בתשובה לאלון עמית, 10/09/05 0:17
על מתמטיקה לא טרחנית 328716
. • בתשובה לאלון עמית שבת, 10/9/2005, 0:37
בתמונה
הקשת BE היא הזווית x שלנו (נמדדת ברדיאנים, רדיוס יחידה), BC הסינוס ו־DE הטנגנס (משיק בעברית צחה).
מאי־שוויון המשולש והגרת הישר, ברור שהקשת ארוכה מהסינוס. אני מתקשה לשכנע באותו סוג של ביטחון שהקשת קצרה מהטנגנס. אשמח לעזרת הציבור.
על מתמטיקה לא טרחנית 328722
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה ל. שבת, 10/9/2005, 0:51
זה בדיוק השרטוט שעליו אני מדבר, ואני מסכים איתך - בכל מקום שבו נתקלתי במישהו שטען שהקשת קצרה מהטנגנס הוא השתמש בנפנופי ידיים או ב"קל לראות". היה הסבר אחד שנראה יותר משכנע מהאחרים - גם הוא השתמש ב"קל לראות" אבל צייר משיק שעובר דרך B, סימן את החיתוך עם DE בתור F ואמר שהקשת קצרה מ-BF ועוד EF (למה? כאן הוא לא נימק) ולכן ברור שהיא קצרה מ-DE.

דרך ההוכחה המקובלת יותר, כאמור, מתבססת על השוואת שטח המשולש ABE (חצי סינוס x), הגזרה ABE (חצי x) והמשולש ADE (חצי טנגנס x). במקרה הזה ברור שיש לנו הכלות ולכן אי שוויונים. הצרה, כאמור, היא שלא ברור איך אנחנו יודעים מהו שטח הגזרה.
על מתמטיקה לא טרחנית 328735
. • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 10/9/2005, 1:42
מה מפריע לך לגבי שטח גזרה על עיגול היחידה? זה שהוא לינארי בזווית, או שהוא מסתכם ל־π?

(אולי זה המקום להודות שאין לי מושג איך הוכיחו שכל המעגלים "דומים")
על מתמטיקה לא טרחנית 328741
אלון עמית • בתשובה ל. שבת, 10/9/2005, 2:22
אני מניח ששאלתך בסוגריים היא "איך מוכיחים שהיקף מעגל פרופורציוני לרדיוס שלו", נכון?

אצל אוקלידס, אחת האקסיומות דנה במעגלים, אבל בגיאומטריה מודרנית זה לא כך:

זו מערכת אקסיומות שלמה לגיאומטריה (של המרחב, אבל לא קשה להצטמצם למישור אם רוצים). "מעגל" בכלל לא מוזכר כאן, אבל אפשר להגדיר אותו כאוסף הנקודות B כך שהקטע OB חופף לקטע OA נתון.

מהמערכת הזו, אפשר כבר לפתח את המושג של מרחק כמספר ממשי, ומשם את מושג האורך והשטח (כגבולות של תהליכי מיצוי, כשהם קיימים), ומשם זה כבר די קל להוכיח את כל העובדות הצפויות. אני לא יודע אם אפשר לעשות זאת בפחות עבודה, זו שאלה מעניינת.
על מתמטיקה לא טרחנית 328775
. • בתשובה לאלון עמית שבת, 10/9/2005, 10:09
כפי שאולי יכולת לנחש, אני חיפשתי ליווי צמוד יותר... לומר "הנה האקסיומות, מכאן זה רק מכניזם לוגי" לא מועיל הרבה, לא כן?

נראה לי שאת גדי מטרידה ההוכחה ש:
"במעגל, יחס ההיקף לקוטר שווה ליחס השטח לריבוע הרדיוס".
ולא הערך המדויק של היחס הזה. לכן תיתכן אולי הוכחה גאומטרית טהורה נטולת גבולות ואינטגרלים.
על מתמטיקה לא טרחנית 328778
אלון עמית • בתשובה ל. שבת, 10/9/2005, 10:30
נטולת גבולות: לא סביר, כיוון שאנחנו מגדירים שטחים ואורכים כגבולות, ואני לא מכיר (ולא חושב שיש) דרך אחרת‏1.

נטולת אינטגרלים: יש כזו בתגובה 328771.

‏1 במישור, יש משפט יפה של בוליאי וגרווין שאומר כך: אם לשני מצולעים יש אותו השטח, אז אפשר לחלק אותם למספר סופי של חלקים חופפים. כלומר, שוויון בין שטחים של פוליגונים אפשר תמיד להוכיח באופן "קומבינטורי". אני זוכר שלפני לא הרבה זמן (שנות השמונים?) הצליח איזה ממזר להוכיח שזה נכון גם למעגל ולריבוע - אין לי מושג איך מראים זאת. אולי כך אפשר איכשהו לצאת מזה בלי מיצוי? אני לא בטוח בכלל.

במרחב, אפילו (האנלוג של) הטענה על המצולעים לא נכונה; יש שני פאונים שווי-נפח שאי-אפשר לחלקם לצורות חופפות. נדמה לי ש-Dehn היה הראשון להוכיח זאת, וזו היתה אחת הבעיות של הילברט (והראשונה שנפתרה). אני חושב שהילברט התעניין בשאלה הזו בדיוק כדי לבחון אם אפשר לבנות תורת-נפחים בלי גבולות (ובמרחב, לפחות, אי-אפשר).
על מתמטיקה לא טרחנית 328764
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה ל. שבת, 10/9/2005, 8:32
זה שהוא מסתכם ל־π, וזה לא ממש מפריע לי - אני פשוט סקרן לדעת איך מוכיחים את זה בלי להיכנס למעגלים.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות