בתשובה להפונז, 11/10/24 16:57
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בנושא הראשון: במחשבה נוספת, יתכן שצריך להשלים עם כך שכמו במקרה של היקום הנראה ושל צופה שמאיץ, צופים שאינם יכולים להיפגש זה עם זה כדי להשוות תצפיות מתקיימים בפיסות מרחב-זמן נפרדות. זה לא פותר את כל התמיהות וגם מזכיר קצת את פרשנות העולמות המרובים, אבל נראה לי שאניח לזאת כעת. בנושא הקרינה - גם קלוד וגם GPT מסכימים אתך שהצופה יחווה עליה בקרינה שגם תוסח לכחול. אבל לפי תיאורם צופה שהצטייד מבעוד מועד בקרם הגנה יהיה לגמרי סבבה עם זה. אחרים ישלמו את המחיר. זה לא מסתדר לי הגיונית, אבל אני סומך על החישובים שערכו גדולי היחסות אליהם הוא מפנה. שאלתי אותו שוב בנושא התאדות החור השחור קודם לחציית האופק (עבור צופה חיצוני!), אבל אני לא יודע מה לעשות עם משפטים כמו: "from an external observer's perspective, infall takes an infinite time, while the evaporation occurs on a vastly longer timescale." צריך אולי לעיין במקורות שהוא מציע.
|
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אבל מה שקישרת מתייחס לקרינה מהתאדות חורים שחורים, שנראית לי לא רלבנטית לשאלה שלי. השאלה בתוקף גם אם חורים שחורים לא מתאדים כלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שלגבי "חציית האופק" שמטרידה אותך, אתה מתעלם ממה שבאמת רואה הצופה החיצוני. בוא נדבר על האסטרונאוט כ"נקודת אור" - אז הוא רואה את הנקודה הזו מתקרבת ומתקרבת לאופק, אבל גם נעשית יותר ויותר כהה ובאורכי גל גדלים והולכים, ככה שגם הרבה (מילימטרים? מטרים? מה זה משנה) לפני האופק התיאורטי הנקודה כבר "השחירה" ונעלמה מהעין. לכל צורך שהוא היא כבר התמזגה עם החור השחור1. אז למה ההתאיידות זה מה שמטריד אותך? כל האינפורמציה שהיתה מגולמת בנקודה הזו מתווספת לחור השחור, אמנם לכאורה על המעטפת שלו3, אבל מה זה משנה? 1 ומה זה משנה אם היא בסוף נמצאת לנצח ננו-מטר מעל לאופק? זה נשמע לי חסר יכולת להפריד בין מצב כזה לבין האופק2 2 רק לאחרונה גיליתי שהרבה מעל לאופק יש אזורים שאור לא יוצא מהם, אבל גם לא נכנס לתוך אופק האירועים - הוא מסתובב שם לנצח. מה שזה אומר שבעצם האופק עצמו הוא מקום פיזיקלי הרבה פחות מוגדר מהמקום המתימטי. 3 זה לא מה שהמודל ההולוגרפי אומר ממילא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה אם אני מבלבל בין חידה שחדת לג'פטו לבין תהיה אמיתית, אבל לגבי צופה חיצוני באסטרונאוט שנופל לחור שחור, בהנתן קרינת הוקינג, הנפילה תהיה בזמן הסופי של התאיידות החור לחלוטין, לא1? הניתוח עבורו הנפילה אינסופית מניח אופק אירועים קבוע, כך שאין בעיה שאין הסכמה עם זה. והנה לנו אכילס והצב על סטרואידים: עד שהאסטרונאוט (עבור צופה חיצוני) גומא חצי מהמרחק לאופק האירועים, האופק קטן ממש טיפה, ועד שהאסטרונאוט גומא חצי מהמרחק החדש, וכן הלאה... ________ 1. כחסם עליון זה נראה לי ברור, כחסם תחתון אני יכול רק לנפנף ממש חזק בכל הגפיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת שזה אכילס והצב על כדורי שינה - האסטרונאוט לא מגיע לאופק אפילו כשהאופק יציב ולא משתנה. ההתרחקות הזניחה של האופק לא מוסיפה לזה כלום (ודה פקטו האופק דוקא גדל כי חומר נכנס אל החור השחור ומגדיל את הרדיוס שלו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי אותך כנראה. עד כמה שאני מבין, בהנחה שאין חומר נוסף מסביב (רק חור שחור, אסטרונאוט נקודתי וצופה מרוחק), האסטרונאוט יגיע למרכז החור (היעד שלו ושל האופק) בזמן סופי אליבא דצופא (ואני משער שבדיוק בזמן שבו יתאייד החור). אם החור לא היה קורן אז באמת הגרסה היתה מנומנמת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נשמע לי קצת משחק בסמנטיקה מצד אחד, ובמצבים כל כך רחוקים וקיצוניים, שאני לא בטוח שהמילים שאתה משתמש בהן לתיאור הזה יש משמעות. אולי נסכים לצורך הדיון שמתישהו החור יתאדה1. אז החור ייעלם באותה נקודת זמן, מה המשמעות של זה ש"האסטרונאוט יגיע למרכזו"? כבר לא יהיה לו מרכז. אולי בכלל יותר סביר לומר, אם כבר עוסקים בטווחים כאלה, שמתי שהוא לאורך זיליוני השנים שבהן החור יקטן - ז"א שמסה ואנרגיה ממנו נפלטים לחלל החיצון - המסה והאנרגיה של מה-שהיה-פעם-האסטרונאוט2 תיפלט לחלל החיצון. אז בעצם לא רק שהוא לא יגיע למרכז - הוא יתרחק ממנו עד ללא שיעור. 1 וזה כנראה אירוע אגרסיבי אנרגטית לקראת הסוף. 2 ייתכן שבכלל מדובר בכמות המידע הקוונטי (או ווטאבר) שהיו גלומים באסטרונאוט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בהחלט משחק ואין שום צורך לכלול את זה במבחן הקבלה לשום סוכנות חלל. בכל זאת, לא ברור לי למה זה משחק בסמנטיקה ולא שאלה מתמטית כשהפיזיקה רק מביאה את הניחוח. אם לאסטרונאוט מסה זניחה (ובהנתן שאין שום דבר אחר ביקום), ובמערכת ייחוס לפיה החור במנוחה בהתחלה, הוא גם יישאר במנוחה. אז מרכז החור הוא נקודה קבועה לאורך הזמן, ואין שום בעיה לדבר על הנקודה הזאת גם אחרי לכתו מן העולם. אם מניחים קרינת הוקינג (ושוב, שקט רדיו מצד שאר היקום) אז יש פונקציה מפורשת לקצב ההתאדות (ראה פה), ובאופן דומה אפשר למצוא כזאת למיקום האסטרונאוט לפי צופה חיצוני, ולתאר את כל התהליך1 שכאמור חסום על ידי זמן ההתאדות, שפרופורציונלי למסת החור בשלישית. אני עצלן כמובן, וגם לא נהנה בחידות מלאות במשוואות דיפרנציאליות, אז במקום אני מדבר על גרסת אכילס והצב, שבה נותנים לאסטרונאוט ליפול עד חצי המרחק לאופק בהנחה שהוא השני לא זז, מזיזים את האופק, וחוזר חלילה. אם התהליך נגמר בזמן סופי, זה גם חסם עליון לנפילה האמיתית (בעיני הצופה) שאפשר למצוא אנליטית. בכל מקרה בעיניי מעניין אם הוא נגמר או לא (וזה בסדר אם אותך לא, רק ניסיתי להבהיר קצת יותר למה בעיניי זה מעניין ולא צריך בכלל להיות קשור לאסטרונאוט אמיתי). _______ 1. זה מתעלם מכך שקרינת הוקינג עצמה אמורה לדחוף את האסטרונאוט החוצה. זה נשמע זניח אבל אם מבחינת הצופה החיצוני האסטרונאוט לא מגיע לעולם לאופק האירועים הבורח לפני ההתאדות, הקרינה מתחזקת ולכאורה אולי מספיקה כדי להדוף אותו החוצה. זה לא נשמע הגיוני כי אז האסטרונאוט (הנקודתי) חופשי להשוות מחברות עם הצופה החיצוני והרי מבחינת האסטרונאוט הוא נבלע לחלוטין בחור, אז זה סוג סתירה בין צופים שלא אמורה לקרות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על פי התיאור של pbs space time מנקודת המבט של הצופה: האסטרונאוט יצלול אל החור השחור במהירות הולכת וגדלה. כאשר הוא יגיע אל אופק האירועים הוא ישתטח כמו פנקייק על פני כל אופק האירועים. הפוטונים שהוא פולט יהיו שקולים לאותה קרינת הוקינג, ויפלטו באופן אקראי לכל הכיוונים. ה"אינפורציה הקוואנטית"1 של אותו אסטרונאוט תפלט באופן איטי מאד עד שהביט האחרון ייפלט כאשר החור יתאדה לגמרי. במילים אחרות, התשובה לשאלה "מנק' המבט של צופה: מתי האסטרונאוט יגיע למרכז החור" היא: אף פעם. כמו טיפת מים שנופלת למדורה, הוא פשוט יתנדף ויתמזג עם העשן. 1 אפילו לא החלקיקים המקוריים שלו.. המידע הקוואנטי, ולא, אני לא מבין מספיק כדי להסביר מה זה אומר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא בדיוק מה שהוא טוען, ממה שראיתי1. הוא מרפרף על כל החלק של הנפילה מנקודת המבט של הצופה, אבל כן מזכיר את ההסחה לאדום וההאטה הנראית של הנפילה בעיני הצופה המרוחק, ומה ששקול לקרינת הוקינג לפי הסיפור שלו זה האינפורמציה שנבלעה בחור, לא פוטונים שנפלטו במהלך הנפילה ולפני חציית אופק האירועים2 (כלומר הקיוביט ולא קרינת הגמא שהקופסה פולטת באופן קבוע). מה שהוא לא נוגע בו בכלל זה היחס בין ההאטה שהצופה המרוחק רואה בנפילה עם ההתקרבות לאופק האירועים לבין הצטמקות האופק עצמו, והרי זה המירוץ שבו אני מתעניין. מחיפוש לא עמוק של מקורות אני מבין שהנחתי בתמימות שיש לנו הבנה טובה יותר של חורים שחורים מתאדים, לא רק בהקשר של פרדוקסי אינפורמציה עם הקרינה (שהם הנושא העיקרי בסרטון) אלא גם בקשר לנפילה עצמה ביחס לצופה מרוחק. ב-FAQ העתיק (1995) הזה יש תיאור שתואם את ההבנה שלי שהאסטרונאוט ייראה כקרוב יותר ויותר לאופק שבעצמו הולך וקטן, עד להפגשות עם מרכז החור בדיוק עם מותו. זה אם מתעלמים מכמה הסחות דעת יהיו בשלב הזה מצד החור, או מזה שפוטונים הם בדידים כך שהסחה לאדום כולל בשלב מסויים פוטון אחרון. _____ 1. אני גם לא בטוח כמה כדאי לנו לדוש בפרשנות לסרטון שלו, שלא נראה לי מהימן במיוחד (אבל יש לי נטיה שלילית למגניביזציה של פיזיקה ביוטיוב). 2. apparent horizon [Wikipedia] למעשה. אני מתרשם שזה לא חתום וסגור, אבל אליבא דהוקינג אין אופק אירועים אמיתי לחורים שחורים שסופם למות ( ראו פה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על התגובה. הסרטון של pbs space time נכתב ע"י המנחה, מאט אודווד שהוא פרופ' לאסטרופיזיקה עם תיזה בנושא AGN (חורים שחורים סופר מסיבים). אני חושב שהוא מהימן למדי. בכל מקרה, התייחסו אל הסרטון בשיחה הזו ב stackexchange. בשיחה היא יש גם קישור להרצאה של לאונרד ססקין בנושא, ואולי היא תעניין אותך. אני מבין שאתה מתעניין באיזשהו מירוץ. אבל הטענה היא שלפני שהמירוץ הזה בכלל מתחיל, האסטרונאוט הפך לפנקייק. הבה נקח מספר שרירותי: ברגע שהאסטרונאוט הוא בעובי של מ"מ או פחות, אז הוא לצורך העניין הושמד. הצופה המרוחק לא יבדיל בינו לבין כל דבר אחר שנפל לחור השחור במיליון השנה האחרונות. את המספרים לקחתי מהשאלה האם אפשר ליצור חור שחור בצורת ג'ירף, גם היא ב stackexchange. עבור חור שחור "טיפוסי", בקוטר 3 ק"מ, אסטרונאוט בנפילה חופשית יגיע לשיא המהירות (מבחינת צופה חיצוני) במרחק 9 ק"מ. והמהירות הזו היא קרוב ל 0.4 ממהירות האור. אם אני משתמש בנוסחה המצורפת, אז במרחק מילימטר מאופק האירועים, האסטרונאוט נראה לנו נופל במהירות של 1 מטר לשניה. גם מבלי להכנס לאינטגרלים, אפשר לחלק 6 ק"מ במטר לשניה כדי לקבל חסם תחתון. אז תוך פחות מ 6000 שניות (כלומר פחות משעתיים) האסטרונאוט כולו יתכנס לשכבה בעובי מילימטר מעל אופק האירועים. לחור השחור הטיפוסי יקח הרבה יותר משעתיים להתנדף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזל שמאט אודווד לא קורא פה, תודה על התיקון לזלזול שלי, ועל הקישור להרצאה,שצלחתי למרות הקושי שלי עם וידאו. אם אני מבין נכון, אנחנו חלוקים רק בענייני טעם. בעיניי אסטרונאוטים נקודתיים ומירוצים שלוקחים מיליארדי שנים ומתקדמים מרחקים קטנטנים הם מעניינים, וה''לצורך העניין הושמד'' בנוגע למרחקים קטנים (מילימטר או אפילו אורך פלאנק שסוסקינד מזכיר) או אורכי גל אדומים כל כך שלא סביר שנמדוד מהם פוטון הם הסחות דעת של העולם האמיתי מהאידאליזציה המתמטית. לדעתי גם זנון (שבמותו לא יכול להתנגד שאני מגייס אותו למחנה שלי) היה מתעניין בכך שלעבור חצי המרחק הנותר לאופק הנראה לוקח יותר ויותר זמן בכל שלב, ובכל זאת האסטרונאוט מגיע למרכז החור מבחינת הצופה. או כמו שכתבת, שאחרי שעתיים המרחק בין האסטרונאוט לאופק הנראה הוא פחות ממילימטר, ועל המילימטר הנ''ל (שלא לדבר על שלושת הק''מ שגם אותם יגמא בסוף) הוא יצטרך לעבוד הרבה זמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכילס והחור השחור. מי היה מאמין! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פנקייקיפיקיישן היא המילה החדשה החביבה עלי עכשיו. ומה שפוצץ לי את המוח בקישורים לויקיפדיה זה הניסוי עם החבל: מסתבר שאם האסטרונאוט קשור בחבל, והחבל זז איתו מספיק מהר (חבל שמשולשל לאיטו נקרע לפני האופק בגלל כוחות הגאות), האסטרונאוט והחבל יצליחו לעבור את אופק האירועים. אבל אם ינסו למשוך אותו *כשהוא בפנים*, הוא ייקרע הרחק מחוץ לאופק האירועים. מה שמטריד אותי עכשיו, זה שבמערכת הייחוס של האסטרונאוט החבל לא נקרע לעולם - הרי מרגע שעבר עם החבל את האופק, החבל איתו אבל כל ההיסטוריה כבר חלפה - אבל במערכת הייחוס של הצופה החבל נקרע ואפילו בזמן סופי מדיד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וזה מחזיר אותי לשאלה שלי ממעלה הפתיל: אחרי מיליוני שנות קיום חור שחור וספיחה של חומרים מסביבו, עבור צופים חיצוניים רוב המסה של החור השחור נמצאת בפנקייק האירועים שבמעטפת, ולא במרכז החור השחור. סביר מאד להניח שלפיזור המסה הזה יש השפעה מדידה על הדינמיקה של גופים בקרבת החור השחור - למשל כוכב נייטרונים שמתאחד איתו. והדינמיקה צריכה להיות שונה מזו של גוף שכל המסה במרכזו. האם דינמיקה כזו ניתנת למדידה בליגו ודומיו ואכן נצפתה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
==> סביר מאד שלפיזור המסה הזו יש השפעה מדידה.. בדיוק ההיפך.. ע"ע shell theorem. מסה ספרית סימטרית שקולה בדיוק למסה נקודתית. נ.ב קיוויתי שזה לא תקף ביחסות כללית, אבל טעיתי. זה כן. נ.ב.2. כאשר 2 חורים שחורים מתמזגים ואחד יותר גדול, יש איזשהו פרק זמן (?) של חוסר סימטריה. אבל אני בספק אם זה אפשרי למדוד את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. זכרתי את זה ממכניקה 1, אבל הנחתי שביחסות כללית זה יישבר. ב. יש לי הרגשה שיש מקומות שבהם זה נשבר - בייחוד כשגוף אחר חודר לרדיוס קטן מהמטעפת. למשל, פגיעה של אסטרואיד תהיה אחרת בגוף עם מעטפת דקה מאשר בגוף עם מסה אחידה. מאחר ואיחוד של חורים שחורים או חור וכוכב ניטרונים נשמע לי כמו מגה-פגיעה של מגה-אסטרואיד, חשבתי שבאירוע כזה כן יהיה הבדל בין התפלגויות המסה הללו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כהרגלי לאחרונה, האופק המתרחק מזכיר לי קצת את תגובה 280639, וזה מזכיר לי שהייתי די גאה בעצמי כהצלחתי להסביר את הפתרון גם למאותגרי מתמטיקה אחדים. לא בקלות, אבל הצלחתי (או שפשוט נמאס להם והם אמרו "אה עכשיו הבנתי. אפשר לחזור לסיינפלד?") | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על האזכור, חידה חמודה. הנה חידה שהיא מזכירה לי (וסליחה אם היא מופיעה בארכיבי האייל, לא מצאתי): ביער בן שמן קק"ל הציבה שולחן פיקניק חדש באורך מטר. עקב אילוצים תקציביים, רוחב השולחן אפסי, אבל זה לא מרתיע אתכם כי יצאתם לדייט עם פרוסות אינפיניטיסימליות של נקניק ולחם. מה שכן מפריע לכם זה שאיך שבאתם לתפוס את השולחן הופיע נבל וניער שק של מאה נמלים נקודתיות על השולחן. כל הנמלים נפלו באותה העת (נקרא לה t=0), בנקודות שרירותיות לאורך השולחן. כל נמלה נפלה כשפניה (הנקודתיות) לכיוון ימין או שמאל בקורדינטות קק"ל, שרירותית, והתחילה מיד לנוע בקצב קבוע של מטר לדקה. כששתי נמלים נפגשות שתיהן פונות מיד כלאחר שבאו וממשיכות באותו הקצב. האם נגמזו תוכניותכם לפיקניק? אם לא, מתי יהיה בטוח לפרוס את הנקניקים על השולחן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החידה כבר הופיעה כאן למיטב זכרוני. אם תניח שכל הנמלים זהות אז קל לפתור את החידה. אחר כך אפשר לראות שזה לא באמת משנה אם הן זהות או לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, בתגובה 426802. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד. אחשוב על זה מחר. בינתיים חידה לילדים חובבי חשבון שחשבתי עליה הבוקר. אגב, ל-GPT לא היתה בעייה לפתור אותה: אתמול חל התאריך 2.12.24 שממנו ניתן להרכיב את המשוואה: 2x12=24 כמה ימים כאלו היו השנה?כמה יהיו בשנה הבאה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השנה היו לא מעט- 24.1, 12.2, 8.3, 6.4, 4.6, 3.8 ו-2.12. בשנה הבאה יהיו פחות: 25.1 ו-5.5. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשנה הבאה גם 24.1 ו־26.1 וכל שאר מי שאפשר ליצור בחיבור וחיסור (וכך גם השנה, כמובן). עוד עשרים שנים בערך נקבל אפילו את 2.11.2048 . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה חביבה. מה שיפה בה, שה''סיפור'' עושה אותה יותר מעניינת מאשר ההצגה המתימטית של השאלה, שהופך אותה לשאלה די פשוטה עבור תלמיד כיתה ד'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר עוד לפתח אותה, למשל מהי השנה הקרובה בה לא יהיה אף תאריך כזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אף אחד לא נוגס בפתיון ושואל אותי איך הסברתי את זה למי שחושב שהסדרה ההרמונית זה שם של אוסף קונצרטים? אין לכם ילדים בבית שאולי זה ידגדג את נכונותם לעזוב קצת את טיקטוק? טוב, לומשנה, אני אשב לי כאן בחושך ברגיל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש ילדים (דות) בבית - אנא פרט והסבר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הה. קודם כל אקדים ואומר שיש לי עדיין בעיה עם כל העסק, אותה אפרט בסוף. זה בשביל המתח הדרמטי. הבה נחשוב מה יקרה לנמלה אם היא הצליחה, איכשהו, להגיע למחצית הגומי הנמתח. מאותו רגע, החלק שמאחריה כבר "דוחף" אותה קדימה יותר מאשר החלק שמלפניה "בורח" ממנה (בהנחה שהגומי מתנהג כמו גומי אידיאלי ונמתח באופן שווה לכל אורכו) כך שהתקדמותה אל הקצה כבר לא מופרעת ע"י המתיחה אלא להיפך. כדי להגיע לאותה נקודת אמצע, מספיק שהנמלה תגיע לנקודת הרבע, כי משם ואילך היא כבר "נדחפת" אל האמצע יותר מהר משנקודת האמצע "בורחת". ואידך זיל גמור באינדוקציה, עד שמספיק לה ס"מ (אן מ"מ אם אתה רוצה לפתור חידה קשה יותר :-)) כדי להגיע לנקודה ממנה התהליך יתחיל. ------ ועכשיו הבעיה הלא פתורה שלי: אם מסתכלים על המהירות ממערכת הצירים של תחילת התהליך, בכל שלב עד לרגע האחרון ממש מהירות הנקודה הקיצונית, אותה ק"מ ליממה או מה שלא יהיה, גדולה יותר ממהירות הנמלה שנמצאת אי שם בדרך, שהיא l/L (l הוא מיקום הנמלה) + איזה אפסילון קטן וחסר משמעות. איך ייתכן שמי שנע כל הזמן במהירות קטנה ממשהו אחר, והוא מתחיל בפיגור, ישיג אותו בסוף? זה אכילס והצב בהיפוך תפקידים! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא השתכנעתי. הרי גם כשעברה שני שליש - מה זה משנה שהחלק מאחוריה "דוחף" אותה יותר מאשר החלק מקדימה "בורח"? והרי אם היא תעמוד באותה נקודה, היא לעולם לא תגיע לקצה. למרות שהיא תשהה זמן ארוך כרצונך "מעבר" לאמצע הרצועה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם היא לא זזה יחסית לגומי, אין ויכוח על כך שהיא לא תגיע לסופו אף פעם בין אם הוא נמתח ובין אם הוא נח, כך שהביקורת שלך אינה תופסת. אבל אשתמש בה לרגע (או שניים) בהמשך. כאשר הנמלה בתחילת דרכה, הקצה המרוחק מתרחק ממנה הרבה יותר מהר משהיא מתקדמת לעברו. אם נניח שבאופן פלאי היא הגיע לנקודת האמצע ושם היא עוצרת לנוח לרגע או שניים, המרחק שלה מהקצה המרוחק לא ישתנה, כי ההפרש באורך הגומי שנמתח מלפניה שווה להפרש באורך לגומי שנמתח מאחריה ונשא אותה עימו. ולכן אחרי שהיא שאפה אויר ועושה את הצעד הבא היא כבר מצמצמת את המרחק שנשאר לה ללכת, ואידך זיל. איך יקרה הפלא שיביא אותה לאותה נקודת אמצע הסברתי במקור כך שאין טעם לחזור על זה. לדעתי זה מספיק, אבל כדי לסבר את האוזן נזרוק קצת דלתות ואפסילונים בלי לקרוא להם בשמם, ואומר זאת כך, הפונז: כאשר היא במרחק קטן מאד מהסוף, ההפרש באורך הגומי שנמתח בינה לבין סוף הדרך קטן כרצוננו (אותם 10000 ק"מ מתחלקים על פני גוגלפלקס או שניים) כך שבצעד הבא היא מסיימת את הפרשה ורצה לספר על זה באייל. מכאן אתה יכול להתחיל לחזור אחורה בזמן ולשאול האם בזמן שהיתה מרוחקת פי שנים משם אותו הגיון מסביר איך היא הגיעה לאותו "שם". לא לגמרי אינטואיטיבי, אבל בעיני יותר אינטואיטיבי מעצם העובדה שהיא אכן תגיע לסוף הרצועה, עובדה שאינה מוטלת בספק כפי שמוסבר במשפט הבא ובשני מליון אתרים ברשת. מכל מקום, בלי שום קשר לאיזה הסבר נותנים (אפו: משוואות דיפרנציאליות מיותרות כאן כי אחוז הדרך שהיא עוברת בכל יחידת זמן הוא הטור ההרמוני כפול איזה קבוע) התמיהה שלי לגבי מי שנע לאט יותר ממישהו אחר ובכל זאת משיג אותו עדיין קיימת. בטח מדובר באיזה באג טריוואלי במוח שלי, מה שמעלה את החשד שאולי גם ההסבר שלי לוקה בכשל או שניים. קורה. אני כבר שומע בעיני רוחי את השאלה "טוב, אפשר לחזור לסיינפלד?". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או שהמוח שלי מתייבש או שהפסקה השנייה שלך פשוט לא נכונה: "אם נניח שבאופן פלאי היא הגיע לנקודת האמצע ושם היא עוצרת לנוח לרגע או שניים, המרחק שלה מהקצה המרוחק לא ישתנה, כי ההפרש באורך הגומי שנמתח מלפניה שווה להפרש באורך לגומי שנמתח מאחריה ונשא אותה עימו. ולכן אחרי שהיא שאפה אויר ועושה את הצעד הבא היא כבר מצמצמת את המרחק שנשאר לה ללכת, ואידך זיל." זה לא נכון. כשהיא הגיעה לנקודת האמצע של רצועה באורך 10 מטר, והרצועה מתארכת במטר לשנייה - אזי כשהנמלה עוצרת לשנייה, בתחילת השנייה הקצה רחוק ממנה 5 מטר, ובסיום השנייה הקצה יהיה רחוק ממנה 5 וחצי מטר. ולכן המרחק שלה מהקצה המרוחק *כן* ישתנה. (רק להבהרה - הרצועה *מקובעת* בנקודת ההתחלה, ומתארכת רק לכיוון אחד יחסית אליה. ככה אני מבחן את השאלה. זה אומרת שבמערכת צירי המעבדה הנקודה הסטציונרית היחידה על הרצועה היא איפה שעמדה הנמלה בהתחלה. אם אלו לא תנאי השאלה - אני חוזר בי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק כמובן בקשר לנקודת האמצע ובאמת היה לי באג טריוויאלי. אם כך נראה שהסבר קצת פחות פשוט, ויש לי הרגשה שהוא מדגדג את הטור ההרמוני בלי לקרוא לילד בשמו. מה דעתך על ההסבר הבא: כשההנמלה בנקודת האמצע הקצה מתרחק ממנה רק בחצי ממה שהתרחק בתחילה, וה"חצי" הזה הולך וקטן (שואף לאפס - את זה מבינים אינטואיטיבית גם ילדים, ואם לא זאת הזדמנות טובה להסביר להם) ככל שהזמן עובר והרצועה מתארכת, עד שהוא קטן מספיק כדי שכל צעד שלה כבר גדול ממנו. הרבה פחות אלגנטי ממה שחשבתי, אבל כך אני חושב עכשיו, לפחות עד העונג הבא. (כמובן. הרצועה מקובעת בקצה אחד) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה המתבקשת של ילד וירטואלי היא - ומי בכלל מבטיח שהנמלה תגיע לאמצע? אם כבר, האינטואיציה ה'טבעית' אומרת הפוך. מאחר והרצועה נמתחת פי עשר מהר יותר משהנמלה זוחלת, סביר מאד שאפילו לאמצע הרצועה היא לא תגיע. ז"א שהבעייה היא הצעד הראשון של האינדוקציה. אולי כדאי דוקא להתחיל הפוך: יש נקודה על הרצועה, קרובה למדי לנמלה כנראה אבל לא לגמרי (עשירית רצועה? פחות אפסילון?) שמלכתחילה מתקדמת בקצב איטי יותר מהנמלה. לנקודה הזו זה כבר ממש אינטואיטיבי שהנמלה תגיע. ומכאן באינדוקציה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בערך אותו טיעון, ואפשר להגיד אותו גם כך: האמצע אינו אלא הקצה של רצועה שאורכה ההתחלתי הוא חצי מהרצועה שלנו, והמהירות בה היא נמתחת אף היא חצי (את זה קל להסביר ואם השומע ממש צעיר אפשר להדגים עם גומיה ביתית). ומכאן באינדוקציה לכיוון הרבע וכו' עד למרחק המזערי והמהירות המזערית (שניהם כרצוננו) אותו הנמלה עוברת בקלות כבר בצעד הראשון. לטעמי זה עדיין לא רע, אם כי קצת פחות אלגנטי ממה שחשבתי. אחרי שזה הובן, כדאי להדגיש לשומע[ת] שההסבר הזה נכון לכל הפרמטרים ההתחלתיים כרצוננו: מהירות אפסית של הנמלה ומהירות עצומה ואורך התחלתי עצום של הרצועה. זה עשוי להיות פתיח לא רע לדבר על סדרות וגבולות אם יש לשומעים נטיה לכך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שפתאום לא מסתדר לי זה להחזיר את האנלוגיה לקוסמולוגיה: אם במקום נמלה יש לנו את הגלקסיה שלנו (או חללית שאנחנו משגרים), ובמקום הרצועה יש לנו יקום שמתפשט. אז החללית שלנו תגיע לכל גלקסיה, גם רחוקה מאד, בהינתן מספיק זמן. וזה הפוך ממה שאומרים לנו הקוסמולוגים: שאפילו קרן אור שנשגר עכשיו, לא תגיע לגלקסיות הכי מרוחקות מאיתנו. אני אגב לא אוהב את כיווני "הצעד הראשון" שלך, כי הם מערבבים רציפות ודיסקרטיות וזה מבלבל. בהצעה שלי, מספיק לדבר על מרחק המאקרו (ולא המיקרו) של אורך הרצועה השקול ליחס המהירויות. ואגב, לדעתי בהצעה הזאת צעד האינדוקציה הבא עוד יותר גדול מהראשון (כי יחס המהירויות קטן בכל צעד), ולכן אפילו נקבל סדרה באורך מאד סופי ולא צריך אפילו לדבר על התכנסויות אינסופיות וגבולות של סדרות אינסופיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיכום העגמומי משהו של הפרשיה, לפחות עד כה: הכל התחיל כשעליתי על הרעיון הגאוני שאם הנמלה מגיעה לחצי הדרך היא כבר תגיע גם לסופה, כי החלק שמאחריה כבר יהיה גדול מהחלק שלפניה, כך שהמתיחה של הגומי כבר אינה מפריעה לה להשגת המטרה אלא להיפך: מסייעת לה. מכאן האינדוקציה לרבע הרצועה שנדרש כי להגיע לחצי, לשמינית שתוליך לרבע וכך הלאה עד אותו חלק זערורי שהנמלה עוברת בצעד הראשון שלה. כמה אלגנטי. במיוחד אהבתי את העובדה שחצי הרצועה מתנהג בדיוק כמו הסוף של רצועה באורך חצי עם קצה שנע בחצי המהירות, וכך הלאה. למרבה הצער, כמו רוב הרעיונות הגאוניים שלי, גם הרעיון הזה סבל מפגם קטן אך לא זניח: הוא לא נכון. כפי שהבהרת לי בנון-שלנטיות ב תגובה 774873 לאחר שמתוך הביטחון שלי בהגיון הברזל ההוא לא עצרתי לרגע לחשוב על מה שאמרת קצת קודם, וטענתי בתוקף שאם נניח שבאופן פלאי היא הגיע[ה] לנקודת האמצע ושם היא עוצרת לנוח לרגע או שניים, המרחק שלה מהקצה המרוחק לא ישתנה, כי ההפרש באורך הגומי שנמתח מלפניה שווה להפרש באורך לגומי שנמתח מאחריה ונשא אותה עימו.". המממ, כן, כאילו דה. כשהאסימון נפל -דהיינו הבנתי שהנמלה שלנו באמת יכולה ל"הידחף" יותר ממה שהקצה "בורח" ממנה אבל בגלל התארכות הרצועה זה לא אומר את מה שחשבתי, ניסיתי עוד להציל את עניין האינדוקציה שמתחילה במחצית האורך ע"י המחשבה שאם היא הגיעה עד שם, ובכל רגע המהירות שלה היתה קטנה יותר מזאת שמחכה לה בחצי שלפניה, כי אז וודאי שהיא תגיע גם לסוף הרצועה. שוב נכשלתי בטעות דומה, כי הרצועה ממשיכה להתארך כך שעל הנמלה לגמוע יותר דרך ולא רק להשלים את החצי השני. שאר הנסיונות שלי אינם מצליחים להמנע מהכנסת הטור ההרמוני (או לוגריתמים, למהדרין) בדלת האחורית. כמה חבל. מכאן שמסתובבת בעולם מישהי1 שחיה באשליה שהיא קיבלה הסבר אלגנטי לפתרון הבעיה. ה"מוסברת" השניה כבר קיבלה את התיקון. ___________ 1 - Vera! Vera!
What has become of you |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
______ Bring the boys back home!
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק כדי לוודא: לפי התיאור שלך כאן, ששונה מן הגירסה הזו, הגדרת מלכתחילה גומיה שנמתחת משני הצדדים, כן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. כנראה משהו בהסבר שלי ממש דפוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שלא שמעת את זה יותר מדי, אבל זה לא אתה, זה אני. לפעמים הכל מתערבב לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיזהר לא למתוח את החבל יותר מדי. בטח לא משני הקצוות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אם תדליק את הפתיל משני הקצוות תפתור חידה מוכרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז יאללה קרוס-אובר: מדליקים את הרצועה משני הקצוות, האש מתפשטת בסנטימטר לשנייה, אבל הרצועה מתארכת בעשרה ס"מ לשנייה. מה קורה אז? בעצם אולי יותר מעניין לגבי השאלה המקורית: הנמלה הולכת בסנטימטר לשנייה, אבל מדליקים רק את הקצה המתרחק והאש מתקדמת בשני סנטימטר לשנייה. איפה ומתי ייפגשו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הבנתי נכון את החידה שלך, אזי קצב המתיחה של רצועת הגומי מאט עם הזמן בהשוואה לאורכה. כבר כשהנמלה עושה את צעדיה הראשונים, היא ניצבת מול רצועת גומי הנמתחת (מנקודת מבטה) בקצב של פחות מעשרה סנמטרים לשניה. כשהיא תגיע לאמצע הרצועה - שבשלב זה תהיה רחוקה מהמכונית הרבה יותר ממצבה ההתחלתי - קצב המתיחה יהיה רק 5 סנטימטרים לשניה. בשקצב המתיחה יגיע לסנטימטר בודד לשניה הנמלה תהיה במרחקה המקסימלי מהמכונית, ומשם תצמצם את המרחק בשקדנות של נמלה. בהמשלה ליקום, אילו היתה הרצועה נמתחת בקצב קבוע של X אחוזים לשניה, החל ממרחק מסויים לא היה לנמלה שום סיכוי להגיע אי פעם לשמש העולה. וחידה למתקדמים - מה יהיה מרחקה המקסימלי של הנמלה מהמכונית? (ביחידות של אורך רצועה מקורי) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, לא אמרו שהקצב הנומינלי (לא באחוזים מאורך הרצועה) של התארכות הרצועה הוא קבוע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הבנתי נכון - הקצב הנומינלי של התארכות קצה הרצועה הוא קבוע. קצב התארכות הרצועה מהמכונית עד מיקום הנמלה הולך וקטן עם כל צעד זערורי שהיא עושה. כשהיא תגיע לעשירון האחרון של הרצועה, קצב ההתארכות של החלק שלפניה יהיה סנטימטר אחד בשניה. הצעד הבא כבר יקרב אותה (במידה זעומה מאוד) אל המכונית. אבל זה, וגם ההנחה שהרצועה מתארכת בצורה אחידה, נתון אולי לפרשנות. כדאי אולי שהשוטה יבאר אם לזה התכוון המשורר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במערכת הצירים החיצונית, קצב ההתארכות (או מהירות התזוזה של קצה הרצועה) קבוע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מניחים מכונית שמותחת את הרצועה במהירות קבועה כאשר הצד השני מקובע, אזי בהנחה שהרצועה אחידה, מהירות כל כל נקודה עליה ביחס לקרקע מתכונתית לחלק הרצועה שבין הנקודה לבין הקצה המקובע. מהירות נמלה שהולכת עליה משום כך היא פשוט סכום מהירותה העצמית ביחד עם זו של הרצועה באותה הנקודה. מקבלים משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית, אלא שלזו אין פתרון סביר. המזור לכך הוא הוספת אורך התחלתי שונה מאפס לרצועה, מה שבדיעבד הגיוני, שכן אחרת הנמלה הגיעה למכונית כבר ברגע הראשון... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל זה מוסכם ומובן. הערה אחת בקשר לאנלוגיה לאסטרונאוט הנופל - שם מהירות ה'נמלה' גדולה פי זיליוני זיליונים ממהירות מתיחת הרצועה (התרחקות האופק). יש מצב שהאסטרונאוט יגיע למרחק ננומטר מהאופק (אפילו עבור צופה חיצוני) הרבה לפני שהאופק יזוז בננומטר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(בנוגע לחידה - נניח שאורך הרצועה המקורי הוא מטר אחד ושההתארכות היא אחידה) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק למקרה שהחידה עדיין מעניינת מישהו - נראה לי שהמרחק המקסימלי בין הנמלה למכונית הרבה יותר קטן ממה שמעריכים כאן. אבל יתכן שאני טועה, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החידה, לצערי, אינה שלי :-) (ההסבר כן, ולמרות שאני משוכנע שמישהו עלה עליו לפני אין לי שום כוונה לחפש כי נוח לי לחיות באשליה. אני *בטוח*1 שהגיתי אותו בעצמי וזה מספיק לאגו השברירי שלי). כפי שענו לך אחרים, מהירות הקצה המרוחק קבועה: 10000 קמ"ש או כל גודל שמתחשק לך, ואל תיתן אפילו למהירות האור להגביל את דמיונך (בעולם שבו טראמפ נשיא וביבי מלך הכל ייתכן). באחוזים הרצועה מתארכת פחות ופחות עם הזמן, כמובן. ___________ 1- כך גם את הרעיון שנחשב בעיני לפיסגת הישגי האינטקטואליים, פאתטי ככל שזה בטח נשמע, בעניין הרצון החופשי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שלא כל כך הבנת את התגובה שלי. אבל לאמשנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקריאה חוזרת של ההודעה אני מסכים איתה. אני רק חושב שהניסוח שלך אינו אופטימלי, והייתי מציע את השינוי: "*מנקודת מבטה של הנמלה* קצב המתיחה של רצועת הגומי מאט עם הזמן ב̶ה̶ש̶ו̶ו̶א̶ה̶ ̶ל̶א̶ו̶ר̶כ̶ה̶" או אפילו: "*מנקודת מבטה של הנמלה* הקצה הלא קבוע של הרצועה מתרחק ממנה במהירות שהולכת ויורדת". החידה שלך ניתנת לפתרון בעזרת לוגריתמים, אבל למי יש חשק להתעסק עם זה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה קרה, נשבר לך סרגל החישוב? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא לא, ואני שומר אפילו את חוברת ההוראות (הו, הימים היפים ההם כשאבא שלי הראה לראשונה את הפלא הזה...). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נהדר! אני הספקתי לקבל הסברים מאד ראשוניים ואז הופיע המחשבון והשאר היסטוריה1. 1 לפני כשבוע איכשהו עלה בשיחה משפחתית הפרט הזה שבו לא היו מחשבונים כשהייתי ביסודי, ובנותיי לא ידעו את נפשן מרוב צחוק ותדהמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, עוד מלמדים היום את לוח הכפל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הילדים שלי עוד שיננו אותו (כולל ה"טריק" 8*7=56). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהחלט מלמדים. רק שכמו כל דבר ביסודי של היום - בקצב של צב שמוציא את המיץ גם למי שרוצה ללמוד את זה. לדעתי לקח להם שנה שלמה ללמוד חצי מלוח הכפל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכיתה ה' (או אולי זה היה ד' או בכלל ו'?) עברנו שיעורי הכשרה לשימוש במחשבונים. המחשבונים ידעו את 4 פעולות החשבון הבסיסיות ולהוציא שורש ריבועי (והשורש של 2 בחזקת 2 היה שווה ל-1.9999998). אבל הכיף האמיתי עם המחשבונים היה למצוא מילים שאפשר לכתוב באמצעות הספרות (7109179, 7979 ו-0.10 הם אלה שאני זוכר). בכיתה י"א כבר היה לי מחשב עם תצוגת LCD גרפית שהיה יכול לשרטט גרפים של פונקציות, מה שאפשר לי די בקלות לבדוק אם "חקירת הפונקציות" שעשיתי במבחן היא הגיונית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוצר המילים שלנו כלל בנוסף גם 71070. והיתה איזו שיטה להגיע אליו עם איזה סיפור כלשהו. אני לא זוכר אותו, אבל דומני שהוא כלל את תחום העיסוק המתבקש ואת העובדה המתימטית המרתקת שהמספר הזה מתחלק ב-69. בבגרות שלי אסרו מחשבונים עם תצוגות גרפיות בדיוק מהסיבה שהזכרת (ובצדק). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזכיר לי את החידה על נמלה שמטפסת על קיר שגובהו 77 מ. בכל יום היא מטפסת למעלה 10 מ ובלילה יורדת 3 מ. כמה ימים יקח לנמלה להגיע לפסגת הקיר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי היה סיפור עם 142 יהודים ו 154 ערבים שעשו עסקה בשנת 69 על 5 בארות נפט, ומי הרוויח? התשובה (71077345) נקראה במהופך באנגלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, עם כאלה תחומי עניין בחברות.נפט גלובליות, לא פלא שנעשית מבין בכלכלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
------ שוטה שבעולם! כאשר הנמלה קרובה מספיק לקצה (כפי שמוסבר בפתיל עם הפונז זה יקרה בהכרח) המהירות (הקטנה, אך קבועה) שלה על הסרט תהיה גדולה יותר מהפרש המהירויות בין נקודת הקצה הנמתח לבין הנקודה עליה היא נמצאת כי המהירות היחסית הזאת שואפת לאפס! כלומר יחסית לקצה הקבוע הנמלה נעה מהר יותר מהקצה הנמתח,ולכן אין שום בעיה בכך שבסופו של דבר היא משיגה אותו, ואני משיג מנוחה זמנית מהיתוש שניג'ס לשני הנוירונים שעוד עובדים אצלי. עכשיו רק הממשלה צריכה ליפול והכל בסדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק אוסיף ואעיר ש"קרובה מספיק" הוא ביטוי שעלול להטעות קצת כי הוא תלוי באורך הרצועה בזמן אליו אנחנו מתייחסים. אם, למשל, הרצועה כבר הגיעה לאורך מיליארד שנות אור, ונסתכל על נקודה שרחוקה מהקצה המתרחק מרחק של שנת אור אחת, המהירות היחסית בינה לבין אותו קצה היא מיליארדית ממהירות הקצה. לא מקובל להתייחס לשנת אור כאל מרחק קצר, אבל כמו ש(לא!) אמר איינשטיין, הכל יחסי. תרגיל הביתה: לחשב הכל באמצעות טרנספורמציות לורנץ. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |