בתשובה ליהונתן אורן, 25/06/07 22:44
 |
|
 |
||
|
||||
 |
ההוגים הנ"ל לא יכלו פשוט לציין בקצרה עם אילו טענות הם מתמודדים בכל אחד מכתביהם, ולספק אולי הפניות? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לפעמים כן. פעמים רבות לא. הם בד''כ כותבים בתוך מסורת מסוימת והנחות שנראות מקובלות לאנשי התרבות בזמנם או לבני השיח האינטלקטואלים שלהם. חוץ מזה, כמו שמישהו שאני מכיר אוהב לומר, ''בתוך מחזיק המפתחות של המכונית שלי טמונה כבר המצאת הגלגל'', אבל אנחנו לא מתחילים לספר את תולדות האנושות כל פעם שאנחנו רוצים להגיד משהו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונתי ל"אפרופו פוזיטיביזם:" בתחילת המאמר, או "בתגובה לנאו-הגליאנים בכלל, ומר אקס בפרט:". צעד קטן שימנע הרבה אי-הבנות גדולות מהסוג שתיארת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפעמים זה יעזור. פעמים רבות זה יוציא את העוקץ מהכתיבה. אחד האתגרים בכתיבה במדעי הרוח הוא להציג את הבעיה (שאלת המחקר) ותולדותיה באופן שונה מכפי שהיא הוצגה עד היום. התייחסות ישירה להוגים או אסכולות אחרות מכניסה אותך לסד שמקשה עליך לעשות זאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי סטנדרט הכתיבה של ה APA מאמרים פסיכולוגיים (ונדמה לי שגם בסוציולוגיה) נכתבים קרוב יותר להצעה של דורפל. אבל בקשר לענין נגישות הטקסט המקורי - אחת הבעיות היא ההתמודדות עם השפה עצמה של הטקסט הכתוב, בעיקר מבחינת הסגנון. הרי יש אנשים שקראו והבינו טקסט מקורי (קאנט התעורר מקריאה ב, זה היה יום?) ו"בעל המפתחות" כן קרא בלקאן (אולי בעזרת מפרשים, אולי לא). אולי איבדנו את היכולת (והסבלנות) להתמודד עם סגנונות כאלה, או אולי כמות החומר הרלוונטית פשוט גדולה מדי כך שהטקסט המקורי כבר לא מכסה את הנושא בצורה מספקת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש הבדל של שמיים וארץ בין מדעי החברה לבין מדעי הרוח בקטע הזה. אם אתה כבר מעלה את זה, מעניין שהיום סבורים שקאנט לא קרא את יום במקור, אלא שמע על דעותיו מכלי שני ושלישי באמצעות פרשנים (מט במהלך אחד! תודה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מכריזים ''מט באיקס מהלכים'' בדיעבד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה די מזכיר לי מאמרים (ואפילו ספרים מתקדמים) במתמטיקה ובמדעי המחשב: לפעמים הם אומרים "כך וכך מתקיים" בלי שום נימוק - והנימוק, כשמנסים להגיע אליו, הוא בכלל לא טריוויאלי ולפעמים דורש ידע מוקדם די רחב ושימוש במשפט כבד, שהוא כנראה הלחם והחמאה של העוסקים בתחום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הצעתי להגיד ''אפרופו איקס'' בספרי הפילוסופיה, כמו בספרי המתמטיקה. לא הצעתי להביא את כל הנימוק לא כאן ולא כאן. למעשה, התלוננתי פעם באייל על החזרה המטרידה על הנימוקים בספרי מתמטיקה למתחילים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פספסת את מה שאני אומר: הם משתמשים *במובלע* במשפטים כבדים. כלומר, הם אפילו לא מציינים על מה הם מתבססים, ובטח שלא מביאים נימוקים רחבים יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באמת תמיד תהיתי איך "גילו" את פאי ואת E... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי את כוונתך, או איך זה קשור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תראה, לי לפחות אמרו מהם המספרים פאי ו-E (כמה מהספרות הראשונות, כמובן. לא המספר ממש). האם גילוים לא דרש משפטים כבדים כלשהם? למען האמת, אין לי מושג ירוק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא מה הכוונה ב"גילוי". את פאי לפחות קל *להגדיר* בתור היחס בין היקף המעגל וקוטרו - ואז יש לנו מספר בשם פאי, גם אם אין לנו מושג מה הייצוג העשרוני שלו (ואת הייצוג הזה נראה לי שיותר נכון לומר ש*מחשבים* מאשר מגלים). כמובן שגם זה לא פשוט - צריך להראות שהיחס הזה קבוע לכל מעגל - את זה עשה ארכימדס, אם איני טועה, והוא גם הציע שיטה לחישוב פאי באיזו רמת דיוק שרוצים (אם יש לך מספיק סבלנות, כמובן). אז "כלים כבדים" ממש לא צריך כאן, אבל אתה בהחלט צודק בקשר לכך שלא אומרים על זה מילה וחצי מילה בתיכון, ואפילו באוניברסיטה לא ממש. אגב, שני המספרים הללו הם רק סימפטום - מה שקורה בבית הספר התיכון הוא שהתלמידים לומדים חשבון במספרים ממשיים ("כל מה שנמצא על ציר המספרים") מבלי שיהיה להם מושג מהם בעצם מספרים ממשיים, איך בונים אותם ומה הקושי בבנייה. הם מקבלים כמובן מאליו את זה שקיים שורש לכל מספר שלם, למשל, למרות שזו תוצאה מאוד לא טריוויאלית כשמנסים להראות אותה פורמלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה אינה סתם ''להראות פורמלית''. הבעיה היא קונספטואלית, ודווקא סביר שהצגה שלה לא תהיה חלק מההשכלה הבסיסית במתמטיקה. (בניגוד, למשל, למשפט ערך הביניים - שהוא מובן מאליו קונספטואלית, אבל לא-טריוויאלי (נניח) להראות אותו פורמלית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נא הרחב? (אני דיברתי רק על מספרים ממשיים, אפילו אם זה לא היה ברור) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דווקא חושב שבתיכון, מוסד שבימינו לא אמור להכשיר אנשים מקצועית, צריך להיות מקום לדיון במהותם של המספרים הממשיים, ההיסטוריה של הפונקציות הטריגונומטריות (כמדומני, חישוב של טבלאות בעזרת מעט ערכים ידועים ובאמצעות נוסחת חצי-הזווית), וכו', ולא דווקא לנושאים משעממים כמו שיטת החילוץ של גאוס (שדווקא יכולה להיות שימושית אפילו לתלמיד תיכון, אבל זה לא התכלס בדוגמה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב"גילוי פאי" התכוונתי כמובן להוכחה שיש *קבוע* כזה. כל השאר ודאי שהוא חישוב. לגבי E תהיתי פשוט איך "עלו" על זה, בפרט שמדובר במספר עם כל כך הרבה שימושים. מה פירוש "זו תוצאה מאוד לא טריוויאלית" להראות שלכל מספר שלם קיים שורש? זו יותר שאלה של מהו "קיום". הרי לצורך זה הגדירו את המספרים המרוכבים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקשר ל-e ענית בעצמך - יש לו כל כך הרבה שימושים, ולכן הוא צץ והופיע (בצורות שונות) בהקשרים רבים... בהודעה הקודמת שלי נפלה טעות. התכוונתי "להראות שלכל מספר שלם *חיובי* קיים שורש". המרוכבים לא צריכים להיכנס לעניין כדי שנראה את הבעייתיות שקיימת כבר בשורש שתיים - ונכון, זו בדיוק השאלה של "מה זה קיום", אבל קיום לא של מרוכבים, אלא של המספרים על "הישר הממשי", שבתיכון התלמידים מקבלים בלי לפקפק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קיום שורש נובע ישירות מרציפות של x^2, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שאני יודע. אפשר להגדיר את x^2 כפונקציה על הרציונליים בלבד ולהוכיח שהיא רציפה עליהם, ועדיין לא ינבע מכך שיש שורש למספרים חיוביים שאינם ריבועים. אולי התכוונת לפונקציה x^1/2? אבל במקרה הזה, הרציפות שלה נובעת מקיום שורש, לא ההפך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''עדיין לא ינבע מכך שיש שורש למספרים חיוביים שאינם ריבועים'' - ינבע ממשפט ערך הביניים, ומכך שכל מספר חיובי שאיננו ריבוע של שלם נמצא בין שני חיוביים שהינם ריבועים של שלמים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה של הרציונליים, אם כך, משפט ערך הביניים לא מתקיים. לא כך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תלוי. ''תכונת ערך הביניים'', שהיא תכונה טופולוגית כללית, אומרת שתמונת כל פונקציה רציפה מתת-קבוצה אל הממשיים, היא קטע, ואפשר להראות שהיא מתקיימת אם רק אם תת-הקבוצה קשירה. אז אם מסתכלים על הרציונליים כעל תת-מרחב (טופולוגי) של הממשיים - אז לא, משפט ערך הביניים לא מתקיים (כי היא אינה קבוצה קשירה). אבל עבור אותה טופולוגיה, ההכללה ה-''טבעית'' ''התמונה הרציפה של כל קבוצה פתוחה של מספרים רציונליים, כוללת את כל המספרים הרציונליים בין החסם העליון שלה, לחסם התחתון שלה'' כן נכונה (לפחות לפי סקיצת ההוכחה שיש לי בראש, לא ניסיתי ממש לכתוב אותה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואיך בדיוק יכולה להיות תמונה רציפה של מספרים רציונליים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרציונליים הם מרחב מטרי לכל דבר. אין בעיה להגדיר עליהם פונקציות רציפות ביחס למטריקה שלהם. רק כשאתה מכניס את הממשיים לעניין כל הטופולוגיה מתחרבשת. למשל - כשהיינו רק ברציונליים, אז אוסף כל הרציונליים היה קבוצה פתוחה וסגורה, מן הסתם. כשאתה מביט עליו כעל תת קבוצה של הממשיים, הוא לא קבוצה פתוחה (כי בכל סביבה של רציונלי יש אי רציונלי), והוא לא קבוצה סגורה (כי יש סדרות רציונליים שמתכנסות לאי רציונלי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נשמע חביב - "כשהיינו רק ברציונליים"... הו הימים היפים! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוצמת הרציונליים כולם אלף-אפס, עוצמת כל תת-קטע של הישר הממשי כעוצמת הממשיים כולם - טריוויאלי לגמרי לכן שאף פונקציה מהרציונליים לממשיים לא יכולה להיות על, ולא לכך התכוונתי. חוץ מזה, לא הבנתי אותך, ונדמה לי שלא הבנת אותי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין הוא שלא ברור על מה אתה מדבר ב"משפט ערך הביניים" ומהו "המקרה של הרציונליים" (פונקציות מ-Q ל-Q?) בהכללה שהוא דיבר עליה הוא ניסה להציע מקבילה של משפט ערך הביניים למקרה של הרציונליים - ההכללה הכי טבעית שאפשר לדמיין במקרה הזה, לדעתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב על פונקציות מהרציונלים לרציונלים. משפט ערך הביניים לא מתקיים שם, לפי הדוגמה הנגדית שמספקת הפונקציה x^2, שעדיין רציפה, אבל כמובן איננה על (החלק האי-שלילי של הישר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הממ, צודק. אין מקור ל-2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזוב רציפות, כדי לדבר עליה כעל פונקציה מעל הממשיים, צריכים, ובכן, מספרים ממשיים ואם יש לך אותם (אקסיומטית: שדה \סגור ארכימדי וגו'), שאלת הקיום טריוויאלית. לכן היא (שאלת הקיום של האי-רציונליים) דווקא מעניינת יותר (היסטורית, אנקדוטלית, פילוסופית - לא דווקא מתמטית) בהקשר גיאומטרי מאשר אנליטי. ואם את קיומם של מספרים אי-רציונליים אלגבריים קל יחסית לקבל (כי קל לבנות קטועים שאורכם אי-רציונלי, בעזרת מספרים שלמים, וגם כי עוצמתם בת-מניה ואיך צורך ב-"אינסוף אקטואלי"), קיומם של מספרים אי-רציונליים טרנסצדנטיים הוא כבר בעייתי הרבה יותר. אתה מציע לעלות גם את הנושא הזה בתיכון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מישהו אמר משהו על להראות את זה בתיכון? זו בורות מבורכת. לטעמי החלק הכי מעניין בשאלת הקיום של האי רציונליים היא בבנייה הפורמלית של הממשיים, למרות שלכאורה זה overkill אם רוצים לטפל רק באי רציונליים אלגבריים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז עדיף לא לבנות ממשיים ולהשאר רק עם רציוליים וכ'ו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ויש? שורש למיספרים שהם לא ריבועיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. (כלומר, אין שורש רציונלי, אבל אפשר להראות בניות פורמליות של שדות שמכילים את הרציונליים כתת שדה, ובהם יש שורש לכל מספר חיובי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אצלי בתיכון כן אמרו (אבל אני לא זוכר). שמעתי על ובסוף גם נתקלתי בספר "100 דרכים לפאי", או שם דומה, ונראה לי שגם את "100 דרכים ל-e" ראיתי. אתה יכול להתעניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"100 דרכים לפאי" זה לא ספר בישול? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהה. נו, אז זה לא בסדר. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |