ללא סיבה: היקום ככורח 2867
על הבנת היקום, מדוע ככל הנראה קיומו מתחייב, ולמה לא ניתן היה ליצור אותו - מבט אישי על הפיסיקה.
מדע • אליהו גרייצר • יום ב', 20/8/2007, 13:00
את השיעור הראשון ב"מבוא לחלקיקים אלמנטריים" פתח המרצה בשאלה "מה זה בעצם חלקיק אלמנטרי?". משהוצגה שאלה זו, נדמה היה לי שאנו עומדים על סִפּוֹ של יעד שהניע במידה רבה את לימודי הפיסיקה שלי. רציתי להבין, לפחות חלקית, את ההיגיון העומד בבסיסו של היקום: מדוע הדברים כפי שהם? האם יכולים היו הם להיות שונים, ואולי אף שלא יהיה דבר? הבנת אבני הבניין של החומר נראתה כמרכיב חיוני בתצרף. את התשובה הציג המרצה רגע לאחר מכן: "חלקיק אלמנטרי הוא הצגה אי־פריקה של חבורת פּוּאָנקָרֶה". למשמע דברים אלה תמהתי מי זו חבורת השחקנים ששמה כה משונה וההצגות שהיא מעלה כה לְכִידוֹת, והתאכזבתי מכך ששוב שכחו לשלוח לי זוג כרטיסים לפרמיירה. לאחר שהבנתי למה התייחס המרצה, התאכזבתי גם מכך שבחר להסתפק בתכונה מתמטית של אבני היסוד של החומר, בסיסית ככל שתהיה, במקום להתייחס למהותן העמוקה, למרכיב הקסום ממנו הן עשויות.

כה מאכזבת היתה תשובת המרצה, שסירבתי להבינה - הרי לעיתים קרובות ניגף העניין בַּאמת, מפני צרכים נוספים השותפים לחיפוש. שנים לאחר מכן הגעתי אל יסוד התשובה, כפי הבנתי זאת היום. אנסה לשתף אתכם בהבנה זו.

עידן ההבנה ותחילת מסע האיחוד

כדי לעלות על הדרך לשם, נחזור לסביבות המאה ה-‏17, אז יִילדו את המדע המודרני אייזק ניוטון, יוהנס קפלר, רנה דקארט, גלילאו גליליי ואחרים. הם מצאו תבניות מתמטיות להן נראה שהטבע כפוף. מסלוליהם של פגזים, טיפות מים ופסנתרים, הנתונים לחסדי כוח המשיכה, התבררו כמצייתים כולם לאותם כללים פשוטים, הקובעים את מיקומיהם ומהירויותיהם המדוייקים של עצמים אלו בכל מקום וזמן. ניוטון אף גילה תבנית מתמטית בסיסית יותר, האחראית הן למסלוליהם של גרמי שמיים בחלל, והן לנתיביהם של כלי נגינה באטמוספירה – חוק הגרביטציה האוניברסלי, ובכך איחד את האסטרונומיה עם הפיסיקה. פוצחו גם התנהגויות שאינן רק גרביטציוניות, כגון אלו של נוזלים, גזים, קפיצים, מטוטלות, גלי קול, גלי אור ותופעות רבות אחרות המוכרות לנו מן היום־יום.

סר אייזק ניוטון

סר אייזק ניוטון (ציור: גודפרי קנלר)



המפתחות לפרץ זה של תובנות היו שלושה - הסָפֵק, הניסוי והמתמטיקה. הראשון היה הספק הקונסטרוקטיבי, המציע חלופות לרעיונות המקובלים - מתוך החתירה אל האמת האחת. השני היה הניסוי - טענות ביחס לטבע נדרשו עתה לעמוד במבחן מתמיד וגָלוי של יכולתן לנבא, ולא היה עוד די באמונה בנכונותן, עיקשת ותמה ככל שתהיה. המרכיב השלישי היה ההכרה בכך ש"ספר הטבע כתוב באותיות המתמטיקה" (גלילאו גליליי).

אימוץ המתמטיקה, המשוחררת מן הרגש האנושי והמציאות החומרית כאחד, ביחד עם הספק והניסוי, העלו את האנושות על המסלול להבנת הטבע. הבנה זו באה לידי ביטוי ביכולת תִמְצוּת, מיצוי קצר של המרובה - כולו, ולא רק עיקרו. תמצות זה אושר באמצעות כושר ניבוי חסר תקדים, כזה שלא הניבו אלפי שנות מיתוסים עממיים, תורות מיסטיות, רעיונות דתיים, אידיאות אסתטיות והתבוננות פנימית.

בתמונה שנחשפה התגלתה מגמה ברורה: ככל שהחקירה העמיקה, כן התבררה מציאות פיסיקלית נרחבת יותר, הכפופה לתבניות יסוד מצומצמות יותר. על האיחוד הגרביטציוני לעיל נוספו אחרים, ויקצרו זכרוני ועניין הקורא מלפרטם. נדלג לכן כמעט 200 שנים קדימה, למחצית השנייה של המאה ה-‏19, לדוגמא "כוחנית" נוספת, שנראתה בתחילה כשולית ביחס לגרביטציה, אך התבררה כעומדת בבסיס הכימיה והביולוגיה שמסביבנו ובנו.

מי שעניינו בפיסיקה מועט ובכל־זאת הגיע עד הלום, יעדיף אולי לדלג מעל הפרטים הפיסיקליים שלהלן ולהגיע ישירות לסעיף "עקביות".

חתימת העידן הקלאסי

המילה 'אלקטרומגנטי' (להלן א"מ), משקפת את היותו של הכוח הא"מ איחודם של שני כוחות, שנִדמו תחילה כנפרדים זה מזה: הכוח החשמלי – המשלח ברקים ומושך פיסות נייר לפלסטיק ששופשף בצמר, והכוח המגנטי - המטה מחטי מצפנים צפונה. ב-‏1864 פירסם ג'ימס קלֶרק מקסוול עשרים משוואות, שלאחר מכן תומצתו לארבע (ואף אותן ניתן לצמצם לכדי שיוויון אחד). משוואות אלו, שסיכמו את הידוע על שני כוחות אלו, הצביעו על כך שהם מהווים פנים שונות של אותו גורם - המטען החשמלי.

אולם איחודי כוחות היו רק חלק ממה שעמד בפתח. עד אז, תיאוריהן המתמטיים של ישויות מוכרות איפשרו כמעט אך ורק אקסטרפולציה (הרחבה) של תופעות ידועות לערכים ונסיבות נוספים. מן המשוואות המאחדות את הכוח החשמלי עם זה המגנטי, נבע קיומה של ישות נוספת ומוזרה, שכלל לא דמתה לכוח.

לפי משוואות מקסוול, התנודדות מטען חשמלי גוררת את קיומו של מבנה מתמטי במרחב הסובב את המטען, מבנה המזכיר את תיאורו של גל ועל כן הוא נקרא גל אלקטרומגנטי. אולם גל במה? ידוע וגלוי, כי גלים על פני מים אינם אלא התקדמותה של תנודה מחזורית של מים. באותה תקופה כבר היה ידוע גם כי גלי קול אינם אלא התפשטותן של תנודות מהירות של חומר (למשל אוויר). אולם איזה דבר מתנודד בגלים א"מ? לאחר שמקסוול הבין כי האור הינו דוגמא לגלים אלה, התחדדה שאלה זו, שכן את תנועתו אלינו מן השמש עושה האור בחלל הריק, מבלי שירטיט חומר כלשהו!

ג'יימס קלרק מקסוול

ג'יימס קלֶרק מקסוול (צילום: פרגוס מגרינוק)



נדרש, אם כן, קיומו של תווך שרעידותיו הן גלי האור. השם שנבחר עבורו היה "אֶתֶר אורי", על שם ה"אתר" – החומר הקסום, שממנו, חשבו היוונים הקדמונים, עשויים גרמי השמיים, עוד טרם נודע שזה שבשמיים וזה שבארץ חד הוא.

קיומו של האתר פתר בעיה נוספת. מן המשוואות נבע שגלים א"מ מתקדמים במהירות של כ-‏300,000 ק"מ לשניה. אלא, שהמשוואות "שכחו לפרש" ביחס למה בדיוק מתקדמים הגלים במהירות זו. אך אם היקום טובל כולו באתר, הרי שהתקדמותם היא ביחס לתווך זה. זאת בהקבלה לגלי הקול באוויר, המתקדמים במהירות של כ-‏330 מטרים לשנייה – ביחס לאוויר, התווך אותו הם מרעידים. אם נרדוף אחרי גלי הקול במטוס הנע במהירות 329 מטרים לשנייה ביחס לאוויר, הם יתרחקו מאיתנו במהירות ההפרש – דהיינו, מטר אחד לשנייה. אם נגביר את מהירותנו מעט יותר, נוכל אף לעוקפם. ההנחה הייתה, שעבור האור ממלא האתר את תפקיד האוויר, כך שאם נרדוף אחר קרן אור במהירות 299,999 ק"מ לשנייה ביחס לאתר, היא תתרחק מאיתנו במהירות ההפרש – 1 ק"מ לשנייה. אם נגביר מהירותנו עוד קצת, נוכל לעוקפה.

אלא שקיומו של תווך כזה נתבע רק על־ידי האינטואיציה האנושית. במסגרת המתמטית בה הוגדרו הגלים האלה לא היו הם אלא פונקציות מתמטיות של המרחב והזמן - ומסגרת זו לא דרשה כלל תווך. בכך נפער בסוף המאה ה-‏19 קרע בין האינטואיציה הפיסיקלית האנושית לבין גזירות המתמטיקה. קרע זה היה ממבשרי הסוף של עידן הפיסיקה הקלאסית, ופתיחתו של עידן הפיסיקה המודרנית.

יחסות פרטית – מיזוג המסגרת ומיזוג התוכן

ב-‏1905 הכריע אלברט איינשטיין בעניין מהירות האור - לטובת המתמטיקה. הוא קבע, שאם המשוואות פסקו כי מהירות התקדמותם של הגלים היא בגודל מסויים, הרי שזהו אומנם המצב, ללא תלות במהירותו של המודד אותם ביחס לאיזשהו תווך מפוקפק, אותו המשוואות בכלל מייתרות.

מכאן התגלגלו הדברים במהירות. מקביעוּתה של מהירות האור מתקבל בחישוב פשוט, כי משך הזמן שבין שני אירועים, וכן המרחק ביניהם, אינם גדלים מוחלטים, אלא תלויים בתנועתו של המודד ביחס אליהם. אחת המסקנות הידועות הנובעות מכך היא "אפקט התאומים": אם נשלח אחד משני תינוקות תאומים בחללית מהירה דיה, אזי כאשר תחזור החללית, לאחר שעברו על כדור הארץ שבעים שנה, התאום שהוטס ייהנה עדיין מקצבת ילדים, בעוד אחיו הארצי כבר זוכה בקיצבת זיקנה (ובליקוּט ירקות מרצפת השוק). תחזית זו אושרה, בין השאר, על ידי כיול שני שעונים, ושילוח אחד מהם לטיסה מהירה סביב כדור הארץ, בעוד האחר נשאר במנוחה. הפרש הזמנים במפגש המחודש היה זה המתחייב מתורת היחסות הפרטית.

באופן כללי, מתורת היחסות הפרטית נובע שהזמנים והמרחקים הנמדדים על ידי צופה אחד, הם תערובת מתמטית של אלו אותם מודד צופה הנע ביחס אליו, תערובת התלויה במהירות היחסית בין צופים אלו. מבחינה זו, שזורים המרחב והזמן ליֵשות מתמטית אחת הקרויה המרחב־זמן (להלן המ"ז).

איחוד נוסף של תורת היחסות הפרטית הוא זה של המסה והאנרגיה, שנתגלו כשזורות למסה־אנרגיה. מאיחוד זה נובע כי ניתן להפיק אנרגיה על חשבון פחיתת המסה – כפי שקורה בשמש ובפצצות גרעין - וכן הכיוון ההפוך: השקעת אנרגיה בגוף, למשל על ידי האצתו, מגדילה את מסתו, תוספת שממנה עשויים אף להיווצר גופים נוספים. לדוגמא, במאיצי חלקיקים נהוג להאיץ חלקיקים באנרגיה כה רבה, עד שכאשר הם מתנגשים, הופכת אנרגיה שהושקעה בהם לחלקיקים נוספים, שסכום מסותיהם גדול מסכום המסות ההתחלתיות של הזוג שהתנגש.

יחסות כללית – מיזוג המסגרת עם התוכן והתערערות המוחשי

מסע האיחוד של הפיסיקה המודרנית, שהלך וצמצם את מיגוון המהויות הפיסיקליות, עמד עתה לפני שיאו. ב-‏1915, עשר שנים לאחר הצגת תורת היחסות הפרטית, פרסם איינשטיין את המשוואה הקרוייה על שמו, שמאחדת את הגרביטציה עם תורת היחסות הפרטית. משוואת איינשטיין הציגה את המסה־אנרגיה ואת המ"ז כשני היבטים של אותה המהות! לאחר שהמרחב והזמן מוזגו בתורת היחסות הפרטית, הצביעה תורת היחסות הכללית על הגורם המעצב אותם. בכך נקבע, קודם כל, שהמ"ז אינו זירה קשיחה ואדישה, אלא מבנה גמיש ותלוי; ושנית, שהגורם בו הוא תלוי הוא המסה־אנרגיה הכלולה בו, ובעצם מהווה אותו. גם הכוח הגרביטציוני נעלם כמושג עצמאי וזוהה כעקמומיות של יריעת המ"ז, שהיא המבנה המתמטי המשלב את המרחב עם הזמן.

מגרש המשחקים היקומי התברר כעשוי מן המְשָחֲקים עליו. בכך התערטל החומר מן החלק המרכזי של "חומריותו", דהיינו מסתו, אשר התחוורה כחלק מיריעה מתמטית מופשטת, יריעת היקום.

זמן קצר לאחר שהוצגה משוואת איינשטיין, היא כבר נתמכה בתצפיות כמו הטיית קרני אור באמצעות כבידה (1919), וכן מסלולו המדויק של כוכב חמה, שאומנם כבר היה ידוע, אך לא הובן עד אז.

אלא שהמשוואה חייבה גם תופעות שלא נצפו מלכתחילה. אחת מהן היא אפשרות קיומם של עיוותים קיצוניים ברקמת המ"ז, השואבים את החומר והאור הקרבים אליהם (ואפילו את הזמן!) – אל מרכזם. איינשטיין הזדעזע מאפשרות זו וכפר בה. כיום אנו מכירים תופעה זו בשם "חורים שחורים" ואף יודעים כיצד עיוותים אלו נוצרים ומה סימני ההיכר התצפיתיים שלהם, שדוגמאות להם אותרו (ככל הנראה) בשנים האחרונות.

תוצאה נוספת של משוואת איינשטיין קשורה ביכולתה לקבוע אילו יקומים ייתכנו. מן המשוואה נובע, שכמעט בכל נקודת זמן בו, יקום העונה על הנחות מפשטות (אך סבירות) מסוימות, חייב להימצא במצב של התפשטות או של התכווצות. איינשטיין התמרד גם נגד תולדה זו של משוואתו עד כדי כך, שהוא ניסה למצוא לה מחליפה שתכיל אותה, אך תתיר סוגי יקומים נוספים, כגון יקום סטאטי, כפי שדימה איינשטיין את זה שלנו. זאת, מבלי להתפשר על האיכויות הפיסיקליות־מתמטיות המצויות בקודמתה. חשוב היה בעיקר, שלא תיפגע אי־תלותה של המציאות אותה מתארת משוואת איינשטיין, במערכת הקואורדינטות בה בוחרים לתאר מציאות זו.

ניסיון זה לא צלח. המועמדת האפשרית היחידה התבררה כווריאציה פשוטה על משוואת איינשטיין, והיקום הסטאטי שזו איפשרה, אובחן כבלתי יציב (כעיפרון העומד על חודו), ומתוך כך גם ככזה שאינו באמת סטאטי.

ב-‏1929 גילה אדווין האבל שייקומנו אכן אינו סטאטי אלא מתפשט. לאיינשטיין נדרשו שלוש שנים נוספות כדי להודות בטעותו. אך גם אז שלל הוא את קיומו של המפץ הגדול, האירוע האלים ממנו החלה התפשטות זו. מודל זה, שעוד בחייו של איינשטיין נתמך בתאוריה ובתצפית, קיבל את אישורו הסופי עם גילוי קרינת הרקע הקוסמית ב-‏1965, עשר שנים לאחר מותו של איינשטיין.

אלברט איינשטיין

אלברט איינשטיין (צילום: פרדיננד שמוצר)



שדות חומר - נפילת המוחשי

במקביל לגילויה של תורת היחסות הכללית, שחותמה ניכר במיוחד על גופים ומרחקים גדולים, החל להתברר גם הקצה השני של הסקאלה הפיסיקלית – זה השולט בעולמן של אבני היסוד של החומר, ובקרינות השונות כגון רדיואקטיביות לסוגיה, אור, רנטגן, רדיו ועוד. גם כאן הניח איינשטיין יסודות, אך עתה לא היה הוא לבד, שכן גילוי יסודותיה של תורת הקוואנטים דרש מאמץ רב שנים אותו חלקו משתתפים רבים, ביניהם בוהר, בוהם, בורן, פלאנק, פיינמן, פאולי ופון־נוימן. תובנה מרכזית שהתקבלה ממאמץ זה היא זיהוי כל החלקיקים המרכיבים את החומר, וכן הקרינה לסוגיה - כשָׂדות.

הפיסיקה הניוטונית מניחה את קיומם של "גופים" בעלי תכונות מטיפוסים שונים, כגון מסה, מיקום, מטען חשמלי, מהירות ותנע זוויתי. משוואותיה עוסקות באופן ישיר ביחסים המתמטיים שבין תכונות אלה. בתורת הקוואנטים ובתורת השדות המכלילה אותה, המהויות הבסיסיות הן פונקציות החסרות משמעות פיסיקלית כשלעצמן, אשר תכונותיהן המתמטיות הן שמניבות את המציאות הניכרת סביבנו. פונקציות אלה של המקום והזמן מכונות שדות.

להלן אתייחס לשני נושאים בתורת הקוואנטים, המבליטים אותה כתורה מתמטית. תיאור מפורט יותר של הראשונה שבהן ניתן למצוא ב"מתי מטיל אלוהים את הקוביות" (ב').

EPR

לפי תורת הקוואנטים, קבוצת אובייקטים יכולה להוות מערכת קוואנטית - למשל, תוצריה של התפרקות רדיואקטיבית או של ירידה ברמת העירור של האטום. משמעות הדבר היא, שמצבו של כל אחד מחלקי המערכת נמצא בתיאום מסוים עם שאר חלקיה. המוזר הוא, שהדבר קורה גם כאשר חלקים אלו רחוקים מיליארדי קילומטרים זה מזה, ומבלי שהם מפעילים כוח זה על זה! יתרה מזאת, התיאום בין חלקי המערכת הוא מיידי, ואין קצב התפשטותו מוגבל על ידי מהירות האור, הגבול העליון לקצב התפשטות השפעתם של כוחות (כגון הכוח הא"מ ואלו הגרעיניים).

איינשטיין התקומם גם כנגד תולדה זו של תגליותיו, וייתכן שהחל לחוש כפרנקנשטיין ופנדורה הנאבקים בהידרה. יחד עם בוריס פודולסקי ונתן רוזן הוא ניסח ב-‏1935 ניסוי מחשבתי, המעמיד את השכל הישר (לפחות זה של הפיסיקאים) כנגד תוצאה זו של תורת הקוואנטים.

בהתבסס על הניסוי של אפ"ר, 29 שנים לאחר מכן, הציע סטיוארט בל דרך מעשית לבחינת סוגיה זו, שנחשבה שנים רבות כפילוסופית גרידא. לאחר 17 שנים נוספות, ב-‏1981, משאיפשרה זאת הטכנולוגיה, נערך הניסוי שבדק זאת, על ידי קבוצה בראשותו של אלן אספקט. התוצאה היתה בדיוק זו אותה חזתה תורת הקוואנטים, כלומר: במקרים מסויימים, קבוצת חלקיקים, רחוקים זה מזה ככל שיהיו, מהווה מערכת מתמטית אחת, שהקורה בכל אחד מחלקיה מתואם מיידית עם האחרים.

גם בתבוסתו זו לתולדת תגליותיו לא זכה איינשטיין להיווכח.

חלקיקים זהים

ככל שיורדים בסקאלת האורך, כך מופשט החומר מתכונותיו. שני גושי ברזל יכולים להיבדל זה מזה בצורתם, בטמפרטורה שלהם, ברמת מיגנוטם ובתכונות רבות נוספות. אם נסתפק בהשוואתם של שני אטומים של ברזל, אנו עדיין עשויים לגלות הבדלים בתכולת הנייטרונים והאלקטרונים שלהם, וכן במידת עירורם האנרגטי. נרד אם כן בפעם השלישית והאחרונה לעומק החומר, נבחן עתה זוג אלקטרונים, ונתהה, האם אלו אובייקטים שונים, במובן שישנה משמעות להחלפתם זה בזה.

תוצאת יסוד של תורת השדות, המאחדת את תורת היחסות הפרטית עם תורת הקוואנטים, קובעת שלזוג חלקיקים זהים לחלוטין ישנה התנהגות אנומלית מובחנת. התנהגות זו נבדלת באופן חד מהתנהגותו של "סתם" זוג חלקיקים, דומים ככל שיהיו. במבנה המתמטי שבמסגרתו מוגדרת היֵשות "אלקטרון" מתקבל, שאם כל שני אובייקטים כאלו אכן זהים לחלוטין, הרי שרק מספר מוגבל מהם יכולים להימצא בסמיכות גבוהה זה לזה. השאלה היא האם יצורים מתמטיים אלו, המתוארים כחסרי כל מבנה פנימי נוסף, כָּזה שיכול היה לקיים הבדל ביניהם, הם גם האלקטרונים הפיסיקליים בהם אנו פוגשים מדי יום.

מאז המחצית הראשונה של המאה ה-‏20 נערכו עשרות אלפי ניסויים ובהם התברר, כי האלקטרונים הפיסיקליים תואמים את אלו המתמטיים בדיוק כה גבוה, שספק אם יש שני לו במדעי הטבע. בעיקר, ההתנהגות שנמצאה כאשר קרֵבים הם זה לזה, היא זו האנומלית, הנובעת מקיומה של זהות מוחלטת ביניהם. מהתנהגות זו נובע גם הסידור המדויק של האלקטרונים במסלולים שבאטום - הסידור ממנו מתקבלת הכימיה. ללא זאת, היו האלקטרונים כולם מתרכזים במסלול הקרוב ביותר לגרעין, שיעורי הכימיה היו משעממים, ולא היו חיים. אנומליה זו היא גם האחראית לכך שעצמים מוצקים נוהגים לכבד זה את גבולותיו של זה. למשל, עט המונח על שולחן, יישאר בדרך כלל על פניו, ולא יפלחו תוך "כניעה" למשיכת כדה"א.

תוצאות אלו מחזקות את ההנחה, שזיהויים של האלקטרונים כשדות במבנה המתמטי ממצה את מהותם. החוק המונע את הצטופפותם של שדות מאותו הסוג, תקף גם למרכיביו האחרים של האטום - הפרוטון והנייטרון, והוא קרוי "האיסור של פאולי". כאמור, שדה בפיסיקה הוא פונקציה המוגדרת על יריעת המ"ז. מאחר שבמתמטיקה ישנן פונקציות רבות כאלה, יש להתחשב בהתקיימות כולן (במגבלות מסוימות), ולשקלל את תרומתן. דבר זה נעשה בתורת השדות, המניבה בתמורה את החומר המוכר לנו לפרטי תכונותיו.

עקביות

אחת המגמות החשובות בפיסיקה המודרנית היא עליית חלקם של שיקולים מתמטיים בהכרעה על טיבו של העולם. אליבא דאיינשטיין, אל תורת היחסות הפרטית הוא הגיע לא בעקבות הניסוי שהפריך את קיום האתר (מייכלסון ומורלי, 1887), אלא מן התביעה שמשוואות מקסוול יהיו עקביות. עקביות כאן משמעה, כי מאחר שהמשוואות אינן מכילות תלות במערכת ייחוס כלשהי, שומה על הגדלים המופיעים בהן, ומרווחי המקום והזמן בכללם, להשתנות בערכם בין מערכות ייחוס שונות בהן הם מתוארים, באופן המשאיר את המשוואות תקפות בכולן.

באופן כללי יותר, לעצמאותם של חוקי הטבע מן האופנים השונים בהם ניתן לתארם, ישנה חשיבות מרכזית באיתורם של חוקים אלו. שיקול זה פוסל כמעט כל אילוץ מתמטי שניתן להעלות על הדעת, מלתאר חוק טבע; זאת, עוד בטרם ניסיון או תצפית. ביחסות כללית, כפי שכבר הוזכר, שיקול זה מצמצם מאוד את צורותיה האפשריות של המשוואה לה כפוף המ"ז, ולכן קובע הוא גם אילו יקומים ייתכנו ופוסל אחרים. יישום שיקול זה לתורת השדות ("אינווריאנטיות לוקאלית לכיול"), אף מחייב את קיומן של ישויות נוספות – חלקיקי כיול, כגון הגלואון, הפוטון, Z, W והגרביטון - למעט האחרון, כולם אף אותרו נסיונית. חלקיקים אלו הם האחראים לכוחות היסודיים בטבע: הכוח הגרעיני החזק, הכוח האלקטרו־חלש (שהתגלה ב-‏1968 כאיחוד הכוח הא"מ עם הכוח הגרעיני החלש) והגרביטציה. באופן כללי, עקרונות מתמטיים קובעים את מגוון החלקיקים מהם עשויים הזמן והמרחב, כמו גם את האינטראקציות ביניהם, את החלקיקים המגלמים את הכוחות העומדים מאחרי אינטראקציות אלה, ואפילו את מספרם של מימדי המרחב.

כפי שאני רואה זאת, מדע הפיסיקה מתקדם מאז ניוטון לכיוון מציאתה של מערכת אבני יסוד מתמטיות – אקסיומות, העומדת בבסיס היקום. מערכת אקסיומות שהיא גם עקבית (כלומר, שאינה גוררת דבר והיפוכו), יוצרת מבנה מתמטי - מארג המשפטים אותם היא גוררת. דוגמאות לכך הן מערכת האקסיומות היוצרת את המספרים הטבעיים (פיאנו), זו היוצרת את המשפטים של הגיאומטריה האֶאוּקלידית (הילברט) וזו של תורת הקבוצות (ZFC). יְקום, וזה שלנו בפרט, אף הוא מארג כזה: מערכת אקסיומות כלשהי, ממנה מתקבל אוסף של משוואות, שפתרונותיו הם היקום.

מלכה חובקת כל - מסקנות

  1. אם הבנה היא יכולת תמצות העומדת במבחן הניבוי, אזי מבין כל הדרכים בהן ניסו לרדת לחקרו של היקום, רק תפיסתו כאוסף תבניות מתמטיות הובילה לבסוף לְהבנה שלו.
  2. ככל שהעמיקה הכרת היקום כך התברר כי מלכת המדעים - המתמטיקה, שנדמתה תחילה רק ככלי עזר לתיאור יחסים בין גופים - ממצה את כל מהותם.
  3. סדנא דארעא חד הוא: התעמקות בטבעו של היקום מגלה כי מרכיביו - חומר, כוח, אנרגיה, תנועה, זמן ומרחב - אינם מהויות נפרדות זו מזו, אלא היבטים ומרכיבים של אותה אחדות.
  4. ככל הידוע לנו, היקום הוא מבנה, הנוצר מפתרונותיה של מערכת עקבית של אילוצים מתמטיים.
  5. אילוצים אלו ופתרונותיהם, הנחשפים והולכים על ידי המדע למן המאה ה-‏17, אינם תלויים בהכרתנו בהם או באופן בו בוחרים לתארם, לצורך קיומם.
  6. מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי; מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח.
  7. איני מחיל דיון זה על הוויות מטאפיסיות או בלתי כְּרִיעוֹת, כגון: נפש, ערכים, אלוהים וכדומה, מה עוד, שכבר איני אתאיסט במידה המתבקשת.
  8. ומי יצר את כל זה? התמונה המצטיירת פוסלת כל אפשרות ליצירת היקום:
    • ראשית, בהיותו אוסף עקבי של יחסים מתמטיים, קיומו, הנמצא מעל הזמן והמקום, מובטח, כך שכינונו כלל אינו נדרש.
    • שנית, יצירה מכילה מוקדם ומאוחר: היא מחייבת זמן בו קיים היוצר אך לא הנוצר – הסיבה, טרם תוצאתה. ולפי שהזמן הוא חלק מן היקום, אזי לשם יצירתו, ביחד עם היקום, נדרש זמן מסוג נוסף, כזה המכיל נקודות בהן עדיין אין ליקום קיום. מעבר לצורך בסיפוק האינטואיציה האנושית, לא ידועים לי טיעון או ממצא המבססים את קיומו של דבר מסוג זה.

אפילוג

זמן מה לאחר שעזבתי את האקדמיה, חשבתי שוב, בעקבות מאמר בעיתון, דווקא על הפיסיקה הניוטונית, ותהיתי על תוכנו ומהותו של היקום אותו למדתי. רק אז הפנמתי משהו, שעלה מכל מה שלמדתי בשנותיי שם: "הצגה אי־פריקה של חבורת פואנקרה" היא אכן התשובה הנאותה לשאלה מהו חלקיק אלמנטרי. מהותן של היישויות הפיסיקליות כולן, והחלקיקים האלמנטריים בכלל זה, אינה אלא איכויותיהן המתמטיות, הנקבעות מחלקן במבנה המתמטי אותו מהווה היקום: היקום על כל זמניו, מקומותיו ושדותיו, הכתובים באותיות עַד, שאינן אנושיות.
קישורים
מתי מטיל אלוהים את הקוביות - חלק ב'
משוואות מקסוול - ויקיפדיה (אנגלית)
המרחב־זמן - ויקיפדיה (אנגלית)
משוואת איינשטיין ותורת היחסות הכללית
האיסור של פאולי - ויקיפדיה
פרסום תגובה למאמר

פרסומים אחרונים במדור "מדע"
הצג את כל התגובות | הסתר את כל התגובות

ההוכחה האונטולוגית? 455536
תשע נשמות יום ב', 20/8/2007, 13:18
"מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח".
רק לי זה מזכיר את הראיה האונטולוגית למציאות האל?

באיזה מובן "קיומו" של מבנה מתמטי עקבי הוא כורח? האם המשוואה 1+1=2 קיימת באותו מובן שבו השולחן שעליו מונח המחשב שלי קיים? אם קיימים אינסוף פתרונות שונים למשוואת שרדינגר לאלקטרון עבור אינסוף בורות פוטנציאל שונים, האם נגזר מכך שקיימים בפועל אינסוף אלקטרונים באינסוף בורות פוטנציאל?
455555
יהונתן אורן יום ב', 20/8/2007, 18:53
מאמר מעניין ומעורר מחשבה. אפילו כמעט הבנתי את החלקים הפיזיקליים.

לא כל כך הבנתי מהו הטיעון לטובת מסקנה מס' 4 ("אילוצים אלו ופתרונותיהם, הנחשפים והולכים על ידי המדע למן המאה ה-‏17, אינם תלויים בהכרתנו בהם או באופן בו בוחרים לתארם, לצורך קיומם"). מדוע האותיות המתמטיות אינן יכולות להיות שפה אנושית (מוצלחת במיוחד) בדיוק כמו אותיות של שפות אחרות?

אם ננסה לחשוב על ההשוואה של האותיות המתמטיות לאותיות של שפות אחרות, נוכל לומר - אם הבנתי את המאמר - "בראשית הייתה המילה".
455565
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה ליהונתן אורן יום ב', 20/8/2007, 20:52
אתה מזהה את המתמטיקה עם הסימנים המתמטיים, וזה לא נראה לי נכון. כמו שהסימן "התפוח הזה" מסמן משהו שאינו הסימן, כך רצף הסימנים "2+3" מסמן משהו אחר - העובדה המתמטית. והעובדות המתמטיות, טוען אפופידס (ונראה לי שזו העמדה הדומיננטית, או עמדת-ברירת-המחדל) אינן תלויות בהכרתנו בהן או באופן בו בוחרים לתארן.
455568
יהונתן אורן • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום ב', 20/8/2007, 21:20
זה פלטוניזם מוחלט, לא? דברים מתקיימים כי הם "לוקחים חלק" בעובדות מתמטיות.

אין לי כלים להתווכח עם העמדה הזאת.
וריאציות על נושא 455602
רון בן-יעקב • בתשובה ליהונתן אורן יום ג', 21/8/2007, 14:38
"מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי; מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח" לי זה דווקא הזכיר את העקרון האנטרופי שמקשר בין חשיבה אנושית (כמו מתמטיקה) וטבע היקום הנצפה, תגובה 250409
וריאציות על נושא 455603
ראובן • בתשובה לרון בן-יעקב יום ג', 21/8/2007, 14:47
אנתרופי. כמו אנתרופולוגיה. אבל יש גם עיקרון אנטרופי שהוא נגזרת שלו: http://arxiv.org/abs/hep-th/0702115
455612
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה ליהונתן אורן יום ג', 21/8/2007, 22:08
לא התכוונתי לעמדה פלטוניסטית. אני אדייק יותר. שכח מ"העובדות המתמטיות" שדיברתי עליהן, והחלף ב"טענות מתמטיות". פלטוניזם אומר שיש עובדות מתמטיות בלתי תלויות בטענות שניתן להוכיח או לא. אני מוכן לקבל שאין שום דבר במתמטיקה מלבד הטענות המתמטיות. אבל אתה הלכת צעד קדימה, וזיהית את המתמטיקה עם הסימנים. ומה שאני ניסיתי לומר הוא שיש הבדל בין הטענות לבין הסימנים. יש לנו כבר כמה מערכות סימנים שונות לציון אותן טענות (2+2=4, שתיים ועוד שתיים הם ארבע). תוכל להתנגד ולומר שמערכות הסימנים האלו איזומורפיות. אם כך, אז באמת המתמטיקה אינה אלא הסימנים המתמטיים (על הכללים הנהוגים בטיפול בהם‏1). אבל אם אתה אומר שזה כן תלוי בנו, בעצם אתה אומר ש"יש מתמטיקה אחרת". אני לא חושב שאפשר להוכיח שאין, אבל גם לטעון שיש כזו נראה לי מפוקפק - זה מסוג הדברים שספק אם יש להם משמעות.

‏1 לא לקפוץ, יהונתן ואני לא מדברים על מערכות פורמליות דווקא - אנחנו כוללים בזה גם הנמקות מילוליות של מתמטיקאים, וכמובן שהשפה במובן הזה מתרחבת ומשתנה.
455618
יהונתן אורן • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום ד', 22/8/2007, 0:04
אני קצת מבולבל. מה המשמעות של המושג "טענה" אם לא אוסף סימנים בשפה?

בגסות-מה, אני מכיר שלוש דעות בסיסיות ביחס למשמעות של טענה:
1. משמעות פירושה יחס של התאמה כזו או אחרת של הטענה למציאות חיצונית. ואז, במקרה של מתמטיקה, אנחנו מגיעים לפלטוניזם.
2. אמיתות או שקריות של טענה תלויה במשמעותה, ומשמעותה נגזרת מכללי המשחק המכוננים. ואז בודאי יש כאן מרכיב שרירותי, ובודאי שהוא תלוי בנו.
3. ההוריה של טענה היא למושגים קוגניטיביים-אנושיים. (נניח, אפשר לטעון שבני אדם מבינים מה המשמעות של המושג "בריאות" ללא תלות במשחקי שפה, ולמרות שאין לו הוריה מדויקת במציאות). גם כאן, כמובן, הטענה תלויה בבני-אדם.

אני לא מצליח להבין את כוונתך בטענה שיש "פער" בין טענה לבין הסימנים שבאמצעותם היא מובעת.
455766
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה ליהונתן אורן יום ו', 24/8/2007, 4:53
1. שתיים ועוד שתיים שווה חמש
2. 2+2=5
האם אלו שתי טענות שונות, או אותה טענה? והרי אלו שני רצפי סימנים שונים לחלוטין!
455772
יהונתן אורן • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום ו', 24/8/2007, 10:22
אתה כבר הצעת לי את התשובה של איזומורפיות. אבל זה התחום שלך, לא שלי. אז תרשה לי לשאול אותך: איזו משמעות - שאינה תלויה בנו - יכולה להיות לטענה מתמטית, אם אנחנו לא מאמצים פלטוניזם?
מטא-פורמליזם 455773
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה ליהונתן אורן יום ו', 24/8/2007, 10:32
למשל, שלכל מערכת המקיימת כללים מסוימים יש תכונות מסוימות.
מטא-פורמליזם 455816
יהונתן אורן • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' שבת, 25/8/2007, 1:14
אוקיי. זאת תשובה שאני יכול להבין.
455798
האייל האלמוני • בתשובה ליהונתן אורן יום ו', 24/8/2007, 16:19
תוכן- או משמעות - אינם תמיד ובהכרח הוראה.
455808
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה ליהונתן אורן יום ו', 24/8/2007, 20:47
אבל אני לא הדלקתי את לפיד ה"לא תלויה בנו". בתגובה הראשונה שלי בפתיל ייחסתי את הגישה הזו לאליהו. נכון שאמרתי גם שזו הגישה הדומיננטית או גישת ברירת המחדל. אתה טענת נגדה את "טיעון הסימנים". הסימנים כשלעצמם הם בוודאי תלויי-אדם, אבל ברגע שאתה מכפיף אותם לאיזומורפיה, כבר לא ברור שהם תלויי אדם.

כמו שניסיתי לומר בתגובה בהמשך, אני כבר קצת בספק אם יש לשאלה משמעות - אם כי נראה לי שהמשמעות הבאה היא מועמדת לא רעה: האם ליצורים תבוניים אחרים תהיה מתמטיקה אחרת. ודוק: לא האם הם יגיעו לתגליות אחרות מהמתמטיקאים שלנו, אלא האם ייתכן שהם יפתחו שיטות שלמתמטיקאים שלנו בכלל לא יראו כניתנות לאימוץ במתמטיקה שלנו - ואם כן, האם עדיין נאמר על זה "המתמטיקה".

אז אין לי הרבה טיעונים לטובת התשובה השלילית, אבל אני גם לא רואה שום טיעון בעד תשובה חיובית. השלילית נראית לי עדיין ברירת המחדל, פשוט כי אני לא מצליח להתקרב לדמיין סיטואציה של תשובה חיובית, אבל אני מודה שטיעון שחוזקו מתבסס על חוזק הדמיון שלי הוא לא מרשים. אבל האם נראה לך, ולו אינטואיטיבית, שהתשובה חיובית? אם לא, האם אתה יכול להציע משמעות אחרת ל"תלויה בנו"?
455815
יהונתן אורן • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר שבת, 25/8/2007, 1:14
מעניין. לי זה מזכיר טיעון מפורסם שבנוי באותה צורה ושמגיע למסקנות הפוכות:
אנחנו לא יכולים לחשוב על עצמים שלא במסגרת החלל והזמן (ואנחנו כן יכולים לחשוב על חלל וזמן "ריקים" ללא עצמים), ומכאן, שהחלל והזמן הם א-פריוריים ותלויים במבנה התבונה האנושית ולא במבנה הממשות החיצונית. דהיינו, תלויים בנו.
455820
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה ליהונתן אורן שבת, 25/8/2007, 8:18
אני מסכים איתך (ועם קאנט) שהמתמטיקה היא תלוית-תבונה, ואני מוכן לסייג את זה לתבונה האנושית, כ"ביטוח" נגד מגבלות הדמיון שלי בטפלו בתבונות לא-אנושיות. אני לא חושב שיש לזה השלכה חזקה על הדיון של אליהו: ממילא את כל מה שנֹאמר על היקום אפשר לסייג, באופן טריוויאלי, תחת "עד כמה שאנחנו מבינים".

עכשיו אני לא בטוח למה התכוון אליהו, ומה המקום של זה בשרשרת הטיעונים שלו. אולי זה: יש דברים שאנחנו יודעים במובן יותר חזק שהם תלויי-השקפה. חלוקה לעצמים, למשל: אנחנו רואים שולחן חום וקשיח, אבל תבונה שתתבונן בקנה מידה אטומי רק תראה התפלגות שונה של אטומים במרחב, בלי שולחן, בלי חום ובלי קשיח. ברגע שאנחנו יכולים להציג נקודת השקפה שבה מתבטל דבר, אנחנו יודעים שהדבר הוא תלוי-דרך-תיאור, ואנחנו יכולים להבין את התלות הזו בצורה חזקה יותר מאת התלות של המתמטיקה בתבונתנו. באקסטרפולציה משולחן, כל הישים הפיזיקליים חשודים, עד שיוכח אחרת, בתלות חזקה כזו. אולי מה שאליהו רצה לומר הוא שברגע שהדבר נגזר כאילוץ מתמטי, הוא זוכה למעמד האי-תלות - או תלות במובן החלש של הפסקה הראשונה.
תגובה 455820 455823
צרי יוסף • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר שבת, 25/8/2007, 10:36
מערכת הטיעונים של אליהו היא לכידה, ומסודרת בצורה יפה וברורה. ובכל זאת המתמטיקה היא אחד הכלים שלנו להבין דברים שהם קיימים בלי קשר לקיום התבונה האנושית.

השולחן שהבאת כדוגמה קלאסית, בין האדם המשקיף על השולחן אם על ידי החושים הפיזיים והן על ידי ההבנה בקנה מידה אטומי כדבריך, השולחן הוא 'נמצא' ללא תלות באדם וחושיו או תבונתו.

אנו נוהגים לערבב בין החושים המוסרים לתודעה נתונים שהם מעוותים כי החושים מעוותים את הדבר עצמו, לבין הדבר עצמו.
מהבחינה הזו המתמטיקה כמו מכשירים אחרים מביאה את הבנתנו להתקרב אל הדבר עצמו, עדיין רק להתקרב יותר.
455865
יהונתן אורן • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום א', 26/8/2007, 21:04
אני יכול להסכים שהמתמטיקה היא לא תלויית-השקפה (קאנט אפילו חושב שלמרות שהמתמטיקה היא סינתטית היא הכרחית, למרות שאני לא זוכר אם במובן של "הכרחית בכל העולמות האפשריים"). אבל אני לא בטוח שזה משנה.

השאלה של פיזיקאים היא "מדוע לבחור במתמטיקה ככלי להבנה ותיאור העולם?". לשאלה הזאת ישנה תשובה ברורה: המתמטיקה היא הכלי הטוב ביותר שיש לנו להבנה ותיאור של העולם.
לעומת זאת, השאלה של הפילוסופים היא "מדוע המתמטיקה היא הכלי הטוב ביותר שיש לנו להבנת העולם?". התשובה של דקרט ואליהו: כי הטבע כתוב באותיות מתמטיות. התשובה של קאנט: כי אנחנו מכוננים את עולם התופעות דרך הקטגוריות של התבונה, והמתמטיקה היא תבונית. דהיינו, ההתאמה עולם-מתמטיקה היא תוצר של ההכרה התבונית שלנו ולא של העולם.

מה שאני מנסה לומר הוא שגם אם אתה חושב שהמתמטיקה אינה תלוית-השקפה, עדיין "העולם" הוא תלוי השקפה ("תלוי-דרך-תיאור"). בכל מקרה - אתה מתחיל מהשולחן החום והקשיח. כל ההכרחיות של המתמטיקה לא משנה את זה שאתה מנסה לתאר באמצעותה את העולם שהוא תלוי-דרך-תיאור.
455866
עומר • בתשובה ליהונתן אורן יום א', 26/8/2007, 21:18
העיסוק ב-"למה המתמטיקה מוצלחת" מוזר לי. אני לא חושב שהמתמטיקה, *כשפה*, שונה מהותית מכל דרך אחרת שיש לנו לייצג רעיונות לגבי יחסים ומבנים (כלומר היא לא שונה מהעברית או מהאנגלית, למשל). היא אולי חסכונית יותר, או נוחה יותר, וקצת ברורה וחד משמעית יותר - אבל אלה הבדלים קוסמטיים.

אני חושד שאם השאלה היא למעשה "מדוע אנו מתארים את העולם במונחים של יחסים ומבנים" אז התשובות שהיו מספקים לה היו מאד שונות, אז כנראה זה לא העניין.

ואולי השאלה בכלל לא מתייחסת למתמטיקה כאל שפה, אלא תוהה מדוע ההיגיון המתמטי הוא כלי להבנת העולם? אבל ההיגיון המתמטי (בניגוד למתמטיקה עצמה) בר-רדוקציה ללוגיקה (בגדול, אבל אולי זה מסתבך כשמנסים לרדת לפרטים), ומכיוון שה-"הבנה" אליה מתייחסת השאלה היא ממילא "הבנה אנליטית", השאלה הופכת להיות טריוויאלית - כך שכנראה גם זה לא העניין.

בקיצור - מה השאלה, בעצם?
455868
האייל האלמוני • בתשובה לעומר יום א', 26/8/2007, 21:47
"אני לא חושב שהמתמטיקה, *כשפה*, שונה מהותית מכל דרך אחרת שיש לנו לייצג רעיונות לגבי יחסים ומבנים".
אני לא יודעת למה היית קורא שוני "מהותי", אבל המתמטיקה, גם כשפה, מגבילה באופן חזק פי כמה מכל שפה טבעית את מסקנותיך על העולם שאותו היא מתארת. בעיניי זה מהותי למדי.
455874
עומר • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 26/8/2007, 22:29
למה ואיך היא עושה את זה? ואיך קשורה לכך הסקה, כשמדברים על תיאור?

השפה המתמטיקה היא מיש-מש של שפה טבעית, עם עוד סימונים שכל אחד מביע רעיון שאפשר גם כן לנסח בשפה-טבעית (עובדה שהצליחו להסביר לי, בעברית ובאנגלית, את המשמעות שלהם). מה שאפשר לתאר במתמטיקה, אפשר לתאר גם בעברית.

אני יכול לתרגם כל פסקה שכתובה "במתמטיקה" לעברית, במחיר של אלגנטיות ותימצות.

האמת היא, שאני בכלל חושב שאי-אפשר לקרוא לאוסף הקוונבציות הזה "שפה". כמו שהוא, מדובר בפשוט אוסף של קיצורים שמאפשרים לנסח (בצירוף שפה טבעית כלשהי) כמה רעיונות מורכבים בעזרת מס' מצומצם של סימנים, ובאופן שהוא יחסית ברור וחד משמעי.
455876
האייל האלמוני • בתשובה לעומר יום א', 26/8/2007, 22:39
עצם הגדרתם של ה''ישים המתמטיים'' אומרת מה ניתן ומה לא ניתן לייחס להם.
455933
יהונתן אורן • בתשובה לעומר יום ב', 27/8/2007, 20:34
אני לא יודע ''מה השאלה, בעצם''. בדיון עם ירדן הסתובבנו סביב מספר שאלות. היתרון החשוב של דיון כזה הוא שאם אין לי תשובה טובה לשאלה אחת אני פשוט מתעלם ממנה ומתייחס לשאלה אחרת.

מעבר לכך, נדמה לי שהמחלוקת הבסיסית היא בשאלה ''מה הקשר בין המתמטיקה לעולם''. הטענה שלך היא שהקשר הוא אפיסטמולוגי (ייצוג, הבנה). ואני חושב כמוך. הטענה של אליהו - אם הבנתי אותה נכון - היא ברמה המטאפיסית (''המציאות היא מתמטיקה'').
455869
האייל האלמוני • בתשובה ליהונתן אורן יום א', 26/8/2007, 21:48
קאנט טען שהמתמטיקה היא סינתטית ו*אפריורית*.
455932
יהונתן אורן • בתשובה להאייל האלמוני יום ב', 27/8/2007, 20:34
אז מה?
455936
האייל האלמוני • בתשובה להאייל האלמוני יום ב', 27/8/2007, 20:38
אם אינני טועה פירושו של דבר שהיא הכרחית בכל העולמות האפשריים.
אכן (המשפט האחרון). 456449
אליהו גרייצר • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום ב', 3/9/2007, 9:45
אפלטוניזם 455880
אליהו גרייצר • בתשובה ליהונתן אורן יום ב', 27/8/2007, 0:10
איני בטוח שאפלטון היה מאשר אותי כנציג משנתו.
הסיבה הראשונה לכך היא שאפלטון טען ליכולת להשיג את האמת ע"י התבוננות פנימית בלבד.
כל עוד יכולת זו מיוחסת לבני אנוש (להבדיל מכל האחרים...), אנו חלוקים (לכן כתבתי: "...כזה שלא הניבו ...והתבוננות פנימית"). השגת האמת על העולם דרשה ועודנה - אינטראקציה הדוקה עימו. הסיבה הראשית לכך היא שצמיחת היכולות הלוגיות אצל בני אדם, מתוך אלו הפשטניות, השגויות, המולדות, דורשת התבוננות, ניסוי וטעייה – כדי להגיע למסגרות חשיבה הדרושות להבנת האמת החיצונית לנו - יש צורך בלמידה.

אך גם למוטנט בעל יכולות לוגיות מושלמות מבטן אימו, נדרשת תצפית כדי לברר איזה מן היקומים האפשריים הוא זה שלו – כפי שעשה למשל האבל וגילה שהיקום בו הוא חי מתפשט.

סיבה שניה לאי-אפלטוניות המאמר היא הטענה שמאחר והיקום הוא כבר מבנה מתמטי (ולא מהויות עשויות ממשהו שאינו מתמטי שרק מתקיימים בינהן יחסים מתמטיים), אין כאן את ההפרדה האפלטונית בין עולם האידאות לבין זה המוחשי, אם תרצה, עולמנו הינו אידאלי כפי שהוא (:

בסיבה שלישית איני בטוח, אך נדמה לי שאפלטוניסט אדוק יטען שהמספרים הטבעיים הינם ישויות המתקיימות כשלעצמן, בעוד שלמיטב ידיעתי אין הם אלא חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו.

בעניין אחד דווקא כן מתיישבת העמדה במאמר עם זו של אפלטון: "טענה מתימטית נכונה היא 'דבר' אמיתי, אפילו יותר מאשר כיסא או שולחן" ("זמן ותודעה" של אבשלום אליצור, ע"מ 10).
אפלטוניזם 455890
תשע נשמות • בתשובה לאליהו גרייצר יום ב', 27/8/2007, 9:45
"המספרים הטבעיים... הם ... חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו."

האם האקסיומות עצמן קיימות? אם כן, באיזה מובן? האם קיומן של כל מערכות האקסיומות האפשריות מובטח באותו אופן שכל מערכת מתמטית עקיבה קיימת, לפי התאור שלך?

הטענה שלמספרים הטבעיים אין משמעות מחוץ למערכת האקסיומות נראית לי, איך לומר, תמוהה קצת. אנשים ספרו שלושה תפוחים ועשרה ראשי בקר אלפי שנים לפני שמישהו העלה בדעתו לבנות את המערכת האסיומטית שאתה מדבר עליה. פיתגורס לא הכיר את מערכת האקסיומות שלך, אבל קשה לומר שלטבעיים לא היתה משמעות לגביו. למעשה התרחש כאן תהליך אחר. לבני אדם היה מושג של מספרים טבעיים, ואז בא מישהו - פאנו, נניח - ובנה מערכת אקסיומטית שאיבריה מתנהגים באופן כזה שניתן ליצור התאמה בין כל התכונות של הטבעיים לבינו. מבחינתך זה מוחק את המושג הקודם, אבל אני איני רואה כיצד המושג נעלם רק משום שהראית דרך אחרת לתאר את מערכת החוקים שבעזרתה הוא פועל (והדברים נכונים, כמובן, גם לכך שמידול מתמטי מושלם של חלקיק אין משמעו שהחלקיק הוא מתמטיקה אלא רק שניתן למדל את התנהגותו באמצעים מתמטיים).
אפלטוניזם 455910
עומר • בתשובה לתשע נשמות יום ב', 27/8/2007, 14:53
אני לא חושב שהניסוח של האקסיומות משנה משהו, כי המבנה המתמטי כרעיון מופשט (''מושג'' בלשונך) בלתי תלוי בהן.

המספרים של פיתגורס התנהגו כמו המספרים של פרמה, וההתנהגות הזו מתמצה במערכת האקסיומות שפיאנו ניסח (נגיד...). אפשר לנסח מערכות אחרות של אקסיומות שגם הן תתארנה את אותו מבנה מתמטי. שים לב גם שמערכת אקסיומות לא צריכה לתאר את כל התכונות של המבנה-המתמטי אותו היא מתארת (לזה קוראים ''תורה'') - צריך רק שכל תכונה שלו (''משפט'') תהיה בת-הסקה מתוך המערכת.

העובדה שניסחו מערכת אקסיומות למושגים המתמטיים לא מבטלת את ה-''מושג'', אבל כן מגלה לגביו דברים מסויימים (שהתורה של המבנה אקסיומטית). עד כמה שאני מבין את המאמר, הוא מוסיף לרשימת הדברים שזה אומר עליהן עוד משהו (תכונה של ''קיום'' כנראה).

יש גם מושגים (מבנים מתמטיים) שאי אפשר לנסח עבורם מערכת אקסיומות לא-טריוויאלית. כי הם לא עקביים, או כי התורה אינה אקסיומטית, למשל.
אפלטוניזם 455912
תשע נשמות • בתשובה לעומר יום ב', 27/8/2007, 16:03
השאלה היא מהו היחס בין המספרים הטבעיים עצמם לבין אותם יצורים המוגדרים בעזרת האקסיומות של פאנו. האקסיומות מגדירות מערכת כלשהי של יצורים מתמטיים ושל היחסים ביניהם. לעומת זאת, המושג המסורתי של מספרים טבעיים עוסק בספירת כמויות של עצמים ממשיים. כאשר אני מדבר על שלושה תפוחים אני לא מדבר על עוקב של עוקב של איזשהו איבר-יחידה. האקסיומות של פאנו בונות מערכת שבאמצעותה ניתן לתאר את היחסים בין כמויות שונות, כלומר ניתן ליצור התאמה חד-חד ערכית בין היצורים שהוא יוצר בעזרת המערכת שלו והיחסים האפשריים ביניהם לבין כלל המספרים היכולים לייצג כמויות של עצמים ממשיים והיחסים האפשריים ביניהם. השאלה היא האם האפשרות ליצור התאמה כזו הופכת את המספרים עצמם ללא יותר מאשר אוסף היצורים של פאנו? לדעתי לא. לדעתי הקביעה שהמספרים הם "חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו" פשוט לא נכונה. רוב רובם של מיליארדי בני האדם בעולם לא שמעו מימיהם על מארג המשפטים הנ"ל, והדבר אינו מונע מהם לדעת היטב את המשמעות של להיות בעל יתרה של מיליון דולר בבנק, למשל. התאור דרך מערכת האקסיומות הוא סוג של רדוקציה למודל; המערכת מתארת יפה את היחסים האפשריים מתמטית בין מספרים, אבל בינה לבין המספרים עצמם יש התאמה ולא זהות.
אפלטוניזם 455934
יהונתן אורן • בתשובה לאליהו גרייצר יום ב', 27/8/2007, 20:35
אפלטון מת, כך שאני לא רואה סיבה מיוחדת שתזדקק לאישור שלו. "פלטוניזם" היא עמדה כללית (למשל: http://plato.stanford.edu/entries/platonism/#4.1), כמו שקאנטיאניים היום אינם מאמינים שהפיזיקה זהה לתורת ניוטון.

מעבר לזה, אני מוצא את הסיבה השנייה שציינת לאי-אפלטוניות המאמר כמעניינת מאוד ומקורית מאוד (וחוץ מזה אין לי מה להגיד עליה, אבל זה באמת כיוון מסקרן).
אפלטוניזם 456227
אורח לרגע • בתשובה לאליהו גרייצר שבת, 1/9/2007, 11:59
אינני בטוח שאני מבין את הדקויות של הדיון כולו. אני בעוונותי מטריאליסט, לאמור בסופו של דבר מה שקובע זה אם העובדה נכונה, כלומר אם יש משהו ממשי שעומד מנגד לטענה (האנושית).
נדמה לי שיש כאן גם אידאליזציה של החשיבה המתמטית. אין טענות מתמטית קוהרנטיות וסדורות שהן בסופו של דבר טענות סרק, או שפשוט המציאות הוכיחה שהן אינן נכונות?
אני למדתי כל השנים שמה שעמד ביסוד תורת היחסות הפרטית זה דווקא כן הניסיון החד משמעי של מיקלסון-מורלי. אינשטיין ראה זאת אחרת? יתכן. הוא בטח מבין בזה הרבה יותר טוב ממני.
455572
האייל האלמוני יום ב', 20/8/2007, 22:31
מאמר מעניין ומעורר מחשבה - למרות שהוא מספר סיפור מעט אופטימי על התהליך המדעי אשר יוביל בהכרח להבנת העולם. לצערי אני לא מסוגל להיכנס לדיון רציני בשאלה המרכזית: האם היקום המוכר לנו הוא כורח.

רציתי רק להעיר משהו על המשפט: "בכך נפער בסוף המאה ה-‏19 קרע בין האינטואיציה הפיסיקלית האנושית לבין גזירות המתמטיקה".

זו לא הפעם הראשונה, שבה "קרע" כזה נפער. פרופ' יונה אורן אמר באחד מקורסי המבוא בפיזיקה, שאם נחזה בתופעה מוזרה מספיק פעמים, היא תיראה לנו לבסוף אינטואיטיבית. האינטואיציה הפיזיקלית משתנה עם הידע האנושי, עם השנים והדורות. אני בטוח שגזירת המתמטיקה שקבע ניוטון, שגוף שלא פועל עליו כוח ממשיך בתנועתו, נראתה מאוד לא אינטואיטיבית לשחקני כדורת בני זמנו. גם דברי אריסטו על גלגלים שמימיים לא היו איטואיטיביים לאיכר בן-זמנו. כאשר נצליח לבנות מערכות קוונטיות מקרוסקופיות (כגון מחשבים קוונטיים), או לטוס ב-‏0.5c, הקרע הזה יתחיל להתאחות.
ומה ההשלכה של משפט גדל על תורת היקום? 455573
עדי יום ב', 20/8/2007, 23:18
_יקום, וזה שלנו בפרט, אף הוא מארג כזה: מערכת אקסיומות כלשהי, ממנה מתקבל אוסף של משוואות, שפתרונותיו הם היקום_

למיטב הבנתי, ממערכת אקסיומות מתקבל אוסף של משפטים, ולפי משפט גדל - מערכת שהיא עיקבית אינה יכול להיות שלמה. כלומר יש משפטים שאי אפשר להוכיח מתוך האקסיומות אך אי אפשר גם להפריכם.

אם אני מבין נכון - ההשלכה שעולה מהמאמר היא שיש תופעות שלא ניתן להסביר אותן (כלומר, להוכיח את המשפט המתאר אותן, מתוך האקסיומות) אך גם לא לפסול את קיומן.

האם זה "מוכיח" (במובן של גדל) שקיימות תופעות "על-טבעיות"?
ומה ההשלכה של משפט גדל על תורת היקום? 455575
טל כהן • בתשובה לעדי יום ג', 21/8/2007, 0:39
נניח כי (א) היקום הוא מערכת אקסיומטית, ו-(ב) השינויים המתרחשים ביקום על ציר הזמן הם פעולות של "גזירה" במערכת – כלומר, כל מצב נובע מקודמו על-ידי אחד מכללי הגזירה של המערכת.

אזי, כל מה שמשפט גדל אומר הוא שישנם מצבים שהיקום לא יכול להגיע אליהם, ולא משנה אילו כללי גזירה נפעיל בכל נקודה בזמן; למרות שמצבים אלו הם "אמיתיים" במובן זה שאינם סותרים אף מצב אפשרי אחר.

מערכת פורמלית מאופיינת על-ידי שלמות ועקביות. שלמות נמדדת ביכולת לייצג את כל מה ש"נכון" בדבר ה"אמיתי" שהמערכת מנסה לייצג (גדל עסק במערכת של פרינקיפיה מתמטיקה, שניסתה לייצג את תורת המספרים). לא ברור לי מהו הדבר ה"אמיתי" שהמערכת הפורמלית של היקום אמורה להמדד מולו, כדי שנחליט אם היא "שלמה". לא ברור לי גם מהו "חוסר עקביות" במערכת זו: במערכת המייצגת את תורת המספרים, "סתירה" היא דבר והיפוכו. וביקום – מתי שני מצבים הם "סתירה"? (צריך לזכור שהיקום כפי שאנו חווים אותו הוא רצף גזירה *אחד* מתוך אינספור רצפים אפשריים של המערכת; רצפים אחרים – יקומים מקבילים? – יכולים בהחלט להכיל מצבים אחרים. כלומר, "יורד היום גשם" ו-"לא יורד היום גשם" אינם סתירה, אם הם מתרחשים ביקומים נפרדים).

בנוסף צריך לזכור שמשפט גדל עוסק במערכות פורמליות בנות-מניה. ניתן לבנות מערכות פורמליות שאינן בנות-מניה, ומספור גדל לא יכול להן: למשל, מערכת עם מספר לא בן-מניה של אקסיומות, או עם כלל גזירה שיכול להפיק מספר לא בן-מניה של תוצאות ממשפט נתון. מערכות פורמליות לא בנות-מניה שכאלה אינן שימושיות כלל למתמטיקאים ("יש לי הוכחה למשהו, אבל לא ניתן לכתוב אותה") אבל יכול להיות שהיקום הוא מערכת כזו, ולכן משפט גדל לא תקף לגביו.
ומה ההשלכה של משפט גדל על תורת היקום? 455576
האייל האלמוני • בתשובה לעדי יום ג', 21/8/2007, 0:47
להזכירך כדי שמשפט גדל יחול על היקום, ישנו סט מינימלי של אקסיאומות שחייבות להתקיים (אקסיומות האריתמטיקה החלשה), קיימות מערכות אקסיאומות לא טריוויאליות ושלמות (כמדומני גאומטריה אוקלידית)
זאת בנוסף לתשובתו המעולה של טל כהן
נראה שפספסת אונטולוגיה מהותית 455574
מרווה הפיגמנטים יום ג', 21/8/2007, 0:33
כתבת
"ראשית, בהיותו אוסף עקבי של יחסים מתמטיים, קיומו, הנמצא מעל הזמן והמקום, מובטח, כך שכינונו כלל אינו נדרש."
אם כך, אזי כל הרמוניה מתמטית, כתוצר דדוקטיבי של מודוס פונוס על מערכת אכסיומות שרירותית בהכרח "קיים", ומכאן שכתוצר יוצא של מערכת אינסופית של אוטומתיים תאיים ישנו יקום כלשהו שעונה על כך.
וביקום זה, יכולים להיות להם פיזיקאים, שיביטו החוצה דרך העקרון האנתרופי ויגידו בדיוק את זה.
זו טאטולוגיה מולטת, וזה לגמרי לא עונה על שאלת היצירה.
עוד לפני הדיון על ציר "התקדמות" מימדית כלשהי שיחליף את הזמן בתפיסה האינטואטיבית שלנו.

הרמוניות מתמטיות הן כורח חוויתי של מערכות עיבוד מידע (כמו זו שכתבה את המאמר), לדוגמא, זו של המתמטיקאי האנושי. דווקא ההגיון שהשתמשת בו כאן מצריך מערכת עיבוד מידע שתחשב את כל זה.
הרי איך החלקיק יודע על התוצאות של עיקרון האיסור של פאולי? מה מרנדר את המציאות הזו לידי קיום חישתי?
מתמטיקה היא טרנסדנטית רק לידיעה שלנו אותה, לא ליצירה של קיום אונתולוגי עצמי.

