 |
|
 |
||
|
||||
 |
למה שדווקא השערת גולדבך תהיה בלתי-תלויה באקסיומות הסטנדרטיות? זה נראה לי לגמרי לא סביר. ואם כן, למה ("ברור") שנרצה לצרף אותה כאקסיומה? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
דומני שאורי לא הניח שסביר שדווקא השערת גולדבך תהיה לא תלויה. בעיני היא לא מועמדת מוצלחת במיוחד, אבל זה עדיין ייתכן. ובאשר לצירופה כאקסיומה - אני חושב שהכוונה היתה שאם השערת גולדבך אכן מוכחת באורח-פלא כלא-תלויה, בפרט לא ניתן להצביע על דוגמה נגדית כלשהי, ולכן יותר "טבעי" להניח שהיא נכונה. אם, למשל, השערת הראשוניים התאומים מוכחת כלא-תלויה, המצב הוא ממש אחר: לא הטענה ולא שלילתה ניתנות לסתירה ע"י דוגמה, ולכן אין מועמד טבעי להיבחר כאקסיומה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהבנתי אותך. מבחינת המודל הטבעי - זה יהיה נכון, כיוון שאם יש דוגמא נגדית להשערת גולדבך במודל הטבעי, אז היא תהיה בכל מודל, ולכן שלילתה יכיחה מאקסיומות פיאנו. נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חייתי תחת האשליה הנבאיבית על פיה טענה כללית היא נכונה אם ורק אם היא מתקיימת עבור כל מקרה פרטי. איך השערת גולבך יכולה להיות לא תלויה? היכן הטעות בטענות להלן: * אם אפשר למצוא דוגמא נגדית - היא אינה נכונה. * אם אפשר להוכיח שלא קיימת דוגמא נגדית - היא נכונה. * אם לא ניתן להוכיח שלא קיימת דוגמא נגדית - לא ניתן להוכיח שהיא בלתי תלויה (כי אם היא בלתי תלויה, לא קיימת דוגמא נגדית). ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מוכיחים שלא ניתן להפריך את השערת גולדבך במסגרת אקסיומות פאנו, אז בפרט לא ניתן להצביע על מספר שאינו סכום של שני ראשוניים. אם כך, ההשערה נכונה. (לכן השערת גולדבך אינה יכולה להיות בלתי תלויה באקסיומות פאנו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה שלא ירדתי לסוף דעתך. אם לא ניתן להצביע על מספר כזה, אז הוא לא קיים (כי לכל מספר טבעי ניתן להגיע, ולו ע''י מעבר סדרתי על כל הטבעיים עד אליו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
withdrawn
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שאני לא מסכים לטענה בסוגריים. האם לא ייתכן מצב שבו לא ניתן לגזור מ-PA את GC וגם לא את GC~? למה? מנין ל-PA הכוח הזה? קח את המשוואה הדיופנטית של מאטייסביץ'. קיום פתרון למשוואה זו הוא לא כריע, ולכן בפרט אין לה פתרון (באותו מובן שאין לגולדבך דוגמה נגדית), כי אילו היה לה, היה קל לוודא אותו. למרות זאת, אין הוכחה שאין פתרון כזה. לפי הנימוק שלך, משוואה כזו לא תיתכן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה יופי, גם מתמטיקאים לא-טרחנים לא תמיד ומיד מסכימים זה עם טענותיו של זה :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל כשזה קורה הם לפחות מודים (אחד מהם, לפחות, וזה לא עוזי) שהם מדברים על דברים שהם לא מבינים בהם. חוץ מזה, חכה, גג שבוע ואנחנו נסכים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, התכוונתי להגיד שאני בטוח שתגיעו להסכמה ואני מתכוון לחכות בסבלנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה שחוסר ההסכמה נובע מאי-בהירות בטענה המקורית. כשמדברים על השערת גולדבך, זו יכולה להיות ההשערה ה"מתמטית", הסטנדרטית (שעוסקת רק במערכת הטבעיים המוכרת), או ההשערה ה"לוגית", זו שאומרת אותו הדבר, אבל מנוסחת כטענה מסדר ראשון על מערכת פאנו שבו היא מופיעה (אפשר להגדיר "כפל", "ראשוני" ו"ניתן לכתיבה כסכום שני ראשוניים" בשפה מסדר ראשון מעל מערכת פאנו). ההשערה הלוגית היא רחבה יותר, משום שבמערכת פאנו לא סטנדרטית היא מתייחסת גם לאברים ה"לא טבעיים". ההבדל המהותי הוא, כמובן, שבהשערה המתמטית כל דוגמא נגדית אפשר לבדוק בזמן סופי (אלא ש"אפשר לבדוק בזמן סופי" נמצא מחוץ למסגרת האקסיומות מסדר ראשון). אי-בהירות נוספת: אי-תלות "סתם", שבה ההשערה הנוספת נראית כאילו היא בלתי תלויה במערכת האקסיומות, לעומת אי-תלות "מוכחת" שבה, באמצעים שמחוץ-למערכת *מוכיחים* את אי-התלות (כמעט תמיד - על-ידי בניית מודל). כעת אנסה לנסח ולהוכיח את הטענה שלי מחדש. לא יתכן ש*נוכיח* (מחוץ למסגרת מערכת פאנו) שהשערת גולדבך (המתמטית!) אינה תלויה במערכת פאנו - או אפילו שעקבי להניח את השלילה שלה, משום שאז לא תתכן דוגמא נגדית "סופית" (ממערכת פאנו הסטנדרטית), ובכך הוכחנו את ההשערה כמשפט. אני מודה שזו טענה קצת מוזרה, כי בדרך כלל כשמדובר על אי-תלות, צריך להיות ניסוח של ההשערה בכלים של אותה מערכת (פאנו, במקרה שלנו), ואני לא טוען שום דבר על השערת גולדבך ה"לוגית", המנוסחת בשפה מסדר ראשון. בנוסף, הנימוק שלי עובד רק כשיש *הוכחה* לאי-התלות. אין לי שום דבר נגד מי ש*מאמין* באי-התלות, כל עוד הוא לא מתיימר לספק הוכחות (ובכך אני מתחיל לגלוש אל מחוץ לשטח השיפוט שלי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני לא מבין איך יכול להיות מודל של פאנו שבו ההשערה "הלוגית" לא נכונה, אבל אין לשלילתה הוכחה סופית. (הרי את הדוגמה הנגדית אפשר להרכיב ע"י סדרה סופית של פעולות successor מאפס). 2. אני מתאר לעצמי שבעיקרון, אפשר להוכיח את אי התלות גם בלי לספק מודל (למשל, אני חושב שמשפט גדל הוא כזה). האם הטיעון שלך תופס למקרה כזה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אשמח אם תרחיב (המושג "ניתן להגיע אחרי סדרה סופית" אינו מסדר ראשון). 2. הטיעון שלי אינו דורש מודל, אלא הוכחה (מתמטית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. א. אני לא לחלוטין מבין במה שאני מדבר כאן. ב. לא טענתי שהמושג "ניתן להגיע אחרי סדרה סופית" הוא מסדר ראשון. התהייה שלי הייתה איך ייתכן שיש מודל שבו ההשערה לא נכונה, אבל שאין לעובדה זו הוכחה. זאת מאחר ונראה שאם ההשערה לא נכונה, אז יש לה דוגמא נגדית, ואם יש לה דוגמא נגדית, אז הדוגמה הזו בעצם מהווה הוכחה בתוך אקסיומות פאנו. 2. האם לא ייתכן ש: א. השערת גולדבך נכונה. ב. לעובדה הזו אין הוכחה בפאנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני לא בקיא במודלים לא סטנדרטיים למערכות פאנו, ולכן צמצמתי את הטענה ל"השערת גולדבך המתמטית". יתכן שאת הדוגמא הנגדית (שאולי קיימת במערכת פאנו לא סטנדרטית) אי-אפשר לבדוק, שהרי במערכת לא סטנדרטית לא כל מספר הוא סופי (דהיינו, שרשרת סופית של פעולות עוקב על האיבר הראשון). 2. כנראה שזה המצב. אקסיומות פאנו הן חלשות מכדי שאפשר יהיה להוכיח בהן משהו מעין השערת גולדבך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני גם לא בקי אבל חשבתי שבכל מודל למערכת פאנו לא ייתכן מספר שלא ניתן להגיע אליו בשרשרת סופית של פעולות עוקב. (זאת מאחר שאם נגדיר את הקבוצה S כמכילה את 0 + כל המספרים שאפשר להגיע אליהם במספר סופי של פעולות עוקב מ0, אז לפי אקסיומת האינדוקציה* S יכיל את כל המספרים). * אקסיומה מס' 5 ב: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא אשר אמרתי: "אפשר להגיע במספר סופי של פעולות עוקב מ- 0" זה לא משפט בשפה מסדר ראשון, ולכן אקסיומת האינדוקציה לא חלה עליו. (וכל מערכות פאנו מסדר שני איזומורפיות זו לזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, זה בדיוק לא המצב. האקסיומה שציטטת היא מסדר שני, ובהקשר זה באמת אין מודלים לא-סטנדרטיים והבעייה נמוגה. בסדר ראשון, אי-אפשר לנסח את הטענה שלך ב-1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או, אז אם כך באמת אין לנו ויכוח, ותודה על ההבהרה. התיאור שלך גם מצדיק, לדעתי, את מה שאורי אמר בהתחלה על הוספת גולדבך כאקסיומה: אם מוכיחים את אי-תלות גולדבך הלוגית, זה אומר שהגירסה המתמטית נכונה (מה שאורי קרא "אין דוגמה נגדית במספרים רגילים"), ולכן סביר שנניח אותה כאקסיומה בנוסף לפאנו. מיץ, ראית? פחות משבוע!! :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי, ועכשיו הגיע הזמן למידע נוסף: האם אתם מכירים ספרים או מאמרים טובים ללימוד-עצמי (אפילו לא מעמיק במיוחד) בנושאים שהוזכרו כאן (תורת המודלים, חשבון מונים, כריעות וכיוצא באלה), אם אפשר שיתאימו לבעלי קצת ידע מתמטי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא ממש מכיר ספציפית ספרים בלוגיקה, אני מוכרח להודות, אבל נראה לי ש-"A Mathematical Introduction to Logic" של Enderton מכסה לא רע את הנושאים שעלו כאן. אם אתה מעוניין בדיון ארוך, משעשע ולא מעמיק, תמיד יש את GEB של Hofstadter שכבר הוזכר כמה פעמים בתגובות. ברשת, יש לפחות ספר אחד שנראה יסודי (די מעמיק ומדוייק): הזכרת גם "חשבון מונים", שזה נושא אחר קצת, ונדון בספרים לרוב עם הכותרת "תורת הקבוצות". יש ספר חמוד של Kamke, ואני חייב להזכיר גם את On Numbers and Games המופלא של Conway, שהוא מאוד לא אורתודוקסי אבל בעצם... מי צריך חשבון מונים אחר? אם תהית פעם כמה זה באמת אפסילון (כלומר, אחד חלקי אומגה), זה הספר בשבילך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו בדיוק הייתה כוונתי, אלא שאני חושש שאתה טועה במסקנתך, כלומר, פורמלית יתכן שהשערת גולדבך בלתי תלויה באקסיומות פאנו. במקרה זה, ניתן לבנות מודל עם דוגמא נגדית, אלא שהדוגמא הנגדית הנ''ל לא תוכל להיות במספרים ''רגילים'', אלו המשמשים אתנו לספור. מכיוון שאלו בדיוק המספרים שאותם אנו מנסים למדל ע''י אקסיומות פאנו, טבעי שנרצה להוסיף את השערת גולדבך לאקסיומות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם האפשרות השלישית נכונה? האם זה אומר שהיא *לא* בלתי-תלויה? שימ/י לב, כתבת "לא ניתן להוכיח שהיא בלתי-תלויה". אכן, נראה לי שאי-אפשר ב-PA להוכיח שגולדבך בלתי-תלויה. זה לא אומר שאי-אפשר להוכיח אי-תלות זו במערכת רחבה יותר, וזה בוודאי לא אומר שאפשר ב-PA להוכיח את GC או את שלילתה. הדבר היחיד שעולה מהטיעונים הללו הוא שאת GC אפשר להפריך ב-PA אם היא לא נכונה. זה לא אומר שאפשר להוכיח אותה ב-PA אם היא כן נכונה. ואם זה המצב, אז אין יותר סתירות ב-(PA פלוס GC~) מאשר ב-PA לבדה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי השערת גולדבך וכריעותה, נא קיראו בספר הנפלא ''הדוד פטרוס והשערת גולדבך'' (לא עברתי על שאר הדיון -- כנראה אני מתפרץ בדלת פתוחה). בכל אופן, בתוך תורת הקבוצות -- כל תורת המספרים יכיחה. נראה לי שהשערת גולדבך אינה יוצאת מכלל זה (אגב, כנראה שהיא לא נכונה, אם נסמוך על האינטואיצה הפלאית של רמנוג'ן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ממש נכון. אולי התכוונת להגיד שניתן להוכיח עקביות תורת המספרים מתורת הקבוצות. מכיון שתורת המספרים ''מורכבת'' מספיק, ניתן לקודד כל השערה של תורת הקבוצות בתור משפט בתורת המספרים שבפרט יהיה בלתי יכיח ובלתי פריך גם בהנתן האקסיומות של תורת הקבוצות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורי, אתה זה שטועה (אם אני לא טועה). נא ברר טענותיך מול מומחים ללוגיקה מתמטית. כל טענה בתורת המספרים היא כריעה באריתמטיקה מסדר שני (יש מודל יחיד לאקסיומות פאנו מסדר שני!). השאלה האם השערת גולדבך כריעה גם באקסיומות פאנו מסדר ראשון צריכה לעניין פילוסופים ולוגיקאים, לא מתמטיקאים. שוב לקרוא את הספר שהמלצתי לך, לכל הפחות. ד"ר טי, חולם על פרופסורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורי, לדעתי, לא טען כלום לגבי אריתמטיקה מסדר שני, ולכן לא ברור לי איך נימוקיך מראים שהוא טועה. אין לנו ויכוח שאריתמטיקה מסדר שני היא קטגורית. השאלה היא, עד כמה זה חשוב, או מועיל, ולפי טענתך שאריתמטיקה מסדר ראשון לא צריכה לעניין מתמטיקאים, כאן יש לנו ויכוח גדול. מדוע, לדעתך, לא עוברים כולם לסדר שני וחסל? האם אנדרו ויילס, אילו שמע ב-1998 ש-FLT לא תלוי ב-PA, לא היה משנה במקצת את תכניותיו? ואם יוכח שגולדבך, או twin primes, או 3x+1, במצב זה, זה לא ישפיע אפילו בטיפ-טיפה על מתמטיקאים העובדים על השערות אלה? באיזה מודל ובאילו שיטות אתה חושב שאנשי תורת-המספרים עובדים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון אחי, אנדרו ויילס לא עובד באריתמטיקה מסדר ראשון. הוא עובד במתמטיקה, כלומר (בלי שהוא יודע) הוא עובד בתורת הקבוצות, שמכילה את כל מה שאפשר להוכיח באריתמטיקה מסדר שני. אי כריעות משפט פריס-הרינגטון לא מנעה מהם להוכיח אותו! ובכן, הפילוסופיה מעניינת מאד אבל אין לה קשר למתמטיקה האמיתית (כמו שאתה רואה, אני לא לוגיקאי...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בלי שהוא יודע"? אולי תנסה להגיב לעניין, בלי לפזר רמזים שחצניים לכל עבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ד"ר טי (אנחנו אחים?): בניגוד אליך, אני מוכן להמר שויילס ומתמטיקאים אחרים יודעים בדיוק איפה הם עובדים. משפט פריס-הרינגטון איננו לא-כריע. משפט פריס-הרינגטון אומר שטענה מסויימת בתורת-רמזי היא לא כריעה, ואת *זה* הם הוכיחו. כיוון שאתה יודע מהי "מתמטיקה אמיתית" (אני לא), אשאל: האם במתמטיקה אמיתית, "אמת" ו-"יכיחות סינטקטית" מתלכדים? האם יש משמעות לאי-השלמות של לוגיקה מסדר שני, לעומת לוגיקה מסדר ראשון? האם במתמטיקה אמיתית יש טיעונים שאין דרך שיטתית לבדוק את עקביותם? כמוך, אני גם לא לוגיקאי. חשבתי עד היום שאני עובד במתמטיקה, וראיתי בתוצאות אי-השלמות השונות טענות רלוונטיות עד מאוד. איפה טעיתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון אחי, אענה לך ראשון ראשון ואחרון אחרון. ויילס עובד בתורת הקבוצות, ושם תורת המספרים כריעה. זה מה שחשוב (את שאר מה שכתבתי אפשר לשלוח למיחזור נייר [אלקטרוני?]). הטענה הלא כריעה בתורת רמזי היא טענה מתמטית *נכונה*, שאפשר להוכיח בכלים מתמטיים רגילים (אך לא מסדר ראשון). כמובן שגם במתמטיקה האמיתית יש טענות לא יכיחות, למשל: השערת הרצף (אגב, השערה אבסורדית בעליל למי שמכיר קצת את התחום בצורתו המודרנית). איפה טעית? תוצאות אי השלמות *בתורת המספרים* אינם רלוונטיות. אבל כמובן שהשערת הרצף ואחרות כן רלוונטיות, כי שם למתמטיקה כולה (תורת הקבוצות) אין מה להגיד (להכריע?). בכל אופן, אחים נשארים אחים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ענית ראשון ראשון ואחרון אחרון, אבל פספסת כמה דברים באמצע. אני בטוח שאתה מכיר את משפט אי-השלמות ללוגיקה מסדר שני. גם לו אין חשיבות בעיניך? כבר שאלתי: למה אתה חושב שכל-כך הרבה אנשים טורחים על לוגיקה מסדר ראשון, אם "כלים מתמטיים רגילים" הם חזקים יותר? "תוצאות אי-השלמות בתורת המספרים אינן רלוונטיות". גם הבעייה העשירית של הילברט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרט, בבקשה (גילית את בורותי, אח יקר). B.Sc. T
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפרט... משפט אי-השלמות? הבעייה העשירית של הילברט? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק כמה הבהרות, לך ולמי שעוד עוקב. אנו לא רואים עין בעין בכמה מישורים, וכדאי להפריד ביניהם כדי לשפר את הסיכויים לדיון פורה. 1. המישור המטא-מתמטי: כאן דנים בשאלה האנושית, איזה סוג של הוכחות מתמטיקאים מחפשים. על זה אפשר להתווכח הרבה כי אין פה תשובות מוחלטות, ומתמטיקאים שונים מייחסים מן הסתם דרגות שונות של חשיבות לסוג הלוגיקה ומערכת האקסיומות שהם עובדים בה (וראה עוד למטה). 2. המישור המתמטי: כאן אנחנו מסכימים כמעט על הכל, ואולי אף על הכל ממש אם אני מפרש לקולא חלק מהטענות שהבאת. עדיין לא לגמרי ברור לי אם אתה מודע לאפשרות המתמטית ש-GC תהיה בלתי-תלויה אפילו ב-ZFC, למשל. במקרה זה טיעון האין-דוגמה-נגדית יראה ש-GC נכונה *אם* ל-ZFC יש מודל, כלומר ש-ZFC עקבית, וזו, לפי משפט אי-השלמות, עובדה שלא ניתן להוכיח ב-ZFC. במישור המטא-מתמטי, אני גם טוען שמצב עניינים (מוזר) זה יותיר הרבה אנשים עם תחושת אי-נוחות, למרות שטבעי ביותר כמובן להאמין ש-ZFC עקבית ו-GC נכונה. במלים אחרות, כשאנשי תורת-המספרים מחפשים הוכחה ל-GC, הם לא מתכוונים ל*זה*, ובמובן הזה אני לא מקבל את הטענה שכולם עובדים בתורת הקבוצות. 3. המישור של תרבות הדיון: אחרים כבר ציינו זאת, אז לא אכנס לזה שוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחי, אם ל זה.אף.צה. אין מודל אז למה לנו חיים? כל המתמטיקה מבוססת על זה, ולדעתי מניחה בעקיפין קיום מודל. ואם אין לה מודל, אז יש לי הוכחה מתמטית קצרה מאד להשערת פרמה וגם להשערת גולדבך. תלמיד תיכון T. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר, GC כן יכולה או לא יכולה להיות בלתי-תלויה ב-ZFC? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהיא צריכה להיות משפט של זה.אף.צה, אבל מה שהזכרת על אי כריעות משוואות דיאופנטיות פגע בבטחוני המופרז ממילא. האם יש משוואות שלא ניתן להוכיח שיש להן פיתרון? מה עוד תוכל לומר על זאת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני לא סבור שהפתרון השלילי לבעייה ה-10 רלוונטי לשאלות אי-תלות ב-ZFC; הזכרתי זאת רק כדוגמה לתוצאה שהיא בעיני מתמטיקה "אמיתית" ובעיניך, כך נדמה לי, לא. קישור לדוגמא: 2. לא הבנתי את כוונתך ב-"צריכה להיות". *כדאי* שהיא תהיה, *סביר* שהיא, או *לא יכול להיות אחרת*? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי ש GC (או שלילתה) חייבת לנבוע מז.פ.צ'. בגלל שהיא מרחיבה את האריתמטיקה מסדר שני. (אולי יש לי טעות במשהו עדין? איני לוגיקאי.) בכל אופן זה לא נראה לי חשוב: מה שחשוב זה האם ZFC יחד עם הנחת עקביותה (זו אקסיומה נוספת, שכל המתמטיקאים מניחים במובלע כדי שיהיה טעם לתוצאות שלהם) מכריעה את GC. נראה לי שצריך להיות כך אך יכול להיות שאני טועה. צ'או ברודר |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ה-C ב-ZFC הוא לא עבור "כהן"? אם כן, הרי שבעברית יש לומר צפ"ך או צפ"כ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, זה עבור Cesàro. ה-Z הוא עבור Zermelo. אי לכך, ובהתאם לזאת, הדוקטור צודק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ZF הם צרמלו ופרנקל. ZFC היא מערכת האקסיומות של צרמלו ופרנקל, בתוספת אקסיומת הבחירה (Axiom of Choice). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה השערת הרצף נחשבת כאבסורדית בעליל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי השערת הרצף, העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים, 2 בחזקת א_0, שווה ל- א_1. אנשי תורת הקבוצות גילו שהתאוריה נעשית עשירה ומעניינת יותר אם מניחים דווקא שהיא שווה ל- א_2, אבל אני לא משוכנע שזה מצדיק את המונח "אבסורדית". אולי ד"ר טי יכול להסביר את עצמו טוב יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו ממש בלבלת אותי. מה אכפת להם אם זה א_2 או עוצמה אחרת גבוהה יותר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה א_1, א_2? השערת הרצף מתייחסת לרציפות של הקרדינלים, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א_1 הוא עוצמת הממשיים. השערת הרצף היא שזאת גם העוצמה של 2 בחזקת א_0 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להיפך - עוצמת הרצף היא 2 ב-א_0, וההשערה היא שעוצמה זו שווה ל-א_1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שלמדנו בשעור הקודם (תגובה 164724), לכל קבוצה (לא ריקה) של סודרים יש מינימום. לסודר הראשון שעוצמתו גדולה מ- א_0 יש עוצמה, שקוראים לה א_1. עוצמתו של הסודר הראשון שעוצמתו גדולה מ- א_1, היא א_2; וכן הלאה. "עוצמת הרצף" היא 2-בחזקת-א_0 (כי יש התאמה לא רעה בין מספרים ממשיים לבין סדרות אינסופיות של אפסים ואחדים). השערת הרצף קבעה שעוצמה זו שווה ל- א_1, או, בניסוח אחר, שכל תת-קבוצה של הממשיים שאינה בת מניה, שקולה (מבחינת העוצמה שלה) לכל הממשיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הקשבתי בשיעור הקודם... קיום מינימום מבטיח שכל קבוצת סודרים היא בת מניה (או סופית) - מגניב. עכשיו רק צריך להבין מה זה סודר. אז בעצם השערת הרצף היא "השערת א=א1". תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חלילה - לא כל קבוצת סודרים היא בת מניה (למשל, הזכר באותו סודר שעוצמתו גדולה מ- א_0; קבוצת הסודרים הקטנה ממנו אינה בת-מניה לפי ההגדרה). סודר הוא קבוצה של סודרים, ואידך זיל גמור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סודר הוא קבוצה טרנזיטיבית1 של סודרים. 1 לגבי יחס ההכלה: עם כל איבר (שהוא במקרה קבוצה), היא מכילה את כל האיברים שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למען האמת הודעתך הקודמת קצת בילבלה אותי אז הלכתי לרפרף במצגת שקישרת אליה במעלה הדיון. הוא מגדיר שם את הסודרים בצורה שהיא בעיני מפוקפקת למדי (שזה בסדר עבור סמינר אבל בכל זאת). בפעם ראשונה הסודרים מוגדרים על ידי פעולות העוקב והגבול - הגדרה בעייתית מכיוון שלא ברור בדיוק מה ההגדרה של "גבול" בהקשר הזה וקשה לדבר על תוצר של פעולה שאינה מוגדרת היטב. בפעם השניה הוא למעשה נותן מודל להגדרת העוקב באמצעות בניה של הסודרים כקבוצות סגורות טרנזיטיבית כפי שתיקנת. גם כאן הגדרת הגבול נשארת עמומה (אם כי ברורה למדי אינטואיטיבית). עוד פעולה שלא אהבתי היא פעולת ה"כמו-מניה" שהוא מבצע על קבוצות סודרים. כפי שכתבת, לא כל קבוצת סודרים היא בהכרח ברת מניה אך הוא משתמש בתהליך בעל אופי של מניה על מנת "לעבור על כולם" אף כי ברור שלא מדובר בתהליך סופי. התהליך הזה הוא אבן בנין מרכזית בכל הטיעון שנבנה לאחר מכן והופך את כולו ללא ברור בעיני. בכל אופן, לענייננו, מי אמר שיש סודר שאינו בר מניה? למעשה (אני משתדל לא להיות פסקני מדי מכיוון שמן הסתם אני מחמיץ משהו) הבנייה הסדרתית של הסודרים מרמזת שכל קבוצת סודרים (שים לב שלא אמרתי "קבוצת הסודרים" כדי להמנע מהכלה עצמית) היא בת מניה. עכשיו תסביר לי (בבקשה) איפה אני טועה לגמרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קל לראות שקיימות *קבוצות* שאינן בנות מניה1. כדי לדעת שיש *סודר* כזה, צריך להוכיח שאפשר לבנות סדר טוב2 על הקבוצות האלה, וזוהי למעשה גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה3. מכיוון שאקסיומת הבחירה אינה נובעת משאר האקסיומות של תורת הקבוצות, נדמה לי שאפשר לחיות בשלום עם האפשרות שכל הסודרים4 הם בני מניה. 1 (קבוצת החזקה של הטבעיים, למשל) 2 סדר טוב הוא סדר שעבורו לכל תת-קבוצה לא ריקה יש מינימום. 3 אקסיומת הבחירה שקולה ל"כל קבוצה אפשר לסדר בסדר-טוב". 4 כתבת "כל קבוצת סודרים"; אבל ממילא איחוד של סודרים הוא סודר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה סדר טוב גורר סודר? נראה לי שזה עובד רק אם אתה מגדיר סודר בתור כל קבוצה סגורה טרנזיטיבית, במצגת ההגדרה היתה באמצעות פעולות עוקב וגבול. בהצגה כזו, נראה כאילו כל הזמן יש לך איחוד בן מניה של קבוצות בנות מניה. לגבי אקסיומת הבחירה, היא מתחילה להשמע לי פחות ופחות מתאימה למודלים אינטואיטיבים. סדר טוב על הממשיים נשמע "לא טבעי". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זו סטיה של האינטואציה שלי, אבל כל דבר שקשור ל"אינסופים" גדולים יותר מאלף-אפס נשמע לי "לא טבעי". מעניין גם, אותי לפחות, לדעת למה אני מתכוון כשאני אומר "לא טבעי". למה אתה מתכוון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המספרים הטבעיים, מן הסתם, טבעיים בעיניך. קבוצות של מספרים טבעיים - גם (יש להניח). אלא מה, אי-אפשר למנות את כל הקבוצות של מספרים טבעיים (כלומר, למספר אותן, 1,2,3,..., בלי לפספס אפילו אחת). מכאן שהגודל של קבוצת הקבוצות של מספרים טבעיים הוא "יותר מאלף-אפס". מה לא טבעי כאן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, "סודר" מוגדר כקבוצה טרנזיטיבית שהיא גם סדורה-היטב (לגבי יחס השייכות). מסתבר שכל סודר שייך לאחד משני סוגים: עוקב ("גדול באחד" מן הסודר שקדם לו, כמו כל המספרים הטבעיים), או גבול (איחוד כל הסודרים שקטנים ממנו, כמו למשל omega). כמובן שהסודר הראשון שאינו בן מניה, לא יכול להיות עוקב, ולכן הוא גבולי. אם כך, הוא מהווה איחוד (שאינו בן מניה!) של קבוצות בנות מניה. לא בעיה. לא אנסה לשכנע אותך באינטואיטיביות של אקסיומת הבחירה (מה לסאוונות אפריקאיות ולאקסיומות של תורת הקבוצות?). הסדר הרגיל על הממשיים, כמובן, אינו סדר טוב - ואולי בגלל זה נראה לך מוזר ש*קיים* סדר טוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכל ברור מלבד ה"מסתבר" בראשית המשפט השני בתגובתך, הרי זו בדיוק שאלתי. לגבי סדר טוב על הממשיים, לא "טענתי" שהוא לא אינטואיטיבי אלא "סיפרתי" שהוא לא כזה בעיני. הסדר הרגיל הוא לא סדר טוב גם על הרציונליים ובכל זאת מאוד משכנע (ונכון) שיש עליהם סדר טוב. אגב, האם מספיק להניח את אקסיומת הבחירה על קבוצות בעוצמה כלשהי או שיש צורך להניח אותה על כל הקבוצות? האם קונסיסטנטי להניח, למשל, שאקסיומת הבחירה מתקיימת לעוצמת הרצף אבל לא לעוצמות גבוהות יותר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה היא שכל סודר1 הוא עוקב3 או גבולי4. "Take the following rule on faith": כל שני סודרים אפשר להשוות (אם הם שונים, אחד מהם קטן מהשני).כעת, יהי a סודר, ו- b האיחוד של כל האיברים של a (שכמובן גם הוא סודר). אם a=b, סיימנו. אם b>a אז a הוא איבר של b, ולכן איבר של אחת הקבוצות המשתתפות באיחוד של b, שהן איברי a. זה בלתי אפשרי (כי השייכות היא יחס א-סימטרי). נשאר המקרה b<a. אלא שאז, ניקח b'=b+1 (כפי שהוגדר ב3). אם b'>a אז a שייך ל- b+1, ואז a=b או a<b (וזה בלתי אפשרי). אם b'=a, סיימנו. נשאר המקרה b'<a; אז b (המוגדר כאיחוד אברי a) מכיל את b', ובפרט {b} הוא איבר של b - שוב סתירה לא-סימטריות. 1 אולי הגיע הזמן לתת הגדרה מסודרת: סודר הוא קבוצה שיחס השייכות עליה הוא טרנזיטיבי (כלומר, לכל איבר של הקבוצה, כל האיברים שלו הם איברים שלה2) ו*טוב* (לכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר מינימלי). 2 זו תורת-הקבוצות פמיניסטית. 3 דהיינו, מהצורה b+1 כאשר b הוא סודר. הסודר החדש b+1 מוגדר כאיחוד הקבוצה b עם הקבוצה {b} (שיש לה איבר אחד). מבחינת הסדר, זה כמו להדביק נקודה חדשה בראש הסודר הקודם. 4 שווה לאיחוד כל הסודרים הקטנים ממנו (= שייכים לו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את קיום W (אומגה, יעני) מניחים ב"אקסיומת האינסוף". מכאן אפשר להגיע לסודרים מעוצמות גבוהות יותר ע"י אקסיומה נוספת ומספר עובדות בסיסיות: ראשית, איחוד של קבוצת סודרים היא בברור סודר. מכאן נגיע למסקנה ש"אוסף כל הסודרים" או כל אוסף של סודרים אשר -איננו חסום-, לא יכול להיות קבוצה. כעת נניח בשלילה שכל סודר K מעל W הוא מעוצמה א0. אם כך, קיימת פונקציה חח"ע f:K ----> W, ופונקציה זו מגדירה על W סדר טוב מה"טיפוס סדר" של K. אולם אם כך, נוכל כעת להגדיר פונקציה שתחומה (P(WxW (קבוצת החזקה של WxW), כך שתמונתו של איבר היא אפס אם איננו סדר טוב, והסודר המתאים a באם הוא סדר טוב מטיפוס a. בכך יצרנו פונקציה שתחומה הוא קבוצה (לפי אקסיומת החזקה), והטווח שלה הוא מחלקת כל הסודרים פחות W, אשר איננה קבוצה. זה בלתי אפשרי לפי "אקסיומת ההחלפה". עד כמה שאני מבין עוזי מדייק - הרבה מאוד מודלים שמוכיחים טענות אי-תלות בתורת הקבוצות הם בני-מניה לחלוטין. זה נוח מאוד מכיוון שבדר"כ מנסים "להרחיב" מודל בן-מניה כך שיכלול מה שקרוי "קבוצה גנרית", ובכך "לכפות" על ההרחבה הגנרית לקיים תכונות מסוימות. במודל בן-מניה מובטח לנו שקיימת קבוצה גנרית לכל אוסף תנאים מתיישבים, גם מבלי להשתמש בכלים כגון אקסיומת מרטין (אשר מבטיחה לנו קיום קבוצה גנרית לעוצמות גדולות יותר מ א0). במודל בן-מניה, בפרט כל הסודרים והמונים הם בני מניה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי אחי (מה לעשות יש לי משפחה גדולה), מה לכהן בבית הקברות: תן לקברן לדבר. משפט (בלי אקסיומת הבחירה, חברים! ובלונים מחלקים רק אחרי ההוכחה): לכל סודר קיים סודר שעוצמתו גדולה יותר. הוכחה: לוקחים את קבוצת כל הסודרים שאיזומורפיים לאיזשהו סדר טוב על הסודר הנתון (לאו דוקא הסדר המקורי שלו). איחוד של קבוצת סודרים הוא סודר. קל לראות שהסודר המתקבל מהאיחוד של הקבוצה הנתונה – עוצמתו גדולה יותר מעוצמת הסודר המקורי. אז חברה, שלא תעיזו לומר שאפשר להניח שכל הסודרים בני מניה, אפילו אם אין חופש בחירה. אגב, הויכוח על קבלת אקסיומת הבחירה למתמטיקה נקבר כבר מזמן. רובם ככולם קיבלו אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה איזומורפיזם בין סודר לסדר טוב? נגיד ש"הסודר הנתון" הוא אומגה. מהי קבוצת כל הסודרים שאיזומורפיים לסדר המקורי שלו (לדוגמא)? למה איחוד של קבוצת סודרים הוא סודר? למה הסודר המתקבל מהאיחוד של הקבוצה שתיארת הוא מעוצמה גבוהה מהסודר המקורי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"איזומורפיזם" כאן הוא התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות, ששומרת על יחס הסדר. סודרים ש"איזומורפיים לאיזשהו סדר טוב על הסודר הנתון" - ניסוח מוארך ל"איזומורפיים *כקבוצות* לסודר הנתון" (בלי לדרוש שום דבר על הסדר). במלים אחרות, מדובר על קבוצת כל הסודרים מן ה*עוצמה* של הסודר שלנו - ומכיוון שזו קבוצה לא חסומה1, האיחוד שלה גדול מכל אחד מאבריה. (במקרה של אומגה, לוקחים איחוד של כל הסודרים שהם בני מניה; למשל: omega^omega). איחוד של סודרים הוא סודר - לפי ההגדרה (זו קבוצה טרנזיטיבית של סודרים). העוצמה חייבת להיות גבוהה מן העוצמה המקורית, משום שבחרנו לשתף באיחוד את כל הסודרים מן העוצמה המקורית; אילו האיחוד היה כזה, הוא היה משתתף באיחוד ולכן קטן מעצמו. סיכום: בניגוד להצעתי בתגובה 167089, ד"ר טי מציין שאין צורך להניח את הקיום של אותם סודרים מראש - האיחוד של כל הסודרים מעוצמה א_0 הוא בעל עוצמה א_1, וכו'. 1 מדובר על עוצמה לא סופית, ויחד עם כל סודר a נמצא שם גם a+1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טריוויאלי. אבל ברור (או שלא?) שבניה כזו לא יכולה לספק סודר בכל עוצמה שהיא מכיוון שסודר מגדיר סדר טוב ואם קיים סדר טוב על קבוצה בכל עוצמה אז אקסיומת הבחירה מתקיימת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבניה הזו מייצרת סודרים מכל העוצמות; (למעשה "עוצמה" היא מקרה פרטי של סודרים). לו היית יודע שכל קבוצה שקולה לאחד המונים, זה היה מוכיח את אקסיומת הבחירה. אלא שזה בכלל לא ברור - הטענה "אם A ו- B קבוצות, אז הן שקולות, או שאחת מהן שקולה לתת-קבוצה של השניה" שקולה בעצמה לאקסיומת הבחירה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאיפה הגיעו הנה מונים פתאום? אתה אומר שלא לכל קבוצה יש עוצמה? עד כמה שאני מבין, עוצמה היא למעשה סוג של סדר המוגדר על ידי פונקציות על (נניח). כלומר אם יש פונקציה מ- A על B, נאמר שעוצמת A גדולה שווה לעוצמת B. לא ככה? למה צריך מונים עבור ההגדרה הזו? אתה רוצה לומר שהטענה "קיימת פונקציה מ- A על B או שקיימת פונקציה מ- B על A" שקולה לאקסיומת הבחירה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה למעשה כותב בדיוק על הבעיה. לכאורה, ההגדרה של "עוצמה" של קבוצה כפי שלומדים אותה בקורס מבוא של מתמטיקה בדידה נראית משונה מאוד. אתה יכול לנסות להשוות בין עוצמות, אבל אתה לא ממש יכול להגדיר מה זו ה"עוצמה" הזו שאתה משווה כל הזמן. המונה א0 (או אומגה) הוא -הקבוצה- בהא הידיעה לה אנו קוראים "העוצמה" א0. כנ"ל לגבי הסודר (והמונה) המכונה א1. ואכן, ללא אקסיומת הבחירה אי אפשר להראות שיש פונקציה מ A על B או להפך. ההוכחה משתמשת בלמה של צורן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חברים, רק הראיתי שלכל עוצמה יש עוצמה גדולה ממנה (בלי להניח את אקסיומת הבחירה). אבל זה *לא* אומר שבדרך הזאת אפשר לקבל את כל המונים/עוצמות!!! זהירות, אחיי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהנחה שמדובר על אינדוקציה טרנס-פיניטית, זה לא בדיוק מניה. אם תכונה עוברת לסודר עוקב ולגבול של סודרים, אז קל לראות שהיא נכונה לכל הסודרים - פשוט מחפשים את הראשון בו היא נכשלת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אין לי משהו קונסטרוקטיבי לתרום, רק שתגובתך הזכירה לי נשכחות- פעם, בעודי באוניברסיטה, הגיע אלי נפעם ידידי מ.א. משעור בתורת הקבוצות ( אאלט) והצהיר " מי שלא למד אינדוקציה טרנס פיניטית הוא לא בן תרבות!". אני מנצל את ההזדמנות לשאול כאן האם מישהו יוכל לסכם בקצרה ובמינוחים יחסית פשוטים מה זה אינדוקציה טרנס פיניטית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם לא היו שינויים דרסטיים בתורת הקבוצות בזמן האחרון, אז זה בדיוק מה שהזכרתי למעלה - סתם הרחבה של עיקרון האינדוקציה הרגיל. אם לתכונה כלשהיא P ידוע שאם היא נכונה לכל איבריו של סודר K היא נכונה גם ל K עצמו, אז תכונה P נכונה לכל הסודרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר <לקבל> דוגמה פשוטה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשל אפשר להראות באינדוקציה טרנס פיניטית שלכל מונה K מתקיים האי-שוויון אK <= K : 1. לגבי א0 או א1 זה ברור. 2. נניח שזה נכון ל אK, אז ברור שעוצמת K ו K+1 זהה, אולם זו של א(K+1) היא גדולה יותר משל אK, וממילא משל K+1. 3. נניח B סודר גבולי, ובשלילה אB קטן ממש מ B, ולכן מהווה איבר ב B. ניקח אחד מעליו ב B, למשל סודר A. כעת לפי הנחת אינדוקציה אA <= A ובפרט אA > אB , אולם זה לא ייתכן משום ש B > A (בעיקרון יש להראות גם נכונות עובדה זו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, למרות שרפרפתי על הדיון הקודם לא ממש הבנתי. נדמה לי ש1 ו2 זה מספיק, לא? זכור- אני לא "בן תרבות". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק, משום שלסודר כלשהוא לא בהכרח יש אחד "לפניו", ולכן אינדוקציה רגילה לא "תגיע" אל הסודר הזה (שנקרא גבולי. אחרת, אפשר למשל להוכיח שכל הסודרים הם מעוצמה סופית: 1 מעוצמה סופית, ואם K מעוצמה סופית בוודאי ש K+1 הוא מעוצמה סופית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל במשפט דיברת על מונים ולא על סודרים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם וגם. לכל סודר K יש גם מונה אK (ולהפך, אבל זה לא משנה כאן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יותר טוב. אני מתחיל להבין, תודה על המאמץ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי זה כמעט כמו להגיד ש 2 בחזקת n הוא המספר הראשון שגדול מ n (כלומר n+1). יש גם צדדים לטעון ההיפך, אבל בכל אופן השערת הרצף היא שרירותית לגמרי. אין שום עדות רצינית לטובתה. לי בכלל נראה שהרצף יותר גדול מ"אלף n" לכל n טבעי, אבל אני משוחד מהערצתי לכהן (פול, לא זה מבית הקברות) שטען זאת. לגבי תרבות הדיון שלי – אתם צודקים היא באמת לא בסדר, אבל זה בגלל ה nick (ד"ר טי זו אבולוציה של מר טי זכור לטוב מצוות לעניין, טיפוס בריון כלפי חוץ אבל טוב לב בפנים). ד"ר טי, בקרוב פרופסור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, מאכזב אחי. יש עוד נימוקים, אגב. למשל, השערת הרצף זה כמו להגיד שכל החבורות הן אבליות. זה נוח, פשוט ואלגנטי. אבל מוריד הרבה (את רוב?) היופי של תורת החבורות מהפרק. הטענה "x+y=y+x" אינה יכיחה בתורת החבורות בדיוק כמו שהשערת הרצף אינה בתורת הקבוצות. פחות מאכזב, או שאני מפוטר? (זה בסדר, אני אסבול בשקט, לא נורא שאח מעליב את אחיו ובשרו :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא פחות מאכזב, אך נראה לי (*אנחה*) שעייפתי. ניפרד כידידים? אחים? איך שתרצה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |