בתשובה לעומר, 23/03/07 11:07
 |
|
 |
||
|
||||
 |
>בכל הדיון שלכם למעלה (וככל שהרחקתי לראות, גם למטה), נראה שאתם מתייחסים רק לדרך אחת בה אפשר לתת ערכים סמנטיים לשפה2: באמצעות אקסיומות. אבל יש דרך טבעית יותר לעשות זאת: באמצעות מבנה3. מתוך תגובתו של אלון: "אצלי יש מובן אחד לנכונות: משפט הוא נכון אם מה שהוא אומר אכן מתקיים בטבעיים." מה זה אם לא נכונות במבנה? >"מבנה", עד כמה שהוא מושג מתמטי-פורמלי, הוא למיטב הבנתי גם מושג *שקודם* למתמטיקה וללוגיקה. במובן הלא פורמלי, אתה צודק. במובן הפורמלי תורת המודלים פותחה בד בבד עם הלוגיקה. > למשל, מן הסתם יש לכולנו מושג מאד ברור לגבי "מהם המספרים הטבעיים", והמושג המנטלי הזה הוא בדיוק *מבנה*, שעליו אפשר לדבר, בין השאר, בשפת תה"י מסדר ראשון. על זה כל הדיון. אלון חושב שהמושג שלנו של מספרים טבעיים כל כך חזק עד שכל התכונות מסדר ראשון נקבעות. אני (וגם עוזי, כמדומני) לא מסכימים. >בכלל, נראה לי שבד"כ הרעיון של הגישה האקסיומטית, הוא לנסות להוכיח משפטים לא טריוויאלים על מבנים שבאופן עקרוני נתונים אפריורית. גם זה לא נראה לי נכון. הרבה פעמים מנסחים בעזרת אקסיומות את התכונות הרלוונטיות של איזשהו מבנה ואח"כ מסתכלים על איזה מבנים אחרים יש המקיימים את האקסיומות. >אבל למי זה מפריע? כל עוד יש גישה בלתי אמצעית למבנה (המנטלי, שהוא המושא לחקירה מלכתחילה) אפשר לבחור קבוצה שונה של אקסיומות (מתוך המשפטים אותם בקלות מזהים כנכונים במבנה), ולבדוק מה אפשר להסיק מהם6. אולי יהיו הרבה משפטים שלא נדע אם הם נכונים או לא, אבל כך או כך, The truth is out there. שוב, על זה כל הדיון. אם נרחיב קצת את התחום מהמספרים הטבעיים לתורת הקבוצות, נניח: האם The truth is out there גם לגבי השערת הרצף? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לא באמת חשבתי שאני מחדש משהו משמעותי, בסה"כ ניסיתי להציג זווית קצת אחרת להנמקת הגישה עליה אלון הגן. בניגוד לאופן בו אתה רואה את הדברים, אני לא משוכנע שהוא בעצמו היה מסכים איתי (אחרת הוא לא היה כותב "אני לא חושב על הטבעיים כמודל של כלום, אלא כמשהו שקודם למושגים "מודל" ו"הוכחה"') אתה אומר שמושג שלנו למספרים הטבעיים לא חזק מספיק. למה אתה חושב כך? כדי שהמבנה יהיה מספיק, עליו בסה"כ לפרש את הקבועים אישים ואת היחסים עליהם. לפחות לגבי חיבור וכפל אני די משוכנע שהמושג שלנו מספיק טוב, וכך גם לגבי יחסים אחרים (שאפשר להגדירם באמצעות הקודמים, ואפשר שלא) כמו חילוק, חזקה, שקילות-מודולו או היחס המודלי "להיות ראשוני". בסופו של דבר, הדרישות שמעמידים על המבנה מאד צנועות. הניסיון לנסח עבורו מערכת אקסיומות (מסדר ראשון) הוא זה שמעט יומרני, אם כבר. מה שכתבת על הגישה האקסיומטית מאד נכון, אבל אני חושב שהוא קשור יותר לפרקטיקה המתמטית מאשר לעקרונות הלוגיים. אבל לפני זה, כדי שתוכל לדבר על "מבנים אחרים שמקיימים את האקסיומות" מערכת האקסיומות לא יכולה להית קטגורית, וזה כבר מספיק כדי להבדיל בין "המבנה המנטלי" שהנחה את מנסח האקסיומות בניסוחן לבין התורה שהוא יצר (כלומר מראש "הם לא אותו הדבר", וקיום המבנה המנטלי הזה הופך את התורה לשלמה, ובכך יש "סוג של" הצדקה לפלוטוניזם). באשר להשערת הרצף - אני כבר הרבה פחות משוכנע* שאני יכול להציע אלטרנטיבה לגישת ה-"ריבוי האונטולוגי". זה אולי קצת כמו מוסר: כל אחד יכול להכריע אם זה נכון או לא, אבל אין שום דרך, מלבד השפעה "רגשית", לשכנע בנכונות ההכרעה הזו אנשים אחרים. * ומראש בכלל לא הייתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכן, יש רק מודל יחיד לאקסיומות פיאנו המנוסחות בשפה של לוגיקה מסדר שני (או משהו כזה), ונראה לי שזה המודל של הטבעיים שכולנו חושבים עליו. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |