בתשובה לדורון שדמי, 01/09/05 15:58
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327033
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי יום ה', 1/9/2005, 16:16
אני מוכרח להעיר הערה שמציקה לי כבר משלב מוקדם בדיון: שוב ושוב אתה טוען שקנטור יצר זהות בין המושגים "קבוצה" ו"אוסף", ובכך יצר בלבול שמטעה מתמטיקאים עד היום.

אתה *כמעט* צודק: קנטור באמת התייחס לקבוצה במובן האינטואיטיבי של המילה. המובן האינטואיטיבי הזה מאפשר להגדיר קבוצות מפלצתיות כמו "קבוצת כל הקבוצות" ולהגיע לסתירה.
כמו הרבה תחומי מתמטיקה במאה העשרים, גם תורת הקבוצות עברה אקסיומטיזציה כדי להמנע מאותן סתירות. היום אין (!) הגדרה לקבוצה. קבוצה היא אובייקט שמקיים דרישות מסוימות, שהן אקסיומות ZF. מן הסתם, קנטור לא הכיר את ZF. כך, אגב, מתייחסת המתמטיקה למושגים רבים.

בקיצור, כבר שנים קיימת הפרדה במתמטיקה בין קבוצה לאוסף.
אוסף כל הקבוצות הוא לא קבוצה.
אוסף כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן הוא לא קבוצה.
אוסף כל הסודרים הוא לא קבוצה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327066
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום ה', 1/9/2005, 18:38
גיל כבר כתב כאן נכון על כך ש"אוסף" (Collection) זו מילה חסרת משמעות במתמטיקה (לפחות זו שאני וכנראה גם הוא מכירים). המונח המקובל יותר לתיאור ה"אוספים" שעליהם אתה מדבר בסוף ההודעה שלך הוא "מחלקה" (Class, אם איני טועה).

אני חושב שדורון מנסה לבצע הפרדה בין קבוצה - שהיא ה"קופסה" שמכילה דברים, וניתן לדבר עליה גם כעומדת בפני עצמה ("הקבוצה הריקה") ובין התוכן שהיא מכילה, שהוא כנראה ה"אוסף" המדובר. הטענה שלו היא שניתן לדמיין קבוצה שהיא מלאה לגמרי, בצורה כזו שלא ניתן להתייחס לאיברים שהיא מכילה. אפשר לדמיין את זה במונחים של עליית הגג הדמיונית שלי: יש שם כל כך הרבה זבל שאי אפשר להתחיל להוציא ממנה דברים כי אין לך מושג מאיפה להתחיל.

הבעיה היא שאחרי שמקבלים את הקיום הפילוסופי של עליית גג שכזו, לא ברור איך היא משתלבת במתמטיקה ומה עושים איתה, בניגוד לקבוצה הריקה שדווקא מצליחים לבנות ממנה דברים יפים (למשל, את כל המספרים). כאן נכנס דורון עם כל מני סימנים של {__} ומדבר על זה שקנטור טעה, אבל אני מאבד אותו.

אפילו איך מגדירים "קבוצה מלאה" בצורה אקסיומטית אני לא מבין. אני יכול להגיד "הקבוצה המלאה היא קבוצה שכל האיברים שייכים לה" אבל אז ברור שזה לא יהיה מה שדורון מתכוון אליו אלא ורסיה של "קבוצת כל הקבוצות" הידועה לשמצה. אני יכול להגיד "הקבוצה המלאה היא קבוצה שאף איבר לא שייך לה" כי הרי אי אפשר להתייחס לאף אחד מהאיברים שבתוכה, אבל אז פשוט נתתי שם משונה מאוד לקבוצה הריקה. אני יכול להגיד "הקבוצה המלאה היא הקבוצה המלאה" אבל זה יהיה סתם עצוב. לסיום אפשר לנסות ולהשתמש בהגדרה שנראה לי שדורון השתמש בה: "הקבוצה המלאה היא הקבוצה שמכילה "רצף"", כשלא ברור מה זה "רצף", אבל זה כנראה איבר בעל גודל שאינו 0 שאינו ניתן להצגה כאיחוד, סכום או משהו דומה של איברים אחרים. לא ברור לי מה עושים עם רצף שכזה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327108
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ה', 1/9/2005, 23:59
(קודם כל, אני מקבל את ההערה הטרמינולוגית בהתחלה.)

הבנתי מה דורון מה לעשות. הטענה שלי היא שהוא טועה כבר בצעד הראשון: ניסיון להגדיר מחדש "קבוצה". תורת הקבוצות הנאיבית ראתה קבוצה כמושג ברור מאליו. תורת הקבוצות האקסיומטית לא מגדירה קבוצה. היא רואה את הקבוצות כמחלקת אובייקטים שמקיימת את ZF (קיימת הקבוצה הריקה, לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה שלה, קיימת קבוצה אינסופית בת-מניה...)

הניסיון להגדיר מחדש באופן אינטואיטיבי "קבוצה", "נקודה" ועל אחת כמה וכמה "רצף" (במשמעות של דורון) היא כבר צעד מוטעה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327112
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 2/9/2005, 0:38
אולי עוד יצא מהדיון הזה משהו מעניין. לא חשבתי עד היום על ZF בתור אקסיומות דומות לאלו, נניח, של תורת החבורות - כלומר, רשימת "דרישות" שאנחנו דורשים ממבנה ואז אומרים "אם הוא מקיים אותן אז כל המשפטים היפים שהראינו עבור חבורות מתקיימים עבורו", ואז הולכים ומחפשים בטבע מקרים שונים של חבורות. דווקא בכל הנוגע ל-ZF חשבתי עליהן כעל אקסיומות במובן ה"קלאסי": הנחות יסוד ש"ברור" שהן נכונות.

ההבדל הוא שצריך להתחיל מאיפה שהוא. אני יכול להגדיר אקסיומות של חבורות, ולא תהיה לי בעיה להראות דברים שמקיימים את האקסיומות גם בלי "להמציא" אותם: אני אביא את המספרים השלמים, למשל. אבל מכיוון ש-ZF מגדירות את האובייקטים הבסיסיים ביותר, שמהם נבנים כל שאר האובייקטים, אין לנו דרך "לקיים" את האקסיומות של ZF, ולכן אנחנו "ממציאים" אובייקטים, או מניחים שהם קיימים. במילים אחרות, אנחנו מניחים שקיים משהו שמקיים את ZF ונותנים ל-ZF להגדיר אותו (בשונה מהמקרה של חבורות - כי הרי גם כשהשלמים מהווים חבורה, אנחנו עדיין חושבים עליהם כעל השלמים, לא כעל משהו שהמידע היחיד שלנו עליו הוא שהוא "חבורה").

האם אני טועה, ובעצם אין הבדל?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327116
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 2/9/2005, 0:50
אולי יש הבדל קטן: ההגדרה של חבורה מתארת את הדרישות מחבורה, ולא מקבוצת כל החבורות. ZF לא מגדירה קבוצה, אלא את התכונות של מחלקת הקבוצות. בדומה לגיאומטריה, ZF מבטיחה לנו שיש קבוצות מסוימות במחלקה, ומאפשרת לנו להסיק את קיומן של קבוצות מקיומן של קבוצות אחרות (זו למעשה "בנייה" של קבוצות, כמו "בנייה" בגיאומטריה, שהיא למעשה רק הוכחת קיום).
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327121
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 2/9/2005, 1:05
נדמה לי שגדי שאל על ההבדל בין מודל לתורת החבורות (דהיינו חבורה) לבין מודל לתורת הקבוצות ("היקום המתמטי"+-).
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327144
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ו', 2/9/2005, 8:16
אני למדתי ש''מודל'' הוא, בבסיסו, קבוצה. לכן ''מודל לתורת הקבוצות'' נשמע כמו הנחת המבוקש.

כן, אני יודע מה תגיד עכשיו, כבר הצקתי למרצים שלי בעניין והם אמרו לי להשאיר את זה לפילוסופים. זה גם לא ממש מפריע לי.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327179
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 2/9/2005, 12:51
מתוך ענין: מה אני אגיד עכשיו?‏1 ניסיתי לחשוב איך לגשת לענין ועוד לא החלטתי. תן תחזית ואז נמשיך.

‏1 ודאי שלא אומר לך להשאיר את זה לפילוסופים.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327185
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ו', 2/9/2005, 13:33
אני לא רואה שום בעיה באקסיומות שהן "הנחת המבוקש", כשהנחות הבסיס הן סבירות. הרי צריך להתחיל מאיפה שהוא. במקרה הכי גרוע אפשר תמיד להגיד "אם ZF נכונה אז..." לפני כל משפט מתמטי. אם זה לא מפריע לי, לא ברור למה שזה יפריע לך.

מה שמעניין באמת הוא מה יקרה אם יתברר שההנחות "לא נכונות", כלומר "אין" קבוצה ריקה (איפה?) הרי מטוסים לא יתחילו ליפול, וקבצים מוצפנים לא יהפכו פתאום לקריאים, ותורת גלואה תמשיך להיות יפה. אז מה בעצם ההבדל?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327189
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 2/9/2005, 14:14
לדעתי, המתמטיקה לא צריכה להתחיל משום דבר. ההגדרה למערכת אקסיומות בדיון 2396 מספיקה כדי להגדיר מערכות אקסיומות לא אינטואיטיביות בכלל. לנו, כבני אדם, ברור למשל שכל טענה יכולה להיות "נכונה" ויכולה להיות "לא נכונה", כי לנו נוח לעסוק במערכות שבהן לכל טענה יש "שלילה". למתמטיקה אין צורך כזה. הצורך הוא שלנו.

גם הצורך בהנחה ש-ZF "נכונה" במובן כלשהו הוא צורך שלנו, לא של המתמטיקה.

(אני אקל על המתדיינים ואציין מה נקודת התורפה של הגישה הזאת: מערכת אקסיומות מוגדרת כפונקציה. כלומר, אנחנו צריכים להאמין בקיום הבלתי-תלוי של פונקציות. כמו כן, במערכת אקסיומות טענה ניתנת להוכחה, או שלא. כלומר, כבר בהגדרה ה"חיצונית" של מערכת אקסיומות, יש ל"לא" משמעות טבעית.

אני רק אציין, שהצורך ב"הסתכלות מבחוץ" על המערכת כפונקציה, והצורך ליצור זהות בין ה"לא" הטבעי למושג "לא" במערכת, הוא צורך אנושי.)
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 666713
בניה קורן • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 30/10/2015, 0:46
אין לי עדיין בסיס מתמטי מי-יודע-מה, אבל אני חושב שיש לי כיוון לתשובה שהוא לפחות מעניין:

קודם כל כמה נקודות על המתמטיקה באופן כללי, שאין בהן חידוש אבל הן הקדמה לרעיון עצמו: הרעיון הוא לתכנן מערכות של סמלים כך שמניפולציות עליהן יהיו מעין-איזומורפיות למניפולציות על רעיונות, שבתורם ינסו להתאים למושא.
כל מה שקורה בתוך גבולות המתמטיקה הוא במובן מסוים ריק מתוכן אם מנתקים אותו מהמשמעות שאנחנו מעניקים לאקקסיומות בהקשר ספציפי. [ואני אומר את זה מתוך הערכה עצומה למתמטיקה ולתפקיד שלה בייעול החשיבה]
מושגים מסוימים במתמטיקה לא מתאימים באופן ישיר לרעיונות מסוימים לגבי המציאות, אלא יש להם איזה תפקיד פנים-מתמטי. המשמעות שלהם נגזרת מהתפקיד שלהם ברשת המושגים כולה, המשיקה בקצותיה עם המציאות.
כל זמן שההיסקים תקפים, אין חשש ל"טעות" במתמטיקה. זאת בתנאי שלא התחייבנו לייחס את האקסיומות למושא מסוים.

עכשיו לגבי יסודות המתמטיקה:
אני נוטה לתפוס את אקסיומות הלוגיקה ותורת הקבוצות באופן די דומה לאקסיומות בתחומים אחרים, אלא שהן בעלות תפקיד ייחודי בכינון השפה המתמטית.
כך לדוגמה כללי היעדר הסתירה והשלישי הנמנע (ושיטות ההיסק הנגזרות מהם) הם לא איזו אמת מטא-פיזית שקיימת מעצמה, אלא ה"אקסיומות" שנותנות משמעות למילה "לא". אי אפשר להיות "ראשוני וגם לא ראשוני", כי הכוונה באמירה "לא ראשוני" היא בדיוק לא לאפשר את זה. כך גם הכמתים "יש" ו"כל" מקיימים אקסיומות מסוימות לא כגזירת גורל מטא-פיזית, אלא כמה שמגדיר את המשמעות ה"דקדוקית" שלהם. [כמובן, אני נאלץ להשתמש במושגים הלוגיים בתיאור שלי. השימוש הזה הוא לא ניסיון להצדיק אותם באמצעות עצמם, אלא הוא נובע מכך שהם תנאי לכל שימוש משמעותי בשפה]. אין כאן חשש לטעות, כי אנחנו עוד לא אומרים כלום על המציאות. כל מה שאנחנו אומרים הוא ש"כשאומר לך משפט בעל המבנה הלוגי ___, תוכל להסיק ממנו על דעתי שאני מאמין גם ב___".
לגבי תורת הקבוצות זה קצת יותר מרחיק לכת לומר את זה, אבל עדיין נראה לי סביר. כל תפקיד האקסיומות של תורת הקבוצות הוא שכשיבוא יום ותרצה לתאר על רעיונות יותר מורכבים, תוכל לטעון טענות יותר בנוחות. לומר ש"הקבוצה הריקה לא קיימת" זה כמו לומר "אני דובר שפה בה אי אפשר לטעון טענה שאין לה מושא". אתה מחליט אם זה "נכון" או "לא נכון". רק כש(למשל)תנסח בעזרת שפת-הקבוצות המקובלת עליך טענה על המספרים הממשיים, ותרצה לטעון שהמבנה של המספרים הממשיים מתאים לתאר איזה מדד פיזיקלי, אתה אומר משהו בעל משמעות שעלול להיות שגוי. והמשמעות שלו (ובכללה המסקנות שניתן להסיק ממנו) אולי תושפע מבחירת האקסיומות בתורת הקבוצות, אך באותו אופן שמשמעות טענה בשפה דבורה מושפעת מבחירת השפה על ידי הדובר. אם אני מצביע על כלב ואומר "זה לא כלב אלא חתול", אין להאשים את "ממציא העברית" על שבחר את המילים "כלב" ו"חתול" לתאר קטגוריות אלה ולא להיפך, או על שבחר דווקא את התפקודים הדקדוקיים האלה למילים "לא" ו"אלא", אלא אותי על שאני לא מבין את הסיטואציה.

אני מקווה שהצלחתי להעביר את הרעיון, ואשמח לקרוא את דעתכם עליו
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327119
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 2/9/2005, 1:01
זהירות, אתה בדרך להיהפך לפלטוניסט (אריתמטי, לפחות).

לטעמי, יש לקבל את העובדה שיסודות המתמטיקה מוגדרים פחות משחשבנו. שני העוגנים העיקריים, תורת הקבוצות והלוגיקה, לא מעוגנים בתורם בשום דבר מעבר לאינטואיציות המתמטיות שלנו‏1. אם קיבלנו את זה, הרי שאין הבדל בין חבורה לבין מודל לתורת הקבוצות, למעט העובדה שחבורה היא פשוטה יותר (ולכן ניתן לתאר חבורה כלשהי בקלות באינטואיציה ישירה כמו גם בתוך מודל של תוה"ק).

‏1 אפשר לבסס כל אחד מהם על רעהו.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327127
אלון עמית • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ו', 2/9/2005, 2:42
שנמשיך?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327186
האייל הצעיר • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ו', 2/9/2005, 13:33
אינטואיציות מתמטיות? אם אנחנו יכולים לבנות מכונות טיורינג ש"תשתמש" במושגי היסוד שלנו, הם לא מבוססים על אינטואיציה. נכון שלנו קשה יותר לעבוד עם מושגים כמו "טרילילי" ואנחנו זקוקים להכרת המונח האינטואיטיבי "קבוצה" כדי לעבוד עם תורת הקבוצות, אבל הבעיה היא שלנו, לא של המתמטיקה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327427
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום א', 4/9/2005, 0:38
נו, אתה מיחס לי תכונות טרחניות שלא בצדק.
ודאי שאיני חושב שיש צורך באינטואיציה כדי שהפורמליזם המתמטי יעבוד. אבל (לדעתי) הפורמליזם איננו המתמטיקה, כשם ששפת סף או הגדרה של מכונת טורינג אינה מדעי המחשב.
מתגובותיך בדיון זה אני נוטה לחשוב שאתה פורמליסט ועל כן דעתך כנראה שונה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327531
האייל הצעיר • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום א', 4/9/2005, 18:23
לא התכוונתי לייחס לך שום תכונות טרחניות, ואם עשיתי את זה אז אני מתנצל (אילו תכונות, אגב?).

בהקשר האריתמטי אפשר לסווג אותי כפלטוניסט (וגם בהקשר החישובי שהזכרת). אני בהחלט מאמין שיש ערך אמת לכל טענה שניתן לנסח בשפה של PA.
כאשר אנחנו מגיעים לקבוצות, יש כבר בעיה: המשמעות האינטואיטיבית של "קבוצה" אכזבה בעבר. לפני שהתגלו הפרדוקסים שעוסקים בקבוצות (ובראשם הפרדוקס של ראסל, כמובן) היה נדמה שאנחנו מבינים את מושג הקבוצה באותה רמה שאנחנו מבינים את מושג המספר הטבעי. הפרדוקסים הוכיחו לנו שיש אובייקטים מתמטיים שאנחנו נסווג באופן טבעי כקבוצות, אך סותרים כמה הנחות שלנו על קבוצות. לכן, הקבוצות היחידות שאני בטוח שהן קבוצות הן אלה שניתנות לבנייה ב-ZF.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327538
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר יום א', 4/9/2005, 18:49
"היה נדמה שאנחנו מבינים את מושג הקבוצה באותה רמה שאנחנו מבינים את מושג המספר הטבעי."

אני חושב שהבטחון שלך בהבנת המספר הטבעי לא במקומו, כי אתה מתעלם מדרגות הסימטריה הפנימית שלו, המתקיימות בין מצב מקבילי למצב סידרתי.

אקסיומות פאנו ו-ZF מגדירות רק את המצב הסדרתי, אך מתעלמות לחלוטין מהמצב המקבילי ומכל מצבי הבייניים המתקיימים בין המצב המקבילי המלא לבין המצב הסידרתי המלא, כפי שמוגדם במאמר המצורף: http://www.geocities.com/complementarytheory/ONN1.pd...
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327542
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי יום א', 4/9/2005, 18:58
התודעה שלי מגדירה את מכונת טיורינג, ומכונת טיורינג יכולה לעסוק במספרים הטבעיים, אז מכאן נובע שהתודעה שלי יכולה להבין גם ‏1 את המספרים הטבעיים.

אם אתה רוצה, אתה מוזמן להחליף בכל מקום בתגובה שלי את המושג "מספר טבעי" במושג "סדרה סופית של אפסים ואחדות".

אגב, מעניין אותי לשאול: אם אתה רואה שלושה פילים, אתה באמת משוכנע שה"שלושיות" של הפילים היא רק השתקפות של התודעה, ולא תכונה אמיתית של אוסף הפילים?

‏1 ואולי רק.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות