בתשובה לנוור מיינד, 20/08/06 20:56
 |
|
 |
||
|
||||
 |
* חצי הוא לא מספר טבעי. גם איתו יש לך בעיה? * כל המספרים מומצאים. הייתה סיבה להמצאתם. את יודעת כבר על סיבות להמצאת אחת, שתיים, חצי, רבע, שורש-שתיים, מינוס ארבע-עשרה, וכו'. השתמשת בהם כל כך הרבה, שהם כבר לא נראים לך כמו המצאה. אבל הם המצאה. המספרים המרוכבים הם המצאה קצת יותר מסובכת (נגיד), והיא שימושית במקרים שפחות נפוצים בחייו של האדם הממוצע. זה כל ההבדל - יותר קשה להבנה, פחות שימושי. הם לא פחות אמיתיים, הם המצאה בדיוק אותה המידה כמו האחרים. * אם אפשר היה להסתדר בלעדיהם בלי בעיות, השימוש בהם לא היה נפוץ. השימוש בהם מאוד נפוץ, עד כדי כך נפוץ, שהאידיוטים במשרד החינוך החליטו, נגד כל היגיון, לדחוף אותם לתוך הבגרות במתמטיקה, בלי להראות לתלמידים את השימושיות של ההמצאה הזאת, ובכך לחזק את הדחייה ממתמטיקה שהם נטעו בתלמידים במשך 12 שנים. * דורפל מתבקש להמנע בעתיד מניסוח הודעותיו בצורה שרומזת שהוא מדבר בשמי, ויהי הרמז דק ככל שיהיה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אילו שימושים של המרוכבים היית מראה בתיכון? לדעתי עיקר הבעיה בלימודי המרוכבים נובעת מהגישה בציטוט שהבאתי קודם מה"מאמר" של "הארץ": טוחנים לילדים את המוח במשך שנים על כך שאין שורש למספר שלילי (ספרי הלימוד מכסים לעצמם את התחת ואומרים "אין שורש ממשי", אבל מי מבין את הדקות הזו אם עוד לא שמע שקיים משהו כמו מספר מרוכב?) ואז פתאום שוברים להם את הקונספציה הזו בלי הסבר. אגב, גם אנשים שאני מכיר ואוהבים מתמטיקה (אבל טרם למדו באוניברסיטה) נרתעים ממספרים מרוכבים (וגם לי בהתחלה הם מאוד הפריעו, עד שנתקלתי בהם באוניברסיטה). אני די בטוח שזה בגלל זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לעומתך אני מאוד שמחתי כשהתחוור לי ש*יש* שורש למספר שלילי. ממש כמו ששמחתי לגלות ש*אפשר* להחסיר 3 מ-2. עד היום מצער אותי שאי אפשר לחלק באפס. שמחתי כשגיליתי שהתשובה היא "שמונה שוכב" והתעצבתי כשהבנתי לי שזה לא כל כך נכון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפס חלקי אפס זה כל מספר שאתה רוצה, תלוי מאיזה כיוון (ע''ע סינגולריות עיקרית ומשפט קאסוראטי-ויירשטראס). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא צריך להיתלות בכאלה אילנות גבוהים. כש-x שואף ל-0, הביטוי 17x/x שואף ל-17, למרות שגם המונה וגם המכנה שואפים ל-0 ולכן יש פה, לכאורה, 0/0. אפשר גם (17x/sin(x אם רוצים ביטוי פחות מטופש. את 17 אפשר להחליף במספר לפי הטעם, אין פה סינגולריות עיקרית, ולא חייבים להפחיד עם קסורטי וויירשטראס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הייתי מלמד על המרוכבים בתיכון, אלא אם תוכנית הלימודים הייתה משתנית בצורה כזאת, שגם לשימושים שלהם היו מגיעים התלמידים באותה השנה. תהיה רתיעה מהמספרים המרוכבים גם אם ילמדו אחרת. אם אתה יודע מההתחלה שכל המספרים הם המצאה, זה לא משנה את העובדה שהממשיים וכו' הם המצאה ששימושיותם ברורה יותר. גם תמיד יהיה יותר קל לחשוב על הממשיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, אני חוזר על השאלה: מהם ה"שימושים שלהם" שהיית רוצה להראות לתלמידים? למשפט השארית לא נראה לי שהיית מגיע. את המשפט היסודי של האלגברה כן מציגים (לפחות בספר הלימוד של בני גורן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אענה לך אם תשאל עוד פעם, אבל לפני כן - הבנת שאני חושב שלא כדאי להכניס את המספרים המרוכבים לבגרות במתמטיקה, נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אבל אם כבר היית מכניס אותם, אילו דוגמאות היית מביא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הייתי מראה איך זהויות טריגונומטריות נהיות יותר פשוטות ככה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים נתקלתי בהם רק בקורסים באלגברה ליניארית. חשבתי שאני זוכר שימוש בהם לחישוב מהיר של מספרי פיבונאצ'י (אתה יודע, עם המטריצה [1,1,1,0] שאתה מעלה בחזקה הרצויה ואז לוקח את המספרים ש... לא על האלכסון? לא זוכר), אבל טעיתי - הערכים העצמיים המעורבים הם ממשיים אי-רציונליים. חפרתי עוד בזכרון, ואחר כך גם הצצתי בספרים, אבל לא מצאתי איזשהו שימוש. 1. למה זה מביך אותי? 2. לאן חתרת? 3. בנפרד מהקודמות - לך יש שימושים להציע? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני זוכר שבלינארית הייתה מטריצה מהסוג שאתה מדבר עליו, אבל לא הבנתי ממש מה הם עשו שם וזה היה די מסובך. בסמסטר הבא למדתי קומבינטוריקה והראו שם איך פותרים את נוסחת הנסיגה של פיבונאצ'י ומקבלים נוסחה סגורה עבורה. זה היה יפה. חתרתי לזה שלא פשוט להציג דוגמאות ל"שימוש" במרוכבים (ובכלל, לא כל כך ברור מה זה "שימוש") מבלי להציג מספר נושאים מורכבים יותר. אין לי שימושים "פשוטים" לתלמידי בית ספר להציע, אבל אני לא חושב שזו סיבה לא ללמד מרוכבים. לדעתי מדובר בנושא יפה ולא קשה, וכדאי ללמד אותו - אבל בצורה שגם תסביר למה כל העסק חוקי (בעיקר צריך לשרש את האסון שקורה בכיתות הקודמות, שבו טוחנים לתלמידים את השכל שאין שורש למספר שלילי). עוד דבר שאולי כדאי לעשות הוא להציג את נוסחת אוילר, למרות שאין סיכוי להוכיח אותה בתיכון. זה גם יחסוך מהתלמידים התענות עם cis, זה גם יפה, וזה גם (כפי שהוצע קודם) מאפשר להבין יותר טוב את הנוסחאות הטריגונומטריות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
cis(x) הוא קיצור של cos(x)+isin(x). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי שלומד בתיכון את חצי היחידה בפיזיקה שעוסקת בזרם חילופין (אני למשל), נתקל שם במספרים מרוכבים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזכיר לי שבתיכון המקום היחיד שבשבילו הבנתי בשביל מה טריגונומטריה היא דבר טוב היה שיעורי פיזיקה. לרוע המזל, אני חושב שרובם המכריע של התלמידים לא לומד זרם חילופין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זכרון רחוק: בזמן שהייתי בתיכון, אחרי שסיימנו את השיעור הראשון במתמטיקה על המספרים המרוכבים, היה לנו שיעור פיזיקה. לפני השיעור שאלנו את המורה שלנו אם בפיזיקה משתמשים במספרים המרוכבים למשהו. המורה חשב לרגע, ואמר לנו: "כן, לחישובים בזרם חילופין ולעוד משהו קטן". כמה שנים אחר כך, כשלמדתי פיזיקה באוניברסיטה, פגשתי אותו שם (באוניברסיטה), ושאלתי אותו לפשר התשובה שלו, והוא ענה לי "אתה מכיר משהו יותר קטן מקוונטים?". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכל מקרה זה לא נכון. מספרים מרוכבים מופיעים כמעט בכל ענף פיזיקלי, כולל מכניקה, פיזיקה סטטיסטית, מצב מוצק ועוד נושאים שונים. בפרט, הם מופיעים בטרנספורמי פוריה שמשמשים לפתרון של משוואות דיפרנציאליות (שעלולות להופיע בכל מקום) ובמשפט השארית של קושי כדי לחשב אינטגרלי מסלול (שנחוצים כמעט תמיד). אתה יודע מה הערך של אינטגרל סביב מערב אירופה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רומן פולנסקי בצרפת, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וגם מארי קירי קבורה שם, אבל זה הורס את כל הבדיחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, חשבתי שזו חידה (והתכוונתי רק לרמוז שעליתי על משהו). מתנצל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אני יודע, נכון שעברו כמה שנים, אבל למדתי את כל זה... יש הבדל בין מקומות שבהם מופיעים המספרים המרוכבים כטכניקת עזר לפתרון בעיות קונקרטיות, לבין מקומות בהם הם אינהרנטית חלק מהפוסטולטים של המערכת (כמו במכניקת הקוונטים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה גם בזרם חילופין זה רק טכניקת עזר. פשוט הפתרון של משוואה הרמונית מרוסנת הוא פונקציה מרוכבת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקוונטים הם חלק מהפוסטולטים? חשבתי שדווקא מדגישים את זה שכל הדברים המדידים הם ממשיים, ולכן נראה היה לי שהמרוכבים נדחפו לשם רק בגלל שהמתמטיקה דורשת את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן ולא. בלי מספרים מרוכבים אתה לא יכול להוסיף את הפאזה למצב. פאזה היא לא גודל מדיד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה. כנראה מההודעה הקודמת התקבל הרושם המוטעה שאני מבין משהו בנושא. אין לי מושג מהי ''פאזה'' בהקשר הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם יש לך מצב קוונטי (ואני לא הולך להגדיר מה זה מצב קוונטי) אז אפשר תמיד להכפיל אותו במקדם מרוכב עם אורך 1 (שזה בעצם ( exp(iθ) שנקרא "פאזה" בלי שיהיה כל הבדל בתוצאת המדידה. לפאזה יש משמעות כאשר בסופרפוזיציה של מצבים כל מצב הוא עם פאזה שונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התוצאות התצפיתיות הן תמיד ממשיות, אבל פונקציית גל מרוכבת היא חלק מהפוסטולטים של מכניקת הקוונטים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שהקשה אמר. לי נראה שהשימוש בפונקצית גל מרוכבת הוא לצרכי נוחות ופשטות בלבד (כלומר, ''דרישה'' של המתמטיקה, לא של העולם הפיזי שמנסים למדל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהמתמטיקה של הפיזיקה נבחרת כך ש: 1. יהיה קל לבצע חישובים (למשל להעדיף מספרים מרוכבים על זוגות סדורים של ממשיים). 2. שכל תוצאה פיזיקלית תהיה ממשית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם וקטורים, נגזרות, סטטיסטיקה ואפילו מספרים ממשיים הם ''דרישה'' של המתמטיקה, לא של העולם הפיזי שמנסים למדל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מסכים, אבל בוא נשאר באי הסכמה הדדית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אפילו לא בטוח שהמתמטיקה דורשת את זה. לדוגמא: את משוואת שרודינגר אתה יכול לרשום כשתי משוואות מצומדות של שתי פונקציות ממשיות (החלק הממשי והחלק המדומה של פונקציית הגל). זה אמנם מסרבל את החיים, אבל משמר את התוכן מהבחינה המתמטית והפיסיקלית. עם מספיק מאמץ, אולי ניתן לבצע פרוק דומה לכל משוואה פיסיקלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. במקום להשתמש פונקציית גל מרוכבת אפשר להשתמש בצמד פונקציות (אפשר לקרוא להן "ממשית" ו"מדומה"), כאשר אתה מגדיר ביניהן שתי פעולות סגורות (אפשר לקרוא להן "כפל" ו"חיבור") עם כל מיני תכונות (קומטטיביות, סוציאטיביות וכל אלה), להוסיף עוד פעולה שלהשדה הממשי עליהן ("כפל בסקאלר"), ופעולה נוספת ("צימוד") עם כל מיני תכונות אחרות (למשל, עבור כל צמד, החלק ה"מדומה" ב{צמד "כפול" צימוד {צמד}} יהיה תמיד אפס) . אפשר גם לקרוא להם "מספרים מדומים" ולהעמיד פנים שאין להם קשר למספרים המדומים שנוור מיינד כל כך שונאת. אגב, את משוואות מקסוול הגדירו בהתחלה בעזרת עשרות נוסחאות עבור כל רכיב בנפרד, ההמצאה של הרישום הווקטורי ושל האופרטורים המרחביים הצליחה לצמצם את הרישום לארבע משוואות, ואח"כ בעזרת מעבר לארבע ממדים, לשתיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 403968 (אתה כתבת?) עלתה שאלת ההבחנה בין שימוש במרוכבים כטכניקת עזר, לבין היותם צורך חיוני עבור התורות הפיסיקליות. דוגמא: הסגירות האלגברית של שדה המרוכבים היא תכונה מהותית שאינה קיימת בשדה הממשי. החלפת האות i ב-u, או החלפת המספר המרוכב הבודד בזוג סדור, אינה מהותית. הגדרת הכפל באופן כזה ש-i בריבוע שווה למינוס 1, דוקא כן. דוגמא אחרת: בתורת היחסות זנחו את השימוש ב-i לטובת מטריקות של 3+1. הנקודה המהותית מבחינת הפיסיקה היא קיום סימטריות הסיבוב בין המימדים המרחביים, שמצריכות מודיפיקציות כשמוסיפים את הזמן כמימד נוסף (וסליחה על חוסר הריגורוזיות). השאלה, כפי שאני רואה אותה, היא האם ניתן להעלים את המרוכבים מהפיסיקה כמו בדוגמא השניה (כלומר: מבלי "לרמות" ולהשתמש במרוכבים תחת שמות או סימונים אחרים כמו שציינת בתגובתך). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שמדובר במשהו "אינהירנטי" אבל תאור של תורות שדות מסתמך על אינטגרלי מסלול, וכמעט בלתי אפשרי לתאר זאת ללא שימוש במכפלה של i בפעולה. אגב, גם את הממשיים אפשר להעלים מהפיסיקה על ידי שימוש בחתכי דדקינד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אילו אבות מכניקת הקוונטים לא ידעו על האפשרות של מספרים מרוכבים, הם היו נאלצים להמציא מושג מתמטי חדש. מושג שכולל בתוכו את המכפלה הפנימית, את הצימוד, את הערך המוחלט, את החיבור, את המכפלה בסקאלר ואת הרציפות של המספרים המרוכבים. האם זה היה "ממש" המספרים המרוכבים? אולי לא, אולי זה היה סתם וקטור דו ממדי (שאח"כ היה מתרחב ל-4 ו-6 ממדים בהתאם לספינור המתאים), שאף אחד לא היה חושב להתייחס אליו כאל "מספר", כמו שאנחנו לא מתייחסים לספינורי דיראק כאל מספרים (למרות שיש להם תכונות אלגבריות). עניתי לשאלה שלך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל ספינורים הם כן מספרים! 1. אלו הם (פחות או יותר, 1) קווטרניונים עם נורמה קבועה. ו*זו* הסיבה שאפשר להכפיל אותם זה בזה. לחבר אי-אפשר, בגלל העניין הזה עם הנורמה, אבל הדרך הסבירה לעבוד עם היצורים האלה היא להבין אותם בהקשר הכללי יותר. יש גן-חיות שלם של חבורות (Fucsian groups) שקשורות למשטחי רימן 2, והאיברים שלהן הן (בכאילו) מטריצות עם דטרמיננטה 1. בגן החיות הזה, בעלי החיים המבוייתים הם בדיוק אלה שאפשר להבין את האיברים שלהם גם בתור קווטרניונים; מעין ספינורים. יש מגוון של שיטות סטנדרטיות שנעשות זמינות דווקא כאשר מטפלים באלה כמו במספרים. זו גם הסיבה שה"מושג המתמטי החדש" היה הופך להיות השדה המוכר של המספרים המרוכבים בין כך ובין כך - מתמטיקה לא משחקים עם יד אחת קשורה מאחורי הגב (אלא בהתחלה, כדי לוודא שאפשר). 1 אחרי שמחלקים ב-2 במקום הנכון 2 משטח רימן = כל דבר שנראה לנמלים שחיות עליו כמו מישור; למשל, פני כדור הארץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אתה בטח יודע את זה, אבל למי שלא יודע:) קווטרניונים הם ספינורים, אבל (לא כל ה)ספינורים הם קווטרניונים. הספינורים של דיראק בהם משתמשים פיזיקאים, למשל, הם לא, למרות שגם אלה וגם אלה הם אלגברות קליפורד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Fucsian groups זה Fuchsian groups? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בספר שהזכרתי בתגובה 291808 יש (גם) נסיון לבנות את המכניקה הקוונטית מעל האלגברה הממשית, ולא המרוכבת. התוצאה היא פיזיקה אחרת לגמרי מזאת המוכרת לנו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחלה מורה היה לך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה האלטרנטיבה שלך לאינדוקטרינציה הממושכת כאילו אין שורש למספר שלילי? הכלל "אם הגעת להוציא שורש ממספר שלילי, אז לא טוב", הוא כלל מעשי די נחוץ כל עוד עובדים בממשיים. אתה רוצה ללמד את הילדים מספרים מרוכבים כבר בכיתה ה' (או מתי שזה לא יהיה שמלמדים שורש)? אפשרי, אבל יש לזה גם חסרונות ברורים. אתה רוצה שיאמרו מהתחלה "השורש של מספר שלילי הוא מספר מרוכב, ומה זה בדיוק תלמדו עוד שבע שנים"? מהר מאוד זה יקרוס לכסת"ח של ספרי הלימוד שדיברת עליו: כלל מעשי שהתלמידים מבינים לפיו אין שורש לשלילי, ומשפט מיסטי שאמרו להם פעם והם שכחו, ובצדק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה "אמרו להם פעם"? אם אני אומר שיש אינדוקטרינציה, זה אומר שאומרים להם הרבה פעמים שאין שורש למספר שלילי. אם בכל פעם כזו היו אומרים שיש אבל אנחנו לא מתעסקים איתו כרגע, נראה לי שהנזק יהיה חמור פחות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. במקרה כזה עוד יותר חשוב שכשמגיעים ללמד מרורכבים, יעשו איתם דברים מעניינים: אחרי כזה בילד-אפ של שבע שנים, אם לא יעופו ניצוצות אז הנוער יאבד סופית את מעט האמון שעוד היה לו במערכת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתקשה להבין אם אתה צוחק או לא. (בכל מקרה, נוסחת אוילר זה חתיכת ניצוץ, לדעתי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני בכלל לא בטוח. לדעתי חלק קטן מהתלמידים היו מסתקרנים, אבל הרוב היו יוצאים מבולבלים בנוסח נוור מיינד ומתחזקים באמונתם שהמתמטיקה היא מעבר להשגתם. זאת, כידוע, אמונה שמוכיחה את עצמה בקלות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יודע מה? גם אני לא בטוח. (אבל נראה לי שאלו שהיו יוצאים מבולבלים הם גם אלו שלא היו נוצרות אצלם הציפיות בנות 7 השנים שעליהן מדבר ירדן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושבת שהייתי יוצאת פחות מבולבלת, אלולא מכיתה א' עד ח' היו מלמדים אותי חשבון פשוט, בכיתה ט' קצת פונקציות ובתיכון (י'-יב') מפציצים אותי במספרים מרוכבים, אינדוקציות וקטורים וכו'. לדעתי הבעיה טמונה במערכת החינוך, אשר נזכרת ללמדת מתמטיקה רק בתיכון... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''חשבון פשוט'' יכול להיות מאוד קשה - ואם מישהו לא שולט בחשבון פשוט, קרוב לודאי שהוא מאוד מאוד יתקשה עם מתמטיקה תיכונית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק כולם זקוקים לבסיס. אבל לא למרוח את החומר על גבי 8 שנים ואז בבת אחת ללמד מתמטיקה. לדעתי אפשר ללמד חשבון פשוט עד כיתה ה', ומכתה ו' להרגיל את התלמידים לחומר יותר קשה. אני זוכרת שבכיתה ו' עוד למדנו שברים ורק בכיתה ז'-ח' התחלנו ללמוד קצת גאומטריה (זוויות במשולש) ומשוואות עם נעלם אחד. לדעתי, תלמידים מסוגלים ללמוד זאת כבר בכיתה ה'-ו'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי פעם (נדמה לי שב''חשבון להורים'' של רון אהרוני) תיאור מפורט של מה לומדים בכל שנה ביסודי ולמה אי אפשר לזרז עניינים. זה די שכנע אותי בשעתו. מה שאולי הייתי מוריד הוא את כל נושא ''תבניות המספר'' ועובר ישר למשוואות. מצד שני, אני מניח שיש סיבה טובה שהוא קיים - כנראה שלא חסרים תלמידים שהקפיצה גדולה מדי עבורם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עם הקפיצה הגדולה ממשוואות עם נעלם אחד וזוויות במשולש למטריצות וטריגונומטריה? לא היה לך קשה ללמוד חמש יחידות כשהידע שלך מסתכם בחשבון פשוט? (אלא אם כן הבית ספר שלך היה שונה ולמדת קצת יותר ממני...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא למדתי מטריצות בתיכון. למידת הרעיונות הבסיסיים של טריגו לא הייתה נוראית - רק כשהתחילו לטחון זהויות מכאן ועד להודעה חדשה בלי שום אינטואיציה גאומטרית באופק התחילו הבעיות. (בדיעבד, כל הזהויות הללו הן מהדברים הבודדים שלמדתי בבית הספר ונזקקתי להם באוניברסיטה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על איזה זהויות אתה מדבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתחילים מכאן: וממשיכים הלאה. כשספר הלימוד של בני גורן יהיה לידי אני אתן דוגמאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואלאק. החומר היחידי, כמדומתני, שלימדתי אי פעם בשיעורים פרטיים. אף פעם לא חשבתי עליו בשם הזה.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(באמת? איפה נזקקת להן?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי מקרים ספציפיים בראש כרגע. אני משער שבתרגילים טכניים בחדוו''ת וכדומה, וכמובן שגם בפיזיקה. בכל המקרים הללו לא היה צורך ביותר מהנוסחאות הבסיסיות וקצת סבלנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, פיזיקה זה לא נחשב ואצלנו בכלל לא לומדים חדו''א. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אצלנו לחדוו''ת קוראים אינפי (ואח''כ יש גם ''תורת הפונקציות'' ו''פונקציות ממשיות'', ו''מתמטיקה שימושית'' וכאלה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, רק באוניברסיטה תופסים שמה שלמדנו בתיכון הוא בכלל לא מתמטיקה, אלא סתם סט של חוקים, שיטות עבודה, כמה טריקים, ושלוש הוכחות (עם יוצא דופן בולט, הגאומטריה) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
*נכון, אחת שתים שלוש ורבע הם המצאה, אבל מספר מרוכב הוא המצאה שסותרת את הראשונה. *הסלידה שלי ממתמטיקה התפתחה דווקא בכיתה י'א תודות לאינדוקציה ומספרים מרוכבים (מפליא דווקא מקטורים לא סלדתי). *לאיזה דורפל אני עונה עכשיו (דורפל תמסור לדורפל שלא יפה שלא אמר שיש לו פיצול אישיות -זה קצת מבלבל)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינדוקציה זה אכן תמוה. אף פעם לא הבנתי למה מלמדים את זה כך. בכל התואר הראשון שלי לא השתמשתי אף פעם באינדוקציה כדי להוכיח משהו מהדברים שהוכיחו בכיתה במשך שבועות ארוכים (ומשתמשים באינדוקציה כל הזמן). מה שכן כדאי ללמד את התלמידים זה איך מוכיחים באינדוקציה שכל הסוסים שחורים ולמה זה לא נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היית צריך לדבר עם המורה שלי למתמטיקה, כל העולם היה חרב והוא עדיין היה מתעקש שכל הסוסים שחורים... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיוון שאני יודע שקיים סוס שחור ("הסיח השחור") אני אוכיח משהו יותר פשוט: שלכל הסוסים בעולם אותו צבע. לכן הם בטח מאותו צבע כמו הסוס השחור ולכן כולם שחורים. כלומר, בצורה פורמלית מה שאני צריך להוכיח הוא שבכל קבוצה של n סוסים, כל הסוסים מאותו הצבע. את הדבר הזה קל להוכיח: בסיס האינדוקציה הוא n=1, כלומר קבוצה בעלת סוס אחד. ברור שכל הסוסים בקבוצה הזו הם מאותו הצבע. בצעד האינדוקציה אני מניח שזה נכון עבור n=k (כלומר, בכל קבוצה בעלת k סוסים, כל הסוסים הם מאותו הצבע) ואני צריך להוכיח עבור k+1. אז בוא ניקח קבוצה עם k+1 סוסים. נוציא ממנה סוס אחד - "יוסי". קיבלנו קבוצה עם k סוסים, שכולם באותו הצבע על פי הנחת האינדוקציה. כלומר, היחיד שיכול להיות בעל צבע שונה הוא יוסי הממזר. עכשיו נחזיר את יוסי לקבוצה ונוציא ממנה סוס אחר. שוב, בקבוצה שקיבלנו בעלת k הסוסים כל הסוסים הם באותו הצבע. אלא שהפעם יוסי שייך לקבוצה, ולכן יש לו את אותו הצבע כמו שאר הסוסים בקבוצה, ולכן גם הוא בעל אותו הצבע כמו כולם. לכן כל הסוסים בקבוצה המלאה, עם ה-k+1 סוסים, הם בעלי אותו הצבע, וגמרנו את ההוכחה. עכשיו כשאני כותב את זה אני נדהם מכמה שהטריק שקוף (בשעתו כששמעתי את החידה לא הצלחתי בהתחלה למצוא את הבעיה), אבל כנראה שזה בגלל שאני כותב גרוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהכנסת את יוסי הממזר הכחול לקבוצה של סייחים שחורים לא תהפוך את הממזר גם לשחור, לכן אני לא מבינה את ההוכחה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז את לא מבינה אינדוקציה. לפני שהוא הכניס את יוסי, הוא הניח ש*כל* קבוצה עם k סייחים, מכילה רק סייחים שחורים. מעצם היותו של יוסי חבר בקבוצה כזאת, הוא בהכרח (במידה וההנחה נכונה, זאת אומרת) שחור. הכללתו בקבוצה לא הפכה אותו לשחור, היא רק הוכיחה לנו, המביטים מהצד, את היותו שחור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, אני לא מבינה מספרים מורכבים ולא אינדוקציה ואני מודעת לזה. הגיון ומתמטיקה (לא כולל מטריצות,טריגונומטריה, גאומטריה ווקטורים) לא מתיישבים אצלי ביחד (אני מעדיפה לדון על הדנ"א שמקודד לצבע שחור מאשר להוכיח באינדוקציה שכל הסוסים בקצובה K שחורים...). הזכרתי כבר שאני לא אוהבת מתמטיקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם איני טועה אתה סטודנט לתואר ראשון. האם אתה מתכוון להמשיך לתואר שני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שיתנו לי לסיים את הראשון. עכשיו ענה אתה לי בבקשה - למה אתה שואל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי לאור פתיחת תגובה 403861, אני תוהה האם בכוונתך לתרגל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה לא בסדר בהסבר שם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שיש בעיה בהסבר, אלא בהערה שלפניו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטון שלה בחלק של הדיון שעסק במספרים מרוכבים לא היה ''אני לא מבינה'', הוא היה ''זה לא נכון''. הטון הזה עדיין הדהד באוזניי, והשפיע גם על התגובות הבאות שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא ממש לא היה ''זה לא נכון'', אלא, לכל היותר, ''זה לא מוצא חן בעיניי''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את התגובה שלעיל תשמור לשלב הטיעונים לעונש. גדי צודק: אני מרשיע אותך בזאת בהתנהגות טיפוסית למתרגל מתחיל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(עקרונית את צודקת, אבל) אנחנו לא יודעים שיוסי הוא כחול. אנחנו כן יודעים שהכנסנו אותו לקבוצה שמכילה k סוסים שכולם באותו הצבע - לכן יוסי הוא באותו הצבע כמו שאר חברי הקבוצה. למשל, אם בקבוצה יש את יוסי, דני וגילי, הרי שאחרי שהוצאנו את יוסי נשארו דני וגילי ושניהם באותו הצבע. עכשיו נוציא את דני ונחזיר את יוסי - אז על פי הנחת האינדוקציה, יוסי באותו צבע כמו גילי, שהוא באותו הצבע כמו דני. לכן שלושתם באותו צבע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוכחים להוכיח את תנאי ההתחלה - שקבוצה של סוס אחד (או אפס סוסים) בהכרח מכילה רק סוסים שחורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק אצל גדי הוא אחר, קצת יותר מתוחכם, אבל את תנאי ההתחלה הוא דווקא כן מוכיח (קבוצה של סוס אחד מכילה רק סוסים עם צבע אחיד). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק אצל גדי הוא אותו הטריק, למיטב הבנתי - אין הוכחה של תנאי ההתחלה. הוא פשוט ניסח את תנאי ההתחלה אחרת. אני קיצרתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הטריק שלו הוא אחר, יפה יותר. גדי "מוכיח" שכל קבוצה של n סוסים היא בעלת צבע יחיד. לצורך כך יש להוכיח שזה נכון עבור קבוצה של סוס אחד (תנאי התחלה), ושאם זה מתקיים לקבוצה של n סוסים, זה מתקיים גם עבור קבוצה של n+1 סוסים. את תנאי ההתחלה קל להוכיח, כל קבוצה עם סוס אחד מכילה סוס אחד, ולכן יש לכל חבריה צבע יחיד1, הצבע של הסוס. עכשיו, מה שגדי עושה זה להניח שההנחה שלו נכונה עבור כל קבוצה עם n סוסים, ולהוכיח אותה עבור קבוצה עם n+1 סוסים. לצורך זה, גדי לוקח כל קבוצה של n+1 סוסים, מוציא ממנה סוס אחד, ו... טוב, את השאר קראת. הבעיה היא שזה לא עובד עבור כל n, ז"א כש-n=1 זה לא עובד. זה הטריק. ואם הוא היה מצליח להוכיח שלכל קבוצה של שני סוסים יש צבע אחיד, ההוכחה שלו היתה נכונה. 1 בוא נתעלם מהאפשרות של סוסים עם כתמים וכל זה, זה סתם יוזיל את הטריק. אם זה קשה לך, תחליף את ה"צבע" בגובה. ז"א, גדי מוכיח שכל הסוסים הם בעלי גובה זהה (ואח"כ הוא יבחר איזשהו פוני, ויוכיח שכל הסוסים נמוכים). במקרה כזה קל לדבר על כך שלכל סוס יש גובה יחיד, ולכן תנאי ההתחלה מתקיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק הוא שמקרה הבסיס הוא קבוצה עם שני סוסים, כי הפעולה של גדי משתמשת בשניים - קודם מוציאים אחד, אח"כ מחזירים אותי ואז מוציאים אחד *אחר*. אבל הוא לא הוכיח את מקרה הבסיס - קבוצה של שניים. הוא הוכיח מקרה אחר, והעמיד פנים שזה היה מקרה הבסיס. וזה מה שאמרתי בהתחלה, רק במשפט אחד - הטריק הוא שלא מוכיחים את מקרה הבסיס. 1 תודה לך על הדאגה, אבל לא קשה לי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולפני שאיזו טעות שלי תתגלה, אתקן ''תודה לך על הדאגה, אבל לא קשה לי עם החלק הזה של הנושא, קרי, הצבע דווקא.'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. מקרה הבסיס הוא לא קבוצה בעלת שני סוסים, מקרה הבסיס הוא קבוצה בעלת סוס אחד, ועבורו גדי הוכיח את המקרה, והוכיח יפה. לאינדוקציה יש שלושה חלקים: 1. הנחת האינדוקציה. 2. הוכחה עבור מקרה יחיד. 3. הוכחה עבוד המקרה "הבא" בהנחה שהמקרה "הקודם" מתרחש. כששולשת התנאים האלה מתקיימים יש לך הוכחה באינדוקציה. מאחר שאין לנו דרך לתקוף את 1, ומאחר ש-3 נראה בלתי תקיף, הדבר הקל הוא תמיד "לחפש" טעויות ב-2. זה מה שאתה עשית, וטעית. הטריק הוא ב-3, בגלל ש-3 לא נכון עבור כל n אלא רק עבור n>1. חבל שתמשיך להתעקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הניסוח שלי לא היה אידיאלי, אבל דיברתי על אותו הדבר - שההסקה עובדת רק למקרים שבהם n>=2, כי חייב להשאר לפחות סוס אחד בקבוצה בכל רגע ורגע. דרך יותר קצרה היא להגיד שמקרה הבסיס צריך להיות n=2. הניסוח הזה לא מסביר למה מקרה הבסיס n=1 לא עובד, ולכן הוא לא טוב. אבל רציתי לקצר, אז השתמשתי בו. נראה לי די ברור שגדי ואני התכוונו לאותו הדבר. אני לא מתעקש מתוך רשעות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במה שונות האינדוקציה של תואר ראשון ואינדוקציה של בגרות? עכשא"ז זה אותו דבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החומר של הבגרות מתעסק הרבה, ומתעסק באופן בלעדי, בשיוויונים ובאי-שיוויונים של טורים סופיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אותו רעיון (יש תכונה כלשהי שקשורה למספר טבעי. נוכיח את התכונה בצורה ישירה עבור מספר טבעי אחד, ונראה שאם היא נכונה עבור k אז היא נכונה גם עבור k+1 ומזה נסיק שהיא נכונה לכל k שגדול מהבסיס). השאלה היא מה מוכיחים בעזרתו. כמו שדורפל אמר, בתיכון מוכיחים בעיקר שוויונים ואי שוויונים, וזה מה זה משעמם. לדעתי היה עדיף להראות שימושים של אינדוקציה בהרבה מאוד מקומות שונים. אני את התיכון סיימתי כשאני חושב ש"אינדוקציה" היא תת תחום של העיסוק באי שוויונים. אני מניח שהבעיה היא שקשה לבחון על אינדוקציה באופן כללי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה שוויונים/אי שוויונים מוכיחים באינדוקציה? (לי האינדוקציה זכורה בכלל רק מהאוניברסיטה. לא זכור לי שלמדתי אותה בתיכון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואו... תודה. עכשיו ברור מדוע הדחקתי את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המספרים המרוכבים לא עומדים בסתירה להמצאות הקודמות (הממשיים וכו'). הבעיה היא לא במספרים המרוכבים, הבעיה היא שלך - את לא מבינה אותם (ולא מודעת לכך). גם הצורה שבה בזמני לימדו אינדוקציה - זהויות עלומות של טורים - לא לטעמי. זה לא דומה בכלל לאלגנטיות והמשמעותיות של הוכחות אינדוקטיביות שנתקלתי בהן מאוחר יותר, בקורסים ''במבני נתונים'' ו''אלגוריתמים''. בתיכון גם היו מכריחים אותנו לכתוב בכל פעם מגילה קטנה על השימוש שלנו ב''אקסיומת האינדוקציה'' - דרך עלובה במיוחד לוודא שאנחנו מבינים אינדוקציה מהי. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |