 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני גאה לספר שעוד כשהייתי נער, גיליתי (לגמרי בעצמי) את ה"פרדוקס" של המדרגות שהולכות ונצמדות ליתר של משולש יש"ז, אבל האורך הכולל שלהן נשאר קבוע, ולא מתכנס לאורך היתר. זה אכן הפתיע אותי, אבל מזמן למדתי לחיות בשלום עם העובדה הזאת. קבל "פרדוקס" דומה בהסתברות: על השולחן מונח שקל אחד. מטילים שוב ושוב קוביה, וכל עוד לא התקבל "עץ", מכפילים אחרי כל הטלה את הסכום שעל השולחן. מיד אחרי שמתקבל לראשונה "עץ" מנקים את השולחן, והוא נשאר נקי למשך כל אינסוף ההטלות שאחרי רגע זה. בוא נקרא X_n לסכום שעל השולחן אחרי ההטלה ה-n. הסכום הזה הוא 2 בחזקת n אם כל n ההטלות הראשונות היו "פלי", דבר שקורה בהסתברות חצי בחזקת n, אחרת הוא 0. לכן התוחלת של X_n היא 1. מהו הגבול של סדרת התוחלות? זה הגבול של הסדרה הקבועה 1, שהוא כמובן 1. מצד שני, בהסתברות 1, מתישהו יתקבל "עץ", כלומר הגבול של סדרת ה-X_n הוא 0, והתוחלת של 0 היא 0. כלומר: התוחלת של הגבול שונה מהגבול של התוחלת. שלוש הערות: 1. התהליך שתיארתי הוא בדיוק אסטרטגיית ההימורים שנקראת "מרטינגייל", שממנה נגזר מונח מתמטי יותר כללי באותו השם. 2. צריך להיות זהירים כשמדברים על ההתכנסות של X_n, כי X_n הוא מה שנקרא "משתנה מקרי", ויש כמה דרכים (לא שקולות) להגדיר התכנסות של סדרת משתנים מקריים. בסיפור שלנו, X_n מתכנס ל-0 בשלושה מתוך ארבעת המובנים ה"מקובלים" להתכנסות. 3. הדמיון בין הבעיה הגיאומטרית לבעיה ההסתברותית הוא שבשני המקרים יש לנו סדרת אובייקטים (עקומים מזגזגים בגיאומטריה, סכומי כסף על השולחן בהסתברות) שמתכנסת במובן מסוים לאובייקט נוסף (יתר המשולש, המספר 0), וכן פעולה שאפשר לבצע על האובייקטים (מדידת אורך, חישוב תוחלת). בשני המקרים הגבול של סדרת תוצאות הפעולה על סדרת האובייקטים הוא לא אותו דבר כמו תוצאת הפעולה על גבול סדרת האובייקטים. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מטילים שוב ושוב מטבע, כמובן, ולא קוביה. אוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(קוביה דו-ממדית) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(דו-צידית) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שזה בעצם קוביה חד מימדית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קוביה מעץ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין עם עקומים קרובים כרצוננו שהם בעלי אורך שונה אינו מהווה בעיה של ממש, הוא מפתיע רק ממבט ראשון. כאשר זוכרים את העובדה (שבמקרה הוזכרה לאחרונה) שאפשר להגדיל היקף של עקום סגור לכל גודל בלי שהשטח יגדל, ברור שהשטח שבין שני העקומים אינו מהווה מגבלה על האורך של אף אחד מהם. קו מזוגזג בזיגזוגים צרים מאד יכול לספק כל אורך שתרצה ובה בעת לתחום שטח קטן ככל שתרצה עם הקו השני, והפונז נתן דוגמא לאפשרות דומה. גם אם מגדירים את הקירבה ביו הקוים לא ע"י השטח אלא ע"י המרחק המכסימלי בין שתי נקודות מתאימות על העקומים (בהתאמה חח"ע ועל כלשהי) אין בעיה לראות שזה לא בהכרח מגביל את האורך, כפי שאלכסון הריבוע מראה. על ההימורים בשיטה הזאת דיברנו רבות באייל, אולי בדיון הזה עצמו, כפי שאתה בטח זוכר, כולל השאלה מתי לברוח מהימור שבו ניחוש נכון מזכה אותך בפי 3 מהסכום עליו הימרת (בלי להכנס לשיקולי "תועלת"). אגב, עד היום חשבתי שמרטינגייל הוא איזו הרחבה של אינטגרל ולא ידעתי שהוא קשור להסתברות או סטטיסטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד הערה שאני חייב להוסיף על הנושא: התכונה הזו, שהתוחלת של הגבול שונה מהגבול של התוחלת, היא בעצם אי רציפות של פונקציית התוחלת, ביחס להגדרה הזו של גבול של משתנים מקריים. על מנת להבהיר את הקשר: רציפות של פונקציה ("רגילה" מהמספרים הממשיים לעצמם) היא בדיוק התכונה שהפונקציה מופעלת על גבול של סדרה מתכנסת שווה לגבול ההפעלה של הפונקציה על איברי הסדרה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |