אלגברה וגם ברשת - למשל: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, רציתי להצביע, אבל מצאתי את מה שחיפשתי ב http://students.bath.ac.uk/ma2mo/project_real/main.h... | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |