בתשובה לאורי גוראל-גורביץ', 25/11/04 1:24
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264951
ירון רביד • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ב', 29/11/2004, 1:07
תגובות:
אורי (תגובה ראשונה שלך):
1. אני לא רואה הבדל בין אקסיומות של תורת הקבוצות לבין אקסיומות של תורת החבורות. גם בתורת הקבוצות מניחים את קיומם של עצמים - שנקרא להם קבוצות - ומנסחים חוקים ותכונות של העצמים - אלה הן האקסיומות של הקבוצות - ועל פי חוקים אלה מנסים להוכיח קיום תופעות בקבוצות - משפטים מתמטיים. ההבדל הוא במוטיבציה בלבד ולא בשיטות החקירה המתמטית. בתורת הקבוצות אנו מנסים "להציל את התופעות" המתמטיות ולבססן על חוקים לוגיים שאנו יכולים לחיות איתם, ואילו בתורת החבורות אנו מנסים להגיע לתוצאות חדשות באמצעות אקסיומות יעילות יותר. אם כי גם מוטיבציות אלו השתנו עם הזמן וגם בתורת הקבוצות מנסים כיום להגיע לתוצאות חדשות (ומשפט גודסטין הוא דוגמא טובה לכך).
דרך אגב, הפילוסופיה של גדל עצמו הייתה שכל (בדגש ובבולד) המתמטיקה עוסקת בעצמים קיימים ובמשפטים נכונים אבסולוטית. הוא היה האפלטוניסט בהא הידיעה של המתמטיקה המודרנית. כך שאני לא בטוח בכך שרק תורת הקבוצות מתיימרת לתאר אמת אבסולוטית. לדעתי זה עניין של אופנה: בתקופת ניוטון ולייבניץ, יצרו את האינפיניטסימל בכדי לתאר את המציאות האבסולוטית של תנועה, ויירשטראס עיגן את זה בתורה מסודרת בכדי שלא תהיינה סתירות (כדי להצדיק את התופעות ולהביא לבסיס איתן של המתמטיקה). אחריו דדקינד ייצר את החתכים שלו כדי לייצר בסיס איתן למספרים הממשיים; אחר כך פיאנו יצר את האקסיומות שלו כדי לייצר בסיס איתן למספרים הטבעיים; קנטור יצר את התורה שלו כדי לאפשר לדבר על אינסופים, פרגה הלך עם זה רחוק מידי, ואילו ראסל וויטהד ניסו לעגן זאת בתיאוריה יומרנית בכדי לברוח מהסתירות של פרגה. בסוף הגיעו צרמלו, פרנקל ושות' בכדי לעדגן את תורת קנטור באקסיומות מסודרות יותר. מה מתוך זה הוא יסודות מתמטיקה ומה נחשב כמתמטיקה יומיומית? עוד חמישים שנה ינסחו תיאוריה הרבה יותר יסודית וחזקה שתהפוך להיות יסודות המתמטיקה ומתיימרת לעסוק אמת האבסולוטית ואילו ZFC תיחשב כעוסקת בעצמים מסוימים שניתן שיהיו גם אחרת.
2. אני חולק עליך. מבחינה מתמטית ניתן למצוא פסוקים רבים שאינם תלויים במערכת האקסיומות של PA, אך לא את כולם נרצה לקבל כאקסיומות. הם פשוט לא אינטואיטיביים מספיק. אנו רוצים לקבל כאקסיומה פסוק שאותו לא נצטרך להצדיק - פסוק שנראה כאילו הוא תופס את מהות העצם אותו אנו חוקרים ושעליו יש לנו "מודל טבעי" או יכולת להצביע עליו (מספר בPA או קבוצה בZFC). משפט שמכיל יותר מזה נרצה להחליף במשפט שקול לו (או במערכת משפטים שקולים) שהם כן נראים ומרגישים כמו אקסיומות.
אין מה לעשות - במתמטיקה נכנסים שיקולים שהם לא רק מתמטיים או לוגיים.

ראובן:
כמובן שפסוק הינו סופי ולכן הסיבוכיות שלו היא סופית. הטענה היא שניתן "ליצוק" את כל הפסוקים האפשריים שהאנושות יכולה ליצור בתוך מבנה סיבוכיות של סודר אפסילון אפס, כלומר יש פוטנציאל קינון אינסופי בפסוקים האנושיים. אדב, תקרא קצת משפטים מתורגמים מגרמנית ותבין על רמת הקינון שאני מדבר - או לא תבין כלום (הייתי מציע להתחיל ב"ביקורת התבונה הטהורה" של קאנט)

אפופידס:
התכוונתי למקונן, ונדמה לי שכך גם כתבתי... אולי פיספסתי במקום אחד.

אורי2:
א. אכן אפסילון אפס ולא אומגה. טעות שלי...
ב. יומיומית זה לא עלבון ולא שבח (אפשר לראות זאת כשבח, אך בודאי שאין הכוונה לעלבון). הכוונה הייתה פשוט להבדיל את המתמטיקאים העוסקים במתמטיקה לעומת אלה שעוסקים ביסודות המתימטיקה, בלוגיקה ובתורת הקבוצות (ואולי גם יחד עם העוסקים בפילוסופיה של המתמטיקה ושל הלוגיקה). אתה בעצמך הבדלת לעיל בין תורת החבורות לתורת הקבוצות.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264952
ירון רביד • בתשובה לירון רביד יום ב', 29/11/2004, 1:25
ולסיום להיום:
אני חושב שיש מעמד מיוחד לPA על ZFC. אקסיומות PA מנסות לתאר את התכונות של המספרים הטבעיים, ואילו ZFC עוסקת בעצמים הרבה יותר כלליים ומופשטים. מי אמר שיש קבוצות אינסופיות? די בטוח שיש מספרים סופיים, אך קבוצת כל המספרים הסופיים? תצביעו לי עליה בבקשה.
אני יודע שאני נשמע כמו אינטואיציוניסט, ואין לי ממש בעיה עם זה. אבל אין הכוונה שלי לתת נאום בעד האינטואיציוניזם, אלא להמחיש את ההבדל במעמד שבין אובייקטים מתמטיים מוצקים כמו המספרים הטבעיים, יחד עם המודל הטבעי שלהם, לעומת אובייקטים מתמטים מופשטים כמו סודרים אינסופיים וכדומה. אפילו מספרים ממשיים הם לא ממש טבעיים לנו (כפל לשון) ואנו נזקקים למודל של קו ישר גיאומטרי ולמילוי החורים בו כדי לתפוס על מה מדובר.
המשפט המפורסם: "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל השאר הם מעשה ידי האדם" מדבר אלי מאוד. אני חושב שמספרים טבעיים שונים מכל עצם מתמטי אחר בכך שכל מודל מתמטי חילופי לו הוא חילופי לטבעיים ובמעמד אחר ממנו. לעומת זאת, קבוצות אינסופיות שמקיימות או לו מקיימות את השערת הרצף - האם באמת אנו יכולים להעדיף אינטואיטיבית מודל זה או אחר? יש כמובן שיקולים של יעילות ויופי מתמטי וכדומה, אבל אני לא חושב שיש ממש העדפה בסיסית של מודלים המרחיבים את המספרים הטבעיים.
מסיבות אלה, אני מעדיף להרחיב את אקסיומות פיאנו כדי לתפוס עוד ועוד תכונות של הטבסעיים, מאשר להרחיב את ZFC או אפילו מאשר להוכיח תכונות בZFC שלא ניתנות להוכחה ב PA.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264963
עוזי ו. • בתשובה לירון רביד יום ב', 29/11/2004, 7:51
אבל PA ו- ZFC לא מתחרות בכלל על אותה גומחה אקולוגית.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 265136
גיל לדרמן • בתשובה לירון רביד יום ב', 29/11/2004, 17:46
לגבי המשפט האחרון שלך: מבחינה פילוסופית נטו, למה הוכחות ב ZFC (ללא הרחבות חזקות יותר) "נחשבות" פחות? הרי כמעט כל המתמטיקה המודרנית תלויה בהן, לא? בפרט דברים מאוד "פיזיקליים" ואינטואיטיביים כמו חלקים גדולים מהאנליזה והגאומטריה. אנחנו משתמשים באקסיומות הללו בשביל כל הדברים החשובים, ודי "סומכים" עליהן. למה לא לסמוך עליהן גם בקשר לטבעיים (בהתעלם משיקולי אלגנטיות)?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 265227
ירון רביד • בתשובה לגיל לדרמן יום ב', 29/11/2004, 23:59
גם לעוזי וגם לגיל:
אני כתבתי על העדפתי האישית "לפרמל" את המודל הטבעי של הטבעיים באופן שמרני ששומר על רוח PA, ולא מפליג למחוזות האינסופים הגדולים והמטורפים של ZFC.
הסיבה שכתבתי זאת היא כי היו תגובות שאי תלות של פסוקים בPA זה לא חוכמה ואילו אי תלות ב ZFC זה כבר דברים מענינים יותר.

בתכל'ס - הוכחות בתוך ZFC מאוד נחשבות בעיני וגם נותנות מהוות כלים כדי להרחיב באופן שמרני את PA. במילים אחרות, ZFC (או אולי מערכת חלשה יותר כמו ZF)היא מסגרת למתמטיקה ולחוקי כתיבת הוכחות (במקביל לכך שפרינקיפיה מתמטיקה ותחשיב הפרדיקטים מסדרים גבוהים מהווים מסגרת לדיון מתמטי). חקירה של ZFC היא חיונית כדי לדעת את גבולות החקירה המתמטית של המספרים הטבעיים (כמו גם תחומים אחרים).
אך אני רואה כמטרה עליונה למצוא את ההרחבות ה"צנועות" של PA (או למצוא מערכת אקסיומות צנועה אחרת של הטבעיים) כדי להוסיף ידע על פסוקים במספרים הטבעיים. לדוגמה: ייתכן שגולדבך הוא כזה שלא ניתן היום להוכיח מPA וכן ניתן להוכיח בZFC (זה משהו שניתן להוכיח בZFC). במקרה כזה הייתי רוצה למצוא מערכת הרבה יותר חלשה מZFC שבה ניתן יהיה להוכיח את גולדבך.
אני אומר כל זאת לא מתוך זלזול או הבעת ספק בZFC ובתורת הקבוצות האקסיומטית. להיפך, מתוך העמדה שלי שזו מסגרת לגיטימית להוכחת תלות ואי-תלות במערכות חלשות יותר, אני מנסה למצוא את ההרחבות המתאימות. זוהי לגעתי המשמעות האמיתית של "תוכנית הילברט" לאחר ההתפכחות שהביאו עלינו משפטי גדל.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 265248
האייל האלמוני • בתשובה לירון רביד יום ג', 30/11/2004, 1:12
מה דעתך על ZF (בלי C)? גם היא גדולה ומטורפת? למה?
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות