בתשובה לעומר, 23/03/07 11:07
 |
|
 |
||
|
||||
 |
''כל תורה עקבית היא שלמה אם ורק אם יש לה מודל'' נדמה לי שהמשפט הזה מוטעה. לכל תורה עקבית (המנוסחת באמצעות תחשיב היחסים) יש מודל, בלי קשר לשלמותה. למשל, למערכת אקסיומות פיאנו יש מודל (המספרים הטבעיים) על אף שאיננה שלמה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מנבכי זכרוני הרעוע עולה טענה בסגנון "אם יש לתורה שני מודלים לא איזומורפיים היא לא שלמה". אני מניח שהיא שגויה אבל הרעיון הבסיסי הוא שאי-שלמות של תורה לא צריכה להתבטא בכך שאין לה מודל, אלא בכך שיכולים להיות לה כמה מודלים שונים מהותית - כשהשוני בא לידי ביטוי, למשל, באותם משפטים שאינם כריעים: במודל אחד הם יהיו נכונים ובמודל השני שקריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה ''אם יש לתורה שני מודלים לא איזומורפיים היא לא שלמה'' היא לא נכונה, כמובן. המונח שאתה מחפש הוא ''שקולים אלמנטרית'' שפשוט אומר שהמודלים מקיימים את אותן טענות מסדר ראשון. הטענה ''יש לתורה שני מודלים לא שקולים אלמנטרית אם ורק אם היא לא שלמה'' היא טאוטולוגיה קלה במיוחד, בהנתן משפט השלמות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המממ, אני הייתי בטוח שהיה איזשהו מושג יותר טריוויאלי מ''שקולים אלמנטרית'' שגורר את זה, אבל כאמור היינו ילדים וזה היה מזמן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"היינו ילדים וזה היה מזמן" מתייחס לירושלמים בלבד! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי את ההקשר של התגובה הזאת. היא מופנית אלי או אל עומר (תגובה 436354)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשניכם, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, ברור שהמשפט שציטטת אינו מדוייק. ראשית, מכיוון שצריך להוסיף הסתייגות לגבי כך שמדובר בתורות מסדר ראשון (וכל תורה שכוללת את אקסיומות פיאנו אינה כזו), ושנית, מכיוון ש-''יש לה מודל'' צריך היה להיות ''יש מבנה שהיא התורה שלו'' (שזה דומה, אבל לא אותו הדבר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניתן לראות את אקסיומות פיאנו כתורה מסדר ראשון (כאשר "אקסיומת האינדוקציה" היא סכמת אקסיומות). ועדיין, המספרים הטבעיים הם מבנה שמקיים את התורה, אך היא איננה שלמה. חוץ מזה, מה שגדי אמר (תגובה 437402). בנוגע להערה השנייה, אני לא יודע מה ההבדל בין "יש לה מודל" ובין "יש מבנה שהיא התורה שלו". תוכל להסביר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאשר מדברים על אריתמטיקת פיאנו אז כמו שכתבת, מדברים על תורה מסדר ראשון. כאשר מדברים על אקסיומות פיאנו מן הסתם מדברים על תורה מסדר שני, שהיא דווקא כן שלמה (אבל אין לה מערכת היסק שלמה). ההסבר לכך שלאריתמטיקת פיאנו יש מודל, אך היא איננה שלמה, היא בדיוק בניואנס שבמשפט האחרון שלך: ב-"יש מבנה שהיא התורה שלו" הכוונה היא לכך שיש מבנה, שהתורה שלו (כלומר כל המשפטים מסדר ראשון שנכונים בו), היא התורה שעל הפרק (למשל: תורת המספרים). משפט אי-השלמות אומר שהתורה מסדר ראשון של כל מבנה "שמכיל" בתוכו את המספרים הטבעיים עם חיבור וכפל (תורה כזו, על סמך מה שנאמר קודם, היא בהכרח שלמה), אינה אקסיומטית. לכן התורה של אקסיומות פיאנו (שהיא מן הסתם אקסיומטית) אינה שלמה. אני לא יודע מה הקשר למה שגדי אמר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל המשפטים הם הפוכים: משפט השלמות של גדל (המקשר בין מודל לתורה) הוא על תורות מסדר ראשון, ומשפט אי השלמות הוא על תורות בכלל, לאו דווקא מסדר ראשון. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |