עם תום שבוע הספר - איזה חלק מהספרים שברשותך קראת?

בתשובה למ. השור, 29/06/07 14:31

שלושה ספרים

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה למ. השור

יום ו', 29/6/2007, 19:19

לא שאני יודע. אפשר להגדיר את x^2 כפונקציה על הרציונליים בלבד ולהוכיח שהיא רציפה עליהם, ועדיין לא ינבע מכך שיש שורש למספרים חיוביים שאינם ריבועים.

אולי התכוונת לפונקציה x^1/2? אבל במקרה הזה, הרציפות שלה נובעת מקיום שורש, לא ההפך.

שלושה ספרים

דורפל • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ'

יום ו', 29/6/2007, 20:49

''עדיין לא ינבע מכך שיש שורש למספרים חיוביים שאינם ריבועים'' - ינבע ממשפט ערך הביניים, ומכך שכל מספר חיובי שאיננו ריבוע של שלם נמצא בין שני חיוביים שהינם ריבועים של שלמים.

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

דורפל • בתשובה לדורפל

יום ו', 29/6/2007, 20:51

במקרה של הרציונליים, אם כך, משפט ערך הביניים לא מתקיים. לא כך?

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

האייל האלמוני • בתשובה לדורפל

יום ו', 29/6/2007, 21:15

תלוי. ''תכונת ערך הביניים'', שהיא תכונה טופולוגית כללית, אומרת שתמונת כל פונקציה רציפה מתת-קבוצה אל הממשיים, היא קטע, ואפשר להראות שהיא מתקיימת אם רק אם תת-הקבוצה קשירה. אז אם מסתכלים על הרציונליים כעל תת-מרחב (טופולוגי) של הממשיים - אז לא, משפט ערך הביניים לא מתקיים (כי היא אינה קבוצה קשירה).

אבל עבור אותה טופולוגיה, ההכללה ה-''טבעית'' ''התמונה הרציפה של כל קבוצה פתוחה של מספרים רציונליים, כוללת את כל המספרים הרציונליים בין החסם העליון שלה, לחסם התחתון שלה'' כן נכונה (לפחות לפי סקיצת ההוכחה שיש לי בראש, לא ניסיתי ממש לכתוב אותה).

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

האייל האלמוני • בתשובה להאייל האלמוני

יום ו', 29/6/2007, 22:55

ואיך בדיוק יכולה להיות תמונה רציפה של מספרים רציונליים?

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני

יום ו', 29/6/2007, 23:47

הרציונליים הם מרחב מטרי לכל דבר. אין בעיה להגדיר עליהם פונקציות רציפות ביחס למטריקה שלהם. רק כשאתה מכניס את הממשיים לעניין כל הטופולוגיה מתחרבשת. למשל - כשהיינו רק ברציונליים, אז אוסף כל הרציונליים היה קבוצה פתוחה וסגורה, מן הסתם. כשאתה מביט עליו כעל תת קבוצה של הממשיים, הוא לא קבוצה פתוחה (כי בכל סביבה של רציונלי יש אי רציונלי), והוא לא קבוצה סגורה (כי יש סדרות רציונליים שמתכנסות לאי רציונלי).

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ'

יום ו', 29/6/2007, 23:51

זה נשמע חביב - "כשהיינו רק ברציונליים"... הו הימים היפים!

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

דורפל • בתשובה להאייל האלמוני

שבת, 30/6/2007, 0:52

עוצמת הרציונליים כולם אלף-אפס, עוצמת כל תת-קטע של הישר הממשי כעוצמת הממשיים כולם - טריוויאלי לגמרי לכן שאף פונקציה מהרציונליים לממשיים לא יכולה להיות על, ולא לכך התכוונתי.

חוץ מזה, לא הבנתי אותך, ונדמה לי שלא הבנת אותי.

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לדורפל

שבת, 30/6/2007, 9:20

העניין הוא שלא ברור על מה אתה מדבר ב"משפט ערך הביניים" ומהו "המקרה של הרציונליים" (פונקציות מ-Q ל-Q?) בהכללה שהוא דיבר עליה הוא ניסה להציע מקבילה של משפט ערך הביניים למקרה של הרציונליים - ההכללה הכי טבעית שאפשר לדמיין במקרה הזה, לדעתי.

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

דורפל • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ'

שבת, 30/6/2007, 13:50

אני חושב על פונקציות מהרציונלים לרציונלים. משפט ערך הביניים לא מתקיים שם, לפי הדוגמה הנגדית שמספקת הפונקציה x^2, שעדיין רציפה, אבל כמובן איננה על (החלק האי-שלילי של הישר).

הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים.

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לדורפל

שבת, 30/6/2007, 18:08

הממ, צודק. אין מקור ל-‏2.

שלושה ספרים

האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ'

יום ו', 29/6/2007, 20:57

עזוב רציפות, כדי לדבר עליה כעל פונקציה מעל הממשיים, צריכים, ובכן, מספרים ממשיים ואם יש לך אותם (אקסיומטית: שדה \סגור ארכימדי וגו'), שאלת הקיום טריוויאלית.

לכן היא (שאלת הקיום של האי-רציונליים) דווקא מעניינת יותר (היסטורית, אנקדוטלית, פילוסופית - לא דווקא מתמטית) בהקשר גיאומטרי מאשר אנליטי.

ואם את קיומם של מספרים אי-רציונליים אלגבריים קל יחסית לקבל (כי קל לבנות קטועים שאורכם אי-רציונלי, בעזרת מספרים שלמים, וגם כי עוצמתם בת-מניה ואיך צורך ב-"אינסוף אקטואלי"), קיומם של מספרים אי-רציונליים טרנסצדנטיים הוא כבר בעייתי הרבה יותר. אתה מציע לעלות גם את הנושא הזה בתיכון?

שלושה ספרים

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני

יום ו', 29/6/2007, 21:56

מישהו אמר משהו על להראות את זה בתיכון? זו בורות מבורכת.

לטעמי החלק הכי מעניין בשאלת הקיום של האי רציונליים היא בבנייה הפורמלית של הממשיים, למרות שלכאורה זה overkill אם רוצים לטפל רק באי רציונליים אלגבריים.

שלושה ספרים

כבשה • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ'

שבת, 30/6/2007, 4:58

אז עדיף לא לבנות ממשיים ולהשאר רק עם רציוליים וכ'ו?

שלושה ספרים

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לכבשה

שבת, 30/6/2007, 9:20

ממש לא. למה?

שלושה ספרים

כבשה • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ'

שבת, 30/6/2007, 4:53

ויש? שורש למיספרים שהם לא ריבועיים?

שלושה ספרים

גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לכבשה

שבת, 30/6/2007, 9:21

כן.

(כלומר, אין שורש רציונלי, אבל אפשר להראות בניות פורמליות של שדות שמכילים את הרציונליים כתת שדה, ובהם יש שורש לכל מספר חיובי).

חזרה לעמוד הראשי

המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
RSS מאמרים \| כתבו למערכת \| אודות האתר \| טרם התעדכנת \| ארכיון \| חיפוש \| עזרה \| תנאי שימוש	© כל הזכויות שמורות