בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 26/06/07 15:45
שלושה ספרים 448605
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 26/6/2007, 16:00
תראה, לי לפחות אמרו מהם המספרים פאי ו-E (כמה מהספרות הראשונות, כמובן. לא המספר ממש). האם גילוים לא דרש משפטים כבדים כלשהם? למען האמת, אין לי מושג ירוק.
שלושה ספרים 448619
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ג', 26/6/2007, 18:14
השאלה היא מה הכוונה ב"גילוי". את פאי לפחות קל *להגדיר* בתור היחס בין היקף המעגל וקוטרו - ואז יש לנו מספר בשם פאי, גם אם אין לנו מושג מה הייצוג העשרוני שלו (ואת הייצוג הזה נראה לי שיותר נכון לומר ש*מחשבים* מאשר מגלים). כמובן שגם זה לא פשוט - צריך להראות שהיחס הזה קבוע לכל מעגל - את זה עשה ארכימדס, אם איני טועה, והוא גם הציע שיטה לחישוב פאי באיזו רמת דיוק שרוצים (אם יש לך מספיק סבלנות, כמובן).

אז "כלים כבדים" ממש לא צריך כאן, אבל אתה בהחלט צודק בקשר לכך שלא אומרים על זה מילה וחצי מילה בתיכון, ואפילו באוניברסיטה לא ממש. אגב, שני המספרים הללו הם רק סימפטום - מה שקורה בבית הספר התיכון הוא שהתלמידים לומדים חשבון במספרים ממשיים ("כל מה שנמצא על ציר המספרים") מבלי שיהיה להם מושג מהם בעצם מספרים ממשיים, איך בונים אותם ומה הקושי בבנייה. הם מקבלים כמובן מאליו את זה שקיים שורש לכל מספר שלם, למשל, למרות שזו תוצאה מאוד לא טריוויאלית כשמנסים להראות אותה פורמלית.
שלושה ספרים 448624
עומר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 26/6/2007, 18:56
הבעיה אינה סתם ''להראות פורמלית''. הבעיה היא קונספטואלית, ודווקא סביר שהצגה שלה לא תהיה חלק מההשכלה הבסיסית במתמטיקה.

(בניגוד, למשל, למשפט ערך הביניים - שהוא מובן מאליו קונספטואלית, אבל לא-טריוויאלי (נניח) להראות אותו פורמלית).
שלושה ספרים 448635
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לעומר יום ג', 26/6/2007, 20:50
נא הרחב?

(אני דיברתי רק על מספרים ממשיים, אפילו אם זה לא היה ברור)
שלושה ספרים 448646
דורפל • בתשובה לעומר יום ג', 26/6/2007, 21:27
אני דווקא חושב שבתיכון, מוסד שבימינו לא אמור להכשיר אנשים מקצועית, צריך להיות מקום לדיון במהותם של המספרים הממשיים, ההיסטוריה של הפונקציות הטריגונומטריות (כמדומני, חישוב של טבלאות בעזרת מעט ערכים ידועים ובאמצעות נוסחת חצי-הזווית), וכו', ולא דווקא לנושאים משעממים כמו שיטת החילוץ של גאוס (שדווקא יכולה להיות שימושית אפילו לתלמיד תיכון, אבל זה לא התכלס בדוגמה).
שלושה ספרים 448627
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 26/6/2007, 19:23
ב"גילוי פאי" התכוונתי כמובן להוכחה שיש *קבוע* כזה. כל השאר ודאי שהוא חישוב. לגבי E תהיתי פשוט איך "עלו" על זה, בפרט שמדובר במספר עם כל כך הרבה שימושים.
מה פירוש "זו תוצאה מאוד לא טריוויאלית" להראות שלכל מספר שלם קיים שורש? זו יותר שאלה של מהו "קיום". הרי לצורך זה הגדירו את המספרים המרוכבים.
שלושה ספרים 448634
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ג', 26/6/2007, 20:49
בקשר ל-e ענית בעצמך - יש לו כל כך הרבה שימושים, ולכן הוא צץ והופיע (בצורות שונות) בהקשרים רבים...

בהודעה הקודמת שלי נפלה טעות. התכוונתי "להראות שלכל מספר שלם *חיובי* קיים שורש". המרוכבים לא צריכים להיכנס לעניין כדי שנראה את הבעייתיות שקיימת כבר בשורש שתיים - ונכון, זו בדיוק השאלה של "מה זה קיום", אבל קיום לא של מרוכבים, אלא של המספרים על "הישר הממשי", שבתיכון התלמידים מקבלים בלי לפקפק.
שלושה ספרים 449217
מ. השור • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 29/6/2007, 14:31
קיום שורש נובע ישירות מרציפות של x^2, לא?
שלושה ספרים 449252
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה למ. השור יום ו', 29/6/2007, 19:19
לא שאני יודע. אפשר להגדיר את x^2 כפונקציה על הרציונליים בלבד ולהוכיח שהיא רציפה עליהם, ועדיין לא ינבע מכך שיש שורש למספרים חיוביים שאינם ריבועים.

אולי התכוונת לפונקציה x^1/2? אבל במקרה הזה, הרציפות שלה נובעת מקיום שורש, לא ההפך.
שלושה ספרים 449262
דורפל • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 29/6/2007, 20:49
''עדיין לא ינבע מכך שיש שורש למספרים חיוביים שאינם ריבועים'' - ינבע ממשפט ערך הביניים, ומכך שכל מספר חיובי שאיננו ריבוע של שלם נמצא בין שני חיוביים שהינם ריבועים של שלמים.
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449263
דורפל • בתשובה לדורפל יום ו', 29/6/2007, 20:51
במקרה של הרציונליים, אם כך, משפט ערך הביניים לא מתקיים. לא כך?
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449268
האייל האלמוני • בתשובה לדורפל יום ו', 29/6/2007, 21:15
תלוי. ''תכונת ערך הביניים'', שהיא תכונה טופולוגית כללית, אומרת שתמונת כל פונקציה רציפה מתת-קבוצה אל הממשיים, היא קטע, ואפשר להראות שהיא מתקיימת אם רק אם תת-הקבוצה קשירה. אז אם מסתכלים על הרציונליים כעל תת-מרחב (טופולוגי) של הממשיים - אז לא, משפט ערך הביניים לא מתקיים (כי היא אינה קבוצה קשירה).

אבל עבור אותה טופולוגיה, ההכללה ה-''טבעית'' ''התמונה הרציפה של כל קבוצה פתוחה של מספרים רציונליים, כוללת את כל המספרים הרציונליים בין החסם העליון שלה, לחסם התחתון שלה'' כן נכונה (לפחות לפי סקיצת ההוכחה שיש לי בראש, לא ניסיתי ממש לכתוב אותה).
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449277
האייל האלמוני • בתשובה להאייל האלמוני יום ו', 29/6/2007, 22:55
ואיך בדיוק יכולה להיות תמונה רציפה של מספרים רציונליים?
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449278
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ו', 29/6/2007, 23:47
הרציונליים הם מרחב מטרי לכל דבר. אין בעיה להגדיר עליהם פונקציות רציפות ביחס למטריקה שלהם. רק כשאתה מכניס את הממשיים לעניין כל הטופולוגיה מתחרבשת. למשל - כשהיינו רק ברציונליים, אז אוסף כל הרציונליים היה קבוצה פתוחה וסגורה, מן הסתם. כשאתה מביט עליו כעל תת קבוצה של הממשיים, הוא לא קבוצה פתוחה (כי בכל סביבה של רציונלי יש אי רציונלי), והוא לא קבוצה סגורה (כי יש סדרות רציונליים שמתכנסות לאי רציונלי).
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449282
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 29/6/2007, 23:51
זה נשמע חביב - "כשהיינו רק ברציונליים"... הו הימים היפים!
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449292
דורפל • בתשובה להאייל האלמוני שבת, 30/6/2007, 0:52
עוצמת הרציונליים כולם אלף-אפס, עוצמת כל תת-קטע של הישר הממשי כעוצמת הממשיים כולם - טריוויאלי לגמרי לכן שאף פונקציה מהרציונליים לממשיים לא יכולה להיות על, ולא לכך התכוונתי.

חוץ מזה, לא הבנתי אותך, ונדמה לי שלא הבנת אותי.
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449314
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לדורפל שבת, 30/6/2007, 9:20
העניין הוא שלא ברור על מה אתה מדבר ב"משפט ערך הביניים" ומהו "המקרה של הרציונליים" (פונקציות מ-Q ל-Q?) בהכללה שהוא דיבר עליה הוא ניסה להציע מקבילה של משפט ערך הביניים למקרה של הרציונליים - ההכללה הכי טבעית שאפשר לדמיין במקרה הזה, לדעתי.
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449352
דורפל • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 30/6/2007, 13:50
אני חושב על פונקציות מהרציונלים לרציונלים. משפט ערך הביניים לא מתקיים שם, לפי הדוגמה הנגדית שמספקת הפונקציה x^2, שעדיין רציפה, אבל כמובן איננה על (החלק האי-שלילי של הישר).
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449371
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לדורפל שבת, 30/6/2007, 18:08
הממ, צודק. אין מקור ל-‏2.
שלושה ספרים 449265
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 29/6/2007, 20:57
עזוב רציפות, כדי לדבר עליה כעל פונקציה מעל הממשיים, צריכים, ובכן, מספרים ממשיים ואם יש לך אותם (אקסיומטית: שדה \סגור ארכימדי וגו'), שאלת הקיום טריוויאלית.

לכן היא (שאלת הקיום של האי-רציונליים) דווקא מעניינת יותר (היסטורית, אנקדוטלית, פילוסופית - לא דווקא מתמטית) בהקשר גיאומטרי מאשר אנליטי.

ואם את קיומם של מספרים אי-רציונליים אלגבריים קל יחסית לקבל (כי קל לבנות קטועים שאורכם אי-רציונלי, בעזרת מספרים שלמים, וגם כי עוצמתם בת-מניה ואיך צורך ב-"אינסוף אקטואלי"), קיומם של מספרים אי-רציונליים טרנסצדנטיים הוא כבר בעייתי הרבה יותר. אתה מציע לעלות גם את הנושא הזה בתיכון?
שלושה ספרים 449273
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ו', 29/6/2007, 21:56
מישהו אמר משהו על להראות את זה בתיכון? זו בורות מבורכת.

לטעמי החלק הכי מעניין בשאלת הקיום של האי רציונליים היא בבנייה הפורמלית של הממשיים, למרות שלכאורה זה overkill אם רוצים לטפל רק באי רציונליים אלגבריים.
שלושה ספרים 449303
כבשה • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 30/6/2007, 4:58
אז עדיף לא לבנות ממשיים ולהשאר רק עם רציוליים וכ'ו?
שלושה ספרים 449315
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לכבשה שבת, 30/6/2007, 9:20
ממש לא. למה?
שלושה ספרים 449302
כבשה • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 30/6/2007, 4:53
ויש? שורש למיספרים שהם לא ריבועיים?
שלושה ספרים 449316
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לכבשה שבת, 30/6/2007, 9:21
כן.

(כלומר, אין שורש רציונלי, אבל אפשר להראות בניות פורמליות של שדות שמכילים את הרציונליים כתת שדה, ובהם יש שורש לכל מספר חיובי).
שלושה ספרים 448645
דורפל • בתשובה להאייל האלמוני יום ג', 26/6/2007, 21:22
אצלי בתיכון כן אמרו (אבל אני לא זוכר). שמעתי על ובסוף גם נתקלתי בספר "100 דרכים לפאי", או שם דומה, ונראה לי שגם את "100 דרכים ל-e" ראיתי. אתה יכול להתעניין.
שלושה ספרים 448651
האייל האלמוני • בתשובה לדורפל יום ג', 26/6/2007, 21:39
"100 דרכים לפאי" זה לא ספר בישול?
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות