בתשובה לנוור מיינד, 13/08/06 20:01
 |
|
 |
||
|
||||
 |
2. לא כל כך ברור מי המציא אותם. אם איני טועה כבר בתקופת היוונים הקדמונים היו כאלו שחשבו על הרעיון של הוצאת שורש ממספר שלילי, אבל הנקודה בזמן שבה התחילו להתעסק ברצינות בנושא הייתה איטליה של המאה ה-16, וההקשר היה פתרון של משוואות ממעלה שלישית. כמו שיש נוסחה לפתרון משוואות ממעלה שנייה שאיתה מענים תלמידים תמימים בחטיבת הביניים, קיימת גם נוסחה לפתרון משוואות ממעלה שלישית שאיתה מענים סטודנטים תמימים (אבל לרוב לא דורשים מהם לזכור אותה). הבעיה הייתה שבאמצעות שימוש בנוסחה הזו לפעמים "נתקעים" - מגיעים למצב שבו צריך להוציא שורש ממספר שלילי, וזאת למרות שהפתרון הסופי הוא מספר ממשי רגיל. הבעיה הייתה שלא היה דבר כזה, שורש של מספר שלילי, כי כל מספר ממשי שמועלה בריבוע יתן מספר חיובי. לכן היה צריך "להמציא" מספר כזה, או להגיד "בואו נניח שקיים, ואז...". אם איני טועה, רפאל בומבלי נחשב לזה שהציג לראשונה בספר האלגברה שלו כללים לעבודה עם המספרים המשונים שמתקבלים כתוצאה מהוצאות השורש הללו. רנה דקארט טבע את המושג "מספר מדומה" כדי לציין מספר שהריבוע שלו הוא שלילי, ומכאן אולי אפשר לנחש שדעתו על כל העניין הייתה שלילית למדי (השווי בין מספרים "טבעיים", ו"ממשיים" ("רציונליים" לא קשורים לעניין, כי "רציו" בהקשר הזה הוא "יחס") ובין מספרים "מדומים") ואני חושב שבתקופתו עדיין ראו את המספרים הללו רק בתור טכניקה אלגברית לפתרון משוואות מסויימות, לא בתור משהו בעל זכות קיום בשל עצמו. אני חושב ששני המתמטיקאים ששינו את הגישה היו אוילר וגאוס. לאוילר מיוחסת נוסחה יפה למדי שנקראת, במפתיע, "נוסחת אוילר", ולא רק עוסקת במספרים מרוכבים, אלא מראה כיצד ניתן להעלות מספר אחד *בחזקת* מספר מרוכב אחר. אם מציבים ערך מסויים בנוסחה מקבלים זהות פשוטה ויפה: e^(i*pi)+1=0 (הקבוע "e" בחזקת המספר המדומה i כפול הקבוע "פאי" ועוד אחד שווה אפס). הנוסחה הזו נבחרה לא מזמן באיזה סקר בתור "הנוסחה היפה ביותר במתמטיקה" או קשקוש דומה, והיא באמת די יפה. באשר לגאוס, הוא הוכיח (מספר פעמים; בפעם הראשונה ההוכחה לא הייתה מלאה) משפט בשם "המשפט היסודי של האלגברה" (שהיום אומרים עליו בלגלוג שאינו משפט באלגברה בכלל, וגם אינו יסודי) שבעצם "הורג" אספקט מסויים של פתרון משוואות: הוא אומר (בערך) שלמשוואה ממעלה n יש בדיוק n פתרונות, כשמרשים שהפתרונות יהיו גם מספרים מרוכבים (יש חשיבות גדולה ל"בערך" הזה - אוכל לנסות לפרט). אם איני טועה, גאוס השתמש במספרים מרוכבים גם בתורת המספרים. אני לפחות יודע שהוא חקר אותם בנסיון להכליל משפט חשוב שלו, שנקרא "משפט ההדדיות הריבועית". כשלמדתי קורס מבוא לתורת המספרים בסמסטר שעבר, אחד השימושים במספרים מרוכבים היה בהוכחת משפט נחמד ששיער פרמה (ההוא מהמשפט האחרון) לפיו ראשוני אי זוגי ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים אך ורק אם הוא משאיר שארית 1 בחלוקה ב-4 (אני מניח שיש גם הוכחות שאינן משתמשות במספרים מרוכבים). אחרי גאוס המספרים המרוכבים כבר הפכו ללהיט. כיום יש קורס חובה באוניברסיטה (לפחות שלי) שעוסק בהכללה של החדו"א למספרים מרוכבים. מי שמכבב שם הוא קושי, שבעזרת משפט שלו ניתן להוכיח די בקלות את המשפט היסודי של האלגברה המדובר. עוד מושג מתורת המספרים שלפחות בצורה שבה אני מכיר אותו קשור קשר הדוק למרוכבים הוא פונקציית הזטא של רימן, שהיא פונקציה שמוגדרת על המספרים המרוכבים. הפונקציה הזו היא הכוכבת של "השערת רימן" שמדברת על הערכים שעבורם הפונקציה מתאפסת. אם איני טועה, כמה אלגוריתמים במדעי המחשב מסתמכים לצורך הנכונות שלהם על הנכונות של השערת רימן, או הכללה שלה (אני יכול לחפש עוד מידע על זה). אז למה המספרים המרוכבים טובים? בתוך המתמטיקה אני נתקלתי בשימושים שלהם באלגברה, בחדו"א ובתורת המספרים. במדעי המחשב נתקלתי בהם בינתיים רק בהקשר (הקלוש למדי) שציינתי למעלה, לצערי. המקום שבו הם אמורים להיות שוס גדול הוא בהנדסת חשמל ודומיה - אני שמעתי שבעיבוד אותות (שמתקשר מן הסתם גם למדעי המחשב) הם כלי מרכזי, אבל אני פשוט לא מכיר כלום מהנושא. השאלה המעניינת באמת עם המספרים הללו היא עד כמה הם "אמיתיים". מעט אחרי ש"הארץ" פרסם ידיעה על זכייתה של נוסחת אוילר בתחרות מלכת היופי, הוא פרסם את המשהו התמוה הזה: הציטוט הרלוונטי הוא "i הוא בכלל יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע, ועל כן קרוי "מספר דמיוני", מושג שכבר הוצע על ידי דקארט במאה השבע עשרה. ומהו מספר זה? לימדו אותנו בעמל ויגע שכאשר מעלים מספר בריבוע התוצאה תמיד חיובית, אבל אמר מי שאמר: למה? הבה נגדיר את השורש של 1- ונקרא לו i. לא מבינים? לא צריך. ככה זה." אני לא כל כך מסכים עם הכותב, בלשון המעטה. לדעתי המספרים המרוכבים הם "אמיתיים" לא פחות מהמספרים השליליים (שגם על קיומם היה ויכוח ממושך) או הרציונליים, ובטח ובטח שלא פחות מהמספרים ה"ממשיים". אם הולכים להגדרות פורמליות, אז ההגדרה הפורמלית של המספרים הממשיים היא די מסובכת, ואילו ההגדרה של המרוכבים פשוטה. אפשר להרחיב עוד על הנושא הזה אם את מעוניינת. (הבהרה: כל הכתוב לעיל כנראה שגוי ברובו. אני מחכה לתיקוני המתמטיקאים של האייל) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהשימוש הנפוץ ביותר במדעי המחשב למספרים מרוכבים הוא FFT ואחריו כמובן DFT. אבל אולי להיפך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי ש-FFT הוא פשוט דרך יעילה לבצע DFT, ואתה כמובן צודק - עד כמה שהבנתי את הרעיון ב-FFT, הסיבה שבגללה הוא יעיל היא שימוש נבון במספרים מרוכבים (ליתר דיוק, בשורשי היחידה). בכלל, כל הנושא של טורי והתמרות פורייה עמוס בשימושים במספרים מרוכבים, אבל אני לא מבין בו כלום, אז אני זורק אותו תחת "עיבוד אותות" והולך לישון. (על FFT ו-DFT, למי שחושב ש-FFT הוא קיצור של Final Fantasy Tactics: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
FFT הוא דרך יעילה לבצע DFT בתנאים מסויימים, שדוקא במקרה של עיבוד אותות לא תמיד מתקיימים. FFT משמש למשל גם לכפל פולינומים, פעולות על מטריצות, דחיסת מידע ועוד כל מיני דברים שלא דוקא קשורים לעיבוד אותות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני, בחוגי משפחה וחברים, קורא למספרים האי-רציונליים "מספרים לא-מנתיים", שהוא קצת יותר PC, לטעמי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה-הא. ואיך קוראים ב-PC למספרים המדומים? (ומעניין אף יותר - לממשיים?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאלה כבר אי-אפשר לעזור. השם ''לא-מנתי'' הוא פשוט תרגום מילולי של המונח הלטיני המקורי. הוא לא משפץ את המונח, אבל לפחות לא מקלקל אותו והופך אותו לקללה. אז עם השאר אני לא מנסה להתעסק, למעט עם השליליים, להם אני קורא ''מספרים אגזוזנים''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הי, נחמד שלא שכחת את שאלותיי אחרי שבוע. בקשר למספרים מרוכבים, הדבר שהכי מרגיז אותי הוא העובדה ש"המציאו" מספר מרוכב, כפי שציינת וכפי שכולם יודעים אין שורש ריבועי למספר שלילי - הוא לא קיים. אם הוא לא קיים כלומר הוא לא טבעי. אני לא אתיימר להיות מבינה גדולה במתמטיקה, אבל לא משנה כמה ינסו לשכנע אותי שהשימוש במספר מדומה הוא חיוני והוא משמש במחשבים בפיסיקה וכו', עדיין לא אבין איך קיים מספר "לא טבעי" אשר גם המציאו אותו? ומה שעוד יותר מוזר בעייני הוא שלא מצאו (באמת?) לו נקודת תורפה, כלומר השימוש באותו מספר הוא כמו שימוש במספר רגיל, והוא נותן את אותן התוצאות הסבירות ומשמש מתמטיקאים פיסיקאים "בחיי היום יום שלהם"... שאלה נוספת, שכבר ניסיתי להעלות (לא בהצלחה רבה), האם ניתן להסתדר בלי מספרים מרוכבים או האם אפשר למצוא דרכים אחרות לפתרון משאוות ללא מספר מדומה? באמת קשה לדעת מתי רציינים איתך ומתי מסתלבטים עליך... בקשר לשאלה שבע (א)- אני בכל זאת אשמח אם תמצא לי תשובה מצחיקה. שבע (ב)- לא היית פה שבוע, ולא היית עד לטבח התגובות האחרות שלי (למערכת -אני לא שומרת טינה, רק אנא אל תמחקו הודעה זו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש ציטוט מפורסם של מתמטיקאי ידוע בשם קרונקר שאמר "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא מעשה ידי האדם". לדעתי הוא מחדד היטב את הנקודה המרכזית בדיון (העמוק והמורכב הזה, שאיני מסוגל אפילו לגרד את קצהו) - מה זה בעצם אומר, שמספר "קיים" או "לא קיים"? המספרים הטבעיים הם המספרים 1,2,3,... אפילו על קיומם אפשר להתווכח. מישהו ראה פעם "שתיים"? אנחנו רואים זוגות של גרביים, שני שקל, שתי תלמידות בית ספר, פעמיים בוסקילה - אבל "שתיים" לא "קיים" בעולם הפיזי. המושג "שתיים" הוא הפשטה שבאה לתאר משהו שמשותף לכל החבר'ה שלעיל - ה*כמות* שלהם. במקום אחר באייל דיברו לא מזמן על כך שלא מלמדים בבית הספר ש"מספר הוא יחס שקילות" - וזה בדיוק הרעיון שבא לידי ביטוי כאן. אם כן, מספר בא לתאר תכונה של משהו "בעולם האמיתי". לכן אנחנו מקבלים בלי היסוס את המספרים הטבעיים. מכאן יש שתי דרכים להמשיך - האינטואיטיבית, והמתמטית. האינטואיטיבית תיתקע במרוכבים, אבל למעשה היא תיתקע עוד קודם: במספרים השליליים. מישהו ראה אי פעם מינוס מסתובב ברחוב? יש בדיחה ידועה על מתמטיקאי שרואה איש אחד נכנס לבית וכעבור זמן מה שני אנשים יוצאים מאותו הבית, ואז הוא אומר "אם אדם אחד בדיוק ייכנס עכשיו לבית, הבית יהיה ריק". אין במינוסים שום הגיון. זאת אומרת, אין שום הגיון כל עוד המתמטיקאי אינו תפרן. ברגע שהוא באוברדראפט המשמעות של מינוס הופכת להיות מאוד ברורה - אבל אז לא מדובר במינוס, אלא בפלוס בתחפושת. במקום שהבנק יהיה חייב לי 100 שקלים, אני חייב לבנק 100 שקלים. כאן מזדלחת מעבר לפינה הגישה הפורמלית, המתמטית. בעצם לקחנו את המספרים הטבעיים, יצירי אלוהים, והצמדנו להם תחילית של סימן מינוס. אנחנו יודעים איך "להתעסק" עם מספרים שליליים שכאלו - שלוש ועוד מינוס שתיים זה כמו שלוש פחות שתיים. חיבור עם מספר שלילי הופך לחיסור. הדברים הללו נראים לנו טבעיים, אבל יש עומק פורמלי שעומד מאחוריהם. למה מינוס כפול מינוס זה פלוס? כאן האינטואיציה כבר נתקעת, אבל יש הוכחה פורמלית לא מסובכת. השלב הבא הוא מעבר למספרים רציונליים. חצאים, שלישים, דברים כאלו. כל מה שניתן לבטא בתור מספר שלם אחד מחולק במספר שלם אחר. קל לחשוב על דוגמאות: חצי עוגה, חצי שקל. כאן המעבר לפעולות פורמליות קצת יותר מסובך - כשמחברים צריך להתעסק עם מכנה משותף ודברים משונים שכאלו. למרות זאת, מה שקיבלנו הוא פשוט: כל מספר רציונלי הוא בסך הכל זוג של מספרים שלמים (מונה ומכנה) עם פעולות מיוחדות של חיבור וכפל שמוגדרות עליהם. פעולות החיבור והכפל הללו מתבססות על זה שאנחנו כבר יודעים איך לבצע חיבור וכפל במספרים שלמים (מה עם חילוק וחיסור? במובן מסויים אפשר לראות אותם כסוגים מיוחדים של חיבור וכפל). למספרים הממשיים עדיין יש המחשות נאות בחיי היום יום: ציירי ישר - את מצפה שאפשר יהיה לתת מספר לכל אחת מה"נקודות" שבתוכו, נכון? במציאות שלנו הישר מורכב מאוסף סופי של נקודות בדידות, ולכן בתיאוריה מספיק לתת מספר טבעי לכל אחת מהן - אבל הישר המתמטי הוא אידאלי, ו"רציף" (מושג שפרנס דיון מאוד ארוך במקום אחר באתר הזה) ולכן אנחנו צריכים להשתמש במספרים הממשיים, שההגדרה הפורמלית שלהם הרבה יותר מסובכת. אבל אי אפשר להימנע מלהיתקל במספרים ממשיים. אם מציירים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 1 (מספר טבעי שאפילו קרונקר היה מאשר), מקבלים שהאלכסון של הריבוע הוא השורש של שתיים - מספר שאינו רציונלי (והאגדות מספרות שחסידיו של פיתגורס הטביעו את חברם שגילה את התגלית הזו - אבל ייתכן שזה לא היה שורש שתיים אלא שורש חמש). גם כאשר מציירים מעגל עם קוטר 1 (וכל מה שצריך בשביל זה הוא מחוגה פשוטה) מקבלים שההיקף שלו הוא פאי - שגם הוא לא רציונלי. לרוע מזלם של המרוכבים, קשה לספק להם אינטואיציות דומות. בגיאומטריה "רגילה" הם לא צצים מכורח הנסיבות - אבל גם מספרים שליליים לא. ההבדל הוא שמספרים שליליים נולדים כתוצאה מהפעלה של פעולת החיסור, שהיא פשוטה מאוד - הפעולה הנגדית לחיבור. לעומת זאת, כדי להגיע למספרים מרוכבים צריך להוציא שורש, וזו פעולה קצת פחות פשוטה. לדעתי האישית (שכנראה אין לה קשר למציאות), עיקר הקושי הוא בהיפוך הסדר. בחיסור אנחנו שואלים "מה נקבל אם נחסר 3 מ-2?" ומשאין לנו תשובה במספרים טבעיים אנחנו "ממציאים" את מינוס 1. מה העניין כאן? שאין לנו צורך במספר הזה כדי לבצע את החישוב. פשוט מחסרים מה-2 הזה את ה-2 הראשונים מתוך ה-3 ומקבלים 0, ואז נשאר לנו עוד 1 לחסר. די טבעי. לעומת זאת, כאשר אנו מוציאים שורש למינוס אחד, אנחנו בעצם עוצרים ושואלים את עצמנו "מה המספר שכאשר נעלה אותו בריבוע נקבל מינוס אחד?" - כלומר, אנחנו צריכים למצוא את הפתרון ו"לבדוק אותו". מכיוון שאנחנו לא מכירים שום דבר שעושה את זה, אנחנו מסיקים ש"אין פתרון". ---- ובכל זאת, למה אין בעיה עם המרוכבים? כי מה שקורה איתם די דומה למה שקורה עם המספרים הרציונליים: אנחנו לוקחים זוגות של מספרים ומגדירים עליהם פעולות מיוחדות של חיבור וכפל (במקרה של הרציונליים החיבור היה הפעולה ה"בעייתית"; במקרה של המרוכבים זה דווקא הכפל). צורת החשיבה הזו גם מאפשרת לנו לדמיין מספרים מרוכבים בתור נקודות במישור. למשל, הקוארדינטה (1,1) היא המספר i+1. ההגדרות הללו הן די פשוטות, ואין בהן שום סתירה מתמטית. הבעיה היחידה היא שקשה לנו למצוא דברים בחיי היום-יום שמתאימים אליהם. לצערי, אני עדיין לא מכיר את הדוגמה שכן מתאימה. אם תרצי, אני יכול לנסות ולהגיד עוד כמה דברים על ההגיון המתמטי שמאחורי המרוכבים, אבל קרוב לודאי שכבר דיברתי יותר מדי. באשר לשאלה הנוספת שלך: אם המשוואה שלך היא x^2+1=0 לא תצליחי למצוא פתרון למשוואה שאינו מספר מרוכב (אלא אם תמציאי משהו חדש שעליו לא חשבתי...). גם במשוואות ממעלה שלישית המדוברות שהזכרתי קודם, *עד כמה שידוע לי* השימוש במרוכבים הוא הכרחי. ייתכן שפשוט לא הבנתי את ההוכחה שראיתי בשעתו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי המשפט שלך "קשה לנו למצוא דברים בחיי היום-יום שמתאימים אליהם [מספרים מרוכבים]" זה די ברור למה. מערכות פיזיקליות מוגדרות ככה שהתוצאות שלהן יהיו ממשיות, או במלים אחרות, כשהפיזיקאים פיתחו תאוריה פיזיקלית הם חיפשו יצוג מתמטי כזה, שהתוצאה הנמדדת בסופו של דבר תהיה תמיד ממשית, אפילו אם בחישובים היו הרבה מספרים מרוכבים. נקודה נוספת היא הבעיה של פונקציות מרוכבות. קל לרובנו לדמיין גרף של פונקציה ממשית. גם לא נורא קשה לדמיין פונקציה מהמרוכבים לממשיים או אפילו פונקציה סקלרית של המרחב (למשל הטמפרטורה בכל נקודה על כדור הארץ). פיזיקאים בדרך כלל מצליחים גם לדמיין פונקציות וקטוריות של המרחב (למשל כיוון הרוח ועוצמתה בכל נקודה על כדור הארץ). לעומת זה פונקציות מרוכבות יוצרות בעיה לאינטואיציה. קשה לדמיין פונקציה שמעתיקה נקודות במישור למישור אחר. אנחנו לא חיים במרחב דו מימדי והעתקה כזאת לא מתאימה לנסיון ולאינטואיציה של רובנו. (לי עדיין יש סיוטים מהקורס בפונקציות מרוכבות) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"קשה לדמיין פונקציה שמעתיקה נקודות במישור למישור אחר" מה שמזכיר לי חבר לקורס "פונקציות מרוכבות" שלא הכין בשיעורי הבית את השאלות שדרשו גרפים של הפונקציות. התירוץ שלו היה שב"דיונון" בדיוק אזל הנייר המילימטרי ה־4 ממדי. (איך שכחתי את שמו של הבחור החכם הזה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, לעולם לא תראה (אלא אם כן אתה בטריפ רציני) שתיים הולך מחובק עם מינוס אחת. אבל כולנו יודעים מה זה מינוס אחת ומה זה שתיים, אנחנו המצאנו אותם והם הפכו להיות הבסיס למתמטיקה. כלומר חשבון פשוט הוא והחוקיות שלו, הבסיס שכולנו מבינים בכל רחבי עולם, וגם ילד קטן יבין אותו. מספר מדומה/מורכב, לעומת זאת, סותר לנו את כל החוקיות של החשבון (של מספרים מינוס אחת ושתיים) "שהמצאנו", הוא כופה עצמו בכוח ובכך סותר את מה שקבענו מלכתחילה שהוא טבעי ונכון. זה מה שאני לא מבינה במספרים מרוכבים, נדמה כאילו הם מביאים איתם חוקיות אחרת, שונה מזו שאנחנו מכירים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה חוקיות של החשבון סותר מספר מרוכב? מה זאת אומרת "כופה עצמו בכוח"? איך הוא "סותר את מה שקבענו מלכתחילה"? מה זה "טבעי ונכון"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החוקיות שאם נעלה מספר שלילי בחזקת שתיים תמיד התוצאה תהיה מספר חיובי, כלומר שורש ריבועי של מספר לעולם לא יתן מינוס... טבעי ונכון זה מה שקבענו שהוא -אחת, שתיים, אחת כפול מינוס אחת שווה מינוס אחת, מינוס חצי כפול מינוס חצי שווה רבע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החוקיות "שאם נעלה מספר שלילי בחזקת שתיים תמיד התוצאה תהיה מספר חיובי" נשמרת גם עם המספרים המרוכבים. במילים אחרות, ה"כלומר" שלך פשוט לא נכון, יש לך פשוט טעות לוגית. (האם, למשל, זה שמספר חיובי ועוד מספר חיובי תמיד יהיה גדול מאפס גורר שסכום של שני מספרים לעולם לא יהיה אפס?) לא יודע למה זה "טבעי ונכון", אבל, איפה במספרים המרוכבים יש משהו שלא עומד בתנאים האלה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, אם מעלים מספר שלילי בחזקת שתיים מקבלים מספר חיובי. אבל מספר מרוכב אינו מספר שלילי, אז החוקיות לא נשברת... דוגמה נוספת לשבירת חוקיות: אני יודע שמספר a ועוד מספר b זה תמיד מספר חיובי שגדול מ-a. פתאום מוסיפים לי "מספרים איכסיים" שאם מחברים אותם למספר חיובי a, מקבלים מספר ש*קטן* מ-a. איכס! כלומר, "שבירת אינטואיציה" יש בכל הרחבה של מערכת המספרים שלנו. למעשה, זוהי ה*מוטיבציה* להרחבת מערכת המספרים. אגב, לא ברור לי למה לא קישרתי לכאן קודם, אם כי זה אולי טכני מדי: (ותודה לעוזי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מספר *חיובי* a ועוד מספר *חיובי* b, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שסמיילי שאל, מה לא חוקי במספרים מרוכבים? פעולות החיבור והכפל איתם הן קוהרנטיות עם שאר המתמטיקה. בפרט, אפשר לחשוב על כל מספר ממשי בתור מספר מרוכב (אם מספר מרוכב "כללי" הוא a+bi, אז מספר ממשי הוא מספר מרוכב עם b=0) ובמקרה הזה כללי החשבון של מספרים מרוכבים *מכלילים* את כללי החשבון של המספרים הממשיים. הטענה "כולנו יודעים מה זה מינוס אחת ומה זה שתיים, אנחנו המצאנו אותם..." היא הסיבה שבגללה הבאתי את הציטוט של קרונקר למעלה. לנו, אנשים שגדלו בסוף המאה ה-20 ונחשפו למתמטיקה מסויימת, המושג של "מספר שלילי" נראה טבעי וברור. עד לפני מאה, מאתיים שנים זה כלל לא היה כך, והיו אנשים שדחו את המספרים השליליים בשאט נפש (גם מתמטיקאים פוריים ונבונים). שלא לדבר על הכבשה השחורה שטרם דיברתי עליה - האפס, שעכשיו נראה לנו ברור וטבעי, אבל לאנשים רבים כלל לא היה כזה. דוגמה לכך אפשר לראות בזה שאין "שנת אפס" (בין 1 לספירה ו-1 לפני הספירה), למרות שאני מניח שהאינטואיציה של כולנו אומרת לנו שצריכה להיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''שנת אפס'' יש ויש. אולי בגילך אינך מכיר כאלה עדיין, אבל אנשים יותר מבוגרים נאלצים להתמודד עם הדבר הזה בלא מעט לילות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין שום סיבה שתהיה ''שנת אפס'' לספירה כי שנה היא קטע בזמן ולא נקודה. נקודת אפס לספירה קיימת - הרגע שבו מסתיימת השנה המינוס אחת ומתחילה השנה הראשונה. ואם האינטואיציה של כולנו אומרת לנו שצריכה להיות שנת אפס, אז - כפי שאמר פעם אחד המרצים שלי באוניברסיטה (ליתר דיוק, הוא סיפר לי שאחד המרצים שלו אמר את זה פעם) - לפעמים צריך לתקן את האינטואיציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שוכנעתי. בשבילי "שנה" על ציר המספרים היא הקטע שמתחיל ב-n ונגמר ב-n+1. אני מקבל את הרושם שאצלך זה מתהפך במעבר אל "לפני הספירה", כלומר שאם n שלילי, אז שנה היא הקטע שמתחיל ב-n ומסתיים ב-n-1, ואז 0 הוא באמת נקודה בלבד. הבעיה היא שגם סדר החודשים והימים צריך להתהפך (כלומר, לפני ה-1 בינואר 1 בא ה-1 בינואר מינוס 1). דרך אחרת לחשוב על זה: נניח שמגלים שישו נולד שנה אחת מוקדם יותר (אם איני טועה הוא נולד 4 שנים מוקדם יותר) ו"מזיזים" את כל השנים צעד אחד קדימה בגלל זה - השנה 1 הופכת לשנה 2, השנה 2 הופכת לשנה 3 וכדומה. במקרה הזה השנה מינוס 1 צריכה להפוך לשנה 0 (ואז לא תהיה לנו את השנה 1) אלא אם נחליט שאותה נקדם דווקא פעמיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא כנראה בטרמינולוגיה. אם אתה מתיחס ל1 בינואר שאחרי הולדתו (לכאורה) של ישו בתור "תחילת הספירה" אז השנה שהחלה באותו 1 בינואר היא בהחלט השנה הראשונה לספירה. ה1 בינואר שקדם לו היה שנה לפני הספירה. איך אתה מחליט למספר אותן, זו כבר שאלה אחרת. בכל מקרה, ה1 בינואר הבא הוא תחילתה של השנה ה2007 לתחילת הספירה וזה נכון. באותו אופן, חורבן בית ראשון קרה 586 שנה לפני הספירה, כך שצורת הספירה הזאת (ללא שנת 0) היא אולי לא אינטואיטיבית, אבל כשרוצים לדבר על תזמון של ארועים בצורה טבעית, היא הכי נוחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי זה ככה: כשחושבים על השנים כבאות "לפני תחילת הספירה" ו"אחרי תחילת הספירה" אז אי השימוש באפס הוא מתבקש. לעומת זאת, כשחושבים על השנים פשוט בתור מספרים שהולכים בצורה סדרתית, נדמה לי שיותר טבעי להכניס גם את האפס לעניין, כי בימינו כולם יודעים שבין אחד ומינוס אחד בא אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד לא הביאו קישור לויקיפדיה? http://en.wikipedia.org/wiki/Year_zero
A year zero does not exist in the Christian Era and its Gregorian calendar or its anterior Julian calendar. A year zero does exist in ISO 8601:2004 and in the astronomical year numbering with a defined year zero equal to 1 BC, as well as in some Buddhist and Hindu lunar calendars. Astronomers include a year 0 immediately before year 1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
* חצי הוא לא מספר טבעי. גם איתו יש לך בעיה? * כל המספרים מומצאים. הייתה סיבה להמצאתם. את יודעת כבר על סיבות להמצאת אחת, שתיים, חצי, רבע, שורש-שתיים, מינוס ארבע-עשרה, וכו'. השתמשת בהם כל כך הרבה, שהם כבר לא נראים לך כמו המצאה. אבל הם המצאה. המספרים המרוכבים הם המצאה קצת יותר מסובכת (נגיד), והיא שימושית במקרים שפחות נפוצים בחייו של האדם הממוצע. זה כל ההבדל - יותר קשה להבנה, פחות שימושי. הם לא פחות אמיתיים, הם המצאה בדיוק אותה המידה כמו האחרים. * אם אפשר היה להסתדר בלעדיהם בלי בעיות, השימוש בהם לא היה נפוץ. השימוש בהם מאוד נפוץ, עד כדי כך נפוץ, שהאידיוטים במשרד החינוך החליטו, נגד כל היגיון, לדחוף אותם לתוך הבגרות במתמטיקה, בלי להראות לתלמידים את השימושיות של ההמצאה הזאת, ובכך לחזק את הדחייה ממתמטיקה שהם נטעו בתלמידים במשך 12 שנים. * דורפל מתבקש להמנע בעתיד מניסוח הודעותיו בצורה שרומזת שהוא מדבר בשמי, ויהי הרמז דק ככל שיהיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אילו שימושים של המרוכבים היית מראה בתיכון? לדעתי עיקר הבעיה בלימודי המרוכבים נובעת מהגישה בציטוט שהבאתי קודם מה"מאמר" של "הארץ": טוחנים לילדים את המוח במשך שנים על כך שאין שורש למספר שלילי (ספרי הלימוד מכסים לעצמם את התחת ואומרים "אין שורש ממשי", אבל מי מבין את הדקות הזו אם עוד לא שמע שקיים משהו כמו מספר מרוכב?) ואז פתאום שוברים להם את הקונספציה הזו בלי הסבר. אגב, גם אנשים שאני מכיר ואוהבים מתמטיקה (אבל טרם למדו באוניברסיטה) נרתעים ממספרים מרוכבים (וגם לי בהתחלה הם מאוד הפריעו, עד שנתקלתי בהם באוניברסיטה). אני די בטוח שזה בגלל זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לעומתך אני מאוד שמחתי כשהתחוור לי ש*יש* שורש למספר שלילי. ממש כמו ששמחתי לגלות ש*אפשר* להחסיר 3 מ-2. עד היום מצער אותי שאי אפשר לחלק באפס. שמחתי כשגיליתי שהתשובה היא "שמונה שוכב" והתעצבתי כשהבנתי לי שזה לא כל כך נכון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפס חלקי אפס זה כל מספר שאתה רוצה, תלוי מאיזה כיוון (ע''ע סינגולריות עיקרית ומשפט קאסוראטי-ויירשטראס). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא צריך להיתלות בכאלה אילנות גבוהים. כש-x שואף ל-0, הביטוי 17x/x שואף ל-17, למרות שגם המונה וגם המכנה שואפים ל-0 ולכן יש פה, לכאורה, 0/0. אפשר גם (17x/sin(x אם רוצים ביטוי פחות מטופש. את 17 אפשר להחליף במספר לפי הטעם, אין פה סינגולריות עיקרית, ולא חייבים להפחיד עם קסורטי וויירשטראס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הייתי מלמד על המרוכבים בתיכון, אלא אם תוכנית הלימודים הייתה משתנית בצורה כזאת, שגם לשימושים שלהם היו מגיעים התלמידים באותה השנה. תהיה רתיעה מהמספרים המרוכבים גם אם ילמדו אחרת. אם אתה יודע מההתחלה שכל המספרים הם המצאה, זה לא משנה את העובדה שהממשיים וכו' הם המצאה ששימושיותם ברורה יותר. גם תמיד יהיה יותר קל לחשוב על הממשיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, אני חוזר על השאלה: מהם ה"שימושים שלהם" שהיית רוצה להראות לתלמידים? למשפט השארית לא נראה לי שהיית מגיע. את המשפט היסודי של האלגברה כן מציגים (לפחות בספר הלימוד של בני גורן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אענה לך אם תשאל עוד פעם, אבל לפני כן - הבנת שאני חושב שלא כדאי להכניס את המספרים המרוכבים לבגרות במתמטיקה, נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אבל אם כבר היית מכניס אותם, אילו דוגמאות היית מביא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הייתי מראה איך זהויות טריגונומטריות נהיות יותר פשוטות ככה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים נתקלתי בהם רק בקורסים באלגברה ליניארית. חשבתי שאני זוכר שימוש בהם לחישוב מהיר של מספרי פיבונאצ'י (אתה יודע, עם המטריצה [1,1,1,0] שאתה מעלה בחזקה הרצויה ואז לוקח את המספרים ש... לא על האלכסון? לא זוכר), אבל טעיתי - הערכים העצמיים המעורבים הם ממשיים אי-רציונליים. חפרתי עוד בזכרון, ואחר כך גם הצצתי בספרים, אבל לא מצאתי איזשהו שימוש. 1. למה זה מביך אותי? 2. לאן חתרת? 3. בנפרד מהקודמות - לך יש שימושים להציע? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני זוכר שבלינארית הייתה מטריצה מהסוג שאתה מדבר עליו, אבל לא הבנתי ממש מה הם עשו שם וזה היה די מסובך. בסמסטר הבא למדתי קומבינטוריקה והראו שם איך פותרים את נוסחת הנסיגה של פיבונאצ'י ומקבלים נוסחה סגורה עבורה. זה היה יפה. חתרתי לזה שלא פשוט להציג דוגמאות ל"שימוש" במרוכבים (ובכלל, לא כל כך ברור מה זה "שימוש") מבלי להציג מספר נושאים מורכבים יותר. אין לי שימושים "פשוטים" לתלמידי בית ספר להציע, אבל אני לא חושב שזו סיבה לא ללמד מרוכבים. לדעתי מדובר בנושא יפה ולא קשה, וכדאי ללמד אותו - אבל בצורה שגם תסביר למה כל העסק חוקי (בעיקר צריך לשרש את האסון שקורה בכיתות הקודמות, שבו טוחנים לתלמידים את השכל שאין שורש למספר שלילי). עוד דבר שאולי כדאי לעשות הוא להציג את נוסחת אוילר, למרות שאין סיכוי להוכיח אותה בתיכון. זה גם יחסוך מהתלמידים התענות עם cis, זה גם יפה, וזה גם (כפי שהוצע קודם) מאפשר להבין יותר טוב את הנוסחאות הטריגונומטריות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
cis(x) הוא קיצור של cos(x)+isin(x). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי שלומד בתיכון את חצי היחידה בפיזיקה שעוסקת בזרם חילופין (אני למשל), נתקל שם במספרים מרוכבים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזכיר לי שבתיכון המקום היחיד שבשבילו הבנתי בשביל מה טריגונומטריה היא דבר טוב היה שיעורי פיזיקה. לרוע המזל, אני חושב שרובם המכריע של התלמידים לא לומד זרם חילופין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זכרון רחוק: בזמן שהייתי בתיכון, אחרי שסיימנו את השיעור הראשון במתמטיקה על המספרים המרוכבים, היה לנו שיעור פיזיקה. לפני השיעור שאלנו את המורה שלנו אם בפיזיקה משתמשים במספרים המרוכבים למשהו. המורה חשב לרגע, ואמר לנו: "כן, לחישובים בזרם חילופין ולעוד משהו קטן". כמה שנים אחר כך, כשלמדתי פיזיקה באוניברסיטה, פגשתי אותו שם (באוניברסיטה), ושאלתי אותו לפשר התשובה שלו, והוא ענה לי "אתה מכיר משהו יותר קטן מקוונטים?". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכל מקרה זה לא נכון. מספרים מרוכבים מופיעים כמעט בכל ענף פיזיקלי, כולל מכניקה, פיזיקה סטטיסטית, מצב מוצק ועוד נושאים שונים. בפרט, הם מופיעים בטרנספורמי פוריה שמשמשים לפתרון של משוואות דיפרנציאליות (שעלולות להופיע בכל מקום) ובמשפט השארית של קושי כדי לחשב אינטגרלי מסלול (שנחוצים כמעט תמיד). אתה יודע מה הערך של אינטגרל סביב מערב אירופה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רומן פולנסקי בצרפת, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וגם מארי קירי קבורה שם, אבל זה הורס את כל הבדיחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, חשבתי שזו חידה (והתכוונתי רק לרמוז שעליתי על משהו). מתנצל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אני יודע, נכון שעברו כמה שנים, אבל למדתי את כל זה... יש הבדל בין מקומות שבהם מופיעים המספרים המרוכבים כטכניקת עזר לפתרון בעיות קונקרטיות, לבין מקומות בהם הם אינהרנטית חלק מהפוסטולטים של המערכת (כמו במכניקת הקוונטים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה גם בזרם חילופין זה רק טכניקת עזר. פשוט הפתרון של משוואה הרמונית מרוסנת הוא פונקציה מרוכבת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקוונטים הם חלק מהפוסטולטים? חשבתי שדווקא מדגישים את זה שכל הדברים המדידים הם ממשיים, ולכן נראה היה לי שהמרוכבים נדחפו לשם רק בגלל שהמתמטיקה דורשת את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן ולא. בלי מספרים מרוכבים אתה לא יכול להוסיף את הפאזה למצב. פאזה היא לא גודל מדיד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה. כנראה מההודעה הקודמת התקבל הרושם המוטעה שאני מבין משהו בנושא. אין לי מושג מהי ''פאזה'' בהקשר הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם יש לך מצב קוונטי (ואני לא הולך להגדיר מה זה מצב קוונטי) אז אפשר תמיד להכפיל אותו במקדם מרוכב עם אורך 1 (שזה בעצם ( exp(iθ) שנקרא "פאזה" בלי שיהיה כל הבדל בתוצאת המדידה. לפאזה יש משמעות כאשר בסופרפוזיציה של מצבים כל מצב הוא עם פאזה שונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התוצאות התצפיתיות הן תמיד ממשיות, אבל פונקציית גל מרוכבת היא חלק מהפוסטולטים של מכניקת הקוונטים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שהקשה אמר. לי נראה שהשימוש בפונקצית גל מרוכבת הוא לצרכי נוחות ופשטות בלבד (כלומר, ''דרישה'' של המתמטיקה, לא של העולם הפיזי שמנסים למדל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהמתמטיקה של הפיזיקה נבחרת כך ש: 1. יהיה קל לבצע חישובים (למשל להעדיף מספרים מרוכבים על זוגות סדורים של ממשיים). 2. שכל תוצאה פיזיקלית תהיה ממשית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם וקטורים, נגזרות, סטטיסטיקה ואפילו מספרים ממשיים הם ''דרישה'' של המתמטיקה, לא של העולם הפיזי שמנסים למדל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מסכים, אבל בוא נשאר באי הסכמה הדדית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אפילו לא בטוח שהמתמטיקה דורשת את זה. לדוגמא: את משוואת שרודינגר אתה יכול לרשום כשתי משוואות מצומדות של שתי פונקציות ממשיות (החלק הממשי והחלק המדומה של פונקציית הגל). זה אמנם מסרבל את החיים, אבל משמר את התוכן מהבחינה המתמטית והפיסיקלית. עם מספיק מאמץ, אולי ניתן לבצע פרוק דומה לכל משוואה פיסיקלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. במקום להשתמש פונקציית גל מרוכבת אפשר להשתמש בצמד פונקציות (אפשר לקרוא להן "ממשית" ו"מדומה"), כאשר אתה מגדיר ביניהן שתי פעולות סגורות (אפשר לקרוא להן "כפל" ו"חיבור") עם כל מיני תכונות (קומטטיביות, סוציאטיביות וכל אלה), להוסיף עוד פעולה שלהשדה הממשי עליהן ("כפל בסקאלר"), ופעולה נוספת ("צימוד") עם כל מיני תכונות אחרות (למשל, עבור כל צמד, החלק ה"מדומה" ב{צמד "כפול" צימוד {צמד}} יהיה תמיד אפס) . אפשר גם לקרוא להם "מספרים מדומים" ולהעמיד פנים שאין להם קשר למספרים המדומים שנוור מיינד כל כך שונאת. אגב, את משוואות מקסוול הגדירו בהתחלה בעזרת עשרות נוסחאות עבור כל רכיב בנפרד, ההמצאה של הרישום הווקטורי ושל האופרטורים המרחביים הצליחה לצמצם את הרישום לארבע משוואות, ואח"כ בעזרת מעבר לארבע ממדים, לשתיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 403968 (אתה כתבת?) עלתה שאלת ההבחנה בין שימוש במרוכבים כטכניקת עזר, לבין היותם צורך חיוני עבור התורות הפיסיקליות. דוגמא: הסגירות האלגברית של שדה המרוכבים היא תכונה מהותית שאינה קיימת בשדה הממשי. החלפת האות i ב-u, או החלפת המספר המרוכב הבודד בזוג סדור, אינה מהותית. הגדרת הכפל באופן כזה ש-i בריבוע שווה למינוס 1, דוקא כן. דוגמא אחרת: בתורת היחסות זנחו את השימוש ב-i לטובת מטריקות של 3+1. הנקודה המהותית מבחינת הפיסיקה היא קיום סימטריות הסיבוב בין המימדים המרחביים, שמצריכות מודיפיקציות כשמוסיפים את הזמן כמימד נוסף (וסליחה על חוסר הריגורוזיות). השאלה, כפי שאני רואה אותה, היא האם ניתן להעלים את המרוכבים מהפיסיקה כמו בדוגמא השניה (כלומר: מבלי "לרמות" ולהשתמש במרוכבים תחת שמות או סימונים אחרים כמו שציינת בתגובתך). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שמדובר במשהו "אינהירנטי" אבל תאור של תורות שדות מסתמך על אינטגרלי מסלול, וכמעט בלתי אפשרי לתאר זאת ללא שימוש במכפלה של i בפעולה. אגב, גם את הממשיים אפשר להעלים מהפיסיקה על ידי שימוש בחתכי דדקינד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אילו אבות מכניקת הקוונטים לא ידעו על האפשרות של מספרים מרוכבים, הם היו נאלצים להמציא מושג מתמטי חדש. מושג שכולל בתוכו את המכפלה הפנימית, את הצימוד, את הערך המוחלט, את החיבור, את המכפלה בסקאלר ואת הרציפות של המספרים המרוכבים. האם זה היה "ממש" המספרים המרוכבים? אולי לא, אולי זה היה סתם וקטור דו ממדי (שאח"כ היה מתרחב ל-4 ו-6 ממדים בהתאם לספינור המתאים), שאף אחד לא היה חושב להתייחס אליו כאל "מספר", כמו שאנחנו לא מתייחסים לספינורי דיראק כאל מספרים (למרות שיש להם תכונות אלגבריות). עניתי לשאלה שלך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל ספינורים הם כן מספרים! 1. אלו הם (פחות או יותר, 1) קווטרניונים עם נורמה קבועה. ו*זו* הסיבה שאפשר להכפיל אותם זה בזה. לחבר אי-אפשר, בגלל העניין הזה עם הנורמה, אבל הדרך הסבירה לעבוד עם היצורים האלה היא להבין אותם בהקשר הכללי יותר. יש גן-חיות שלם של חבורות (Fucsian groups) שקשורות למשטחי רימן 2, והאיברים שלהן הן (בכאילו) מטריצות עם דטרמיננטה 1. בגן החיות הזה, בעלי החיים המבוייתים הם בדיוק אלה שאפשר להבין את האיברים שלהם גם בתור קווטרניונים; מעין ספינורים. יש מגוון של שיטות סטנדרטיות שנעשות זמינות דווקא כאשר מטפלים באלה כמו במספרים. זו גם הסיבה שה"מושג המתמטי החדש" היה הופך להיות השדה המוכר של המספרים המרוכבים בין כך ובין כך - מתמטיקה לא משחקים עם יד אחת קשורה מאחורי הגב (אלא בהתחלה, כדי לוודא שאפשר). 1 אחרי שמחלקים ב-2 במקום הנכון 2 משטח רימן = כל דבר שנראה לנמלים שחיות עליו כמו מישור; למשל, פני כדור הארץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אתה בטח יודע את זה, אבל למי שלא יודע:) קווטרניונים הם ספינורים, אבל (לא כל ה)ספינורים הם קווטרניונים. הספינורים של דיראק בהם משתמשים פיזיקאים, למשל, הם לא, למרות שגם אלה וגם אלה הם אלגברות קליפורד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Fucsian groups זה Fuchsian groups? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בספר שהזכרתי בתגובה 291808 יש (גם) נסיון לבנות את המכניקה הקוונטית מעל האלגברה הממשית, ולא המרוכבת. התוצאה היא פיזיקה אחרת לגמרי מזאת המוכרת לנו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחלה מורה היה לך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה האלטרנטיבה שלך לאינדוקטרינציה הממושכת כאילו אין שורש למספר שלילי? הכלל "אם הגעת להוציא שורש ממספר שלילי, אז לא טוב", הוא כלל מעשי די נחוץ כל עוד עובדים בממשיים. אתה רוצה ללמד את הילדים מספרים מרוכבים כבר בכיתה ה' (או מתי שזה לא יהיה שמלמדים שורש)? אפשרי, אבל יש לזה גם חסרונות ברורים. אתה רוצה שיאמרו מהתחלה "השורש של מספר שלילי הוא מספר מרוכב, ומה זה בדיוק תלמדו עוד שבע שנים"? מהר מאוד זה יקרוס לכסת"ח של ספרי הלימוד שדיברת עליו: כלל מעשי שהתלמידים מבינים לפיו אין שורש לשלילי, ומשפט מיסטי שאמרו להם פעם והם שכחו, ובצדק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה "אמרו להם פעם"? אם אני אומר שיש אינדוקטרינציה, זה אומר שאומרים להם הרבה פעמים שאין שורש למספר שלילי. אם בכל פעם כזו היו אומרים שיש אבל אנחנו לא מתעסקים איתו כרגע, נראה לי שהנזק יהיה חמור פחות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. במקרה כזה עוד יותר חשוב שכשמגיעים ללמד מרורכבים, יעשו איתם דברים מעניינים: אחרי כזה בילד-אפ של שבע שנים, אם לא יעופו ניצוצות אז הנוער יאבד סופית את מעט האמון שעוד היה לו במערכת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתקשה להבין אם אתה צוחק או לא. (בכל מקרה, נוסחת אוילר זה חתיכת ניצוץ, לדעתי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני בכלל לא בטוח. לדעתי חלק קטן מהתלמידים היו מסתקרנים, אבל הרוב היו יוצאים מבולבלים בנוסח נוור מיינד ומתחזקים באמונתם שהמתמטיקה היא מעבר להשגתם. זאת, כידוע, אמונה שמוכיחה את עצמה בקלות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יודע מה? גם אני לא בטוח. (אבל נראה לי שאלו שהיו יוצאים מבולבלים הם גם אלו שלא היו נוצרות אצלם הציפיות בנות 7 השנים שעליהן מדבר ירדן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושבת שהייתי יוצאת פחות מבולבלת, אלולא מכיתה א' עד ח' היו מלמדים אותי חשבון פשוט, בכיתה ט' קצת פונקציות ובתיכון (י'-יב') מפציצים אותי במספרים מרוכבים, אינדוקציות וקטורים וכו'. לדעתי הבעיה טמונה במערכת החינוך, אשר נזכרת ללמדת מתמטיקה רק בתיכון... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''חשבון פשוט'' יכול להיות מאוד קשה - ואם מישהו לא שולט בחשבון פשוט, קרוב לודאי שהוא מאוד מאוד יתקשה עם מתמטיקה תיכונית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק כולם זקוקים לבסיס. אבל לא למרוח את החומר על גבי 8 שנים ואז בבת אחת ללמד מתמטיקה. לדעתי אפשר ללמד חשבון פשוט עד כיתה ה', ומכתה ו' להרגיל את התלמידים לחומר יותר קשה. אני זוכרת שבכיתה ו' עוד למדנו שברים ורק בכיתה ז'-ח' התחלנו ללמוד קצת גאומטריה (זוויות במשולש) ומשוואות עם נעלם אחד. לדעתי, תלמידים מסוגלים ללמוד זאת כבר בכיתה ה'-ו'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי פעם (נדמה לי שב''חשבון להורים'' של רון אהרוני) תיאור מפורט של מה לומדים בכל שנה ביסודי ולמה אי אפשר לזרז עניינים. זה די שכנע אותי בשעתו. מה שאולי הייתי מוריד הוא את כל נושא ''תבניות המספר'' ועובר ישר למשוואות. מצד שני, אני מניח שיש סיבה טובה שהוא קיים - כנראה שלא חסרים תלמידים שהקפיצה גדולה מדי עבורם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עם הקפיצה הגדולה ממשוואות עם נעלם אחד וזוויות במשולש למטריצות וטריגונומטריה? לא היה לך קשה ללמוד חמש יחידות כשהידע שלך מסתכם בחשבון פשוט? (אלא אם כן הבית ספר שלך היה שונה ולמדת קצת יותר ממני...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא למדתי מטריצות בתיכון. למידת הרעיונות הבסיסיים של טריגו לא הייתה נוראית - רק כשהתחילו לטחון זהויות מכאן ועד להודעה חדשה בלי שום אינטואיציה גאומטרית באופק התחילו הבעיות. (בדיעבד, כל הזהויות הללו הן מהדברים הבודדים שלמדתי בבית הספר ונזקקתי להם באוניברסיטה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על איזה זהויות אתה מדבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתחילים מכאן: וממשיכים הלאה. כשספר הלימוד של בני גורן יהיה לידי אני אתן דוגמאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואלאק. החומר היחידי, כמדומתני, שלימדתי אי פעם בשיעורים פרטיים. אף פעם לא חשבתי עליו בשם הזה.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(באמת? איפה נזקקת להן?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי מקרים ספציפיים בראש כרגע. אני משער שבתרגילים טכניים בחדוו''ת וכדומה, וכמובן שגם בפיזיקה. בכל המקרים הללו לא היה צורך ביותר מהנוסחאות הבסיסיות וקצת סבלנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, פיזיקה זה לא נחשב ואצלנו בכלל לא לומדים חדו''א. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אצלנו לחדוו''ת קוראים אינפי (ואח''כ יש גם ''תורת הפונקציות'' ו''פונקציות ממשיות'', ו''מתמטיקה שימושית'' וכאלה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, רק באוניברסיטה תופסים שמה שלמדנו בתיכון הוא בכלל לא מתמטיקה, אלא סתם סט של חוקים, שיטות עבודה, כמה טריקים, ושלוש הוכחות (עם יוצא דופן בולט, הגאומטריה) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
*נכון, אחת שתים שלוש ורבע הם המצאה, אבל מספר מרוכב הוא המצאה שסותרת את הראשונה. *הסלידה שלי ממתמטיקה התפתחה דווקא בכיתה י'א תודות לאינדוקציה ומספרים מרוכבים (מפליא דווקא מקטורים לא סלדתי). *לאיזה דורפל אני עונה עכשיו (דורפל תמסור לדורפל שלא יפה שלא אמר שיש לו פיצול אישיות -זה קצת מבלבל)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינדוקציה זה אכן תמוה. אף פעם לא הבנתי למה מלמדים את זה כך. בכל התואר הראשון שלי לא השתמשתי אף פעם באינדוקציה כדי להוכיח משהו מהדברים שהוכיחו בכיתה במשך שבועות ארוכים (ומשתמשים באינדוקציה כל הזמן). מה שכן כדאי ללמד את התלמידים זה איך מוכיחים באינדוקציה שכל הסוסים שחורים ולמה זה לא נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היית צריך לדבר עם המורה שלי למתמטיקה, כל העולם היה חרב והוא עדיין היה מתעקש שכל הסוסים שחורים... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיוון שאני יודע שקיים סוס שחור ("הסיח השחור") אני אוכיח משהו יותר פשוט: שלכל הסוסים בעולם אותו צבע. לכן הם בטח מאותו צבע כמו הסוס השחור ולכן כולם שחורים. כלומר, בצורה פורמלית מה שאני צריך להוכיח הוא שבכל קבוצה של n סוסים, כל הסוסים מאותו הצבע. את הדבר הזה קל להוכיח: בסיס האינדוקציה הוא n=1, כלומר קבוצה בעלת סוס אחד. ברור שכל הסוסים בקבוצה הזו הם מאותו הצבע. בצעד האינדוקציה אני מניח שזה נכון עבור n=k (כלומר, בכל קבוצה בעלת k סוסים, כל הסוסים הם מאותו הצבע) ואני צריך להוכיח עבור k+1. אז בוא ניקח קבוצה עם k+1 סוסים. נוציא ממנה סוס אחד - "יוסי". קיבלנו קבוצה עם k סוסים, שכולם באותו הצבע על פי הנחת האינדוקציה. כלומר, היחיד שיכול להיות בעל צבע שונה הוא יוסי הממזר. עכשיו נחזיר את יוסי לקבוצה ונוציא ממנה סוס אחר. שוב, בקבוצה שקיבלנו בעלת k הסוסים כל הסוסים הם באותו הצבע. אלא שהפעם יוסי שייך לקבוצה, ולכן יש לו את אותו הצבע כמו שאר הסוסים בקבוצה, ולכן גם הוא בעל אותו הצבע כמו כולם. לכן כל הסוסים בקבוצה המלאה, עם ה-k+1 סוסים, הם בעלי אותו הצבע, וגמרנו את ההוכחה. עכשיו כשאני כותב את זה אני נדהם מכמה שהטריק שקוף (בשעתו כששמעתי את החידה לא הצלחתי בהתחלה למצוא את הבעיה), אבל כנראה שזה בגלל שאני כותב גרוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהכנסת את יוסי הממזר הכחול לקבוצה של סייחים שחורים לא תהפוך את הממזר גם לשחור, לכן אני לא מבינה את ההוכחה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז את לא מבינה אינדוקציה. לפני שהוא הכניס את יוסי, הוא הניח ש*כל* קבוצה עם k סייחים, מכילה רק סייחים שחורים. מעצם היותו של יוסי חבר בקבוצה כזאת, הוא בהכרח (במידה וההנחה נכונה, זאת אומרת) שחור. הכללתו בקבוצה לא הפכה אותו לשחור, היא רק הוכיחה לנו, המביטים מהצד, את היותו שחור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, אני לא מבינה מספרים מורכבים ולא אינדוקציה ואני מודעת לזה. הגיון ומתמטיקה (לא כולל מטריצות,טריגונומטריה, גאומטריה ווקטורים) לא מתיישבים אצלי ביחד (אני מעדיפה לדון על הדנ"א שמקודד לצבע שחור מאשר להוכיח באינדוקציה שכל הסוסים בקצובה K שחורים...). הזכרתי כבר שאני לא אוהבת מתמטיקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם איני טועה אתה סטודנט לתואר ראשון. האם אתה מתכוון להמשיך לתואר שני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שיתנו לי לסיים את הראשון. עכשיו ענה אתה לי בבקשה - למה אתה שואל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי לאור פתיחת תגובה 403861, אני תוהה האם בכוונתך לתרגל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה לא בסדר בהסבר שם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שיש בעיה בהסבר, אלא בהערה שלפניו. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |