בתשובה להאייל הצעיר, 04/04/07 20:42
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כן, ברור שהמשפט שציטטת אינו מדוייק. ראשית, מכיוון שצריך להוסיף הסתייגות לגבי כך שמדובר בתורות מסדר ראשון (וכל תורה שכוללת את אקסיומות פיאנו אינה כזו), ושנית, מכיוון ש-''יש לה מודל'' צריך היה להיות ''יש מבנה שהיא התורה שלו'' (שזה דומה, אבל לא אותו הדבר). |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ניתן לראות את אקסיומות פיאנו כתורה מסדר ראשון (כאשר "אקסיומת האינדוקציה" היא סכמת אקסיומות). ועדיין, המספרים הטבעיים הם מבנה שמקיים את התורה, אך היא איננה שלמה. חוץ מזה, מה שגדי אמר (תגובה 437402). בנוגע להערה השנייה, אני לא יודע מה ההבדל בין "יש לה מודל" ובין "יש מבנה שהיא התורה שלו". תוכל להסביר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאשר מדברים על אריתמטיקת פיאנו אז כמו שכתבת, מדברים על תורה מסדר ראשון. כאשר מדברים על אקסיומות פיאנו מן הסתם מדברים על תורה מסדר שני, שהיא דווקא כן שלמה (אבל אין לה מערכת היסק שלמה). ההסבר לכך שלאריתמטיקת פיאנו יש מודל, אך היא איננה שלמה, היא בדיוק בניואנס שבמשפט האחרון שלך: ב-"יש מבנה שהיא התורה שלו" הכוונה היא לכך שיש מבנה, שהתורה שלו (כלומר כל המשפטים מסדר ראשון שנכונים בו), היא התורה שעל הפרק (למשל: תורת המספרים). משפט אי-השלמות אומר שהתורה מסדר ראשון של כל מבנה "שמכיל" בתוכו את המספרים הטבעיים עם חיבור וכפל (תורה כזו, על סמך מה שנאמר קודם, היא בהכרח שלמה), אינה אקסיומטית. לכן התורה של אקסיומות פיאנו (שהיא מן הסתם אקסיומטית) אינה שלמה. אני לא יודע מה הקשר למה שגדי אמר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל המשפטים הם הפוכים: משפט השלמות של גדל (המקשר בין מודל לתורה) הוא על תורות מסדר ראשון, ומשפט אי השלמות הוא על תורות בכלל, לאו דווקא מסדר ראשון. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |