 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני שמעתי שאת המשפט ''בכל אוסף נקודות במישור (שאינן כולן על קו אחד) שכל שתי נקודות בו מחוברות ע''י קו, קיים לפחות קו אחד שעליו רק שתי נקודות.'' ניסו להוכיח עשרות (או מאות) שנים ובסוף סטודנט לתואר ראשון במתמטיקה הוכיח אותו על עמוד אחד. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
באותו עניין, לפני זמן לא רב הפרסמה ידיעה על שני תלמידי תיכון (מחיפה?) שהוכיחו במקרה איזו בעיה שנחשבה בלתי-פתירה. לצערי אנלא זוכר ת'פרטים. ואני פעם הוכחתי שאיקס (כל איקס!) שווה לשש. אבל יכול להיות שטעיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לא מאות שנים, וזו לא ממש היתה השערה מפורסמת או חשובה. סילבסטר פרסם זאת כחידה (לא ברור אם היתה לו הוכחה), טיבור גאלאי פתר זאת כעבור 40 שנה, וקלי (לא ידוע לי אם הוא היה סטודנט) מצא הוכחה, לא בעמוד אחד אלא בערך בשלוש שורות, וזו באמת הוכחה יפהפייה. אבל למה התכוונת ב-"מצד שני"? אף אחד מהאנשים האלה לא יכול להיחשד כטרחן כפייתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(בהנחה ששלוש השורות הללו לא מחביאות תאוריות מתמטיות מסובכות מדי) הביאוה ונדעה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשמחה. צריך להוכיח: בהינתן מספר סופי של נקודות במישור שאינן כולן על ישר אחד, יש ישר העובר דרך בדיוק שתיים מהן. הוכחה (של קלי): נביט בכל הזוגות (P,l) כאשר P היא אחת הנקודות הנתונות ו-l הוא ישר העובר דרך לפחות שתיים מהנקודות אך לא דרך P, וניקח זוג בו המרחק בין P ל-l מינימלי. למעשה, זהו: l הוא הישר המבוקש. מדוע? אם על l יש שלוש נקודות לפחות, אז שתיים מהן נמצאות באותו צד של האנך מ-P ל-l, ואם מחברים את P לרחוקה יותר מתקבל ישר הקרוב לנקודה השנייה יותר מהמרחק בין P ל-l, סתירה. ברוחב מסך מלא זה ממש שלוש שורות, וייתכן שזה קצת דחוס מדי אבל זה באמת הכל. כדאי לצייר ציור קטן כדי להבין מה קורה. שווה לשים לב איפה נכנסות ההנחות: העובדה שלא כל הנקודות נמצאות על ישר מבטיחה שיש לפחות זוג (P,l) אחד, והעובדה שמספרן סופי מבטיחה שיש אכן מרחק מינימלי. אשמח להבהיר עוד אם מישהו צריך - זו באמת הוכחה ששווה להכיר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפעמים יש הוכחות ממש פשוטות, שאפילו סטודנט יכול למצוא, אפילו אם רבים וטובים לא הצליחו למצוא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נכון, והאין זה נפלא? טרחנים כפייתיים רבים מונעים מכוח תקווה זו. שני סיפורים, אחד מפורסם, אחד קצת פחות: מרטין גרדנר פרסם בסוף שנות השבעים (אאט) סקירה פופולרית על ריצופים של המישור (כלומר, הדרכים השונות למלא את כל המישור ללא חפיפה, ע"י עותקים מסובבים או משוקפים של צורה אחת). הוא הזכיר "הוכחה" שהתפרסמה אז, שטענה שקטלוג מסויים של ריצופים ע"י מחומשים מכסה את כל האפשרויות. עקרת-בית בשם מרג'ורי רייס קראה את הכתבה, ישבה לה והחלה לשפוך דוגמאות רבות של ריצופים שאיש לא ראה לפניה, ובפרט הפריכה לחלוטין את המשפט. לפרטים נוספים: בספר "מבוא לקומבינטוריקה" של ון-לינט ווילסון מסופר הסיפור הבא, שהוא כה מתבקש עד שטבעי להניח שהוא אגדה אורבנית (אבל הוא לא). בקורס בגיאומטריה קומבינטורית המרצה לימד משפט לא קל אחד, וכמובן שאל עליו בבחינה. אחד הסטודנטים פספס את השיעור בו נלמדה ההוכחה, גירד בראשו והוכיח את המשפט בכמה שורות תוך כדי הבחינה - הוכחה שהפכה להוכחה הסטנדרטית. זה קרה בישראל, והסטודנט בגר להיות פרופסור מיקי טרסי (אני מקווה שאף-אחד לא יכעס שאני עושה לטרסי כזה אאוטינג, אבל זה בכל זאת כתוב בספר...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש סיפור אחר ששמעתי לפני שנים, ואינני יודע אם הוא אגדה אורבנית, ואינני זוכר את שמות הגיבורים – אולי מישהו כאן יוכל לעזור: סטודנט איחר להרצאה במתמטיקה והגיע לאחר השיעור. הוא מצא על הלוח עשרה (?) תרגילים. ניגש הביתה, והתרגילים היו קשים מנשוא. לא היה אז גוגל לחפש בו פתרונות, והסטודנט הצליח לפתור רק שלושה (?) מהתרגילים. הוא ניגש למרצה לבקש עזרה, והתברר לו שהמרצה השאיר על הלוח רשימה של בעיות פתוחות בנושא – ולמעשה, הוא פתר חלק מאותן שאלות. לימים הפך הסטודנט למתמטיקאי בעל שם עולמי. אגדה או סיפור אמיתי? ומי היה הסטודנט? אשמח לשמוע. ----- ובעקבות סיפור זה: בחוברת לקורס בלוגיקה בטכניון, שכתבתי עם חברתי [כיום אשתי] ע"פ הרצאותיו של ד"ר [כיום פרופ'] שי בן-דוד, בתרגיל 4 שבסוף פרק 6 הסטודנט מתבקש להציג גזירה לכמה ביטויים בתחשיב היחסים תוך שימוש במילון נתון. סעיף א', למשל, שקול להוכחה כי "לכל x קיים y כך ש-x קטן מ-y". הסעיפים הבאים הולכים ונעשים קשים יותר, וסעיף ד' מבקש מהסטודנט להוכיח את השערת גולדבך. ביקשתי מבן-דוד להודיעני ביום בו אחד התלמידים מציג גזירה מתאימה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרופ' בן-דוד לא מלמד את הקורס הנ''ל, או כל קורס דומה בטכניון זה זמן רב. עליך לפנות אל הפרופ' אורנה גרומברג או אל הדר' שירלי הלוי בנושא, בדחיפות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א-נו - אני לא ממש עוקב אחר תחלופת סגל המרצים בקורס. (שירלי, אגב, תשמח על המחמאה, אבל היא לא ד''ר. עם זאת, מדובר בעניין של זמן בלבד). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Better to err on the side of caution.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשבוע שעבר כרמית גיא הציגה מרואיין (נדמה לי שזה היה יובל אלבשן) כפרופסר, על לא עוול בכפו. בתשובה למחאתו היא ציינה שזה היה כתוב איפשהו, והוא השיב ''אה, פורפסור מן העתון, זה עדיף על פרופסור מן המניין''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חבל שפרופסור מן העיתון לא נותן קביעות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שראיתי בסרט תיעודי על חייו של סטיבן הוקינג. אדם שלמד איתו לתואר ראשון בפיזיקה (או אולי מתמטיקה ?) סיפר שפעם קיבל הקורס מטלה כלשהי. המטלה כללה 10 שאלות מסובכות מאין כמוהן. האיש ניסה עם חבריו לפתור ולא הצליח לפתור אף שאלה. לאחר שהתייאש הלך לחדרו של הוקינג ושאל אותו אם הוא הצליח משהו. הוקינג השיב שלא היה לו מספיק זמן ולכן הספיק רק 3 מהשאלות. כמובן יתכן שאני לא מדייק במספרים, אבל העקרון מזכיר את מה שאתה כתבת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על גאוס אני מכיר שני סיפורים ברוח זו. הראשון הוא יחסית מפורסם: כשהיה גאוס ילד צעיר, המורה בבית הספר רצה להעסיק את כל הכיתה לזמן מה, וביקש מהתלמידים לחבר את כל המספרים מאחד עד מאה. בעוד חבריו טוחנים חישובים, גאוס פתר את התרגיל תוך מספר שניות - הוא פשוט גילה את הנוסחה לסכום של סדרה חשבונית. על פי סיפור אחר, גאוס הזאטוט טייל יום אחד ביער יחד עם אביו, ששאל אותו: "האם ביער זה יש שני עצים בעלי אותו מספר של עלים?". גאוס חשב מעט, וענה: "אם מספר העצים ביער הוא גדול ממספר העלים בעץ בעל מספר העלים הרב ביותר, אזי התשובה היא בהכרח כן." (זה בעצם "עקרון שובך היונים".) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עקרון שובך היונים" אומר כי אם אנחנו משכנים N יונים בשובך שבו יש פחות מ- N תאים, אזי בלפחות אחד מהתאים תשוכן יותר מיונה אחת. נשמע טריויאלי לחלוטין, אבל שימושי במידה מפתיעה. לדוגמאות, נסה למשל http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.pi... . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיפור על חיבור המספרים מיוחס גם לגאון מוילנא: באחד מימי חנוכה ביקש המלמד להעסיק את הילדים, ושאל כמה נרות מדליקים בכל ימי חנוכה יחד (החל בנר ושמש, וכלה בשמונה ושמש). אליהו הצעיר (דאז) קפץ והשיב מיד, ונתן גם סימן: "הפח (88 בגימטריה) נשבר" (התשובה היא אכן 44), "ואנחנו נמלטנו" (מן החדר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה! אתה יודע איפה הסיפור מופיע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתברר שהסיפור עם גאוס והסכום הוא לא מבוסס כמו שחשבתי. מאמר משעשע בנושא: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסופר על הגר"א שבהיותו ילד, המלמד שאל כמה נרות מדליקים בחנוכה (2 עד 9, כולל שמונה שמשים) והבטיח יום חופשי לראשון שמסיים את החישוב. אליהו הקטן (על-פי הסיפור) ענה מיד את התשובה הנכונה (44), והסביר בפסוק: "הפח נשבר ואנחנו נמלטנו" (תהלים קכ"ד): פ"ח בגימטריה הוא הרי 88. אינני יודע אם הסיפור הזה נכון, או שהוא הומצא בדיעבד כחידוד לחנוכה. השאלה היא האם יש איזשהו קשר לסיפור על גאוס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגימטריא פח - 88, כשהו נשבר - (מתחלק ל 2) = 44. ואני שמעתי את הסיפור הזה על ר' יונתן אייבשיץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 164412 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זכורני במעורפל סיפור כזה, אבל גם אני לא זוכר פרטים. הסיפור האמין היחיד שאני מכיר מסוג זה (וסליחה מראש אם הוא לא ממש דומה) הוא של פוליה, שכתב שלא היה לו אף סטודנט שממש הפחיד אותו חוץ מג'ון פון-נוימן. פעם בהרצאה פוליה הראה טענה כלשהי ואמר שהיא פתוחה, ופון-נוימן הרים את ידו כעבור כמה דקות, ניגש ללוח ופתר אותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיפור הוא פחות או יותר מדוייק, והגאון הצעיר הוא ג'ורג' דנציג - הוגה אלגוריתם הסימפלקס (בין השאר). פרטים ב- http://www.informs.org/Press/Philadelphia99c.html |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז היה לנו גאוס, דנציג ואני בכלל שמעתי את זה על הילברט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובידיעונת על כך בסלשדוט חוזרים על הסיפור עם הבעיות הפתוחות כתרגילים הביתה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמעתי את הסיפור לפני לא מעט שנים. בגירסה שאני שמעתי, היה ייחוס ספציפי לפרופ' סודרי מאוניברסיטת ת"א. הדרמטיזציה היתה בכך שהוא ניגש למרצה לאחר כמה ימים (מיינד יו, פרופסורים לעתיד הם בד"כ תלמידים מבריקים) ואמר לו משהו בנוסח: "השאלות שנתת היו נורא קשות, הצלחתי לפתור רק שלוש". הגירסה גם טענה שבאחת מאותן שלוש תשובות היתה לו טעות... אם למישהו כאן יש קשרים עם סודרי, הוא מוזמן לאמת את הגירסה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולטובת הדורות הבאים: |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |