 |
|
 |
||
|
||||
 |
לא השתכנעתי. הרי גם כשעברה שני שליש - מה זה משנה שהחלק מאחוריה "דוחף" אותה יותר מאשר החלק מקדימה "בורח"? והרי אם היא תעמוד באותה נקודה, היא לעולם לא תגיע לקצה. למרות שהיא תשהה זמן ארוך כרצונך "מעבר" לאמצע הרצועה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אם היא לא זזה יחסית לגומי, אין ויכוח על כך שהיא לא תגיע לסופו אף פעם בין אם הוא נמתח ובין אם הוא נח, כך שהביקורת שלך אינה תופסת. אבל אשתמש בה לרגע (או שניים) בהמשך. כאשר הנמלה בתחילת דרכה, הקצה המרוחק מתרחק ממנה הרבה יותר מהר משהיא מתקדמת לעברו. אם נניח שבאופן פלאי היא הגיע לנקודת האמצע ושם היא עוצרת לנוח לרגע או שניים, המרחק שלה מהקצה המרוחק לא ישתנה, כי ההפרש באורך הגומי שנמתח מלפניה שווה להפרש באורך לגומי שנמתח מאחריה ונשא אותה עימו. ולכן אחרי שהיא שאפה אויר ועושה את הצעד הבא היא כבר מצמצמת את המרחק שנשאר לה ללכת, ואידך זיל. איך יקרה הפלא שיביא אותה לאותה נקודת אמצע הסברתי במקור כך שאין טעם לחזור על זה. לדעתי זה מספיק, אבל כדי לסבר את האוזן נזרוק קצת דלתות ואפסילונים בלי לקרוא להם בשמם, ואומר זאת כך, הפונז: כאשר היא במרחק קטן מאד מהסוף, ההפרש באורך הגומי שנמתח בינה לבין סוף הדרך קטן כרצוננו (אותם 10000 ק"מ מתחלקים על פני גוגלפלקס או שניים) כך שבצעד הבא היא מסיימת את הפרשה ורצה לספר על זה באייל. מכאן אתה יכול להתחיל לחזור אחורה בזמן ולשאול האם בזמן שהיתה מרוחקת פי שנים משם אותו הגיון מסביר איך היא הגיעה לאותו "שם". לא לגמרי אינטואיטיבי, אבל בעיני יותר אינטואיטיבי מעצם העובדה שהיא אכן תגיע לסוף הרצועה, עובדה שאינה מוטלת בספק כפי שמוסבר במשפט הבא ובשני מליון אתרים ברשת. מכל מקום, בלי שום קשר לאיזה הסבר נותנים (אפו: משוואות דיפרנציאליות מיותרות כאן כי אחוז הדרך שהיא עוברת בכל יחידת זמן הוא הטור ההרמוני כפול איזה קבוע) התמיהה שלי לגבי מי שנע לאט יותר ממישהו אחר ובכל זאת משיג אותו עדיין קיימת. בטח מדובר באיזה באג טריוואלי במוח שלי, מה שמעלה את החשד שאולי גם ההסבר שלי לוקה בכשל או שניים. קורה. אני כבר שומע בעיני רוחי את השאלה "טוב, אפשר לחזור לסיינפלד?". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או שהמוח שלי מתייבש או שהפסקה השנייה שלך פשוט לא נכונה: "אם נניח שבאופן פלאי היא הגיע לנקודת האמצע ושם היא עוצרת לנוח לרגע או שניים, המרחק שלה מהקצה המרוחק לא ישתנה, כי ההפרש באורך הגומי שנמתח מלפניה שווה להפרש באורך לגומי שנמתח מאחריה ונשא אותה עימו. ולכן אחרי שהיא שאפה אויר ועושה את הצעד הבא היא כבר מצמצמת את המרחק שנשאר לה ללכת, ואידך זיל." זה לא נכון. כשהיא הגיעה לנקודת האמצע של רצועה באורך 10 מטר, והרצועה מתארכת במטר לשנייה - אזי כשהנמלה עוצרת לשנייה, בתחילת השנייה הקצה רחוק ממנה 5 מטר, ובסיום השנייה הקצה יהיה רחוק ממנה 5 וחצי מטר. ולכן המרחק שלה מהקצה המרוחק *כן* ישתנה. (רק להבהרה - הרצועה *מקובעת* בנקודת ההתחלה, ומתארכת רק לכיוון אחד יחסית אליה. ככה אני מבחן את השאלה. זה אומרת שבמערכת צירי המעבדה הנקודה הסטציונרית היחידה על הרצועה היא איפה שעמדה הנמלה בהתחלה. אם אלו לא תנאי השאלה - אני חוזר בי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק כמובן בקשר לנקודת האמצע ובאמת היה לי באג טריוויאלי. אם כך נראה שהסבר קצת פחות פשוט, ויש לי הרגשה שהוא מדגדג את הטור ההרמוני בלי לקרוא לילד בשמו. מה דעתך על ההסבר הבא: כשההנמלה בנקודת האמצע הקצה מתרחק ממנה רק בחצי ממה שהתרחק בתחילה, וה"חצי" הזה הולך וקטן (שואף לאפס - את זה מבינים אינטואיטיבית גם ילדים, ואם לא זאת הזדמנות טובה להסביר להם) ככל שהזמן עובר והרצועה מתארכת, עד שהוא קטן מספיק כדי שכל צעד שלה כבר גדול ממנו. הרבה פחות אלגנטי ממה שחשבתי, אבל כך אני חושב עכשיו, לפחות עד העונג הבא. (כמובן. הרצועה מקובעת בקצה אחד) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה המתבקשת של ילד וירטואלי היא - ומי בכלל מבטיח שהנמלה תגיע לאמצע? אם כבר, האינטואיציה ה'טבעית' אומרת הפוך. מאחר והרצועה נמתחת פי עשר מהר יותר משהנמלה זוחלת, סביר מאד שאפילו לאמצע הרצועה היא לא תגיע. ז"א שהבעייה היא הצעד הראשון של האינדוקציה. אולי כדאי דוקא להתחיל הפוך: יש נקודה על הרצועה, קרובה למדי לנמלה כנראה אבל לא לגמרי (עשירית רצועה? פחות אפסילון?) שמלכתחילה מתקדמת בקצב איטי יותר מהנמלה. לנקודה הזו זה כבר ממש אינטואיטיבי שהנמלה תגיע. ומכאן באינדוקציה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בערך אותו טיעון, ואפשר להגיד אותו גם כך: האמצע אינו אלא הקצה של רצועה שאורכה ההתחלתי הוא חצי מהרצועה שלנו, והמהירות בה היא נמתחת אף היא חצי (את זה קל להסביר ואם השומע ממש צעיר אפשר להדגים עם גומיה ביתית). ומכאן באינדוקציה לכיוון הרבע וכו' עד למרחק המזערי והמהירות המזערית (שניהם כרצוננו) אותו הנמלה עוברת בקלות כבר בצעד הראשון. לטעמי זה עדיין לא רע, אם כי קצת פחות אלגנטי ממה שחשבתי. אחרי שזה הובן, כדאי להדגיש לשומע[ת] שההסבר הזה נכון לכל הפרמטרים ההתחלתיים כרצוננו: מהירות אפסית של הנמלה ומהירות עצומה ואורך התחלתי עצום של הרצועה. זה עשוי להיות פתיח לא רע לדבר על סדרות וגבולות אם יש לשומעים נטיה לכך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שפתאום לא מסתדר לי זה להחזיר את האנלוגיה לקוסמולוגיה: אם במקום נמלה יש לנו את הגלקסיה שלנו (או חללית שאנחנו משגרים), ובמקום הרצועה יש לנו יקום שמתפשט. אז החללית שלנו תגיע לכל גלקסיה, גם רחוקה מאד, בהינתן מספיק זמן. וזה הפוך ממה שאומרים לנו הקוסמולוגים: שאפילו קרן אור שנשגר עכשיו, לא תגיע לגלקסיות הכי מרוחקות מאיתנו. אני אגב לא אוהב את כיווני "הצעד הראשון" שלך, כי הם מערבבים רציפות ודיסקרטיות וזה מבלבל. בהצעה שלי, מספיק לדבר על מרחק המאקרו (ולא המיקרו) של אורך הרצועה השקול ליחס המהירויות. ואגב, לדעתי בהצעה הזאת צעד האינדוקציה הבא עוד יותר גדול מהראשון (כי יחס המהירויות קטן בכל צעד), ולכן אפילו נקבל סדרה באורך מאד סופי ולא צריך אפילו לדבר על התכנסויות אינסופיות וגבולות של סדרות אינסופיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיכום העגמומי משהו של הפרשיה, לפחות עד כה: הכל התחיל כשעליתי על הרעיון הגאוני שאם הנמלה מגיעה לחצי הדרך היא כבר תגיע גם לסופה, כי החלק שמאחריה כבר יהיה גדול מהחלק שלפניה, כך שהמתיחה של הגומי כבר אינה מפריעה לה להשגת המטרה אלא להיפך: מסייעת לה. מכאן האינדוקציה לרבע הרצועה שנדרש כי להגיע לחצי, לשמינית שתוליך לרבע וכך הלאה עד אותו חלק זערורי שהנמלה עוברת בצעד הראשון שלה. כמה אלגנטי. במיוחד אהבתי את העובדה שחצי הרצועה מתנהג בדיוק כמו הסוף של רצועה באורך חצי עם קצה שנע בחצי המהירות, וכך הלאה. למרבה הצער, כמו רוב הרעיונות הגאוניים שלי, גם הרעיון הזה סבל מפגם קטן אך לא זניח: הוא לא נכון. כפי שהבהרת לי בנון-שלנטיות ב תגובה 774873 לאחר שמתוך הביטחון שלי בהגיון הברזל ההוא לא עצרתי לרגע לחשוב על מה שאמרת קצת קודם, וטענתי בתוקף שאם נניח שבאופן פלאי היא הגיע[ה] לנקודת האמצע ושם היא עוצרת לנוח לרגע או שניים, המרחק שלה מהקצה המרוחק לא ישתנה, כי ההפרש באורך הגומי שנמתח מלפניה שווה להפרש באורך לגומי שנמתח מאחריה ונשא אותה עימו.". המממ, כן, כאילו דה. כשהאסימון נפל -דהיינו הבנתי שהנמלה שלנו באמת יכולה ל"הידחף" יותר ממה שהקצה "בורח" ממנה אבל בגלל התארכות הרצועה זה לא אומר את מה שחשבתי, ניסיתי עוד להציל את עניין האינדוקציה שמתחילה במחצית האורך ע"י המחשבה שאם היא הגיעה עד שם, ובכל רגע המהירות שלה היתה קטנה יותר מזאת שמחכה לה בחצי שלפניה, כי אז וודאי שהיא תגיע גם לסוף הרצועה. שוב נכשלתי בטעות דומה, כי הרצועה ממשיכה להתארך כך שעל הנמלה לגמוע יותר דרך ולא רק להשלים את החצי השני. שאר הנסיונות שלי אינם מצליחים להמנע מהכנסת הטור ההרמוני (או לוגריתמים, למהדרין) בדלת האחורית. כמה חבל. מכאן שמסתובבת בעולם מישהי1 שחיה באשליה שהיא קיבלה הסבר אלגנטי לפתרון הבעיה. ה"מוסברת" השניה כבר קיבלה את התיקון. ___________ 1 - Vera! Vera!
What has become of you |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
______ Bring the boys back home!
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק כדי לוודא: לפי התיאור שלך כאן, ששונה מן הגירסה הזו, הגדרת מלכתחילה גומיה שנמתחת משני הצדדים, כן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. כנראה משהו בהסבר שלי ממש דפוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שלא שמעת את זה יותר מדי, אבל זה לא אתה, זה אני. לפעמים הכל מתערבב לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיזהר לא למתוח את החבל יותר מדי. בטח לא משני הקצוות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אם תדליק את הפתיל משני הקצוות תפתור חידה מוכרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז יאללה קרוס-אובר: מדליקים את הרצועה משני הקצוות, האש מתפשטת בסנטימטר לשנייה, אבל הרצועה מתארכת בעשרה ס"מ לשנייה. מה קורה אז? בעצם אולי יותר מעניין לגבי השאלה המקורית: הנמלה הולכת בסנטימטר לשנייה, אבל מדליקים רק את הקצה המתרחק והאש מתקדמת בשני סנטימטר לשנייה. איפה ומתי ייפגשו? |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |