בתשובה לאלון עמית, 25/07/05 11:52
 |
|
 |
||
|
||||
 |
למה להגביל למספרים הטבעיים? אפשר לחזק את הטענה עוד יותר: נקבע תורה אריתמטית אפקטיבית T (למשל: ZFC). בהנתן משפט מהצורה "לכל x (טענה שאפשר לבדוק - לשני הכיוונים - בזמן סופי)", אם הוא אינו כריע, אז הוא מוכרח להיות אמיתי בכל מודל בן-מניה של T. (אחרת היתה דוגמא נגדית, ולזה יש הוכחה סופית. זו הגרסה הלוגית של "אם יש ספק אין ספק"). רק כדי ליישר קו: פסוק גדל של התורה T הוא מהצורה שהזכרתי, מכיוון שכל מספר המועמד להיות מספר גדל של הוכחה, אפשר לבדוק בזמן סופי. הפסוק אומר "אין ב- T הוכחה לעקביות של T". מה הנימוק הקודם אומר על ערך האמת שלו? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא כל כך הבנתי את הפסקה הראשונה, אבל אם הבנתי אותה, אז נראה שאני מסכים. ברור לי שה"נימוק" לא אומר שום דבר על יכיחות בתורה, הוא רק מאפשר להבחין (עבור טענות דמויות-גולדבאך, מה שמכנים פאי-1-0) בין האפשרות הסטנדרטית לאפשרות הלא-סטנדרטית לפרש את הטענה. לא הבאתי את זה כמין סופר-נימוק מדוע אפשר מטא-לראות ש-ZFC עקבית. ניסיתי לומר, או לשאול: מדוע אתם מצמדים את המושג "אמת" ליכיחות ונמנעים מלומר שיש אחת כזו אבסולוטית, כאשר אנו רואים במקרים הקלים שיכיחות ב-ZFC איננה לוכדת את האמת? דיברנו קודם על טענות אריתמטיות שאינן יכיחות ב-ZFC. אני לא בטוח שציינתי את זה אבל מטייסביץ' (מטיישביץ'? מה שאורי קורא גזונדהייט) נותן לנו אחת פשוטה: יש משוואה דיופנטית שאי-אפשר להוכיח ב-ZFC שאין לה פתרון. ברור שבאמת אין לה פתרון, כאן אין כל ויכוח. במקרה הזה, אם כך, אנו לא מפסיקים להאמין בחד-משמעיותם של הטבעיים, אלא מסיקים בצער ש-ZFC פגומה. מדוע אם כן יש להרחיק לכת ולומר שבמקרים אחרים (לא דמויי-גולדבאך), אם ZFC קצרה ידה אז זה אומר משהו מוזר על חד-משמעיות של טענות? לי נראה יותר טבעי להמשיך את אותו הקו: יש טענות אריתמטיות נכונות, יש לא נכונות, ו-ZFC (כמו כל תורה אפקטיבית אחרת) לא תמיד מאפשרת לנו לזהות מיהי מה. עצוב, אבל אז מה? מי תקע לידינו של-ZFC כל האמת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקשר בין המשוואות האלו של מטיישביץ' לבין הפתרון שלו לבעיה העשירית של הילברט? (יש הבדל בין "אין אלגוריתם שמכריע האם למשוואה יש פתרון", לבין "משוואה שאי-אפשר להוכיח ב- ZFC שאין לה פתרון"). נראה איפה אנחנו עומדים. יש טענות 'אריתמטיות' שאפשר לנסח ב- ZFC, והן בלתי כריעות שם. דוגמא: העקביות של ZFC. למרות אי-הכריעות, אנחנו מאמינים שהטענות האלה נכונות (באיזה מובן בדיוק, אגב?) אתה מציע שלכל טענה מסדר ראשון על מספרים - יש ערך אמת "אמיתי"; אם ZFC מצליחה להוכיח או לסתור את הטענה, היא נותנת את הערך הנכון. אבל גם אם לא, זה פשוט מראה על חולשה של ZFC. דוגמא: "ZFC עקבית" היא נוסחא שיש לה ערך אמת (במובן האמוני), ו- ZFC חלשה מכדי להכריע לגביה. אני מסכים ש*יש* טענות לא כריעות עם ערך אמת; אבל למה להסיק מזה ש*לכל* הטענות מטיפוס מסויים מוכרח להיות ערך אמת? חוץ מזה, על איזה טיפוס בדיוק אנחנו מדברים? כל טענה על מספרים? האם אתה מוכן לקבל שיש טענות (מסדר ראשון - כמובן, אבל האבחנה הזו חסרת משמעות) ללא ערך אמת? אם יש מודל 'טבעי', מה מפריע לו לכסות גם טענות על קבוצות של מספרים וקבוצות של קבוצות ופונקציות מקבוצות של קבוצות לקבוצות של קבוצות? מה ערך האמת של השערת הרצף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על אלה טענות אתה מסכים ש*יש* להן ערך אמת? ואם ללכת לקבוצות של מספרים וכיו"ב - מדוע לא ללכת למספרים שלמים/רציונליים/ממשיים והלאה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לסווג את הטענות לארבעה סוגים. א. אלו שאפשר להוכיח או להפריך במסגרת המערכת האקסיומטית שבחרנו (סטיקר: "אני בוחר ב- ZFC! מאה אלף מתמטיקאים לא טועים") ב. אלו שמבחינה פורמלית הן בלתי כריעות (שזה בדיוק אומר שהן לא שייכות לסוג הראשון), אבל מסיבה פסיכולוגית כלשהי אנחנו מעדיפים להמציא להן ערך אמת, ואולי אפילו להוסיף אותן למערכת האקסיומות. ג. בסוג השלישי אפשר לאסוף טענות לא כריעות שאנחנו לא מדביקים להן ערך אמת, והן נשארות בלתי כריעות גם במערכת האקסיומטית (זה עניין פורמלי), וגם 'מבחינה אונטולוגית' (שזה פסיכולוגיה, כאמור; לא באמת חשוב). ד. הסוג האחרון - "טענות" שאי אפשר בכלל לנסח בשפה של ZFC ("חצילים הם לא טעימים"), ועבורן אין משמעות למושג 'ערך אמת'. אגב, התגלית המרשימה של גדל (שאולי הלכה לאיבוד בסבך הדיון) היא שטענות כמו "ZFC היא מערכת אקסיומות עקבית" שייכות לאחד משלושת הסוגים הראשונים, ולא לסוג הרביעי. *אפשר* לנסח את ה"מטא-טענה" על עקביות של מערכת 'אריתמטית' (אפקטיבית) בתוך המערכת. המשפט השני של גדל מספר לנו ש(אם המערכת עקבית), אז הטענה הזו אינה שייכת לסוג הראשון - היא לא כריעה בתוך המערכת. מבחינתי יש ערך אמת לטענות משני הסוגים הראשונים. זו התחמקות, כי הסוג השני לא מוגדר (לא פרשתי בפניכם את הפסיכולוגיה הפרטית שלי). בכל אופן אני מעדיף גישה אגנוסטית בעניין הזה: טענה שרוצה ערך אמת צריכה להתאמץ לשכנע שהיא באמת זקוקה לו. הדוגמא היחידה שעולה בדעתי לטענות מהסוג השני: העקביות של ZFC. אני מאמין ש- ZFC מערכת עקבית, למרות שכאמור זו טענה ("על מספרים טבעיים") שאינה כריעה במערכת. למרבה התסכול, זה לא יעזור לזרוק לתוך המערכת את האקסיומה שאומרת "ZFC כריעה", ולקרוא לה ZFC+, בגלל שאז משפט גדל יאמר שהטענה "ZFC+ כריעה" אינה כריעה במסגרת ZFC+, ונצטרך לזרוק פנימה עוד ועוד אקסיומות. אין בעצם הבדל בין מספרים שלמים או רציונליים לבין מספרים טבעיים. על מספרים ממשיים אפשר לחשוב כאילו הם קבוצות (מאד מיוחדות) של מספרים רציונליים. אפשר להפנות לאלון את השאלה הזו - האם הגישה הפלטונית מחייבת ערך אמת מוגדר היטב גם לטענות על מספרים ממשיים? אם לא, מה בתהליך הבניה שלהם הוא לא 'פלטוני'? ---- (שאלה טכנית ללוגיקאים: אפשר להגדיר ברקורסיה את המערכת {ZFC+^{n+1 בתור ZFC+^n יחד עם האקסיומה "ZFC+^n כריעה", כאשר ZFC+^0=ZFC. נסמן ב- ZFC* את איחוד המערכות הקודמות. האם היא עדיין אפקטיבית?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשאלה אלי: אני מסיר מעצמי אחריות לגישה הפלטונית באופן כללי... אין לי מושג. הגישה הפרטית שלי מניחה ערך-אמת לטענות מסדר ראשון על ממשיים (מה שאומר שאני מייחס ערך-אמת גם לטענות על קבוצות של טבעיים), אבל לא לטענות על קבוצות של ממשיים (כמו גם על קבוצות של קבוצות של טבעיים). לא חשבתי על זה הרבה, אבל כך נראה לי. אגב, "תהליך הבנייה" של ממשיים הוא ודאי לא 'פלטוני' במובן הבסיסי: הוא מחייב שימוש במושג הלא-קונסטרוקטיבי "סדרה אינסופית שרירותית", או "חתך-דדקינד שרירותי". __ אני לא לוגיקאי, אבל אני חושב שאני יכול לענות: כן, ודאי. אתה עדיין יכול לזהות אקסיומה, וכללי ההיסק שלך לא השתנו. למעשה, אפשר להמשיך את הבנייה שלך באינדוקציה טרנספיניטית הלאה (באופן ברור), ויש תוצאות על מה קורה שם. יש לי ספר אחר של טורקל פרנזן, "Inexhaustability", שמדבר בדיוק על הנושא הזה בפרקים האחרונים שלו - שטרם יצא לי להתעמק בהם. מומלץ, בכל אופן, עם אזהרה: הוא פלטוניסט בערך כמוני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאור ההערה שלך על ההבדל בין "תת-קבוצות מסויימות" ל"תת-קבוצות שאפשר לבנות", אני ממליץ לך לבחור את התשובה הבאה: אתה מאמין בקיום מודל לממשיים שאפשר לבנות (למשל בהצגה העשרונית) אבל לא בהכרח בקיום מודל שמכיל את כל הממשיים. ____ (בעניין ZFC*: בהתחלה היה נדמה לי שפסוק גדל של ZFC* מיוחד במשהו, אבל עד שהגעתי לסוף כתיבת השאלה הבנתי את הבניה הטרנספיניטית. הבעיה היא שזה כל-כך מייגע להכריח את הסימנים המתמטיים להשאר במקום בזמן שממשיכים לכתוב, עד שהיה לי חבל למחוק את השאלה רק בגלל הסיבה הפרוזאית שאני יודע את התשובה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, דווקא אני נוטה להאמין בקלות ב"כל הממשיים". אלה הקונסטרוקטיביליים נראים לי משעממים מדי. לא ציינתי את ההערה על ההבדל בין קבוצות שאפשר לבנות לשאינן-כאלה כדי לומר שאני מאמין רק בראשונות, אלא רק כדי לענות על שאלתך: איך זה שיש מודל "טבעי" לטבעיים שאינו מכריע בשאלות מסדר שני, כמו השערת הרצף. טעמי האישי הוא שהרבה יותר נוח, סביר ומעניין לדבר על מספרים ממשיים שרירותיים וקבוצות שרירותיות של טבעיים - אלא שאז גם אני נאלץ (כנראה) לוותר על האוטופיה הפלטוניסטית שלי; חבל, אבל לא סוף העולם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. איפה אתה מלמד, איזה קורסים, והאם אפשר לשמוע אותך כשומעת חופשית? 2. האם "מערכת כריעה" היא "מערכת עקבית"? 3. אני שמחה לשמוע שאתה מבדיל באופן ברור בין הרציונלים לאי-רציונלים. 4. מה מסמן ^ ואיפה הוא מופיע על לוח המקשים? (כאן העתקתי אותו מתגובתך). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. תודה (?). אני מלמד בבר-אילן, והתשובה לשאלה "אילו קורסים" היא - לשמחתי - שזה תלוי באיזו שנה. בשנה הבאה, למשל, אני מלמד קורס בתורת החוגים וקורס בתורת המספרים. לאוניברסיטה יש כללים בעניין שמיעה חופשית. השאר - ב email. 2. אין כזה דבר, "מערכת כריעה", אבל המושגים די קשורים. "מערכת עקבית" היא מערכת שלא ניתן להוכיח בה בו זמנית משפט ושלילתו. הגדרות שקולות: מערכת שלא ניתן להוכיח בה משפט מהצורה "f וגם לא f"; וגם: מערכת שיש משפטים שלא ניתן להוכיח בה. כשקובעים את המערכת, אפשר לדון בכריעות של *טענה* (מהסוג של "קיים מספר ראשוני גדול מ- 7"). אם אפשר להוכיח במסגרת המערכת (=לתת הוכחה פורמלית) את הטענה או את שלילתה, אז היא כריעה. אם אי אפשר לעשות את שני הדברים, אז הטענה לא כריעה. העובדה שבמערכת T קיימת הוכחה לטענה f, שקולה לכך שהמערכת הופכת להיות לא עקבית אם זורקים פנימה את הטענה "לא f". מכאן שאם הטענה f אינה כריעה, אז אפשר לזרוק אותה למערכת ולקבל מערכת עקבית, ואפשר לזרוק את השלילה שלה פנימה וגם אז מתקבלת מערכת עקבית. 3. מבדיל זה לא אותו דבר כמו מעדיף. 4. את הסימן ^ תוכלי למצוא בדרך-כלל מעל לספרה 6 (בדיוק כמו ש- ! נמצא מעל לספרה 1). במעבד התמלילים LaTeX ("החטא ועונשו הוא סיפור על מישהו שרצח והתחרט"), הסימן ^ משמש להעלאת טקסט לשכבה העליונה של השורה; למשל x^2 אמור להראות כמו x בריבוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. חן חן. אשקול את תורת החוגים. 2. נו, אין זה חדש שהחוכמה איננה מסימניי. 3. אני מבדילה בין המושגים.:) 4. החטא ועונשו בהחלט הסביר את העניין.:) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקטע עם "החטא ועונשו" היה אמור להביע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לקרוא ל-LaTeX "מעבד תמלילים" זה בערך כמו לקרוא לחטא ועונשו "סיפור על מישהו שרצח והתחרט". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה שכן, אבל אז השאלה המענינת היא למה המערכת הזו לא מוכיחה את עקביותה (בסתירה למשפט גדל).המממ...במופלא ממך אל תחקור. סתם, אני צריך לחשוב על זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הפסוק "ZFC* עקבית" שונה מכל פסוקי העקביות הקודמים. אם אתה מאמין שהמערכת החדשה עקבית, אתה מוזמן לזרוק גם אותו פנימה ולהגדיר את ZFC אומגה-ועוד-אחד. אפשר להמשיך). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. מה שהתכוונתי הוא שהמערכת ZFC* מוכיחה את עקביות כל תת קבוצה סופית של אקסיומות שלה ולפיכך גם את עקביותה. כנראה שזה מראה על הבדל מענין בין הפסוק הפורמלי con(T) לבין באמת העובדה ש-T עקבית או זה מראה על הבדל (טריויאלי) בין מה שנכון למה שאני אומר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה: האם ZFC לא מוכיחה אף-היא את העקביות של כל תת-קבוצה סופית של אקסיומות שלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא חושב. למה שזה יהיה כך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי זכרתי שראיתי את זה באיזה מקום... ועכשיו בעזרת דוד גוגל גם מצאתי איפה - אצל טורקל פרנזן החביב: עכשיו צריך לחשוב, כמובן, למה הוא אומר זאת, והאם הוא צודק. התחושה שלי היא שהאקסיומות ה"קשות" ב-ZFC הן כולן סכמות, ואם מצטמצמים רק לאוסף סופי שלהן, נשארים עם משהו שדי קל לבנות לו מודל - צריך לדאוג רק למספר סופי של תנאים. בקישור הנ"ל פרנזן גם מסביר יפה מדוע אין סתירה בין העובדה הזו לכך ש-ZFC לא מוכיחה את (Con(ZFC. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעצם, הייתי צריך לדעת את זה כי שיקולים דומים מופיעים כשמתעסקים עם כפיות. אני חושב שזו גם דוגמא לכך שיש ''מחוץ למודל'' בניגוד למה שעלול להשתמע מדבריך לפעמים, כאילו להסתכל מבחוץ זה שטויות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צריך לנקד מילה כמו "כְּפִיות", אחרת אפשר לחשוב שאתה מדבר על אוכל או אביזרי-לבוש המקובלים בתרבויות מסויימות. לגבי "להשתמע" - חלילה וחס, להסתכל מבחוץ זה מאוד יפה. הדבר שאני משתומם עליו הוא שהיה צריך את גדל כדי להשתכנע לעשות זאת, נגיד, בפסיכולוגיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יכולת לחכות עד שמישהו יקפוץ עם: "מה אתה מבלבולים פו אם כפיות מה כפיות אך זה קשור???!?" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל בזכות זה גיליתי שיש הבדל בחומרת האזהרה בין שני סימני קריאה/שאלה רצופים לשלושה. רד לעשרים בכל זאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש הבדל???? ואללה, נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפילו את ההגינות לכתוב "ואללה, נכון." בתגובה נפרדת, כמו שאני עשיתי לא היה לך. תגיד את האמת כתבת "ואללה, נכון." לפני שבדקת או אחרי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפני, כמובן. לא בסדר? ניסיון ההתחמקות הפתטי הזה שלך מההבטחות חסרות-השחר של "מחר", "מחרתיים" וכו' הוא שקוף ועלוב עד מאוד, מר מינדרבינדר. כשאגיע לארץ אצוד אותך, ואתה תהיה חייב לי מקופלת. והסבר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרשה לי להתעלם מקשיחותו של אלון, ולשאול: "מה אתה מבלבולים פו אם כפיות מה כפיות אך זה קשור???!?" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היתה רצינית? אם כן אשמח להוסיף אותה לרשימת המחר/מחרתיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רצינית בהחלט, חרף ניסוחה המגומגם משהו. הכפיות, כולל אלו עם ה-כ' השוואית, אינן מוכרות לי כמושג מתמטי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רוצה שאורי יתרכז בשאלות הקודמות, אז אני אתנדב: כְּפִיה (forcing) היא שיטה בלוגיקה מתמטית שפותחה, למיטב ידיעתי, בידי פול כהן בשנות הששים, ומאפשר לבנות מודלים עבור טענות מסויימות. השם "כפיה" מתייחס לכך שהשימוש בשיטה מאפשר "לכפות" על המודל לקיים תכונות רצויות מסויימות. כהן פיתח את השיטה, והשתמש בה, כדי להוכיח שהשערת-הרצף אינה תלויה ב-ZFC. גדל עשה חצי מהעבודה הרבה קודם - הוא הראה שהשערת הרצף אינה *סותרת* את ZFC - וכהן הראה את ההיפך: גם שלילתה של השערת הרצף אינה סותרת את ZFC, ומכאן שהאקסיומות הרגילות של תורת הקבוצות אינן מסוגלות לקבוע אם יש או אין קבוצה של ממשיים שאינה בת-מנייה ואינה בת עצמת הרצף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הם הוכיחו את כל מה שאמרת בהנחה ש-ZFC עקבית, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. נניח שלכל משוואה דיופנטית, היה אפשר למצוא הוכחה ב-ZFC לאי-פתירותה (אם היא לא פתירה) או לפתירותה (אם היא כן). אם כך, הרי לנו אלגוריתם לבעייה העשירית: נייצר, במקביל, הוכחות ב-ZFC ו-m-יות של מספרים; נבדוק אם ההוכחה היא (במקרה) הוכחה לאי-פתירות המשוואה, ואם המספרים מהווים פתרון; אם לא, נמשיך. תחת ההנחה ממנה התחלנו, זהו אלגוריתם תקין. כיוון שאין כזה, ההנחה שגויה: ישנן משוואות ספציפיות שאי-פתירותן אינה משפט של ZFC. 2. "באיזה מובן בדיוק, אגב?" - אני חושב שזו שאלה אליך יותר מאשר אלי. אצלי יש מובן אחד לנכונות: משפט הוא נכון אם מה שהוא אומר אכן מתקיים בטבעיים. אם הוא אומר שאין מספר-גדל של הוכחה ב-ZFC ש-0 שווה ל-1, אז באמת אין מספר כזה. 3. לא "במובן האמוני": יש לה ערך-אמת ממש, והוא "נכון". מדוע זה דורש יותר אמונה מעצם ההנחה שהאקסיומות של ZFC נכונות? 4. "למה להסיק מזה ש*לכל* הטענות מטיפוס מסויים מוכרח להיות ערך אמת?" - ודאי שאני לא מסיק זאת מזה שיש טענות כאלה. אני הולך בכיוון ההפוך: אני סבור שההנחה הטבעית (סליחה) יותר היא זו שלכל טענה כזו יש ערך-אמת, ומי שחושב אחרת, צריך לנמק. הטיעון "יש משפטים ש-ZFC לא מכריעה" נשמע לי חלש, מפני שהדגמנו שזה קורה גם במצבים בהם *ברור* שלמשפט יש בכל זאת ערך אמת. "אם יש מודל 'טבעי', מה מפריע לו לכסות גם טענות על קבוצות של מספרים וקבוצות של קבוצות..." - אני חושב שזו טעות של האינטואיציה, הנובעת מנסיוננו עם קבוצות סופיות, להניח שכשיש קבוצה, אז מקבלים במתנה גם את "כל" הקבוצות החלקיות שלה. למשל, את כל הטבעיים אפשר בקלות לייצר אחד אחרי השני ב-PA או ב-ZFC, אבל אי-אפשר בשום אופן לייצר את כל הקבוצות החלקיות שלהם. כל ניסיון אקסיומטי "לכסות" את כולן, למשל במובן של לייצר אותן רקורסיבית, נדון (כמובן) לכשלון. זה מה שמפריע למודל הטבעי לכסות גם טענות מורכבות: הוא לא כולל באמתחתו את האובייקטים עליהם אתה מדבר. אתה יכול לדבר על "המספרים הטבעיים, וכל הקבוצות ה-r.e. שלהם"; אתה יכול לדבר על "המספרים הטבעיים, וכל הקבוצות השרירותיות שלהם"; בשני המקרים אלו אותם מספרים טבעיים בדיוק, רק עם אוסף אחר של קבוצות חלקיות. אם כך, להשערת הרצף אין בהכרח ערך-אמת - תלוי במושג שלך של "קבוצה של טבעיים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. תהי f משוואה שהפתירות שלה לא כריעה ב- ZFC. לו היה לה פתרון, היה אפשר לתת הוכחה ב-ZFC לכך שיש לה פתרון. אבל אין הוכחת-ZFC כזו, ולכן אין לה פתרון. זוהי הוכחה שאין ל- f פתרון. באיזו שפה ההוכחה הזו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשפה הפסיכולוגית שדיברת עליה קודם. אם הוכחה שהפתירות שלה לא כריעה זה אומר שיש מודל ל-ZFC בו יש מספר טבעי (בהכרח לא "סטנדרטי") שמהוה פתרון. מצד שני, יש מודל אחר בו אין פתרון. פסיכולוגית, אני (אתה.אנחנו) לא אוהבים טבעיים לא סטנדרטים ומעדיפים להניח שאין כאלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו דוגמא שצריכה להיות מוכרת יותר. חשבתי שכל ההוכחות המתמטיות מתנסחות ב- ZFC בהנתן מספיק סבלנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע אחד. "תהי f משוואה שהפתירות שלה לא כריעה ב- ZFC" זו הנחה הגוררת גם ש-ZFC עקבית, והייתי צריך להדגיש זאת קודם. כלומר, אם אתה רוצה לראות בהוכחה שלך הוכחה פורמלית באיזושהי מערכת (עם איזושהי שפה), אתה צריך להניח שאותה מערכת מוכיחה גם את עקביות ZFC. זה לא שונה בהרבה מההוכחה של השערת גולדבך מתוך ההוכחה שההשערה אינה תלויה ב-PA. את הטיעון שלך אפשר, לדעתי, בהחלט *לנסח* בשפה של ZFC; כדי שהוא יהיה באמת הוכחה (כלומר, נובע מהאקסיומות של איזושהי מערכת), צריך להסכים על המערכת, ולשים לב שהיא גם מוכיחה מהצד את עקביות ZFC. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז ההוכחה שלי היא *כן* הוכחה פורמלית ב- ZFC לטענה "אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון". בדיוק כמו שהמשפט של מטיישביץ', בהקשר הזה, אומר "אם ZFC עקבית אז יש משוואות לא כריעות". הרבה יותר טוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני קצת מבולבל. הרבה יותר טוב ממה...? את הטענה "אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון" אפשר לפשט למקרה הפרטי "אם ZFC לא מוכיחה של-f יש פתרון, אז ל-f אין פתרון". לא צריך את עקביות ZFC, אלא רק את העובדה שאם למשוואה דיופנטית יש פתרון אז ZFC מוכיחה זאת; זה נכון גם ל-PA, ובאותה מידה אפשר להוכיח ב-PA "אם PA לא מוכיחה ש-f פתירה, אז f אינה פתירה". (סייג כללי: אאל"ט). אולי נחזור אחורה: התחלנו מהאבחנה שיש טענות אריתמטיות חוץ מעקביות ZFC שהן לא כריעות ב-ZFC; יש אפילו משוואות דיופנטיות כאלה - וקיומן הוא, נדמה לי, יותר מעניין מהוכחה מסוג זה למשוואה ספציפית. בעקבות זאת אני ניסיתי לטעון שהזיהוי של "יכיח-ב-ZFC" עם "נכון" הוא ממילא לא סביר, והוא נשאר לא סביר גם כשנזכרים שיש גם טענות יותר מורכבות (לא פאי-1-0) שאינן יכיחות. לגבי אלה, גם אני מודה שאנחנו נשארים די תקועים לגבי בירור המצב לאשורו; אבל אני בכל-זאת סבור שיש כזה מצב לאשורו, ואני מנסה להבין מדוע אתה סבור(?) שאין כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון". זו לא סתירה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה סתירה? (עקבית = המערכת לא מוכיחה ששה דברים בלתי אפשריים לפני ארוחת הבוקר. שלמה = המערכת מצליחה להחליט לגבי כל טענה. אנחנו מאמינים ש- ZFC עקבית, ויודעים שהיא לא שלמה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מזכיר את הדיאלוג המעצבן שהיה לי עם אלון לפני כמה ימים: אם הגעת למסקנה שאין ל- f פתרון, איך אתה יכול להגיד באותה נשימה שהפתירות של f אינה כריעה? הרי הכרעת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה נפתרת אם מדברים במשפטים שלמים. אם מניחים ש- ZFC עקבית, אז הפתירות של f אינה כריעה במסגרת ZFC (כלומר, אין הוכחה ב- ZFC לפתירות של f וגם לא לאי-הפתירות). מכאן אני מסיק ש*אם מניחים ש- ZFC עקבית*, אז f אינה פתירה. לטענה *הזו*, יש הוכחה במסגרת ZFC (אלון מציע ניסוח אחר, אבל הם שקולים). לטענה "f אינה פתירה" אין הוכחה ב- ZFC (כמו שאין הוכחה לכך ש- ZFC עקבית). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, [אני חושב ש]את זה הבנתי אחרי מאמציו הבלתי נלאים של אלון, רק הסברתי את שאלתה של האלמונית לגבי הסתירה כביכול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה תגובה 320138 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו הוכחה ב-ZFC, אבל חסרה כאן רישא: "אם ZFC היא אומגה-קונסיסטנטית, אז...". אומגה-קונסיסטנטיות פירושה: לא מתקיים מצב שבו המערכת מוכיחה משפט מהסוג "קיים מספר טבעי n כך שמתקיים P(n)", אבל גם לכל מספר טבעי n היא מוכיחה "לא P(n)". כמובן אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-ZFC היא אומגה-קונסיסטנטית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מגיב דווקא להודעה הזו באופן חצי-שרירותי1, ונראה שקצת מאוחר מידי. אבל לא נורא, ממילא יש לי פחד קהל. בכל הדיון שלכם למעלה (וככל שהרחקתי לראות, גם למטה), נראה שאתם מתייחסים רק לדרך אחת בה אפשר לתת ערכים סמנטיים לשפה2: באמצעות אקסיומות. אבל יש דרך טבעית יותר לעשות זאת: באמצעות מבנה3. "מבנה", עד כמה שהוא מושג מתמטי-פורמלי, הוא למיטב הבנתי גם מושג *שקודם* למתמטיקה וללוגיקה. למשל, מן הסתם יש לכולנו מושג מאד ברור לגבי "מהם המספרים הטבעיים", והמושג המנטלי הזה הוא בדיוק *מבנה*, שעליו אפשר לדבר, בין השאר, בשפת תה"י מסדר ראשון. זה, יחד עם העובדה שכל תורה עקבית היא שלמה אם ורק אם יש לה מודל (=מבנה בו היא אמיתית), נראה (לי) כמו הצדקה לא רעה בכלל לגישה הפלוטנסטית הרכה שאתה מציג כאן, לפיה תורת המספרים היא שלמה. זו כמעט4 הוכחה. בכלל, נראה לי שבד"כ הרעיון של הגישה האקסיומטית, הוא לנסות להוכיח משפטים לא טריוויאלים על מבנים שבאופן עקרוני נתונים אפריורית. הגישה הזו, אם מצטמצמים לסדר ראשון5, מבטיחה שהתורה אינה קטגורית ואינה אקסיומטית, כלומר יש לה אינסוף מודלים (חוץ מהמודל שאיתו התחלנו) שאינם איזומורפיים (אבל הם כולם שקולים אלמנטרית), והמשפטים בתורה אינם ניתנים למנייה רקורסיבית. אבל למי זה מפריע? כל עוד יש גישה בלתי אמצעית למבנה (המנטלי, שהוא המושא לחקירה מלכתחילה) אפשר לבחור קבוצה שונה של אקסיומות (מתוך המשפטים אותם בקלות מזהים כנכונים במבנה), ולבדוק מה אפשר להסיק מהם6. אולי יהיו הרבה משפטים שלא נדע אם הם נכונים או לא, אבל כך או כך, The truth is out there. (בעצם לא בדיוק. כשאינטואציוניסט מתווכח עם... אהם... אנשים שפויים, הוויכוח עקר לפי התפיסה הזו, כי למעשה שניהם מדברים על עולמות אחרים, שקיימים (ממש) במידה שווה. האם יש הבדל בין לומר את זה, לבין לומר "שאין משמעות לשאלה הקיום שלהם במידה שווה"? לי נראה שכן, אבל אם תאמר אחרת - לא אתווכח - זה וויכוח עקר :)). 1 גם "חצי" כאן הוא חצי-שרירותי, ויכול היה להיות, נאמר, אחת-חלקי-פאי-שרירותי. 2 שהיא תה"י, וכאן, בד"כ, מסדר ראשון. 3 מן הסתם אתה יודע, אבל למען השלמות: מבנה הוא קבוצה עליה מדברים המכונה "עולם", עם יחסים עליה, ופונקציה המתאימה לכל קבוע בשפה, ערך בעולם, לכל יחס בשפה, יחס בעולם וכו'. 4 הדבר הטוב הבא, אחרי הוכחה.... 5 ואם לא, "אוכלים אותה" מכיוונים אחרים. 6 בזכות משפט-השלמות אפשר באמת לומר "להסיק" בהקשר הזה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>בכל הדיון שלכם למעלה (וככל שהרחקתי לראות, גם למטה), נראה שאתם מתייחסים רק לדרך אחת בה אפשר לתת ערכים סמנטיים לשפה2: באמצעות אקסיומות. אבל יש דרך טבעית יותר לעשות זאת: באמצעות מבנה3. מתוך תגובתו של אלון: "אצלי יש מובן אחד לנכונות: משפט הוא נכון אם מה שהוא אומר אכן מתקיים בטבעיים." מה זה אם לא נכונות במבנה? >"מבנה", עד כמה שהוא מושג מתמטי-פורמלי, הוא למיטב הבנתי גם מושג *שקודם* למתמטיקה וללוגיקה. במובן הלא פורמלי, אתה צודק. במובן הפורמלי תורת המודלים פותחה בד בבד עם הלוגיקה. > למשל, מן הסתם יש לכולנו מושג מאד ברור לגבי "מהם המספרים הטבעיים", והמושג המנטלי הזה הוא בדיוק *מבנה*, שעליו אפשר לדבר, בין השאר, בשפת תה"י מסדר ראשון. על זה כל הדיון. אלון חושב שהמושג שלנו של מספרים טבעיים כל כך חזק עד שכל התכונות מסדר ראשון נקבעות. אני (וגם עוזי, כמדומני) לא מסכימים. >בכלל, נראה לי שבד"כ הרעיון של הגישה האקסיומטית, הוא לנסות להוכיח משפטים לא טריוויאלים על מבנים שבאופן עקרוני נתונים אפריורית. גם זה לא נראה לי נכון. הרבה פעמים מנסחים בעזרת אקסיומות את התכונות הרלוונטיות של איזשהו מבנה ואח"כ מסתכלים על איזה מבנים אחרים יש המקיימים את האקסיומות. >אבל למי זה מפריע? כל עוד יש גישה בלתי אמצעית למבנה (המנטלי, שהוא המושא לחקירה מלכתחילה) אפשר לבחור קבוצה שונה של אקסיומות (מתוך המשפטים אותם בקלות מזהים כנכונים במבנה), ולבדוק מה אפשר להסיק מהם6. אולי יהיו הרבה משפטים שלא נדע אם הם נכונים או לא, אבל כך או כך, The truth is out there. שוב, על זה כל הדיון. אם נרחיב קצת את התחום מהמספרים הטבעיים לתורת הקבוצות, נניח: האם The truth is out there גם לגבי השערת הרצף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לא באמת חשבתי שאני מחדש משהו משמעותי, בסה"כ ניסיתי להציג זווית קצת אחרת להנמקת הגישה עליה אלון הגן. בניגוד לאופן בו אתה רואה את הדברים, אני לא משוכנע שהוא בעצמו היה מסכים איתי (אחרת הוא לא היה כותב "אני לא חושב על הטבעיים כמודל של כלום, אלא כמשהו שקודם למושגים "מודל" ו"הוכחה"') אתה אומר שמושג שלנו למספרים הטבעיים לא חזק מספיק. למה אתה חושב כך? כדי שהמבנה יהיה מספיק, עליו בסה"כ לפרש את הקבועים אישים ואת היחסים עליהם. לפחות לגבי חיבור וכפל אני די משוכנע שהמושג שלנו מספיק טוב, וכך גם לגבי יחסים אחרים (שאפשר להגדירם באמצעות הקודמים, ואפשר שלא) כמו חילוק, חזקה, שקילות-מודולו או היחס המודלי "להיות ראשוני". בסופו של דבר, הדרישות שמעמידים על המבנה מאד צנועות. הניסיון לנסח עבורו מערכת אקסיומות (מסדר ראשון) הוא זה שמעט יומרני, אם כבר. מה שכתבת על הגישה האקסיומטית מאד נכון, אבל אני חושב שהוא קשור יותר לפרקטיקה המתמטית מאשר לעקרונות הלוגיים. אבל לפני זה, כדי שתוכל לדבר על "מבנים אחרים שמקיימים את האקסיומות" מערכת האקסיומות לא יכולה להית קטגורית, וזה כבר מספיק כדי להבדיל בין "המבנה המנטלי" שהנחה את מנסח האקסיומות בניסוחן לבין התורה שהוא יצר (כלומר מראש "הם לא אותו הדבר", וקיום המבנה המנטלי הזה הופך את התורה לשלמה, ובכך יש "סוג של" הצדקה לפלוטוניזם). באשר להשערת הרצף - אני כבר הרבה פחות משוכנע* שאני יכול להציע אלטרנטיבה לגישת ה-"ריבוי האונטולוגי". זה אולי קצת כמו מוסר: כל אחד יכול להכריע אם זה נכון או לא, אבל אין שום דרך, מלבד השפעה "רגשית", לשכנע בנכונות ההכרעה הזו אנשים אחרים. * ומראש בכלל לא הייתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכן, יש רק מודל יחיד לאקסיומות פיאנו המנוסחות בשפה של לוגיקה מסדר שני (או משהו כזה), ונראה לי שזה המודל של הטבעיים שכולנו חושבים עליו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
4 הדבר השני-הכי-טוב (ואני מקווה שיש דרך עוד יותר רהוטה לומר זאת בעברית) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדבר השני בטיבו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברוך השב | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או ''הדבר השני הטוב ביותר'', או ''האפשרות השנייה בדרגה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''בינונית שבעידית'' (טוב כשיש בדיוק תשע אפשרויות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''כל תורה עקבית היא שלמה אם ורק אם יש לה מודל'' נדמה לי שהמשפט הזה מוטעה. לכל תורה עקבית (המנוסחת באמצעות תחשיב היחסים) יש מודל, בלי קשר לשלמותה. למשל, למערכת אקסיומות פיאנו יש מודל (המספרים הטבעיים) על אף שאיננה שלמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מנבכי זכרוני הרעוע עולה טענה בסגנון "אם יש לתורה שני מודלים לא איזומורפיים היא לא שלמה". אני מניח שהיא שגויה אבל הרעיון הבסיסי הוא שאי-שלמות של תורה לא צריכה להתבטא בכך שאין לה מודל, אלא בכך שיכולים להיות לה כמה מודלים שונים מהותית - כשהשוני בא לידי ביטוי, למשל, באותם משפטים שאינם כריעים: במודל אחד הם יהיו נכונים ובמודל השני שקריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה ''אם יש לתורה שני מודלים לא איזומורפיים היא לא שלמה'' היא לא נכונה, כמובן. המונח שאתה מחפש הוא ''שקולים אלמנטרית'' שפשוט אומר שהמודלים מקיימים את אותן טענות מסדר ראשון. הטענה ''יש לתורה שני מודלים לא שקולים אלמנטרית אם ורק אם היא לא שלמה'' היא טאוטולוגיה קלה במיוחד, בהנתן משפט השלמות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המממ, אני הייתי בטוח שהיה איזשהו מושג יותר טריוויאלי מ''שקולים אלמנטרית'' שגורר את זה, אבל כאמור היינו ילדים וזה היה מזמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"היינו ילדים וזה היה מזמן" מתייחס לירושלמים בלבד! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי את ההקשר של התגובה הזאת. היא מופנית אלי או אל עומר (תגובה 436354)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשניכם, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, ברור שהמשפט שציטטת אינו מדוייק. ראשית, מכיוון שצריך להוסיף הסתייגות לגבי כך שמדובר בתורות מסדר ראשון (וכל תורה שכוללת את אקסיומות פיאנו אינה כזו), ושנית, מכיוון ש-''יש לה מודל'' צריך היה להיות ''יש מבנה שהיא התורה שלו'' (שזה דומה, אבל לא אותו הדבר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניתן לראות את אקסיומות פיאנו כתורה מסדר ראשון (כאשר "אקסיומת האינדוקציה" היא סכמת אקסיומות). ועדיין, המספרים הטבעיים הם מבנה שמקיים את התורה, אך היא איננה שלמה. חוץ מזה, מה שגדי אמר (תגובה 437402). בנוגע להערה השנייה, אני לא יודע מה ההבדל בין "יש לה מודל" ובין "יש מבנה שהיא התורה שלו". תוכל להסביר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאשר מדברים על אריתמטיקת פיאנו אז כמו שכתבת, מדברים על תורה מסדר ראשון. כאשר מדברים על אקסיומות פיאנו מן הסתם מדברים על תורה מסדר שני, שהיא דווקא כן שלמה (אבל אין לה מערכת היסק שלמה). ההסבר לכך שלאריתמטיקת פיאנו יש מודל, אך היא איננה שלמה, היא בדיוק בניואנס שבמשפט האחרון שלך: ב-"יש מבנה שהיא התורה שלו" הכוונה היא לכך שיש מבנה, שהתורה שלו (כלומר כל המשפטים מסדר ראשון שנכונים בו), היא התורה שעל הפרק (למשל: תורת המספרים). משפט אי-השלמות אומר שהתורה מסדר ראשון של כל מבנה "שמכיל" בתוכו את המספרים הטבעיים עם חיבור וכפל (תורה כזו, על סמך מה שנאמר קודם, היא בהכרח שלמה), אינה אקסיומטית. לכן התורה של אקסיומות פיאנו (שהיא מן הסתם אקסיומטית) אינה שלמה. אני לא יודע מה הקשר למה שגדי אמר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל המשפטים הם הפוכים: משפט השלמות של גדל (המקשר בין מודל לתורה) הוא על תורות מסדר ראשון, ומשפט אי השלמות הוא על תורות בכלל, לאו דווקא מסדר ראשון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שכחתי להשיב על השאלה האחרונה: הוא אומר של-(Con(T יש ערך אמת, ושאם T היא סיגמא-נאותה (כלומר לא מוכיחה בטעות שטענה-דמוית-גולדבאך היא שקרית, כשהיא לא), אז שערך האמת הוא "נכון". מובן שבמקרה זה זו טענה מאוד לא מעניינת: מספיק ש-T תהיה עקבית כדי שהפסוק יהיה נכון. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |