טרחנים כפייתיים במתמטיקה

בתשובה לדורון שדמי, 06/09/05 15:36

פתיחת ספר היסודות של אוקלידס

327900

האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי

יום ג', 6/9/2005, 17:30

"כפי שאני טוען, ערכה של תורה נובע מתובנותיה כאשר הגדרותיה אינן אלא כלי להצגת התובנות."

אתה די צודק. מתמטיקאים מסיקים משמעויות "אמיתיות" מטענות מתמטיות. גדל, למשל, לא מוכיח ב-PA ש-PA לא שלמה. הוא בונה ב-PA מערכת "תאומה" של PA שזהה לה, ומוכיח שהיא זו שלא שלמה. אנחנו מסיקים מכך את המסקנה ש-PA לא שלמה ‏¹. זה לא באמת היקש מתמטי.

דוגמה אחרת, מובהקת יותר: כאשר אנחנו מוכיחים טענה מסוימת, אנחנו מניחים שהשלילה שלה לא ניתנת להוכחה. הבעיה היא שההגדרה הכללית למערכת אקסיומות מגדירה רק טענות "נכונות", ואין בה דבר כזה "טענה לא נכונה". "לא" זה מושג שהוא חלק מהשפה של מערכת האקסיומות, ואין לו שום מהות מעבר לזה. כדי להסיק שהשלילה של משפט לא נכונה, אנחנו משתמשים בהנחת-עבודה שאומרת שאין טענה שניתנת להוכחה, וגם שלילתה ניתנת להוכחה.
זו תזת העקביות.

באופן כללי, מתמטיקאים אכן מגדירים לרוב מושגים שיתאימו לאובייקטים שהם מכירים מהחיים. בגלל זה מתמטיקאים עוסקים ב"ישרים" ו"נקודות", למשל, ולא ב"טריגולים" ו"אפינגוסים". מתמטיקאים גם אכן "מתרגמים" משפטים מתמטיים למסקנות על החיים. אבל הדרך שבין ההגדרות והאקסיומות למשפטים היא טכנית לגמרי.

‏¹ אם כי בוודאי ניתן להוכיח את הטענה הזאת במערכת אקסיומות מקובלת אחרת, "חיצונית" ל-PA.

חזרה לעמוד הראשי

המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
RSS מאמרים \| כתבו למערכת \| אודות האתר \| טרם התעדכנת \| ארכיון \| חיפוש \| עזרה \| תנאי שימוש	© כל הזכויות שמורות