כפיזיקאי כושל, אני חייב לציין שאלו ממש לא התשובות העמוקות שחיפשת. יש שאלות יותר מפחידות, עם תשובות שאולי בכלל לא כדאי לשמוע..

תורת השדות היא רק ההתחלה..
נראה שפספסת אונטולוגיה מהותית 455578
לא שכן קרוב • בתשובה למרווה הפיגמנטים יום ג', 21/8/2007, 2:20
נשאלת השאלה מה הוא הקיום של אובייקט מתמטי, אי אפשר להשוות את הקיום של פאי לקיומו של פאי תפוחים. אני מוכן לקבל שסט הכללים שלאורם עובד היקום יכול להתקיים כישות מתמטית טהורה שאולי אפשר היה להסיק אפילו בלי צורך בבני אדם שיבדקו ינסו ויכתבו באייל, אבל היקום שלנו הוא מקרה פרטי של צירופים תחת אותו סט כללים, בו חלקיקים רבים שברו סימטריה ובונים מבנים מוזרים המשכפלים את עצמם ומקימים אתרים ברשת. הקיום של היקום הזה, למרות שבוודאי אפשר לתאר אותו מתמטית, שונה מהותית מקיומו של איזה אובייקט אבסטרקטי; מי שאינו מקבל את זה נאלץ לקבל את קיומם של כל היקומים האפשריים.

לגבי קיומן של מערכות עיבוד מידע, כל זמן שהיקום שלנו הוא רציף, כמעט כל חישוב דורש יכולת חישוב אינסופית, היות ומיקומו של חלקיק לבד דורש שטח איחסון אינסופי, זאת מבלי להתייחס למערכות עיבוד המידע, לארכיטקטורה הפנימית שלהן ולסיבה שמישהו ירצה להריץ את היקום שלנו. הגיוני בהרבה להניח שהיקום עצמו הוא מכונת עיבוד המידע, כפי שמניחים פיסיקאים כיום, הציות לכללים הוא המאפיין של החלקיקים, כורח הנובע מהמבנה.

נקודה נוספת היא ה"זהות" בין האלקטרון הפיזיקלי למתמטי, התיאור המתמטי ממדל את החלקיק, יכול להיות שמידול זה הוא שלם, או שיורחב בהמשך בהכללה כל שהיא שתכניס את הידוע כיום כקירוב במצב מסויים, מכל מקום הישות המתמטית קיומה נותר אבסטרקטי, הגדלים שאנו מייחסים לחלקיקים יכולים להתיחס לתכונות שלה תחת תנאים מסויימים, אבל זו בשום פנים ואופן לא אותה ישות. האלקטרון הוא לכל היותר "מימוש" פיזי של אובייקט שאפשר לתאר בעזרת אובייקט מתמטי. המתמטיקה יכולה לכל היותר להציע מידול מלא של העולם, היא לא "ממצה את כל מהותם" יותר משהאלקטרון הממשי ממצה את מהותה של הצגה אי פריקה של חבורת פואנקרה.

אני חושב שבמובן מסויים אנחנו דומים ליוונים, שיכלו לראות בגאומטריה האוקלידית מיצוי של המרחב. המסקנות שהם הסיקו עם דף ועט (נו טוב, אולי לא עט) עבדו טוב מאוד ביקום סביבם, אבל זה לא הופך את היקום למרחב אוקלידי. לא נראה לי שיש לנו את הכלים לגשר על הפער, אבל ישנה ממשות ביקום שאינה קיימת באובייקטים מתמטיים. גם אם נגיע בסופו של דבר לישות פיזיקלית אחת שמתנהגת ע"פ כלל אחד שממנו נגזר הכל, עדיין הישות הזו היא ישות פיזיקלית עם קיום ששונה מהקיום האבסטרקטי של הכלל שמתאר אותה.

נ.ב. תודה על המאמר המצויין.
שאלה לכותב המאמר 455592
האייל האלמוני יום ג', 21/8/2007, 11:56
תודה על המאמר המרתק, ושאלה מתוך סקרנות:

"... מה עוד, שכבר איני אתאיסט במידה המתבקשת..."

האם המילים "*כבר* איני..." רק באות לומר שאינך רואה את עצמך כאדם המתאים לדון בשאלות מטאפיסיות, או שהיית (כפי שעשוי להשתמע מן הניסוח) אתאיסט בעברך ואילו לאחרונה התקרבת אל הדת?
שאלה לכותב המאמר 455604
האייל האלמוני • בתשובה להאייל האלמוני יום ג', 21/8/2007, 16:32
בכל מקרה אם הוא מתקרב לדת אז אני בטוח שזאת תהיה אמונה בבורא וכד' ולא אמונה בדת פורמלית כלשהי (יהדות, נצרות וכו').
בעניין החבר אלוהים 456009
אליהו גרייצר • בתשובה להאייל האלמוני יום ג', 28/8/2007, 21:18
כרבים אחרים לאחר הבחירות האחרונות, כך חשתי גם אני שאם אלוהים באמת לא היה קיים, הוא לא היה מאפשר את מה שקרה ל"שינוי". הוסיפי על כך את התפעמותי מאותה צדקת כפרית המתוארת בסיפרה של אחרונת הברונטיות, ממנו התמוגגתי בימים האחרונים - עד שזו כמעט הורידתני כאלעד, ותביני אילו תעצומות על אנושיות נדרשו לו לחוסר אמונתי.
(:
בעניין החבר אלוהים 456010
אלמונית אחרת • בתשובה לאליהו גרייצר יום ג', 28/8/2007, 21:37
ומיהן, במטותא, הצדקת הכפרית ואחרונת הברונטיות?
בעניין החבר אלוהים 456023
ראובן • בתשובה לאלמונית אחרת יום ד', 29/8/2007, 9:14
באמת לא ברור. שרלוט נפטרה אחרונה, אבל אן נולדה אחרונה.
בעניין החבר אלוהים 456034
האייל האלמוני • בתשובה לראובן יום ד', 29/8/2007, 13:59
אבל איזה צדקת כפרית מופיעה אצלן???
בעניין החבר אלוהים 456226
אליהו גרייצר • בתשובה לאלמונית אחרת שבת, 1/9/2007, 11:59
אם תגובה זו, אשר נדמה היה לי כי תפורה היא למידותיה של האלמונית ההיא, לא תפורש בימים הקרובים, אפרשה.
בעניין החבר אלוהים 456231
האייל האלמוני • בתשובה לאליהו גרייצר שבת, 1/9/2007, 12:50
האלמונית ההיא איננה אני, ואתה המתנת די. פרש נא!:)
בעניין החבר אלוהים 456579
אליהו גרייצר • בתשובה לאלמונית אחרת יום ג', 4/9/2007, 21:25
הכוונה היא לג'יין אייר, גיבורת ספרה של שרלוט ברונטה - הצאצאית האחרונה ששרדה לבית פטריק ומריה ברונטה.
'לרדת כמעשה אלעד' כוונתו לרדת לירדן - כדי להיטבל לדת האהבה (אחד מכינוייה של הדת הנוצרית).
מה לא היה ברור? (:
בעניין החבר אלוהים 456587
אלמונית אחרת • בתשובה לאליהו גרייצר יום ג', 4/9/2007, 22:14
אהמ.
הבעיה היא שקשה לי מאוד לראות את ג'יין ידידתנו בתיאור "צדקת כפרית". ראשית, היה לה חוש הומור, עניין שנראה לי אסור באיסור חמור על צדיקות. קדושות ניחא, אבל צדיקות? הס מלהזכיר. שנית - לא הייתי חושבת שצדיקות מתאהבות. הן אוהבות, כמובן, את האנושות כולה - אבל להתאהב בגבר אהבה רומנטית? האין זו גוזמה פראית?
ואגב, אינני מכירה את מעשה אלעד.:)
בעניין החברה ג'יין 456593
אליהו גרייצר • בתשובה לאלמונית אחרת יום ד', 5/9/2007, 0:04
איני יודע מאין הקרצת סייגים אלו לצדיקות, אך לאחר כתיבת התגובה התייעצתי עם רב‏1 החברה בה אני עובד בעניין הביטוי "אשה צדקת" - ואין ספק שתיאור זה הולם את ג'יין.

בעניין אלעד: http://www.shiron.net/songView.aspx?song_id=310&...
אומנם מטרת הירידה אינה נזכרת במפורש במילות השיר, אך קצת שכל ישר, דימיון, אלכוהול ודילוגי אותיות חושפים אותה על נקלה.

‏1 במובן של "בעל כיפה וזקן"
בעניין החברה ג'יין 456596
האייל האלמוני • בתשובה לאליהו גרייצר יום ד', 5/9/2007, 0:12
נדרש הרבה יותר דמיון, לדעתי, לחשוב על צדקת בעלת הומור ויכולת פעילה להתאהבות מאשר לחשוב כך על אלעד, שיש להודות שהבנתי את כוונתך בו מיד לאחר שאישרתי את תגובתי...
וה"רב" שאתה מדבר עליו הוא בעיקר "רבה", הייתי אומרת (ר' ו-ב' סגולים) מאשר רב.
בכל מקרה אם תערוך דילוג אותיות הולם בתגובתי זו, ודאי תראה מנין הקרצתי את הסתייגויותיי דנן!
בעניין החברה ג'יין 456597
דורפל • בתשובה לאליהו גרייצר יום ד', 5/9/2007, 0:17
השיר הזה ממש לא מדבר אליי, ואבא שלי אומר שבחר לקרוא לי ''אלעד'' בעקבותיו. חבל לי שממש לא מקובל אצלנו שאנשים בוחרים בעצמם את שמותיהם, ושאם אתחיל להציג את עצמי בתור ''דורפל'', יחשבו מיד שאני מטורף.
בעניין החברה ג'יין 456600
האייל האלמוני • בתשובה לדורפל יום ד', 5/9/2007, 0:46
והאם אתה מחויב תמיד לפעול על פי המקובלות?
בעניין החברה ג'יין 456713
דורפל • בתשובה להאייל האלמוני יום ד', 5/9/2007, 21:42
לא מחוייב, אבל הרבה פעמים זה חכם.
בעניין החברה ג'יין 456614
האייל האלמוני • בתשובה לדורפל יום ד', 5/9/2007, 8:39
אתה לא צריך לדאוג, חושבים את זה גם ככה.
בעניין החברה ג'יין 458404
אליהו גרייצר • בתשובה לדורפל שבת, 29/9/2007, 20:49
איני מייחס ערך רב (אסתטי או אחר) לכינויו של אדם, ועדיין אלעד נשמע לי שם יפה.
בעניין החברה ג'יין 458417
דורפל • בתשובה לאליהו גרייצר יום א', 30/9/2007, 3:46
אתה לא מייחס ערך לכינוי שאדם בוחר לעצמו?! הם יכולים לגבול באומנות.
בעניין החברה ג'יין 458423
דורון הגלילי • בתשובה לדורפל יום א', 30/9/2007, 14:17
במקרים מסוימים (ויעיד על כך מר גרייצר עצמו) הם אפילו עוברים את הגבול.
בעניין החברה ג'יין 459158
easy • בתשובה לדורפל יום ב', 8/10/2007, 14:37
אשתי בחרה את השם שלה (ברגע שהגיעה לגיל שמבחינה חוקית זה היה מותר לה) ואני מכיר עוד כמה וכמה שעשו זאת - החל בשינויים קלים (קרן -> קארן) וכלה בשינויים מן הקצה אל הקצה (איריס -> אוֹרי).
בעניין החברה ג'יין 459163
האייל האלמוני • בתשובה לeasy יום ב', 8/10/2007, 14:58
אני מכירה גם שינויים ''נורמליים'' כמו מ''יוספה'' ל''רחל'', וכאלה קצת פחות סבירים כמו מ''לאה'' ל''אור נשמה''...
אקראיות 455607
ר.בשה יום ג', 21/8/2007, 21:48
ומה עם האקראיות הקוונטית?
איך התיאוריה שלך יכולה להסביר את האקראיות בטבע אם לפי מה שאתה אומר, היקום הוא אם-כל הדטרמיניזם?
אקראיות 455611
טל כהן • בתשובה לר.בשה יום ג', 21/8/2007, 22:06
אבל אין כל דטרמיניזם ביקום המוצג בכתבה. אם היקום הוא מערכת פורמלית, מכל מצב נתון יכולות להיות כמה גזירות אפשריות.
אקראיות 458405
אליהו גרייצר • בתשובה לטל כהן שבת, 29/9/2007, 20:51
תלוי איך מגדירים דטרמיניסטי.
לפי המתואר במאמר, כל הגזירות מתקיימות.
אקראיות 458413
טל כהן • בתשובה לאליהו גרייצר שבת, 29/9/2007, 22:35
נכון. אבל בהנתן מצב-יקום מסוים, לא תוכל לדעת מה המצב הבא (שהתודעה שלך תהיה בו). זו ההגדרה המקובלת של דטרמיניזם, למיטב ידיעתי.
אקראיות 458911
אליהו גרייצר • בתשובה לטל כהן שבת, 6/10/2007, 10:30
המאמר מציג את היקום כמבנה מתמטי המוגדר היטב, שמתוך כך אין הוא מכיל אקראיות. כל חלק בו קיים באופן מלא ואין בו דבר שהוא בחזקת סיכוי בר-מימוש. בפרט, כל תוצאת מדידה המתיישבת עם משוואות השדה – קיימת בו באופן מלא.

אז אין אקראיות אובייקטיבית, אך ישנה תחושת אקראיות אליה אתה מתייחס. בכך הגישה המוצגת המאמר מזכירה יותר את גישתו של אברט (ראה דיון 1180), מאשר את פרשנות קופנהגן, המכילה אקראיות אובייקטיבית, אך נעדרת תיאור מתמטי שלם.
אקראיות 458913
טל כהן • בתשובה לאליהו גרייצר שבת, 6/10/2007, 11:36
אך מה אם למשוואה יש כמה פתרונות אפשריים? (או, השקול במערכת פורמלית: במצב נתון ישנם כמה כללי גזירה שונים שניתן להפעיל?).

ההשערה (חשש?) שלי: במקרה כזה, כל אחד מהפתרונות מתאר יקום אחר, וכל היקומים תקפים באותה מידה. אם שני היקומים זהים עד לנקודה נתונה ("עכשיו"), אזי אינך יודע באיזה משניהם אתה נמצא, ובפרט אינך יודע באיזה תמצא בעוד רגע, בשלב בו הם אינם זהים עוד.
אקראיות 458986
ערן טרומר • בתשובה לטל כהן יום א', 7/10/2007, 3:28
אני מניח שב-"יקומים" אתה מתכוון למצבים שונים בסופרפוזיציה של מערכת כלשהי, שהרי זה המובן היחיד בו תורת הקוונטים (הקלאסית) מאפשרת "מספר פתרונות". ובכן, חשוב על מערכת קוונטית בעלת שתי תת-מערכות: הניסוי והצופה.

אם הצופה באמת אינו יודע מה תוצאת המדידה, אזי הוא אינו שזור במערכת הניסוי; כלומר, *יש* לצופה (עקרונית) תאור דטרמיניסטי מלא ויחיד של תת-מערכת הניסוי בפרט, והמערכת כולה בכלל, כסופרפוזיציה המשתנה בזמן. (אתה יכול לקרוא לתאור היחיד הזה "שני יקומים זהים", או חמישים וארבעה, אבל זה די טפשי.)

לאחר ביצוע מדידה, הצופה יודע (מהגדרה) את תוצאת הניסוי ולכן שוב יש לו תאור מלא של כל המערכת הנגישה לו.

ה-"מוזרות" של תורת הקוונטים היא בכך שאם הצופה מתעקש למדוד את מערכת הניסוי באופנים מסויימים (ובפרט לבצע מדידה שקבוצת הווקטורים העצמיים שלה אינה מכילה את מצב הניסוי), ואחר כך ממשיך ומתעקש לא לתקן את הנזק (ע"י היפוך המדידה), אזי מצב התודע הסופי שלו (כתת-מערכת מבודדת) לא ניתן לתאור דטרמיניסטי מראש. אבל במה זה שונה מלהגיד שביקום דטרמיניסטי קלאסי, צופה המתעקש לשכוח מידע על הניסוי לא יוכל לחזות את מצבו העתידי?

הכשל העקרוני באנלוגיית המערכת הפורמלית שלך היא שבחירת "כללי הגזירה" בתורת הקוונטים *אינה* שרירותית, אלא כפופה לכללים נוקשים. בפרט, לפי תורת הקוונטים, אם הצופה האידאלי נקלע למצב הסתברותי לא-ניתן-לחיזוי, אז זה באשמתו ומגיע לו.
אקראיות 459091
טל כהן • בתשובה לערן טרומר יום א', 7/10/2007, 21:19
אתה מתעקש לדון במערכות קוונטיות. אפילו אם נקבל שהתיאור הקוונטי הוא התיאור הנכון של היקום שלנו (ואין תת-רכיבים בסיסיים יותר המציגים תמונה אחרת), הרי שהתזה של כותב המאמר היא שיקום = פונקציה (מבנה מתמטי), והשאלה העיקרית שלי לאורך הדיון כולו היא הטענה כי אם תזה זו נכונה, הרי ש*גם ההיפך* נכון: מבנה מתמטי = יקום.

כמובן שלא כל מבנה מתמטי הוא יקום "מעניין". לצורך העניין, יקום "מעניין" הוא יקום שיש בו תודעה (אחת או יותר). אם אתה מאמין שניתן ליצור תודעה עם טכנולוגיית מחשב מהסוג הקיים כיום (מכונת טיורינג), הרי שאפילו מערכת Life מאפשרת קיום יקומים מעניינים - כתלות במצב הפתיחה של המערכת (ה"אקסיומה").

אם הבנתי נכון את "הכשל העקרוני" שלי (פסקה אחרונה בתגובתך), אפשר פשוט לומר שמערכת קוונטית היא דטרמיניסטית. אבל, שוב, אני לא מתעניין רק במערכות קוונטיות. בוא ונחשוב לרגע על שינוי קל במערכת Life, שמאפשר כמה כללי גזירה אפשריים ממצב נתון. למשל, הוסף את הכלל: תא כבוי עם 4 שכנים דלוקים - הופך כבוי או דלוק, כל בחירה לגיטימית. בסימולציית מחשב, היינו משתמשים בבחירה אקראית, ולכן הרצות שונות היו מניבות תוצאות שונות. מי ש"קיים" ביקום כזה, קיים ביקום לא דטרמיניסטי.

לגבי "אתה יכול לקרוא לתאור היחיד הזה 'שני יקומים זהים' [...] אבל זה די טפשי": נחשוב לרגע על "ריצה" נתונה של יקום-Life-לא-דטרמיניסטי כעל מבנה תלת-מימדי סטטי, ונתבונן בשתי ריצות שונות, בעלות רישא זהה. עד לנקודת ה"פיצול", מדובר בשני יקומים זהים; ולצופה מתוך המערכת אין כל דרך לדעת לאיזה יקום הוא שייך.
אקראיות 459096
ערן טרומר • בתשובה לטל כהן יום א', 7/10/2007, 22:14
טענת לגבי תורת הקוונטים ("זה לא שונה מהותית מהיקומים המקבילים המתקבלים בתורת הקוונטים כשיש שתי אפשרויות לקריסה של המערכת, ואולי אין זה אלא פן אחר של אותו רעיון ממש") ועל כך עניתי.

דרך אגב, סימולציית מחשב (פסקה 3 בדבריך) של מערכת קוונטית (שרירותית, במצב טהור) *לא* תשתמש באקראיות.
אקראיות 459135
ראובן (לרגע) • בתשובה לערן טרומר יום ב', 8/10/2007, 12:10
אקראיות 459230
ערן טרומר • בתשובה לראובן (לרגע) יום ב', 8/10/2007, 19:53
להבנתי השיטות האלה אינן כלליות, אלא מתאימות לסוגים מסויימים של מערכות ושאלות מסויימות על מערכות אלו. בכל מקרה, לא דייקתי בדברי: בשלבי ביניים הסימולציה יכולה כמובן להשתמש באקראיות ככל שתחפוץ (ולו בגלל שהיא יכולה פשוט לזרוק את המטבעות לפח לאחר שהטילה אותם), אבל התוצאה הסופית (המלאה והמדוייקת) היא דטרמיניסטית.
אקראיות 459301
ראובן (לרגע) • בתשובה לערן טרומר יום ג', 9/10/2007, 10:22
תלוי למה אתה קורה "דטרמניסטי". אם מקובל עליך שבמקום להגיד על איזה צד המטבע נופל אתה פשוט מוסר את התפלגות ההסתברות, אז כן, התוצאה הסופית היא דטרמניסטית, כמובן. הבעיה היא שהתוצאה של הסימולציה הזאת *אינה* תוצאה של שום ניסוי. אם הצלחת לחשב את פונקצית הגל (באופן דטרמניסטי) אתה עדיין לא יודע מה תמדוד.

אגב, השיטות הללו הם די כלליות. הן שקולות לחישוב אינטגרלי מסלול.
אקראיות 459092
סתם אחד • בתשובה לערן טרומר יום א', 7/10/2007, 21:21
אני כל הזמן תוהה האם הדיון הזה לא הולך בכיוון צר ומוטעה (אדגיש שאני מבין בנושא כמעט כלום...). אם איני טועה כל הדיון תקף אם אנחנו דנים בתכונות הממוצעות של החלקיקים במערכת. אבל הבה נניח שלכל חלקיק תכונות יחודיות (נניח 22 אותיות הא"ב). אזי מספר הצירופים (בהנתן כמה חוקי צירוף וגזירה) הוא אין סופי וכלל לא ניתן, עקרונית, לחשב את המצב הבא של המערכת.
זו כמובן איננה שאלה היפוטטית. הנה ארבעה נוקלאוטידים בסך הכול בונים את כול המורכבות והשונות של עולם החי.
אני כמובן בטוח שהשאלה הזאת כבר נשאלה יותר מפעם אחת על ידי חכמים ונבונים ממני.
אקראיות 458914
אליהו גרייצר • בתשובה לר.בשה שבת, 6/10/2007, 11:39
זה אכן טעון הסבר מפורט יותר. כפי שהזכרתי בתחילת תגובה 455952 יש לי רעיון בעניין זה, אך מאחר והדבר דורש טירחה מסויימת ‏1, אחכה לזמנים פנויים יותר או לביקוש נוסף.

‏1 ניסוח מוקפד של הרעיון והתייעצות עם בעלי השכלה רלוונטית נוספים, בטרם אושם ללעג ולחלם
מסקנה שש 455616
עומר גולדמן יום ג', 21/8/2007, 22:58
נדמה לי שבמסקנה שש עשית טעות לוגית מסויימת. זה שטענה עובדת, לא אומר שהיא עובדת גם הפוך. זה שהיקום כמבנה מתמטי קיים אמנם אומר שהוא עקבי, אבל זה לא אומר שחייב להיות מבנה מתמטי עקבי אותו אנחנו מכנים ''יקום''. (אני יודע שחלק לא יצחקו, אבל ביישוב שלי נוהגים לומר כשמישהו עושה טעות כזו ''זה כמו בדואים וגנבים'', לא בגלל גזענות אלא בגלל בדיחה פנימית.)
מסקנה שש 456448
אליהו גרייצר • בתשובה לעומר גולדמן יום ב', 3/9/2007, 9:43
מוסכם שגרירה אינה יחס סימטרי, ולא על כך מתבססת טענה שש. טענה זו טוענת ליחס שקילות: אין דבר מלבד מבנים מתמטיים, כלומר כל דבר שקיים הוא מבנה כזה (או חלק ממנו), וכן הכיוון השני - כל מבנה מתמטי (זה הנוצר מאקסיומות פאנו, משפטי הגאומטריה האוקלידית, משפטי תורת החבורות) – מתקיים בדיוק באותה המידה בו מתקיים היקום.

הכורח כאן אינו בזאת שניתן היה "לנחש מראש" שיהיה מבנה מתמטי כזה של היקום, משיקול בסיסי יותר, אלא בכך שכמבנה מתמטי, אין קיומו טעון הבשלת תנאים הקודמים לו, "בחירה חופשית" (מה שזה לא יהיה), הגרלה או כל הוצאה אחרת של פוטנציאל מן הכח אל הפועל (למיטב ועניות דעתי), העושה דבר העשוי להתקיים לשאינו מחוייב המציאות. דרך אחרת לנסח זאת מזכירה את (היפוכה של?) אחת הגישות הדואליסטיות בבעיית גוף ונפש: עצם התקיימותו של מבנה מתמטי המכיל יריעת פסאודו-רימנית (ועוד כמה דברים...) מחייבת התקיימות יקום פיסיקלי תואם. אבל זה ניסוח שיכול לבלבל בפרשנות לא נכונה, שכן המחייב והמחוייב כאן - חד הם, אז אולי זה מזכיר יותר מטריאליזם...

בכל אופן, טענת שקילות זו אינה מוכחת במאמר, או ע"י טיעון כלשהו אותו אני מכיר. לדעתי היא בסיסית מכדי שניתן יהיה לבססה על דבר מה פשוט יותר, אך במאמר אני מנסה להסביר מדוע הידוע לנו מצביע לכיוון זה.
מסקנה שש 456459
עומר גולדמן • בתשובה לאליהו גרייצר יום ב', 3/9/2007, 12:56
ועדיין אין זה אומר שהיקום הוא ''מחויב המציאות''.
לדעתי לא הבנת 455743
ישראל סבא יום ה', 23/8/2007, 22:04
הפיזיקה לא גילתה או הרחיבה הוא העמיקה את הקשר בין היקום למתימטיקה

הפיזיקה מניחה כהנחת יסוד! שהעולם ניתן לתיאור במודלים מתימטיים

ומה שהמרצה ניסה להעביר לכם זה שחלקיק אלמנטרי הוא לא משהו "מציאותי" כמו פיל אלא מודל מתימטי מופשט
לדעתי לא הבנת 455759
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לישראל סבא יום ה', 23/8/2007, 23:41
האיסור של פאולי 455831
עומר גולדמן שבת, 25/8/2007, 20:04
סתם כאנקדוטה הייתי מזכיר שיש גם בוזונים שמתנהגים הפוך.
האיסור של פאולי 455832
האייל האלמוני • בתשובה לעומר גולדמן שבת, 25/8/2007, 21:09
ולמה אתה מלשין?
האיסור של פאולי 455839
עומר גולדמן • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 26/8/2007, 0:05
הכי כיף ככה.
תודות 455879
אליהו גרייצר יום ב', 27/8/2007, 0:10
בימים הקרובים אגיב לחלקן של התגובות. בינתיים אסתפק בתודות - למי שהסכימו לקרוא גירסאות מוקדמות של המאמר ועודדוני בהמנעם מביקורת, או השביחוהו בהערותיהם: הוריי, משה, מירב, דוד, אייל וניר, וכן האיילים ראובן, טלי ועוזי.
תודה גם לטל כהן על שעודד אותי לכתוב את המאמר (בתגובה באייל לפני כמה שנים) ותודה נוספת לירדן, על סידרת מאמריו בנושא בעיית המדידה בתורת הקוואנטים, שאומנם עיכבה את המאמר בכמה שנים, אך אילצה אותי לעמת טענות במאמר עם תורת הקוואנטים ובכך לחזק את ביטחוני בהן.

תודה אחרונה לרבים וטובים כדוגמת שוטה הכפר הגלובלי, שנמנעו מלהפריע לכתיבה, אולי מאחר ולא היו מודעים לכל העניין (הסבר בתגובה 133817).
כמה הערות 455894
אלון עמית יום ב', 27/8/2007, 11:11
תודה על מאמר מעורר-מחשבה. נדמה לי שאני מסכים בערך עם מחצית מהתיזה, או (מה שאולי סביר יותר) שאיני מבין אותה.

1. "אם הבנה היא יכולת תמצות העומדת במבחן הניבוי, אזי מבין כל הדרכים בהן ניסו לרדת לחקרו של היקום, רק תפיסתו כאוסף תבניות מתמטיות הובילה לבסוף לְהבנה שלו." - עם זה אני מסכים, נדמה לי. ההנחה (מה שאחרי ה"אם" ולפני הפסיק) נראית לי רחוקה מלהיות מובנת מאליה, ואני מוכן להמר שאחרים פה (יהונתן, ברקת(?) ובטח עוד הרבה אחרים) לא מקבלים אותה כלל. לי, עם זאת, היא נראית סבירה.

4. "ככל הידוע לנו, היקום הוא מבנה, הנוצר מפתרונותיה של מערכת עקבית של אילוצים מתמטיים." - נראה לי פשוט יותר לומר, "היקום הוא מבנה מתמטי". השימוש בפועל "נוצר" כאן הוא בעייתי - גם לא ברור, וגם (בפרשנויות מסויימות) לא נכון.

התואר "עקבית" אף הוא מבלבל קצת. בכמה תגובות שלו זיהה טל (כנראה לצורך הדוגמה בלבד) את תהליך הגזירה של פסוקים במערכת לוגית עם ההתפתחות של מערכת פיזיקלית בציר הזמן. אני לא חושב שזו כוונתך, וזו ודאי לא הדרך בה אני מבין את העולם; נראה שהתכוונת לומר שהתכונות המתמטיות של אותו מבנה שהוא היקום אינן מוליכות לסתירה, שאילו היו, לא היה להן מודל ולנו לא היה יקום לדור בו ולתהות על קנקנו.

6.א. "מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי". זה שוב שימוש לא זהיר קצת במילה "עקבי". חבורה בת 6 איברים קיימת (כמבנה מתמטי), ומכאן שמערכת האקסיומות של תורת החבורות - לא החבורה עצמה - היא עקבית. לא הייתי מנטפק בנקודה הזו אבל בעקבות דברים אחרים שכתבת אני חושד בעצמי שאני לא מבין למה אתה מתכוון. נראה שאתה מזהה את "המבנה המתמטי" עם "מארג משפטים", וזה זיהוי לגמרי לא סביר בעיני. נדמה לי שאפילו אורי גוראל-גורביץ' ועוזי ו. לא יאמרו שאקסיומות פאנו *יוצרות* את המספרים הטבעיים; למה דווקא הן, אקסיומות חלשות שכמותן?

6.ב. "מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח" - אם כן, כך הוא גם לגבי כל מבנה מתמטי אחר, ומאי נפקא מינה? זה הופך את תכונת ה"קיום" לטאוטולוגית. לא הצלחתי להבין אם התיזה היא שרק יקומנו-שלנו הוא אפשרי. למשל:

"שיקול זה [עצמאותם של חוקי הטבע מן האופנים השונים בהם ניתן לתארם] פוסל כמעט כל אילוץ מתמטי שניתן להעלות על הדעת, מלתאר חוק טבע; זאת, עוד בטרם ניסיון או תצפית."

אני דווקא יכול להעלות על דעתי על הרבה אילוצים מתמטיים העונים על התנאי הזה, ובלי שהייתי עורך כל ניסיון או תצפית אינני יודע איך הייתי מברר אם יקומנו הוא המשחק Life, המבנה http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group או שדה המספרים המרוכבים.

ככלל, נראה לי שהניסיון לזהות את החקירה של מבנים מתמטיים עם השיטה האקסיומטית מוליך כאן לצרות. איני משוכנע כלל שיש סיבה כלשהי לעשות זאת בחובשנו את כובע הפיסיקאי. מדוע נדרשת "מערכת אקסיומות כלשהי, ממנה מתקבל אוסף של משוואות, שפתרונותיו הם היקום"? מדוע לא יהיה הוא פשוט *הפתרון*, או אחד הפתרונות, של אותן משוואות? הלא כל מבנה מתמטי מעניין ניתן לחקירה ע"י אינספור מערכות שונות של אקסיומות, הדנות בו במידה כזו או אחרת של הצלחה; לא צריך להיות פלטוניסט גדול כדי להסכים שלוח Life בגודל NxN "קיים" עבור N=10^10,000, ושקיומו או תכונותיו אינם תלויים במערכת אקסיומות כלשהי. מדובר באובייקט פשוט הרבה יותר מאקסיומות פאנו (מספרן של הללו אינסופי!).

אם מנערים את ההתייחסות ל"אקסיומות" מן המאמר, נדמה לי שמתקבלת תיזה נקייה (ומשכנעת) יותר: היקום הוא מבנה מתמטי. יתרה מזו, דומה שהוא מבנה מתמטי נאה למדי: המרחב-זמן הוא יריעה חלקה עם מטריקה פשוטה למדי והחלקיקים האלמנטריים הם הצגות אי-פריקות של חבורת הסימטריה של היריעה הזו. אפשר לדמיין יקומים (מבנים מתמטיים) פשוטים מזה, אבל קל בהרבה לדמיין מבנים מסובכים ושרירותיים עוד יותר.

אגב, לא במקרה הזכרתי את הלוח של Life: אני משוכנע שזהו היקום האמיתי, ובתוכו חיות ישויות אינטליגנטיות אך משועממות קצת הבונות יקומים מלאכותיים מסומלצים על מחשבים מסובכים, ואחד היקומים הללו הוא יקום פשוט וניוטוני לגמרי שגם בתוכו חיות ישויות אינטליגנטיות והן אפילו יותר משועממות, והן בונות יקומים מלאכותיים משלהן עם פיסיקה קצת יותר מרגשת מזו שסביבן, ואנחנו תקועים באחד היקומים הללו. ליקום העליון יש, כמובן, יוצר, והוא עובד היום בפרינסטון. (אז מה אם הזמן הוא חלק מהתיאור הנוכחי של היקום שסביבנו? זה לא "פוסל כל אפשרות" לקיומו של יוצר. גם זו נקודה שמפריעה לי במאמר. למזלי, היוצר האמיתי לא מתעקש שילדיי יתנזרו מאכילת חסילונים - הם מתים על זה).
כמה הערות 458403
אליהו גרייצר • בתשובה לאלון עמית שבת, 29/9/2007, 20:48
ראשית, אני מתנצל על העיכוב שמקורו קשיי התנסחות + ענייני פרנסה ‏1.

מחצית מן התיזה? בוא נראה.
הבנה: נראה שאנו מסכימים על הגדרת הבנה כ"יכולת תמצות העומדת במבחן הניבוי".

יצירה: אם לא הדגשתי נקודה זו במידה מספקת אז אעשה זאת כאן: "יצירה" במובן הכרונולוגי (create) אינה אפשרית עבור מבנה מתמטי – שהינו "יש" שאינו תלוי בזמן. השימוש במילה זו במאמר ובתגובותיי הוא בהוראתו המתמטית – "generate", כבמקרה של חבורה ויוצריה. (תחליפים אפשריים למילה "ליצור" בהוראה זו הם "לעמוד בבסיס”, "לגזור”, "לגרור").

אקסיומות: זה מביא אותי לעניין יוצריו של מבנה מתמטי, מערכת האקסיומות – הקומץ המתמטי העוצר בחובו את המבנה כולו. איני מרגיש שאני שולט במידה מספקת, או כלשהי, ביסודות המתמטיקה, כך שייתכן שחלק מן הכתוב להלן טעון ליטוש, מחיקה ואולי אף תשלום פיצויים.

עיקר הטענה במאמר לגבי מהות היקום היא אכן, כפי שאתה מציין, שהוא מבנה מתמטי, שתכונותיו אינן מוליכות (לוגית, לא כרונולוגית!) לסתירה. מה לכך ולאקסיומות? הרי האקסיומות אינן "גורמות" למבנה להתקיים ובד"כ אף ישנן מערכות אלטרנטיביות רבות של אקסיומות, היוצרות/עומדות בבסיס/גוזרות מבנה מתמטי נתון.

במקרה הגרוע, כמעט כל פרט במבנה נגזר מאקסיומה נפרדת. אני לא יודע אם זו דוגמא טובה לכך, אך מה שעולה על דעתי בהקשר זה הוא גרף (במובן של מדעי-המחשב) בו שכניו של כל קודקוד נקבעים ע"י אקסיומה נפרדת. אלא שלא במבנים כאלו עוסקים פיסיקאים (ומתמטיקאים?). למה? אין תקציב, אז מתרכזים במה שבהשקעה קטנה יחסית נותן תמורה גדולה: מבנים הכפופים לסדירות כלשהי.

סדירות: שלא כבדוגמא הקודמת, מבנה מתמטי שכמות/מידת מרכיביו עולה בהרבה על כמות היסודות המינימלית ממנה הוא נגזר, מחיייב מידה של קשר חוזר בין מרכיביו – איזושהי הומוגניות. למשל, ללא חזרה על אותו סוג של חלקיק, לא תתקיים כימיה הדירה, וכמובן גם לא ביולוגיה (אני לא בטוח לגבי ספרות).

כך שלמרות שכל מבנה מתמטי קיים בדיוק באותה מידה בה קיים יקומנו, בחובשי את כובע הפיסיקאי, ענייני ביקומים מוגבל למבנים מתמטיים אותם ניתן לגזור מאוספים מצומצמים של אקסיומות – קודם כל עקב הצורך בסדירות.

אילוצים: אך לא רק אקסיומות נדרשות ליקומנו וליקומים מסוגו, וכאן אני כבר מתייחס לתורת הקוואנטים (אגב, לא נראה לי שיקום ניוטוני מוגדר באופן מלא, גם אם נתעלם מתופעות קוואנטיות ויחסותיות שלא נודעו אז). האקסיומות גוררות מיצוע היוצר אילוצים - התייחסתי לכך בסעיף "עקביות" במאמר וכן בתגובה 455952 לטל. דוגמאות לאילוצים כאלו הינן מש' שדה/מסלול/תנועה כמש' דיראק ומש' איינשטיין.

"מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי": אני מקבל כאן את הערתך במידת מה. הכוונה היא כמובן לכך שמדובר במבנה הנגזר ממערכת עקבית של אקסיומות. היה חשוב לי לסייג באופן כלשהו את המושג "מבנה” מן הסיבה המובאת בפסקה השניה בתגובה 455952 , כדי שלא כל רעיון פסודו-מתמטי וקוואזי-פיסיקלי העולה על דעת הקורא ידומה כמבנה בר-קיימא. המבנה נדרש להיות מוגדר באופן מלא ונטול סתירות, ולא כל מה שעולה על הדעת הוא כזה. למטרה זו הוספה המילה עקבי, כדי לציין שמבנה כזה עדיין צריך לענות על דרישות מסויימות, גם אם עבור מי שהמתמטיקה שגורה על נוירוניו מובנת דרישה זו מאליה.

פאנו: ישנן כמובן מערכות אקסיומות נוספות, חזקות יותר, הנותנות גם הן את הטבעיים. הזכרתי מערכת זו רק כדוגמא.

לא הבנתי מה הבעייה עם זיהוי מארג המשפטים כמבנה. לדוגמא, האין המספר 1 הוא משפט המתקבל מאקסיומות פאנו, והמספר 2 גם הוא משפט, המתקבל ממנו?

בעניין החבורה בעלת ששת האיברים: האין די בקיום לוח הכפל המלא שבין אבריה כדי שהיא תחשב למבנה מתמטי המוגדר היטב?

"מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח": אני מקווה שהסברתי מדוע בחרתי בניסוח זה בתגובה 456448 .

בעניין life, איני סבור שניתן *לבנות* יקום. ניתן ליצור חיים (אני עצמי כבר נתקלתי בכמה מקרים...), במסגרת יקומנו, אך לא ליצור יקום. איני מכיר את life, אך כדי שזה יהווה יקום נדרש ממנו להיות מבנה מתמטי מפורט, העומד בפני עצמו (למשל ללא תלות בזמן חיצוני) ומכיל כל אחד מפרטי המשחק.

‏1 כפיצוי על ההמתנה, הנה שני משחקים לשיחות טלפון ארוכות: http://www.wiiplayable.com/playgame.php?gameid=208
וכן זה:http://www.biomotionlab.ca/Demos/BMLwalker.html
אה, כמעט שכחתי: אם עוד לא ראית את miss teen של אמריקה, שבקלות מתחרה בקריסטין שלנו (http://www.youtube.com/watch?v=o1nFSF-sUaE): http://www.youtube.com/watch?v=aR75L08SBHo&NR=1 .
כמה הערות 458900
אלון עמית • בתשובה לאליהו גרייצר שבת, 6/10/2007, 8:34
אני עדיין מתקשה להבין מדוע אתה נזקק בכלל לאקסיומות. הבאת "גרף" כדוגמה למבנה מתמטי "לא סדיר" אשר, על-מנת לתארו, צריכים המון אקסיומות שרירותיות. אבל כך הוא עם כל מבנה מתמטי. אני חושב שאתה מתבלבל בין האקסיומות של ה*תורה* (תורת הגרפים, תורת החבורות), שהן בד"כ מעטות ונאות אבל מאפשרות המוני מבנים שונים, לבין מקרה פרטי או מודל של התורה (גרף מסויים, חבורה מסויימת) שכדאי לתאר *אותו*, ספציפית, צריך שפע אקסיומות שרירותיות למדי (אם אפשר בכלל לעשות זאת; ברוב התורות הלוגיות השימושיות, מובטח לך שלא ניתן בכלל להצביע אקסיומטית על מודל אחד ויחיד).

האם, להשקפתך, היקום הוא משהו כמו חבורה מתמטית מסויימת, או כמו "תורת החבורות" הדנה בתכונות המשותפות לכל החבורות, תכונות הנובעות לוגית מן האקסיומות של תורת החבורות? אם זה הראשון - וכך נדמה לי - אין זה צפוי כלל וכלל שניתן יהיה לגזור את כל תכונותיו של יקומנו שלנו מאוסף קטן יחסית של אקסיומות.

כמה עניינים ספציפיים:

"האין המספר 1 הוא משפט המתקבל מאקסיומות פאנו, והמספר 2 גם הוא משפט, המתקבל ממנו?" - לא בשום מובן שאני מכיר. המספר "1" איננו משפט, והוא ודאי לא "מתקבל" מאקסיומות פאנו.

"האין די בקיום לוח הכפל המלא שבין אבריה (של חבורה בת 6 איברים) כדי שהיא תחשב למבנה מתמטי המוגדר היטב?" - אני מניח שכן, אבל זה לא מניח את דעתי: התואר "עקבי" מתאים למערכות אקסיומטיות, לא למבנים ספציפיים. אפשר לחקור בשמחה את תכונותיה של חבורת התמורות על 3 עצמים בלי אקסיומות ובלי ששום דבר יהיה עקבי. הנה החבורה, הנה איבריה, הרי לך "יקום". למה צריך אקסיומות?

אני מדגיש, שוב: החבורה הזו - וכל חבורה אחרת - אינה "נוצרת" מהאקסיומות של תורת החבורות בשום מובן, סטטי או דינמי, שאני יכול לחשוב עליו. בשל כך אני מתקשה להבין גם את הסברך בתגובה 456448. אמור פשוט: כל מבנה מתמטי - קיים, וכל מה שקיים - מבנה מתמטי. מבנה מתמטי אינו נצרך לאקסיומות; הוא פשוט (בד"כ) אוסף מסויים של אובייקטים בעלי תכונות חד-משמעיות מסויימות.

"איני מכיר את life, אך כדי שזה יהווה יקום נדרש ממנו להיות מבנה מתמטי מפורט, העומד בפני עצמו (למשל ללא תלות בזמן חיצוני) ומכיל כל אחד מפרטי המשחק."

"אך לא רק אקסיומות נדרשות ליקומנו וליקומים מסוגו" - אה. אז מה עוד? יש מבנים מתמטיים המקובלים עליך כיקומים פוטנציאליים, וכאלה שלא?

המשחק http://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life גם הוא מסגרת היוצרת מודלים רבים, שונים ומשונים. כולם מבנים מתמטיים עקביים ש"אינם תלויים בזמן חיצוני" (נח להסתכל עליהם כמתקדמים בזמן, כמו על עולמנו, אך אין בזה כל הכרח מתמטי; אפשר לחשוב על כל לוח לייף כמערך תלת-ממדי קפוא בזמן). לשיטתך - כפי שאני מבין אותה עכשיו - כל המבנים הללו קיימים ב"אותה המידה" בה יקומנו שלנו קיים, וכמוהם כל המשחקים הדומים להם שהומצאו או לא הומצאו. טוב ויפה - זה יוצר גודש אונטולוגי מפחיד למדי, אבל לי אישית זה לא מפריע.
כמה הערות 462027
אליהו גרייצר • בתשובה לאלון עמית שבת, 3/11/2007, 23:28
לאחר שביזבזתי סופ"ש שלם על סידור המרתף ‏1, אני יכול עתה להגיב בניחותא. בקצרה: נדמה לי שאנו מסכימים על העיקר אך בכמה פרטים יש ביננו אי-הבנה שאיני מצליח לפוגג, שלא לדבר על האפשרות הבלתי סבירה שאני טועה (:

אכן איני רואה הבדל בין תורה מתמטית לבין כזו המתקבלת מתורה מתמטית ע"י הוספת אקסיומות ("מקרה פרטי").
האם לא ניתן לקחת כל מערכת אקסיומות ולראותה כמודל של כל מערכת המוכלת בה ממש? אם כן, מהי ההפרדה הזו לתורה ולמודל?

לגבי גודלה/עוצמתה של מערכת האקסיומות המינימלית (או החסם התחתון לה, או מה שלא יהיה) העומדת בבסיס יקומנו – איני יודע.

לגבי המספר אחד: שתי אקסיומות פאנו הראשונות הן ‏2:
• קיים מספר טבעי 0.
• לכל מספר טבעי a קיים עוקב.
משפט: קיים עוקב למספר אפס (יש הקוראים לו "אחד" – למשל אני). לזאת התכוונתי ב"המספר 1 הוא משפט המתקבל מאקסיומות פאנו".

בעניין האקסיומות ותפקידן – אני מסכים עם עיקר דבריך – אלא שאין הם מנוגדים לדבריי, לפחות במובן לו התכוונתי בתגובות קודמות. בכל אופן, אם אנו מסכימים על: "כל מבנה מתמטי - קיים, וכל מה שקיים - מבנה מתמטי" – דיינו, שכן זהו העיקר ‏3.

בעניין משחק החיים: לאחר קריאת הערך בויקיפדיה אליו הפנית, נראה שלבד מהיות מגניב באופן מיוחד, הוא אכן "מבנה מתמטי מפורט, העומד בפני עצמו (למשל ללא תלות בזמן חיצוני) ומכיל כל אחד מפרטי המשחק."

לגבי "אך לא רק אקסיומות נדרשות ליקומנו וליקומים מסוגו" – ייתכן מאוד שהניסוח כאן לוקה, אך הכוונה היתה שגם אם כל מערכת עקבית של אקסיומות יוצרת מבנה בר-קיימא, רק מערכות בעלות מאפיינים מסויימים יוצרות יקומים הדומים לזה שלנו מבחינות פיסיקליות. אמירה מהפכנית לכל הדעות (:

אסיים בקישורים שסל המיחזור לי גדוש מהכיל ולכן אני מעדיף להשליך אותם כאן (אל דאגה, מחר תפנה אותם המשאית של העיריה):
ציפ-ציפ: http://birdloversonly.blogspot.com/2007/09/may-i-hav...
מיאו: http://www.youtube.com/watch?v=3S4hNMqDhoo
בלופ (נדמה לי שככה עושה תא, בכל אופן סרט שווה, אך לוקח זמן רב לטעון אותו): http://www.studiodaily.com/main/technique/tprojects/...
בום (גם כן ארוך וגם כן שווה): http://www.youtube.com/watch?v=1uwOL4rB-go

‏2 מספר טבעי [ויקיפדיה]

‏3 אם נניח לרגע בצד את עשיית הטוב
תחזוקת קישורים 462151
אליהו גרייצר • בתשובה לאליהו גרייצר יום א', 4/11/2007, 23:41
כנראה שכדי לראות את המרתף שלי (‏1) צריך לפעמים לגשת ל
http://www.business.study.ru/forum/viewtopic.php?t=1... וללחוץ על הקישור בהודעה הראשונה שם.
תחזוקת קישורים 462178
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאליהו גרייצר יום ב', 5/11/2007, 10:07
אהה. באמת הרגשתי שנעלם לי קצת כסף מהארנק.
תחזוקת קישורים 462243
דורפל • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ב', 5/11/2007, 21:54
במשקל הקל לאחרונה של הארנק שלך גם אני הרגשתי, אבל התביישתי להעיר.
תחזוקת קישורים 462395
אליהו גרייצר • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ג', 6/11/2007, 23:23
אני באמת מצטער לשמוע את זה, מאחר וכשלעצמי אני שומר חוק, אלא שכמה מאנשיי אינם כאלה. בוודאי תתנחם מכך שרוב הסכום הולך לצדקה: עבור כל טון נייר המגיע ל"אמניר", אנו מקבלים 130$, שמתוכם 90$ הולכים להצלת יערות הגשם ולהכנסת כלה (השאר מתחלק באופן שווה בין אלכוהול, נערות ליווי והימורים).
תחזוקת קישורים 462406
האייל האלמוני • בתשובה לאליהו גרייצר יום ד', 7/11/2007, 0:27
לאור המופיע בסוגריים, אני תוהה לאן אתם מכניסים את הכלה.
הסבר ליקום, או תיאורו? 456900
יניב שבת, 8/9/2007, 10:47
אם לסכם, במילים של לא-פיסיקאי, את דבריך, הרי שאתה אומר:
המתמטיקה מצאה דרך לתאר את היקום שאנחנו חווים, ועד כה תיאורה ההולך ומתחדד תוך מהפכות, הוא רלוונטי לתצפיותנו, שאף הן משפיעות על העולם הפיסי בדרך לא מובנת.
מכאן אתה מסיק על הכרחיותו של העולם, אי-היווצרותו וכו'.

אבל אתה, בשיעור פיסיקה הראשון, ביקשת לדעת משהו על טיבו של היקום.
ניקח לדוגמא אדם, שבחינה מדוקדקת של פעולתיו מצביע על דפוסים מסויימים, קבועים (או תמיד נח בשבת, הוא קורא באייל הקורא...). האם לאחר שנים של תצפיות אנו יודעים על "טיבו", על מהותו, בגלל היכולת לתאר ואף לצפות קדימה את צעדיו?

אני באמת שאינני יודע. זו הזדמנות להפנות אל ספרו של זבגנייב הרברט, "אפוקריפיים הולנדיים", שבתוכו סיפורון יפיפה, "המכתב", שמפגיש בין לוונהוק המדען לצייר ששמו חמק מזכרוני (הספר עצמו זעיר ואבד לי).
הרברט עוסק שם בדיוק בשאלת היכולת של המדען לתאר ולהבין את העולם. אם יצא לך לקרוא, ספר לי מה דעתך.
שבת שלום ותודה על המאמרים, יניב
הסבר ליקום, או תיאורו? 458406
אליהו גרייצר • בתשובה ליניב שבת, 29/9/2007, 20:57
מהפכות: אם אתה רומז לרעיונותיו של קון, לא התייחסתי אליהם (עד כה) במאמר ובתגובות.
תצפיות: כנ"ל לגבי המדידה הקוואנטית, אם זו כוונתך, אך אני טוען לקיומה של מציאות אובייקטיבית, ולא כזו התלויה בצופה.
ניסיתי להסביר את עניין הכרחיותו של העולם בתגובה 456448 .
בעניין האדם המתוצפת – מלבד את תחושותיו ומחשבותיו, אליהם, כאמור במאמר אין אני מתייחס, מה הוא אדם מלבד מעשיו, אותם אנו מכירים וצופים מראש לפרטיהם?
איני מכיר את הספר הזעיר, אך אולי כדאי לך לבדוק בשקית שואב האבק, אולי הוא שוכן שם לצד התוכי (:
הסבר ליקום, או תיאורו? 458582
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאליהו גרייצר יום ג', 2/10/2007, 11:10
הולי שיט. מצאתי את החתול שלי!
אני מניח שזה מקום טוב להפקיד את הבדיחה הקוואנטית הזו 488683
ארז ליבנה • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ד', 27/8/2008, 16:12
"What have you done to the cat, Erwin? He looks half dead!"

- Mrs. Schrödinger.
מאמר מעניין 457333
רכ יום ד', 12/9/2007, 16:44
ראשית הרשה לי להחמיא לך על תמצות נהיר של התפתחות הפיסיקה המודרנית.
ניסיתי לעקוב גם אחר חלק מן התגובות ואודה כי רבות מהן חלפו מעל ראשי וחלקן נראו לי קצת נסחפות הצידה מן התיזה של המאמר.
לגבי מסקנות המאמר נראה לי שבראשונות יש מן הטאטולוגיה ואילו האחרונות (היוצר, אלוהים וכו) פשוט לא מתחייבות מן הכתוב. אני סבור שגם פיינמן לא היה מסכים איתך (אם הבנתי אותו נכוחה בתאורו את הקשר בין המתמטיקה למציאות בתאור האלקטרון באחד מספריו איני זוכר את שמו , אך namedropping נראה לי נחמד).
לגבי מחויבות הייקום למתמטיקה ולכן הכתרתה כמלכה הבלעדית של העולם הרי הדבר מעליב את שני הצדדים,חלקים נרחבים מן המתמטיקה אינם משמשים כיום לתאור פיסיקלי ולמרות זאת לא הייתי פוסלם לעומת זאת גם אם ההסקה המתמטית תחייב קיומו של ספסל באורך שלושה מטר בחצר העיר הרי אם אינו שם ילכו הפיסיקאים אחר כבור לחפש "מתמטיקה" אחרת ועד שימצאו יגידו כי למרות עיקביות המבנה המתמטי הנוכחי אין הוא מחייב את המציאות (ולמעשה המציאות היא שמחייבת החלפתו) כך שבוודאי אין כורח בעולם בגלל עיקביות מבנה מתמטי כלשהו. ואם היקום "יחליט" מחר בבוקר לשנות דרכיו? (כלומר יחליט שדי לו בעקביות ואינדוקציה ושכל החוקים שהיו תקפים עד כה מתחלפים) מה לנו למנוע זאת?
להבנתי כבר שנים ארוכות מאד מניחים כי העולם מתואר על ידי מתמטיקה עיקבית, שאם לא כן בעיני הפיסיקאים היה קצת משעמם כלומר שום ניבוי לא יכל להיות מחושב ללא עיקביותה, אבל הניבוי המתמטי כפוף לאישור הניסויי ולא להיפך. וכמו שמרצה לפיסיקה ששמעתי אמר על תורת המיתרים: בשלב כלשהי היא תצטרך להתמך בניסוי או להפוך לענף במתמטיקה.
476269
יום ו', 18/4/2008, 16:47
אני מוכרח לציין שמעט קשה לי להבין על אילו שאלות המאמר מנסה לענות, ואילו תשובות (אם בכלל) הוא באמת מספק. מסקנותיך מתיימרות לספק פתרון טאוטולוגי ("קיומו הוא כורח") משיקולים אמפיריים, והדבר נראה מעט מוזר.

התייחסות קצרה למסקנות:

1 "אם הבנה היא יכולת תמצות העומדת במבחן הניבוי, אזי מבין כל הדרכים בהן ניסו לרדת לחקרו של היקום, רק תפיסתו כאוסף תבניות מתמטיות הובילה לבסוף לְהבנה שלו." - הטענה יוצרת רושם מסוים של טאוטולוגיה. האם ניתן "לתמצת" משהו באופן העומד במבחן הניבוי, והלמנע מלקרוא לאותו תמצות "מתמטיקה"?
6 "מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי; מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח." לא ברור לי הקשר שבין קיום "מבנה מתמטי עקבי", או "מערכת אקסיומות עקבית" לבין קיום מציאות המבוססת על מבנים אלו. לא ברור לי כלל מדוע קיומו של היקום מובטח. כיצד קיום אפלטוני של מבנים מתמטיים גורר מימוש של אותם מבנים לכדי יקום? שאלות הנשאלו אודות היקום צריכות להשאל כעט אודות אותן אקסיומות העומדות - לכאורה - בבסיסו. המילה "יקום" הוחלפה ב"אקסיומות", והבעיה נותרה כשהייתה.
תודות וקושיות 488682
ארז ליבנה יום ד', 27/8/2008, 15:57
אזהרה לאיילות הרות ואיילים חלשי לב ‏1, התגובה ארוכה : )

תודה על המאמר אליהו‏2, מצאתי בו גם עניין מגרה מחשבה וגם קטעי יופי השווים ציטוט ‏3.
נהנתי מהסקירה ההיסטורית של התקדמות הפיסיקה המודרנית ומהתיאור הבהיר של העקרונות שעלו מהתקדמות זו כמו: איחוד של ישויות פיסיקליות, השילוש הקדוש של ספק-ניסוי-מתמטיקה, זניחת האתר ויצירי אינטואיציה אחרים, ניבוי בוזונים והמציאות בכלל מן התיאוריה.

אחרי גוף המאמר הקולח הגיע סופו של המאמר (ואני מניח שעיקרו) במפתיע, כתמצות מתמטי ממוספר.
יתכן שהיה על גוף המאמר להביאני להלך הרוח המתאים להבנת המסקנות, אולם עליי להודות בבושת מה מעל אתר זה שאינו מניח לזמן להעלים מילים בורות שנכתבו בו, שהמעבר מהמבוא למוגמר היה מהיר מדי ולא טריוויאלי עבורי. צלחתי את הדיון המלומד והאיילי להפליא שנולד במתחת למאמר. רובו לא יועד לפשוטי עם שכמותי ובכל זאת אימצתי את נוירוניי בנסיון להבינם.

ממה שהבנתי טענת כי,
- המתמטיקה אינה ייצוג של המציאות כי אם המציאות עצמה ושהיקום בו אנו חיים הוא מבנה מתמטי.
- שהמציאות-המתמטית הזו היא מוחלטת ולא תלויה בנו, יציריה.

שאלות על המסקנות:
מסקנה 4:
"ככל הידוע לנו, היקום הוא מבנה, הנוצר מפתרונותיה של מערכת עקבית של אילוצים מתמטיים."
האם היקום הוא המערכת המתמטית המדוברת והמציאות במקום ספציפי בה (למשל בחדר שלי) הוא פתרון אפשרי אחד? או שמה כפי שעלה שוב ושוב בדיון, פתרון אפשרי אחד של המערכת הוא היקום שלמדנו להכיר ולאהוב וישנם פתרונות אחרים של אותה המערכת שיתנו יקומים אלטרנטיביים?

מסקנה 6:
(המסקנה הבעייתית ביותר אם לשפוט מכמות ההתייחסיות אליה, וגם העיקרית למאמר אם לשפוט מכותרתו)
"מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי; מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח."
"מאחר שהיקום קיים" – על פי איזו אמת מידה? החושים שלנו? אותם חושים שאינם רלוונטים היות ומדובר על אמת אבסולוטית?
"חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי" – למה זה נובע מהקיום? למה הוא מבנה מתמטי עקבי? האם מפני שהפיסיקה המודרנית מוצאת דמיון/זהות בין הממצאים בשטח לנוסחא המתמטית?
" מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח" - חסרה לי השפה בכדי להבין את הטיעון. מה פירוש "קיומו הוא כורח"? מה זה כורח? מה זה קיום? משעות המשפט חמקה ממני.. וחבל, זה כנראה המשפט אליו כיוונת את המאמר כולו.

מסקנה 8א':
" ראשית, בהיותו אוסף עקבי של יחסים מתמטיים, קיומו, הנמצא מעל הזמן והמקום, מובטח, כך שכינונו כלל אינו נדרש"
מדוע אם היקום הוא אוסף של יחסים מתמטיים הנמצא מעל הזמן והמקום, אז כינונו אינו נדרש?
איך הגעת מראשית המשפט לסופו?
היחס בין היקפו של כל מעגל ביקום שלנו לקוטרו הוא פאי. למה כינונו של יחס זה לא נדרש? מי או מה קבע שיהיה זה 3.14 ולא 5? האם אין אנו מחוייבים למכנן מעצם היות כל מתמטיקה מבוססת על אקסיומות שרירותיות?

מסקנה 8ב':
"שנית, יצירה מכילה מוקדם ומאוחר: היא מחייבת זמן בו קיים היוצר אך לא הנוצר – הסיבה, טרם תוצאתה. ולפי שהזמן הוא חלק מן היקום, אזי לשם יצירתו, ביחד עם היקום, נדרש זמן מסוג נוסף, כזה המכיל נקודות בהן עדיין אין ליקום קיום."
כיוון שציינת שזמן הוא חלק ממארג היקום ולהבנתי המוגבלת, כיווניותו של הזמן כעבר-הווה-עתיד הינה מגבלה אנושית ולא דרישה של הפיסיקה (וכי מלבד גדילת האנתרופיה אין לנו מדד לכיוון זה) כנראה שהזמן כולו כבר קיים, כל שהיה וכל שיהיה. אם יש יוצר, הרי שהוא מנותק מה"זמן" שלנו. כל זה טוב ויפה. האם רק על סמך זה שאין לך (וכנראה לא לאיש אחר) מידע מדעי על מימד מטאפיסי כזה ממנו ניתן לברוא את היקום/מערכת-מתמטית, אתה קובע שהוא לא יתכן? האם בכלל יתכן מידע מדעי על מה שמחוץ לגבולות היקום?

שאלות על המאמר:
1. אם אמנם היקום נכתב באותיות המתמטיקה, מה ידוע לנו על מתמטיקה זו? הרי יש אינסוף מתמטיקות כמספר צירופי האקסיומות (והיפוכן). הבנתי למשל שעבור תורת היחסות יש צורך בגיאומטריה לא-אוקלידית. מכניקת הקוונטית (ו/או תורת השדות) דורשות ללא ספק גם הן אקסיומות מסויימות.
- על כמה אקסיומות (כולל הגדרת ישויות אבסטרקטיות כמו קו או חבורה) אנו מבססים את הבנת היקום שלנו?
- האם כל האקסיומות בהסכמה זו עם זו (או שישנם מקרים בהם אנו מניחים הן את הדבר והן את היפוכו כאקסיומות)

2. אם המערכת המתמטית עליה אתה מדברת מאפשרת את קיומם של יקומים רבים ואלטרנטיווים, ואם נתייחס לרעיון הסופרפוזיציה שנובע ממכניקת הקוונטים, אשר התבוננות הנסיין בה גורמת לקריסת פונקציית הגל של המציאות, האין זה אפשרי לומר שכל היקומים האפשריים קיימים בסופרפוזיציה? אם כך, האין זאת יתכן שיקומים המאפשרים תבונה כמו היקום שלנו, מאפשרים מעצם פתרונם (אנחנו, הצופים) את הקריסה שלהם לכדי ממשות? או בדרך פחות נפתלת, האם כל היקומים קיימים בסופרפוזיציה, אך רק אלו הנדירים המקיימים תבונה מתגשמים?

3. לאור התזה שהעלת, איזה מקום אתה מייחס לניסויים מחשבתיים (יחסות פרטית), היקשים לוגיים (קיום האטום עפ"י דמוקריטוס), פילוסופיה קיומית ומטאפיסיקה? האם הם בזבוז זמן בהיותם לא מתמטיים או בכל זאת בעלי ערך?

4. ושאלה (כנראה) קלה יותר לקינוח, כתבת: " אנומליה זו [חוק האיסור של פאולי] היא גם האחראית לכך שעצמים מוצקים נוהגים לכבד זה את גבולותיו של זה. למשל, עט המונח על שולחן, יישאר בדרך כלל על פניו, ולא יפלחו תוך "כניעה" למשיכת כדה"א ".
תוכל להסביר בבקשה איך ?

ושוב, תודה רבה וכן ירבו המאמרים!

‏1 חולשת הלב מתייחסת לאיילים ואיילות כאחד.
‏2 אפופידס?
‏3 למשל:
"טענות ביחס לטבע נדרשו עתה לעמוד במבחן מתמיד וגָלוי של יכולתן לנבא, ולא היה עוד די באמונה בנכונותן, עיקשת ותמה ככל שתהיה"

"אימוץ המתמטיקה, המשוחררת מן הרגש האנושי והמציאות החומרית כאחד, ביחד עם הספק והניסוי, העלו את האנושות על המסלול להבנת הטבע... תמצות זה אושר באמצעות כושר ניבוי חסר תקדים, כזה שלא הניבו אלפי שנות מיתוסים עממיים, תורות מיסטיות, רעיונות דתיים, אידיאות אסתטיות והתבוננות פנימית. "
תודות וקושיות 489239
אליהו גרייצר • בתשובה לארז ליבנה יום ו', 5/9/2008, 9:08
ארז: זה עשוי לקחת זמן, אך אענה.
תודות וקושיות 492842
אליהו גרייצר • בתשובה לארז ליבנה שבת, 11/10/2008, 10:44
חלק מן המאמר עדיין זר מעט לאינטואיציה שלי, כך שלקח לי זמן לחזור לעניינים וללטש את הניסוח.

"ממה שהבנתי טענת כי - המתמטיקה אינה ייצוג של המציאות כי אם המציאות עצמה ושהיקום בו אנו חיים הוא מבנה מתמטי - שהמציאות - המתמטית הזו היא מוחלטת ולא תלויה בנו, יציריה." –
ניסחת יפה את אחת הטענות המרכזיות במאמר!

מסקנה 4:
המבנה המתמטי הכולל את היקום מכיל גם את כל האלטרנטיבות המתיישבות עם חוקי השימור (או בניסוח בסיסי יותר, מתיישבות עם מערכת אקסיומות העומדת בבסיס המבנה). בפרט מכיל מבנה זה את כל גרסאות החדר המתיישבות עם חוקים אלו. גרסאות אלו מתקיימות במקביל זו לזו. עקב המבנה (הסיבתי) של יריעת המ"ז וחוקי השימור הכרוכים בה, סביר שלא תיתכן השפעה ביינהן.

מסקנה 6:
"מאחר שהיקום קיים" –
באמצעות החושים אנו יודעים ש*משהו* קיים.

"כמבנה מתמטי" –
עתה, באמצעות החושים, השכל והגפיים - תיצפתנו, ניסינו, ניתחנו ונוכחנו שאותו משהו אינו אלא מבנה מתמטי (מסקנות 1, 2).

"חזקה עליו ...שהוא עקבי" –
כפי שהעיר אלון, אמירה זו אינה באמת מוסיפה מידע. היא נועדה למנוע את שמופיע בסוף שאלה 1 שלך, ובזה היא נכשלה (: , אז תתעלם.

"מאחר שהוא מבנה מתמטי (עקבי), קיומו הוא כורח" –
מאחר וקיים מבנה מתמטי שכזה, אותו ניתן לגלות אף באמצעים מתמטיים טהורים, ללא כל היכרות עם היקום הספציפי שלנו, קיומו ה"פיסיקלי" (מה שזה לא יהיה) של יקומנו – מובטח (= כורח). זו בעצם ההכרזה ש: אין קיום מבלעדי זה של מבנים מתמטיים¹. עתה, כדי לקבל דריסת רגל² בחוגי התמהונים³ אציין שאני מכנה זאת: עקרון הקיום.

מסקנה 8א' "איך הגעת מראשית המשפט לסופו?" – בעיקרון עברתי מילה מילה, אם כי היו הפסקות בדרך, אז פה ושם דילגתי על אות או שתיים כדי לפצות על המנוחות.

כינונו של היקום אינו דרוש מאחר והוא אובייקט מתמטי ואובייקטים מתמטיים מתקיימים ללא כל תלות בזמן. חשוב שוב על מערכת האקסיומות האוקלידית. האם משהו בה תלוי בזמן? מתי היא התחילה? מה בה נובע מהחלטה שרירותית? ומה אם אף אחד לא היה מודע לה כלל ודואג לנסחה ביוונית, האם זה היה משנה את העקביות ההדדית שבין אקסיומותיה או את המבנה הנגרר מהן? נכון שניתן היה לבחור בחקירת גאומטריות אחרות - זאת אומנם נעשה החל מן המאה ה-‏19. זה לא גרע מנכונות משפטי זו האוקלידית או השפיע עליה באופן כלשהו. כל המערכות הללו מתקיימות, כל אחת כמבנה מתמטי בפני עצמו.

שרירותיות האקסיומות:
היחס בין היקפו של מעגל לקוטרו הוא פאי רק במסגרת המבנה המתמטי הקרוי "גאומטריה האוקלידית". לעומת זאת, אם תשרטט מעגל ביקום שלנו, תמצא שהיחס בין היקפו לבין קוטרו דווקא אינו פאי, עקב עיוות המרחב הכרוך בגרביטציה. אם זה נשמע פנטסטי בעינייך, קח למשל כדור, נעץ בו (בזהירות!) מחוגה ושרטט על פניו מעגל גדול ככל האפשר. עתה מדוד על פני הכדור את היחס בין ההיקף לקוטר, כיאה לשימדדו יצורים החיים על פניו. תגלה שהיחס קטן משמעותית מפאי ובעצם תלוי בכלל בגודל המעגל! מכאן שהגאומטריה האוקלידית אינה רלוונטית גם לפני כדור. אנו משתמשים בה (באופן מוגבל) מאחר ועבור מרחקים קטנים יחסית ביקום, כמו גם על פני כדור, היא קירוב טוב ליחסים הנכונים והחישובים בתוכה פשוטים יחסית.

כלומר הערך פאי אינו תוצאה של "בחירה" אנושית שרירותית כלשהי, אלא מתקיים בתוך אחת הגאומטריות שנחקרו על ידינו. בגאומטריות אחרות ובמציאות הפיסיקלית שלנו בפרט, היחס בין ההיקף לקוטר דווקא שונה.

מסקנה 8ב':
הנקודה היא שיתכן שיש "זמן-על" הכולל את זה שלנו ולאורכו מתקיים אולי בורא היקום, אלא שאין כרגע ממצא המצריך אפשרות כזו, רק צורך אנושי אינטואיטיבי בכך. אם מישהו רוצה לאתגר את הידע הקיים בהעלאת אפשרות כזו, כדאי שהוא ימצא תצפית תומכת, או לפחות יסביר כיצד זה מפשט מתמטית, ולא רק מסדר טוב יותר בראש, את הידע הקיים.

מידע מדעי מחוץ ליקום: לפחות באופן תאורטי, אנו יכולים רק לדעת אילו עוד יקומים יתכנו (עוסקים בכך למשל בתורת המיתרים). איני רואה כיצד מבנה מתמטי אחד יכול "לתקשר" עם מבנה מתמטי אחר.

1. במסגרת מה שאנו מכנים "מתמטיקה" ישנן מערכות אקסיומות רבות. כל מערכת כזו מגדירה מבנה. היקום שלנו הוא מבנה כזה. למרות שככל הנראה התקרבנו לכך מרחק רב, עדיין איננו מכירים מערכת אקסיומות ספציפית העומדת בבסיס היקום, אך כמבנה מתמטי, ברור שישנה לו כזו. למעשה אם ישנה אחת ישנן כנראה רבות אחרות השקולות זו לזו. אף אחת מה אינה מכילה סתירה פנימית, שכן אחרת לא היינו.

2. תורת הקוונטים: איני מקבל את רעיונות הקריסה, הסופרפוזיציה של יקומים וגם לא את היחס המיוחד לפעולת ה"מדידה" ולכן גם לא את האפשרות שפעולת המדידה היא שגורמת לריבוי יקומים. אם תהיה דרישה אשמח לפרט (בעתיד הבינוני) מה אולי כן.

ללא קשר לתורת הקוואנטים, כפי שמשתמע מן התיאור שבמאמר, כל מבנה מתמטי מתקיים באותו המובן. חלקם מכילים בתוכם גם קואורדינטות דמויות זמן ומקום ולפחות אחד מקרב אלו גם כולל חיים תבוניים. כפי שאני רואה את הדברים, אין לאפשרות שהם מכילים משולשים ישרי זווית, גבישים, עובש או צופים מודעים דבר עם עצם התקיימותם.

3. אנא ראה את תגובה 455880 עד סוף המילה "מתפשט".
4. יתכן שישנו הסבר פשוט לכך, במונחים הלקוחים מן הניסיון היומיומי שלנו, אך איני מכיר אותו - אולי אחד האיילים האחרים ירים את הכפפה. את כוח הדחיה בין מטענים חשמליים (בעלי אותו סימן) למשל, ניתן להציג כירי הדדי של פוטונים (וירטואליים) בין המטענים, ירי שתוצא ביצועו וספיגתו הוא דחיה בין שני המטענים. ( זאת בדומה לשקורה כאשר שתי ספינות חלל יורות זו על זו גושי גומי דביק.) במקרה של איסור פאולי לעומת זאת, מדובר בתכונה של המבנה המתמטי ממנו הנייטרונים הם חלק. במסגרת מבנה זה האפשרות שמספר אובייקטים מתמטיים מסוג "נייטרון" ימצאו בסמיכות גבוהה זה לזה – פשוט אינה קיימת.

אגב, חלקיקאים מסרבים בד"כ לכנות תופעה זו "כח" ומסתפקים עבורה בכינוי "איסור". מבחינתם, מה שאינו מלווה בירי לא נחשב להפעלת כח, דבר שאולי היה נמנע לו רבים יותר מהם היו לוקחים קורסי בחירה במדעי החברה. אסטרופיסיקאים לעומת זאת לא יהססו להודות שזהו כח ואף ידגימו אותו באיזכור העובדה שהוא שמונע מננס לבן לקרוס לכוכב נייטרונים וממנו לחור שחור תחת השפעת הגרביטציה.

(ותודה על המחמאות!)

¹ כאמור במאמר, איני מתייחס כאן לנפש, ערכים, אלוהים וכדומה
² עדיף לא ע"י רכב היברידי – הם נורא כבדים
תודות וקושיות 493037
ארז ליבנה • בתשובה לאליהו גרייצר יום ג', 14/10/2008, 5:02
תודה
היקום כמבנה מתמטי בשם E8 505678
ארז ליבנה יום ב', 2/3/2009, 13:11
שלום אליהו,
החזון שלך של היקום כמבנה מתמטי אולי קורם עור וגידים בימים אלה
(כמובן שאין לי שום יכולת לשפוט מה טיב התיאוריה, אבל טוב לדעת שקורה שם משהו מסעיר)
כל טוב,
ארז
היקום כמבנה מתמטי בשם E8 505936
ארז ליבנה • בתשובה לארז ליבנה יום א', 8/3/2009, 2:31
והנה הרצאת ה-TED שלו:
עדכון 536849
אליהו גרייצר יום ו', 26/2/2010, 18:46
לאחרונה הופניתי אל הרצאתו של ד"ר מריוס כהן ‏1 בנושא עבודת הדוקטורט שלו העוסקת במה שנטען גם במאמר זה, דהיינו שהיקום אינו אלא מבנה מתמטי. הגעתי להרצאתו של ד"ר כהן באוניברסיטה העברית ואף שוחחתי עמו לאחר מכן שיחה ממושכת ומרתקת, ממנה גם נודע לי על הפיסיקאי השוודי פרופ' מקס טגמרק ‏2 שהגיע גם הוא למסקנה זו באופן עצמאי. בעוד שכהן מבצר היטב (לעניות דעתי הפילוסופית) את החזית הפילוסופית של מסקנה זו, מברר טגמרק בעיקר את בסיסה המתמטי-פיסיקלי. להלן חלק מן העניינים העולים מדברי כהן וטגמרק (טרם העמקתי בהכל) ובסופם השערה, עליה אני עובד מדי פעם בשנים האחרונות.

1) סיווג פילוסופי
ניתן לכנות את הגישה הבסיסית למתמטיקה עליה נסמכת MUH, שהיא קיצור של Mathematical Universe Hypothesis בשם *אפלטוניזם פיתגוראי*. כהן מסביר: "על אף שמקובל להשתמש במונח "אפלטוני" במשמעות של "מופשט", אפלטון עצמו תפש את עולם האידיאות כנפרד מהממשות הפיזיקלית, ואילו הפיתגוראים, על-פי עדותו של אריסטו, טענו ש"הדברים עצמם הם מספרים""‏3. הגישה הספציפית יותר לפיה "משמעותם של אובייקטים מתמטיים נגזרת רק ממקומם במבנה, ואין להם תכונות או מבנה פנימי משלהם, וגם לא קיום עצמאי מחוץ לַמבנה" נקראת *סטרוקטורליזם מתמטי*, והיא גישה חדשה יחסית בפילוסופיה של המתמטיקה.

2) הצלחתה הבלתי מוסברת של המתמטיקה בתיאור העולם
כהן מזכיר את הפוזיטרון ואפקט בוהם-אהרונוב כדוגמאות נוספות (על אלו שהובאו במאמר) לתופעות פיסיקליות בלתי צפויות שהתגלו בעקבות מציאת הבסיס המתמטי לתופעות פיסיקליות ידועות.
הוא מביא מספר ציטוטים בנושא הצלחתה ומקומה של המתמטיקה בשיקוף העולם.
היינריך הרץ, מגלה גלי הרדיו:
"One cannot escape the feeling that these mathematical formulae have an independent existence and intelligence of their own, that they are wiser than we are, wiser even than their discoverers, that we get more out of them than we originally put into them."
חתן פרס נובל, סטיבן ויינברג:
"It is positively spooky how the physicist finds the mathematician has been there before him or her."
חתן פרס נובל, ריצ'רד פיינמן:
"I find it quite amazing that it is possible to predict what will happen by mathematics, which is simply following rules which really have nothing to do with the original [physical] thing."

3) פורמליזם מתמטי
בתזה מודגם תיאור הגאומטריה באמצעות פורמליזם מחרוזות. הדגמה זו מראה כיצד לתרגם את הגאומטריה לפורמליזם של יחסים בלבד, בין אובייקטים נטולי משמעות החיצונית למבנה המתמטי ממנו הם חלק. פורמליזם כזה גם משמש גם לשם מציאת והוכחת משפטים בגאומטריה ע"י מחשבים, מבלי כמובן שיש להם מושג אינטואיטיבי מהם ישר ונקודה, שכן במתמטיקה, גם לשני אלו אין באמת משמעות מלבד יחסיהם עם אובייקטים אחרים (-שגם הם בעלי סוג זה של משמעות בלבד).
בהקשר זה מצוטט ברטרנד ראסל:
"What matters in mathematics, and to a very great extent in physical science, is not the intrinsic nature of our terms, but the logical nature of their inter-relations."
בתזה מתואר היחס שבין אקסיומות למבנה (נושא שכנראה עוד יש לי מה להשכיל בו). כהן מביא הדגמה נאה למבנה שנוצר ב"משחק החיים של קונווי" (שהוזכר גם ע"י אלון בתגובה 455894), הכולל גם "אשליה" של זמן והתפתחות. בנספח של ‏4 מסביר טגמרק באופן פורמלי יותר למה הכוונה ב"מבנה מתמטי".
עוד טוען טגמרק ב-‏4 על היקום, וכללית יותר על מבנים מתמטיים ש:
"…only computable and decidable (in Godel's sense) structures exist, which alleviates the cosmological measure problem and help explain why our physical laws appear so simple"

4) קשיחות
להפתעתי, מציג טגמרק את המונח "קשיח" ("rigid") עבור מבנים מתמטיים. מבנה מתמטי חסר סימטריות (אוטומורפיזמים) נקרא קשיח. במבנה כזה לכל אובייקט זהות יחודית, הנקבעת רק ע"י קשריו עם אובייקטים אחרים. הפתעתי היא משום מתוך שחקר היקום כמבנה מתמטי הביא בזמנו גם אותי לחשד כי למבנים כאלו חשיבות תאורטית גדולה לעסקי היקומים. אני משער שרק מבנים כאלו באמת קיימים כשלעצמם. כשנחה עלי הרוח אני אף קורא להם "יקומונים" (אבל הם לא באים). אגב, הגרף הקשיח הקטן ביותר שמצאתי הוא בן שישה איברים. מבנים קשיחים אחרים הידועים הם מערכת המספרים הטבעיים ומערכת הממשיים. גם המערכת הבוליאנית היא כזו, מה שגם אומר שאין סימטריה בין אמת לשקר (:

5) עקביות וקיום
כהן מצטט את פואנקרה:
"The word 'existence' has not the same meaning when it refers to a mathematical entity as when it refers to a material object. A mathematical entity exists provided there is no contradiction implied in its definition..."
וישנו ציטוט דומה של הילברט.מכאן מנוסחת הטענה העיקרית של התזה (ושל המאמר):
"היקום אינו אלא מבנה מתמטי מופשט, ומכיוון שמבנים מתמטיים אינם נוצרים אלא פשוט קיימים (אפלטונית), כך גם היקום, כמבנה מתמטי, אינו נזקק לאיזושהי ישות-על שתברא אותו, והוא אף לא "הופיע" יש מאין ללא כל סיבה - הוא פשוט קיים מתוקף היותו מבנה מתמטי! "

6) זמן ואינטואיציה
ויינברג מציין שאין זמן הקודם למפץ הגדול, מסקנה שאינה, לפליאתי, נחלתם של כל הפיסיקאים. ניתן להמשיל את הפער שניבע כאן בין האינטואיציה לבין הידע המושכל שלנו, למה שקורה עם האינטואיציה ו/או השפה בשני מקרים אחרים: כפי שלא תמיד ניתן להתקדם צפונה וכפי שלא תמיד ישנה טמפ' קרה יותר (הרי אין "צפונה מן הקוטב הצפוני" וגם לא "קר מן האפס המוחלט"‏5), כך גם לא תמיד ישנו מוקדם יותר ("לפני למפץ הגדול"), גם אם השפה מאפשרת הרכבת משפטים המניחים פירכות אלו והאינטואיציה אינה מתקוממת.

7) מבחן ההפרכה
אם כל מבנה מתמטי שריר וקיים באותה המידה, הרי שלכאורה אין עוד צורך בניסוי, אלא רק בבדיקה אפריורית של עקביותו של מבנה שתקבע אם הוא מתקיים או שלא. ומה על מבחן ההפרכה של פופר?
ראשית, עדיין יש לברר באיזה מכל היקומים האפשריים נמצאים אנו, ובירור זה תלוי תצפיות וככזה נתון למבחן ההפרכה.
שנית, קיים נושא הרדוקציה. בד"כ לא ניתן (מעשית!) לנתח מערכת ישירות באמצעות חוקי היסוד של מרכיבי מרכיביה, ולכן נעדיף לנסות להבינה דרך כללי ביניים שהם תערובת של תולדה מתמטית של חוקי היסוד ותצפיות, וככאלה הם ודאיים פחות. בפרט, גם אם נכיר את האקסיומות היוצרות (generate) את המבנה המתמטי העומד בבסיס היקום, עדיין, רוב המחקר הפיסיקלי לא יוכל להסמך עליהן ישירות ויצטרך להמשיך להתנהל בדרכו נטולת הוודאות, הנתונה למבחן ההפרכה.
(אגב רדוקציה, טגמרק מביא ב-‏6 את ההיררכיה המתמטית (ע"מ 11) וכן את זו של שאר המדעים (ע"מ 9), עד לתחתית שרשרת המזון המדעית – הסוציולוגיה :))

טגמרק מציע ליישם את עקרון ההפרכה גם כדי לאשש את MUH עצמה. אנו מכירים כיום כ-‏30 קבועים מספריים עצמאיים בהם תלויים כל חוקי הטבע הבסיסיים הידועים לנו ‏7. ניתן לקבל כי יקומים מסוגו המתמטי של יקומנו אך עם ערכי קבועים השונים משמעותית מאלו אותם אנו מכירים, אינם תומכים בחיים (כנראה) – למשל כי לא נוצרים בהם כלל אטומים וגם לא כוכבים (‏6 – גם יש דיאגרמה בע"מ 6). רעיון מעניין אותו הוא מציע לשם אישוש MUH הוא שככל שמדידה מדוייקת יותר של קבועים אלו תיתן ערכים שהם "טיפוסיים" עבור יקום תומך חיים, כך תאושש יותר ההנחה שישנם יקומים נוספים ומכאן גם MUH.
איני בטוח שאני מקבל את הטיעון, ואולי איני מבין אותו כראוי.

8) פשטות
טגמרק טוען, לדעתי בצדק, ש-MUH עומדת טוב יותר במבחן התער של אוקהם, הטוען כי מבין תיאוריות הנותנות את אותן התחזיות, יש להעדיף את זו שמערכת הנחותיה פשוטה יותר ‏8. סיבה ראשונה לכך היא שמבנה מתמטי טהור פשוט יותר ונותן לכאורה את אותן התחזיות של מבנה מתמטי פלוס תוכן שאינו מתמטי אותו מכנה טגמרק "baggage", ושלכאורה לא ברור על מה הטענה לקיומו נסמכת.

סיבה שניה נוגעת לקיומם של מבנים מתמטיים אחרים במקביל לזה שלנו: הטענה שישנו גורם נוסף, המשרה קיום רק על מבנה אחד כזה, או כמה, ומונע זאת מאחרים, הינה כמובן הנחה נוספת, המסבכת את מערכת הנחות היסוד שלנו וטעונת הצדקה.
כך ש"האקסטרווגנזה האונטולוגית" ‏9 שמציעה MUH הינה רק מראית עין של סיבוך, שכן מערכת הנחות היסוד, ולא תולדותיה, היא המופיעה בתער של אוקהם. טגמרק מדגיש עוד שכללית יותר, הוספת אילוץ הכופה פרמטר מספרי ספציפי (ובמקרה שלנו – גם מניחה שרק עבורו יש יקום), תמיד מרחיבה את מערכת ההנחות שלנו מאשר זו בה נשאר פרמטר זה חופשי. מכאן שאם מתקבלים מבנים מתמטיים עקביים עבור כל ערך ממשי של 30 הפרמטרים ‏10, הרי שהטענה שהם מתקיימים "פיסיקלית" רק עבור ערכים מאוד מסויימים, הינה הנחה נוספת, הטעונה הצדקה.

9) מה הלאה?
כפי שציינתי, כמעט שאיני רואה צורך עקרוני במציאת סימוכין נוספים ל-MUH, הרי היא פשוטה מן ההנחה שישנם גם מהויות שאינן מתמטיות "טהורות", ותחזיותיה זהות לאלו של התפיסה הפיזיקלית המקובלת, הכוללת גם את ה"baggage". אלא שזה אינו לגמרי מדוייק. בפיסיקה ישנו מקום חשוב בו התיאור/התוכן המתמטי המוכר לנו אינו מלא, ואם MUH נכונה, הרי שהוא קיים ועוד ממתין לפיענוחו.

כוונתי לבעיית המדידה בתורת הקוואנטים, המוסברת היטב ב-‏11. אם אכן ישנה קריסה ורק אחת מן האפשרויות הלגיטימיות מתמטית/פיסיקלית מתממשת כאשר מתרחשת אינטראקציה בין מערכות קוואנטיות, הרי שהדבר סותר את MUH הטוענת גם, בניסוחו של פואנקרה, שכל מה שעקבי מתמטית גם מתקיים. בעייה זו נפתרת באופן חלקי ע"י פרשנות המצב היחסי ("עולמות מרובים") של אברט ‏12, אלא שתשובה זו אינה מסבירה ממה נובעים הערכים המתמטיים של ההסתברויות בתורת הקוואנטים, שמופיעות גם בניסיון. החוק המוסיף לתורת הקוואנטים את ההנחה לפיה ערך הסתברויות אלו מתכונתי לריבוע האמפליטודה (גודל מתמטי המופיע במשוואות) נקרא "כלל בורן".

השערתי היא שכלל בורן מבטא בעצם שכיחות, וזו נובעת מניוון מתמטי. כלומר, כל מערכת קוואנטית מתקיימת באינסוף עותקים הנבדלים מתמטית אך זהים ניסיונית ומתקיימים במקביל (ללא סופרפוזיציה). כמותם של עותקים אלו הינה גודל הניוון והיא מתכונתית לריבוע האמפליטודה. אני נוטה לחשוב כי ניתן לגלות ניוון זה דרך בחינת האופן בו מתקבלות משוואות השדה. ייתכן שיש לכך גם השלכות ניסיוניות. אלא שגם אלו לא יפריכו את קיומו של "baggage" נוסף, שהמשוואות, כמו במקרה האתר בזמנו, מייתרות.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
‏3 זהו רק משל, שהרי כיום, עקב רמת ההפשטה הגבוהה אליה הגיע העיסוק במתמטיקה וטיב המבנים בהם היא עוסקת, במאמרים מתמטיים רבים, עיקר המספרים שמופיעים שם הם מספרי העמודים של המאמר...
‏5 - אולי צפונית לקוטב הצפוני יורדת הטמפרטורה מן האפס המוחלט (:
‏8 בתגובה 529215 מובאת (בין השאר) הצדקה סטטיסטית לתער של אוקהם.
‏9 כאן היא מוזכרת בהקשר של רעיון קרוב – פרשנות העולמות המרובים דיון 1180
‏10 אם הם באמת בלתי תלויים. אפשר לנחש שלאחר איחוד הגרביטציה עם תורת הקוואנטים יתברר שמדובר בקבוצה קטנה יותר.
‏11 זה מתחיל בדיון 1177
‏12 דיון 1180
עדכון 596947
אריק • בתשובה לאליהו גרייצר יום ד', 6/6/2012, 17:43
רק כעת התוודעתי לדיון הזה שמאיר סוגיות שפתחתי בתגובה 183456. אותי מעניין הקו שהשקתי אליו בפתיל שמתחיל בתגובה 185163.
שם טענתי שאלקטרון וחתול הן מהויות שונות. האלקטרון הוא דבר מה מוגדר מאוד (הוא אינו יכול לאבד או לשנות מתכונותיו ועדיין להשאר אלקטרון) אך לא מוחשי, ואילו החתול מוגדר פחות (חתול קרח, אילם וחסר זנב עדיין יהיה חתול) אך מוחשי ביותר.
הטענה שלך שהביטוי המתמטי של האלקטרון הוא הוא האלקטרון מפתה מאוד כי היא מקצינה את אי מוחשיותו של האלטרון, אך היא מתנגשת עם כמה הבנות שלי את היקום ואבקש הבהרות:
- המתמטיקה אינה משתנה בזמן והיקום כן. אותו אלקטרון יכול להתנגש עם פוזיטרון ולהפוך לדבר מה שונה ואילו אותה הצגה בלתי פריקה של החבורה נותרת לעולם בעינה. יתרה מזאת, היקום מוגדר בזמן וככל הידוע לנו גם מוגבל בזמן (ישנו t=0 שהיקום מתחיל בו ולפניו לא היו בכלל אלקטרונים ופוטונים). המבנה המתמטי לא חל בזמן כלל.
- המתמטיקה היא אידאה מופשטת. זה אמנם נס לא קטן שכל המאורעות ביקום מצייתים באורח עקבי למתמטיקה, אבל הרבה יותר קל לי להתיחס למתמטיקה כמצע ליקום, באנלוגיה כמו מערכת הפעלה שהיקום הוא תוכנה שרצה עליה תגובה 310809.
- וכאן אולי ראוי לחזור להבדל המהותי בין החלקיק היסודי לבין המערכת המפוארת המכונה חתול: בעוד שהביטוי המתמטי של האלקטרון נותר תמיד זהה, הביטוי המתמטי של החתול הוא מעורפל, מסובך ומשתנה כל הזמן. אם קל יחסית לומר שהאלקטרון שקול לביטוי המתמטי שלו, קשה מאוד לומר זאת על החתול. יתרה מכך- ליצירה של באך ודאי ניתן לתת ביטוי מתמטי מדויק, אך המבנה המתמטי לא יהיה היצירה עצמה אלא תאור שלה. האזנה ליצירה של בך אינה שקולה להבנת המבנה המתמטי. אלו שני דברים שהמהות שלהם שונה. האחד יכול לתאר את השני או ליצג אותו אך זה אינו הופך אותם לזהים כפי שהציור אינו המצויר
בכלל הייתי שמח לתגובתך לכל הפתיל ההוא כולל ההסתעפות בתגובה 321684
שו''ת 597166
אליהו גרייצר • בתשובה לאריק שבת, 9/6/2012, 13:31
"המתמטיקה אינה משתנה בזמן והיקום כן"
המונח "יקום" המופיע במאמר אינו מתייחס רק ל"כל המקומות ברגע זה". (אגב, מתורת היחסות הפרטית אנו יודעים ש"רגע זה" הינו פיקציה של האינטואיציה.) הכוונה היא לכל המקומות בכל זמן - כפי שנהוג בקוסמולוגיה יחסותית. המכלול הזה אינו משתנה.

"אלקטרון יכול להתנגש עם פוזיטרון ולהפוך לדבר מה שונה"
האלקטרון הנ"ל אינו משתנה - הוא פשוט ממוקם בקואורדינטות מקום וזמן מסויימות. באזורי מקום וזמן אחרים ישנם אלקטרונים (או חלקיקים כלשהם) אחרים.

"המבנה המתמטי לא חל בזמן כלל"
אכן - זהו הזמן שחל במבנה המתמטי.

אם ישנן שאלות נוספות, אשמח לענות עליהן, אבל אני מעדיף לעשות זאת כאן.
שו''ת 597430
אריק • בתשובה לאליהו גרייצר יום ד', 13/6/2012, 22:00
אם אתה מתיחס לאיזה יקום ארבע מימדי שהוא בלוק פרמנידי שאינו משתנה, האם הוא דטרמיניסטי לחלוטין?
ואם כן כיצד מתבטא בו כל הענף המתמטי של סטטיסטיקה והסתברות?

וכיצד אתה מתיחס לחלק השני של התגובה שלי שעסק במהויות השונות של הדגם והמודגם. האם היצירה של בך היא מתמטיקה בלבד או שהמתמטיקה רק מתארת אותה?
שו''ת 598818
אליהו גרייצר • בתשובה לאריק יום ב', 2/7/2012, 22:44
אכן פרמנידי ודטרמיניסטי (אגב, בניגוד לפרשנות קופנהגן של תורת הקוואנטים).

באשר לסטטיסטיקה והסתברות, להבנתי אלו הן תורות המשמשות להתמודדות עם חוסר וגודש של מידע, כך שהשאלה אינה לגמרי ברורה לי.

לגבי יצירה של בך, התוצר הסופי הוא אכן מבנה מתמטי (נסה לבנות מן הסרט רצועה "פרמנידית" הכוללת את כל היצירה בשלמותה, על כל 1300~ הפריימים שלה). אבל אם כוונתך לאופן בו נחווית היצירה, או לתהליך יצירתה - קטונתי וקצרה היריעה.
שו''ת 598960
אריק • בתשובה לאליהו גרייצר יום ה', 5/7/2012, 3:38
ביקום פרמנידי דטרמיניסטי הכל קבוע ואין דבר אקראי או "שהיה לכאורה יכול לקרות אחרת". עולות קושיות
1. אין תכלית. מה הטעם בחתירה למטרה כאשר כל בחירה היא אשליה?
2. אין יצירה. באך לא המציא דבר אלא פעל על פי התסריט.
3. המתמטיקה כלל אינה נמצאת בו- זה שאנחנו מתארים את ההתרחשויות באמצעות כללים מתמטיים לא מכניס את הכללים המתמטיים לעולם הפיזי.
שו''ת 599093
ירדן ניר-בוכבינדר • בתשובה לאריק יום א', 8/7/2012, 0:07
את 3 לא הבנתי, אבל בנוגע ל-‏1 ו-‏2, אלו בעיות שעולות גם בתורות הרבה פחות רדיקליות מזו הגרייצרית (אם כי לא קונצנזואליות) - אלו ש"רק" מניחות שכל העולם שלנו, כולל התרחשויותינו הנפשיות, בבסיסן אינן אלא פעולות "עוורות" של חלקיקים תת אטומיים.

יש התמודדיות שונות עם בעיות אלו. זו החביבה עלי אומרת שתכלית, בחירה ויצירה הם מושגים "מסדר גבוה" שמתקיימים על גבי הרובד הפיזיקלי הבסיסי, בערך כמו שולחן. לפרטים, תגובה 466941. התשובה הזו טובה גם עבור התורה הגרייצרית.
שו''ת 599332
אריק • בתשובה לירדן ניר-בוכבינדר יום ג', 10/7/2012, 14:28
לעניין התכלית - יקום הבלוק אינו בר שינוי. הוא פרמנידי ולכן בכל תכלית שאתה בוחר לך לא היית יכול לכאורה לבחור אחרת כי הכל כתוב מראש (העתיד והעבר דטרמיניסטיים קבועים סגורים וחתומים). אם הכל כפוי מראש היכן הבחירה החפשית והיכן התכלית?

לעניין 3. המתמטיקה אינה נמצאת ביקום הפיסי הפרמנידי ה(נגיד לשם הפישוט) 4 ממדי. המתמטיקה היא מבנה לוגי. המספרים 0 ו 1 הם תאור של יש פיסי והעדרו אבל הם עצמם אינם יש פיסי. אני מדבר על המושג 1 ולא הספרה הכתובה שהיא סימול שלו. היקום מתנהג על פי חוקיות שיש לה ביטוי מתמטי אבל החוקיות הזו אינה חלק מהיש הפיזי כלל. זה שכדורי הביליארד מתגלגלים תוך ציות לנוסחאות תנועה לא הופך את הנוסחאות הללו לחלק מהכדורים, להיפך.
ליקום הבלוק הפרמנידי אין צורך בחוקי הפיסיקה או חוקיות בכלל. הוא יכול להיות כמו גוש בשר במקפיא. זה שישנה בכלל חוקיות מרמז על כך שהיא נמצאת ביסוד היקום הפיזי, כמעין מערכת הפעלה שהיקום הפיזי פועל עליה.

תכל'ס- מי שמציג את יקום הבלוק הפרמנידי כ"זה כל היש" אינו מאפשר קיום המתמטיקה או חוקיות בכלל. פי הוא יחס קבוע בין הקף המעגל לקטרו אבל פי עצמו לא נמצא ביקום הפיסי כלל, ואם היקום הפיזי הוא כל היש אז פי לא אמור להתקיים. אבל היקום זקוק לפי כדי להתקיים באפיוניו הנוכחיים, אז היכן נמצא פי?
פי אינו נמצא. הוא אידאה שאינה מוגדרת בתוך ארבעת המימדים. אין לאידאה מקום וזמן, אבל תסכים איתי שיש דבר כזה פי.
לכן לא מקובלת עלי ההצגה של יקום הבלוק כ"כל היש". אני מקווה שהצלחתי להסביר.
שו''ת 599346
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאריק יום ג', 10/7/2012, 17:09
"היקום מתנהג על פי חוקיות שיש לה ביטוי מתמטי אבל החוקיות הזו אינה חלק מהיש הפיזי כלל" - אם אתה יוצא מהמשפט הזה ברור שאתה מגיע בקלות לשלילת התיזה שמובאת המאמר, שהיא בדיוק ההיפך מהמשפט המצוטט.

"המספרים 0 ו 1 הם תאור של יש פיסי והעדרו אבל הם עצמם אינם יש פיסי." - שוב, אתה מבטא את הדיעה (המקובלת, האינטואיטיבית, ה"ברורה מאליה") שהמאמר מנסה להפריך.

"פי אינו נמצא. הוא אידאה" - בדיוק להיפך! פי נמצא משום שהוא אידיאה. מי שאינו "נמצא" במובן האינטואיטיבי של "נמצא" הם אני ואתה.

לא קל לעיכול, העסק הזה. הוא לוקח את עולם האידיאות של אפלטון צעד אחד קדימה ואומר שלא רק שהוא קיים, הוא היחיד שקיים וכל היתר אינו אלא אשליה (שגם היא אינה אלא מבנה מתמטי).

והערה לסיום: היקום כבלוק קרח, כפי שירדן כבר אמר לך, מופיע גם בתיאור הרבה פחות מהפכני של העולם. למעשה זאת הגישה המקובלת על רוב הפיזיקאים (אני חושב. אין סימוכין) לפחות מאז איינשטיין אם לא מאז ניוטון. המכתב המפורסם של איינשטיין לאלמנת חברו בסו מבטא את זה.
________________
שכ"ג שולח הודעה בלי שהוא עצמו מבין אפילו רעיון אחד ממנה. נראה לי שזה שיא.
שו''ת 599347
הפונז • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ג', 10/7/2012, 17:36
__________
מאחר ולפי תיזת המאמר הרעיונות "נמצאים" וקיימים הרבה יותר מהשכ"ג עצמו, הרי אין בכך כל בעייה. נהפוך הוא.
שו''ת 599592
אריק • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ה', 12/7/2012, 13:47
גם אני, אחרי שהפכתי והפכתי בכל האפשרויות, הגעתי למסקנה הפרמנידית, אלא שאני מסרב משיקולים (אסתטיים? הומניים? דתיים?) לקבל את היקום המכניסטי כ"יש" כולו.
את הגישה שלי אפשר למצוא בתגובות שקישרתי מתגובה 596947 ובתגובה 554197 מאותו מאמר אלמותי שלך

אני חושב שהבדל הגישה ביני לבין המאמר הנוכחי מתמצה במסקנה 4. שלו:

4. ככל הידוע לנו, היקום הוא מבנה, הנוצר מפתרונותיה של מערכת עקבית של אילוצים מתמטיים.

זו גם בערך המסקנה שלי ולא "היקום הוא פתרונות של מערכת עקבית של אילוצים מתמטיים".

כל עוד מניחים את הראשון יש מקום לכל ריבוי הפנים השפינוציסטי, אם מניחים את השני אנחנו נמצאים ביקום נורא משעמם.

יקום הבלוק ככל שאני יודע הוא אכן ההנחה המקובלת על פיסיקאים (קוסמולוגים) והחלק המסקרן אותם הוא חץ הזמן- אם כבר בלוק למה יש לו גרדיאנט של אנטרופיה ואינו סימטרי?
שו''ת 599639
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאריק יום ה', 12/7/2012, 19:22
אם כבר בלוק למה יש לו גרדיאנט של אנטרופיה ואינו סימטרי"" - כי יש לו התחלה, והוא התחיל ממצב של אנטרופיה נמוכה. עכש"י זה ההסבר היחיד לחץ הזמן. אבל למה שיהיה סימטרי (בזמן) בכלל?
שו''ת 599655
אריק • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ה', 12/7/2012, 22:11
כן. זה מה שמענין. יש מצב התחלתי (בדיעבד קוראים לו התחלתי, בגלל חץ הזמן) שהוא מאוד מאוד לא סביר. ההסתברות למצבי אנטרופיה גבוהה היא גבוהה לאין שיעור.
שו''ת 599719
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאריק יום ו', 13/7/2012, 18:13
המודל האינפלציוני מסביר את זה.
שו''ת 599838
אריק • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום א', 15/7/2012, 16:00
הוא מסביר מדוע נקודת המוצא של המפץ הגדול קיימת בכלל? כיצד?
שו''ת 599841
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאריק יום א', 15/7/2012, 16:24
עכש"ז:

1.הוא מסביר למה היקום הנצפה היה בעל אינפלציה נמוכה אחרי התהליך האינפלציוני.
2.הוא לא אומר כלום על המפץ הגדול עצמו (אם כי, עכש"ז^2, יש גם איזה מודל לפיו "מפצים גדולים" הם חלק מהעולם האינפלציוני, כלומר קורים אחריו ויוצרים עולמות חדשים, וחוזר חלילה).

אולי כדאי שהלפיד יעבור לידיו של פיזיקאי עם ידע בקוסמולוגיה במקום שאני אמשיך לשפוך את קטעי הזכרון המבולבלים שלי.
שו''ת 599738
אליהו גרייצר • בתשובה לאריק שבת, 14/7/2012, 10:26
באשר לתכלית - גם ללא הנטען במאמר, כיצד יש בקיומו של הצורך האנושי במשמעות כדי לגזור את קיומה של תכלית חיצונית?
באשר לאפשרות הבחירה - גם ללא הנטען במאמר, מדובר באשליה, כמתואר בדיון 2220.
בעניין באך - אכן. האם יש בכך כדי לגרוע מן היופי והמורכבות אליהם היה באך מסוגל, או מהנאתנו מאלו?

באשר למתמטיקה - כפי שמתואר במאמר, לא במקרה התברר לאחר אלפי שנים ושיטות שדווקא מלכת המדעים היא האמצעי המדוייק לשיקוף וניבוי העולם הפיסי. עוד קודם לשימוש האנושי בה להבנת הטבע, המתמטיקה היא עצם מהותו של היש הפיסיקלי.
שו''ת 599839
אריק • בתשובה לאליהו גרייצר יום א', 15/7/2012, 16:13
מה אני אגיד לך, כשמדובר על יקום הבלוק הדטרמיניסטי אני נשאר עם תחושה של "וזה הכל?"
אם אכן זה כל היש אז באמת אין בחירה ואין תכלית. אבל מבחינתי עצם קיום המתמטיקה מוכיח את ההיפך.
יקום בלוק דטרמיניסטי אינו זקוק למתמטיקה, או לוגיקה כדי להתקיים. לדעתי מעשה היצירה הוא אמיתי ואינו בר ניבוי מתמטי.
שו''ת 599859
הפונז • בתשובה לאריק יום א', 15/7/2012, 21:08
בפעם האחרונה שהצצתי לקופסה, אפילו קיטוב של פוטון אחד לא היה בר-ניבוי מתימטי.
583284
חבורת סוד מוחלט בהחלט יום א', 2/10/2011, 11:25
למרות שאינני יודעת מהי חבורת פואנקרה - אולי בגלל שאינני יודעת - ועל אף שאני בטוחה שהגדרה זו מסייעת להבנת החלקיקים ולטיפול בהם, אני רוצה לקרוא עליה תיגר ולומר שבאותה רמת דיוק אשכולית היא מספר טבעי.
"this is nonsense" 695534
שוטה הכפר הגלובלי יום ג', 7/11/2017, 14:24
סבינה הוסנפלדר לא אוהבת את הרעיון ומזכירה שגם לפני 10 שנים לא אהבה אותו (אז התייחסה למאמר של טגמארק שהוזכר בתגובות).
"this is nonsense" 695592
אריק  (אתר) • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ה', 9/11/2017, 13:34
אוף. בגללך חזרתי לשבור את המוח על העניין הזה. אולי עדיף כבר אורקים טרולים ודחלילים.
"this is nonsense" 695594
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאריק יום ה', 9/11/2017, 14:12
זה רק בגלל שאתה אידיוט אנטישמי ואכול שנאה עצמית. עכשיו יותר טוב? :-)
"this is nonsense" 695620
אריק  (אתר) • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ב', 13/11/2017, 11:22
או, ככה אני מרגיש בבית.
"this is nonsense" 695598
הפונז • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום ה', 9/11/2017, 15:27
נו, אז זה אומר שהיא עקבית.
אהה - גם המתימטיקה עקבית! - מש"ל.
חזרה לעמוד הראשי פרסום תגובה למאמר
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות