בתשובה לאלון עמית, 15/07/05 19:24
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הדיון התפצל לשניים. הטיעון שלי ותגובותיך, והטיעון שלך ותגובותיי. משום מה לא הגבת לטיעון שלי בתגובתך האחרונה. ___ אני לא יודע כמה התאמצתי, אבל בהחלט יש נקודה שפיספסתי. אמרת שיש מ"ט שיכולה להוכיח משפטים בתורת המספרים? את כל המשפטים? כלומר היא מכילה מערכת פורמאלית של האריתמטיקה שהיא שלמה? מוזר, לא? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא "משום מה", אלא בכוונה. אני רוצה שנתמקד, והפעם בא לי שדווקא נתעקש לבחון את הטיעונים שלי. _____ אני אמרתי "את כל המשפטים"? לא, סתם משפטים. כמו שהאדם לא יכול להוכיח את כל המשפטים. אני אומר: מחשב יכול לעשות אריתמטיקה, והוא מתואר (היטב) כמ"ט. אתה אומר שאדם אינו מתואר כמ"ט. כלומר, אתה מניח שאדם שונה ממחשב. איך אתה מצדיק את ההנחה הזו? איזו אבחנה לגבי האדם מהווה את נקודת המוצא שלך? אתה מסכים ש*איזושהי* אבחנה כזו נחוצה? "האדם" אינו מושג פורמלי; הוא משהו שאנחנו מכירים אמפירית. כדי להוכיח עליו משהו, צריך להתחיל מאיזושהי תכונה שאנחנו בטוחים שיש לו (כמו "האדם יכול לראות שנוסחת גדל G עבור ZFC היא נכונה"), ואז אפשר להראות שבכך הוא שונה מכל מחשב. כל עוד אין בידינו תכונה כזו, ממה נתחיל? אז יש לך תכונה כזו? מהי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, נתמקד בטיעונים שלך, אבל אני מקווה שלא נשכח את הטיעון שלי, כי אני אשמח לשמוע את הביקורת שלך עליו. ___ ההבדל בין אדם לבין מכונה הוא דק. זו בעיה להצביע על תכונה שיש לו, כי כל תכונה שאגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה. האדם שונה ממכונה במקום שהוא דק מכדי הגדרה. אני אדגים. ניקח את האלכסון של קנטור. האלכסון מוכיח שישנם אינסוף (גדול מא-0) מספרים לא מוכרים לנו. הוא עושה זאת ע"י הצבה של כל המספרים מול כל השמות האפשריים (מייצגים את ההכרה שלנו) ומראה שבהכרח קיים מספר שלא נמצא בסידור הזה. את המספר הזה אתה יכול עכשיו להוסיף לקבוצה של המספרים המוכרים, אבל המצב לא משתנה. אתה יכול לעשות את זה עבור כל מספר ממשי שתמצא, והמצב עדיין לא ישתנה. באותה צורה בענייננו. כל תכונה של האדם שנגדיר תיכנס לרשימת היכולות של המחשב. רשימה זו עשויה להיות אינסופית (בת-מנייה), אבל תמיד יישאר אינסוף (לא בר-מנייה) של תכונות שלא הגדרנו. (זה אינו מהווה הוכחה, רק מסביר למה ההוכחה לא נדרשת לתכונה מסויימת של האדם) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
______ מה פתאום כל תכונה שתגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה? הנה, עד לפני כמה ימים היתה לך תכונה נפלאה כזו: האדם יודע ש-G נכונה, המכונה לא. כל מה שאני מנסה להראות לך הוא שאם תמשיך להתאמץ את מה שאתה כל הזמן מתאמץ להראות, והוא ש*משפט גדל* אומר משהו על ההבדל הדק הזה, תמשיך להיתקל באותו קיר עד שלא תסביר לי, או לעצמך, מהי אותה יכולת מופלאה של האדם שאין למכונה. איך ההסבר עם האלכסון מסביר למה ההוכחה לא נדרשת לתכונה מסויימת של האדם? הוא רק מסביר (דרך משל) למה יהיה קשה לנסח כזו. נו, איזו מין סיבה זו לומר שתכונה כזו אינה נדרשת? כי קשה לתת אותה? כל עוד לא תביא אחת כזו, תוכל להמשיך בכיף להניח או להאמין שהאדם אינו ניתן לתיאור כמ"ט, ואני אמשיך להאמין שכן, וכך זה יישאר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההסבר עם האלכסון מראה שאני לא נדרש לשום תכונה מוגדרת מראש. כל מ"ט מסויימת שתביא לי, אני אמצא את הדבר שהאדם יכול לעשות והיא לא. כמו שהוכחת האלכסון נשענת על הסידור הנוכחי של השמות מול הממשיים, אבל היא תעבוד עם כל סידור שהוא. זה כמו שתבוא לקנטור ותגיד לו: "אתה אומר שיש מספרים שלא ניתן לבטא? תראה לי אחד." וכשהוא לא יצליח, תגיד לו: "ההוכחה שלך לא תקפה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם תוכיח לי שלכל מ"ט מסויימת שאני אביא לך, אתה תמצא את הדבר שאדם יכול לעשות והיא לא, התקדמנו הרבה. אתה יכול? איך? אני לא דורש שהתכונה תהיה "מוגדרת מראש"; מצדי שתהיה לך הוכחה כללית הבוחנת את תכונותיה של כל מ"ט נתונה ומראה שהיא לא יכולה לעשות משהו (התלוי במ"ט הספציפית) שאתה ואני כן. שוב: מתישהו תצטרך להכניס פה יכולות אנושיות שאתה בטוח לגביהן. על מה אתה חושב בהקשר הזה? מדי פעם הזכרת שהמוח האנושי "מכיל" את האריתמטיקה. הוא לא, לא במובן יותר חזק מזה של מכונה להוכחת משפטים אריתמטיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע למה אתה חוזר לנקודה הזאת בדיון למרות שכבר עברנו אותה. את הטיעון של לוקאס מראש הצגתי בהסתייגות, וקיבלתי, פחות או יותר, את הדחייה שלך אותו. והצגתי טיעון אחר, חזק יותר לדעתי, שאליו עדיין לא התייחסת. ____ "אכתוב תכנית-מחשב שכותבת את כל תכניות-המחשב האפשריות עד גודל מגה-בייט, ומריצה עותק של כל אחת מהן לנצח. רובן לא תעשינה כלום, אבל חלק מהן תעשינה בדיוק את מה שתיארתי. די דומה למה שקורה ביקום. האם העולם ה*זה* לא ניתן לתיאור כמ"ט? (ודאי שהוא כן)." אתה בטוח שכל העולמות המכאניסטיים (עד לגודל של מגה-בייט) כלולים בפלט של תכנית המחשב שכתבת? אתה בטוח שלעולם שלנו סיבוכיות סופית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובה הזו שלך מתייחסת באיזשהו אופן לתגובה שלי, או שהיא סתם פה? אנא קרא שוב את תגובה 317405. איזה טיעון של לוקאס? ננסה עוד פעם, אני מקווה בפעם האחרונה. אתה מאמין שאנשים אינם ניתנים לתיאור כמ"ט. יופי. אתה מחפש לכך איזושהי הוכחה. אם אתה רוצה, בסדר. עד אתה ניסית לבסס את הוכחותיך על משפט גדל. ההוכחות שלך *כולן*, עפ"י הגדרה, בנויות כך: 1. משפט גדל מראה לנו שלמערכות פורמליות או מ"ט יש תכונה A. 2. לבני-אדם אין את תכונה A. 3. לכן, בני-אדם אינם מערכות פורמליות. ניסית ש-A תהיה "לא יודעת להוכיח את G", או "מתוארות ע"י מערכות לא שלמות", או "לא מכילות את האריתמטיקה", בווריאציות שונות. לפעמים שגית בטענה שגדל מראה את זה, לפעמים לא. לא חשוב. הנקודה שאני מנסה לעמת אותך איתה היא שכל טיעוניך בשלב 2 מבוססים על תחושות, תקוות או הנחות שאין להן תימוכין יותר מוצקים מעצם ה*הנחה* שאנשים אינם מ"ט. אתה רוצה להניח זאת? סחתיין. אבל אתה מנסה *להוכיח* זאת. בשביל זה עליך *להוכיח* משהו מסוג 2. מהו הדבר הזה? באיזה מובן אתה חושב שאתה יכול להוכיח אותו? אמפירית? אינטואיטיבית? מתוך אמונה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא משתמש בסתמי פה. התגובה הזאת התייחסה ישירות לפתיל הנוכחי, שהתפצל לטיעון שלי ולטיעון שלך, ואת הטיעון שלי נראה לי שלא קראת לעומק במיוחד. אני אחזור עליו א. אתה טוען שהאדם הוא מכונת טיורינג. כדי לתאר איך דבר כזה עובד אתה צריך להגיד לי מה המכונה עושה בכל מצב (אלא אם כן אתה מתכוון למ"ט לא דטרמיניסטית, אבל לא נראה לי שאתה מתכוון לזה). ב. התיאור הזה שלך את מכונת הטיורינג מהווה מערכת פורמאלית. היא מהווה מערכת פורמאלית עקבית, מפני שמאותו מצב עניינים יש רק תוצאה אפשרית אחת. ג. אם היא מהווה מערכת פורמאלית עקבית, אז או שהיא לא שלמה, או שהיא פחות חזקה מ-PA, או שהיא לא נאותה. ד. מאחר והיא מתארת אדם, לא ייתכן שהיא פחות חזקה מ-PA. מכאן שהיא לא שלמה. ה. לא מדובר במערכת מסויימת. כל מערכת פורמאלית שתנסה לתאר את מכונת הטיורינג שהיא אדם תהיה לא שלמה. לא ניתן לתאר מ"ט-אדם בצורה פורמאלית. ____ אין לי כוונה שהדיון הזה יהפוך אגרסיבי. באמת, אם לא הייתי חושב שיש משהו במה שאני אומר לא הייתי מתעקש. אם הדיון באמת יהפוך לאגרסיבי, גם אז אפסיק להתעקש. אין לי שום אינטרס להוכיח את זה, מספיק לי שאני מאמין בזה. העניין שלי בדיון הוא בלמידה שלי ממנו, ולמדתי ממנו הרבה. אבל הטיעון שהצגתי לך הרגע, ואותו כבר הצגתי פעמיים, הוא לא אותו טיעון כמו הטיעון שאתה אומר שאני חוזר עליו שוב ושוב. הבנתי את הביקורת שלך על הטיעון הקודם ואני מציב טיעון חדש, אחר מהראשון. אין כאן הבדל בין אדם לבין מ"ט, יש כאן משהו אחר. תעשה לי טובה, אם לא בא לך להתייחס אליו, פשוט תגיד ונפרוש. אין טעם שתשים בפי טיעונים אחרים ואז תבטל אותם כלאחר יד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין כאן הבדל בין אדם לבין מ"ט"? אתה לא שם לב ששלב ד' בנימוק החדש שלך הוא בדיוק מהטיפוס 2 שהזכרתי? זה המקום בו נכנס המושג "אדם" לנימוק שלך, והוא כולל היגד בלתי0-מוצדק. למה מערכת המתארת אדם לא יכולה להיות פחות "חזקה" מ-PA? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אני לא מבין למה אתה מתכוון בייצוג של האדם כמ"ט. אם האדם יכול לדעת את PA, ללמוד אותה בקורס לוגיקה או להמציא אותה, אז אני לא רואה איך רדוקציה של אותו אדם לכדי מ"ט תהיה שלמה אם היא לא מכילה בתוכה את PA, אם לא ניתן לבטא כל משפט ב-PA במ"ט הזאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לבטא כל משפט"? איזו בעייה יש לבטא כל משפט של PA במ"ט? אולי אתה לא ממש מסביר למה אתה מתכוון בייצוג. אני למדתי את PA, כן; ואת מה שאני יכול לעשות עם PA, יכולה גם תכנית מחשב שיקח לי חצי-יום לכתוב. בפעם השלישית: מה יש לאדם שאין ל-PA? אתה מבין, או לא מבין, ש"לדעת את PA" או "ללמוד אותה בקורס בלוגיקה" או "להמציא אותה" זה לא מספיק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עם היכולת להוכיח בעזרת ZFC את משפט גודסטיין? (סתם שליפה, אל תירה בי) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שלח את המ"ט לקורס המתקדם (זה שבו לומדים את ZFC); היא תוכיח לך בחדווה גם את גודסטין. אתה רוצה שהיא *תמציא* את ZFC? תן לה קצת לשחק, וגם זה יקרה (למה לא?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלת "מה יש לאדם שאין ל-PA". לי אישית ברור שמכונת הטיורינג (האוניברסלית) הממוצעת הרבה יותר חכמה ממני, רק שבגלל נסיבות טכניות עוד לא בנו אותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהקשר של הדיון ביני לבין ד.ק., אין הבדל בין PA למערכת אחרת (אלא אם כן ד.ק. יפתיע). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
PA היא "חשופה למשפט גדל", ולכן היא או לא עקבית, או לא שלמה, נכון? יש לי כמה שאלות. א. ב-ZFC אני יכול לבנות מודל ל-PA וכך להוכיח את עקביותה ב-ZFC? ב. האם אני יכול לעשות גם ההיפך? ג. אם לא, האם זה אומר ש-ZFC יותר חזקה מ-PA? ד. אם כן, האם זה אומר ש-ZFC בהכרח חשופה גם היא למשפט גדל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. כן, ZFC מוכיחה עקביות PA (מה זה עקביות *ב*-ZFC?). ראה תשובה מפורטת יותר לעוזי מתישהו מאוחר יותר. ב. לא. ג.במובן מסוים כן. ד. ZFC חשופה למשפט גדל ללא קשר מכיון שהיא תורה אריתמטית ואפקטיבית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. מאחר ואנחנו לא יודעים אם ZFC בעצמה היא עקבית, אנחנו גם לא בטוחים שההוכחה שלה את עקביות PA היא נכונה. כלומר, PA מוכחת כעקבית רק בתוך ZFC, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ג. אני רק רוצה להזכיר, שוב, שיש תורות המוכיחות את עקביות PA, ו-PA לא מוכיחה את עקביותן, אבל הן לא "יותר חזקות" מ-PA כי יש משפטים ש-PA מוכיחה והן לא. לגבי השאר, אין לי הערות נוספות על התגובה של אורי. אני עדיין מנסה להבין את כיוון החשיבה שלך: אחרי שתסיים ללבן את כל התכונות של מערכות פורמליות ומכונות-טיורינג שאנו מכירים, מה יהיה הנתון לגבי *אדם* שייכנס לטיעון שלך וממנו ייגזר שאדם שונה, באיזה-מובן-שלא-יהיה, ממחשב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ג. אילו תורות מוכיחות את עקביות PA אבל לא את כל המשפטים ש-PA מוכיחה? ואיך? כיוון החשיבה שלי הוא כזה: קשה לי לראות איך מערכת פורמאלית שמתארת את האדם יכולה לעשות זאת מבלי להיות אריתמטית ואפקטיבית. מאחר והיא בהכרח עקבית (כאן אנחנו חייבים עקביות) אז היא בהכרח לא שלמה. אם אין לך תיאור פורמאלי שלם של האדם אז אתה גם לא יכול לצפות לבנות מ"ט שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ג. קח תורה פרימיטיבת (נגיד Presburger Arithmetic) וצרף אליה את עקביות PA, או משהו מתוחכם יותר שממנו נובעת עקביות PA כאקסיומה. זו לא "רמאות" - אין כל דרך להבחין בין זה לבין ZFC ש"באמת" מוכיחה ש-PA עקבית. בשני המקרים, יש אקסיומות, ומהן גוזרים פורמלית את הטענה. אני אחזור, גם כאן, על תגובת הראי שלי: "קשה לי לראות איך מערכת פורמאלית שמתארת את PA/מחשב אישי/שימפנזה/ZFC יכולה לעשות זאת מבלי להיות אריתמטית ואפקטיבית. מאחר והיא בהכרח עקבית (כאן אנחנו חייבים עקביות) אז היא בהכרח לא שלמה. אם אין לך תיאור פורמאלי שלם של PA/מחשב אישי/שימפנזה/ZFC אז אתה גם לא יכול לצפות לבנות מ"ט שלו." אתה לא מסביר מה זה "תיאור", אבל אם זה מה שנראה שזה, אז גם את PA אי-אפשר לתאר; לא רק שהאדם איננו מערכת פורמלית, אפילו מערכות פורמליות אינן מערכת פורמלית. אם אתה טוען שאדם יודע מתמטיקה ושימפנזה לא וZFC לא, עליך להסביר באיזה מובן אדם יודע משהו על מספרים משהו ש-ZFC לא יודעת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין מה המשמעות של לתאר את PA ואת ZFC באמצעות מערכת פורמאלית. אולי מטא-מערכת מתארת מערכת-בת. מטא-שפה כנראה מתארת שפה-אובייקט. אבל אני לא יודע, זה מוזר להתייחס אליהן בצורה הזו. אם יש שימפנזה-מ"ט אז כנראה שההתנהגות שלה ניתנת לתיאור כרצף סיבתי של אירועים. אם נדע את המכלול שלה ברגע t, נדע בדיוק מה יקרה בה ברגע t+1. תיאור כזה הוא בעצם מערכת פורמאלית דדוקטיבית. יכול להיות שהיחסים והפונקציות והקבועים הם אלה של הפיזיקה. כלומר, המערכת מתארת מה קורה לכל חלקיק וחלקיק בכל רגע על סמך חוקי הפיזיקה. זה יהיה תיאור פיזיקליסטי של השימפנזה. ייתכן שתיאור פיזיקליסטי שלם של שימפנזה הוא באפשר, אם כי הוא נראה לי רחוק מאוד (בלשון המעטה). עכשיו תיאור כזה, כדי להיות שלם, צריך לתאר גם את המאורעות הנפשיים של השימפנזה. אם התיאור הזה הוא של בן אדם אז הוא צריך לכלול גם את המחשבות שלו ואת כל מה שהוא יודע. זה כולל את PA ואת ZFC. זה כולל גם את התיאור עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשמעות של לתאר את PA ואת ZFC באמצעות מערכת פורמלית ברורה לך פחות מהאפשרות לתאר אדם באופן הזה? כתוב תכנת-מחשב שמוכיחה משפטים ב-PA או ב-ZFC, והא לך מכונת טיורינג. מה "מוזר" בזה, ואיזה תוקף לוגי יש לטענה שזה "מוזר"? המכונה הזו "יודעת" את PA ואת ZFC בדיוק כמו שהאדם יודע. אם אתה טוען שלא, הסבר מדוע. זה צריך להיות ליבו של הטיעון שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין תוקף לוגי לטענה שזה מוזר. אתה קשוח, אה? להוות תיאור של משהו זה להיות מטא-המשהו הזה. PA עצמה אינה תיאור של PA. כשהמורה שלי ללוגיקה לימד אותי את PA, אז הוא תיאר את PA. כדי לתאר אותה הוא צריך להשתמש במטא-שפה (פונקציית העוקב על n מחזירה את n+1). כלומר, אני צריך לדעת מה זה n+1 כדי להבין מה זה פונקצית העוקב. (אז זה לא כ"ך מוזר, אתה צודק). תיאור מדוייק כזה של האדם בהכרח מהווה מטא-מערכת לאדם. אבל האדם מכיל את התיאור הזה. אז התיאור הוא מטא-מערכת של עצמו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"להוות תיאור של משהו זה להיות המטא-משהו הזה". מדוע אתה אומר זאת? איזה פשר יש להיגד הזה? זה שהמורה שלך השתמש בשפה-טבעית כדי לתאר את PA, זה סביר מאוד; מה זה אומר? כבר ניסית פעם לטעון שיש איזו היררכיית-מטא בין מערכות, ולא הצלחת, כמדומני. לעניין: כן, PA מסוגלת בקלות לתאר את עצמה. זה אחד הדברים שעושה ההוכחה של משפט גדל. אז? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אמרת באיזו הודעה שהמשפט הראשון של גדל מוכח בתוך PA ולא באיזו מטא-PA או מה-שלא-יהיה. מתוך ההיכרות השטחית שלי עם ההוכחה אני מבין את האמירה הזאת, אבל נשאר באיזו אי-הבנה בסיסית: הרי ההוכחה מתבססת על המשפט האריתמטי שאומר "אינני יכיח ב PA" והיא *מראה (בקלות) שהוא אינו יכול להיות שגוי* אם PA עקבית. אם היא עושה את זה בתוך PA עצמה, הרי הפסוקית בין הכוכביות שלנו מהווה בעצמה הוכחה למשפט, והגענו לסתירה, לא לאי שלמות. אמנם זאת הוכחה בדרך השלילה שאינה מקובלת אצל אידיאליסטים מסויימים, אבל ודאי שלא זה הפתרון לקושיה. (תשובה עם "אלוהים אדירים" תתקבל בהכנעה. ברור לי שאני טועה, רק לא ברור לי איפה) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלוהים אדירים! (סתם, אני סקרן לראות אותך כנוע). לא כל כך הבנתי את הטריק עם הכוכביות: שמת אתן מסביב לחלק מהטענה, והשמטת את ה"אם PA עקבית". ההוכחה ב-PA לא מראה את החלק המכוכב לבדו, אלא את כל הטענה - *אם* PA לא מוכיחה סתירה, *אז* המשפט האריתמטי G הוא נכון. ליתר דיוק, מה שההוכחה מראה הוא שאם G יכיח ב-PA, אז גם שלילתו יכיחה ב-PA, ואז PA לא עקבית. את כל זה באמת אפשר להראות ב-PA. (אגב, זה לא הכל; מה שהראינו בינתיים זה שאם PA עקבית אז G לא יכיח ב-PA. זה לא אומר ש-PA לא שלמה: צריך גם להראות ש*שלילת* G לא יכיחה ב-PA. את זה *אי-אפשר* לעשות בלי להניח עוד משהו, סוג של נאותות, על PA; מי שהצליח להיפטר מהדרישה הנוספת הזו היה רוסר, אבל הוא לא השתמש במשפט האריתמטי שהזכרת אלא במשפט אחר, יותר מתוחכם ונבזי). זה פותר את הבעייה? אם לא, אנא, תן לי את הצ'אנס לראות אותך שוב מקבל בהכנעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראת לי? ההסבר שלך פותר את הבעיה רק בערך. אני מסתבך כאן כבר כמה דקות בנסיון לנסח את מה שמפריע לי, ולא מגיע לתוצאה שמשביעה את רצוני. הנה כמה עניינים שקשורים לחוסר הנחת שלי, בתקוה שתצליח להבין מה אני ממלמל שם: 1. מאחר והשכל הישר מתקומם נגד ההנחה ש PA אינה עקבית (מה כבר יכול להיות שם לא עקבי, הוא שואל אותי), אנחנו נותרים עם האפשרות שהיא אינה שלמה. זאת גם ה"מסקנה" המקובלת ממשפט גדל בקרב הציבור הרחב. 2. אבל אם PA אינה שלמה המספר G טוען טענה נכונה. את אמיתות הטענה *הוכחנו* ב PA (תחת הנחת העקביות שלה), ואם כך היא שוב "שלמה" לפחות לגבי המספר G, וכל הבניין שלנו קורס על עצמו. מספר גדל הרי אומר "אינני יכיח" ואם הצלחנו להראות שהטענה נכונה הרי *הוכחנו את חוסר היכיחות*. כל כחכוחי הגרון האלה משאירים אותנו עם: 3. אם כך, PA אינה סתם "או לא עקבית או לא שלמה" אלא "לא עקבית" ממש, בניגוד גמור לסעיף 1 לעיל. 4. כידוע, זאת לא המסקנה האמיתית ממשפט גדל שטוען טענה חלשה יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? אם PA אכן לא מוכיחה את G, G דובר אמת, נכון. אבל זה לא אומר שיש הוכחה פורמלית ב-PA של G; מסתמא אין כזו, דווקא. 1. לא לגמרי הבנתי איך זה קשור לטיעון. נכון שזה סביר יותר, אבל איך זה מקנה תוקף להמשך? 2. "את אמיתות הטענה *הוכחנו* ב PA" - את אמיתות איזו טענה? שוב אתה מנסה להדחיק את "הנחת העקביות שלה": קודם הגלית אותה מחוץ לכוכביות, עכשיו שמת אותה בסוגריים. מה ש-PA מראה הוא את הגרירה PA עקבית -> G; זה פסוק פורמלי שיש לו הוכחה פורמלית ב-PA: אקסיומה, אקסיומה, מסקנה, אקסיומה, מסקנה, מסקנה, מסקנה, בום, מש"ל. הוכחה פורמלית כזו ל-G עצמה, סובר הציבור הרחב, דווקא אין! "מספר גדל הרי אומר "אינני יכיח" ואם הצלחנו להראות שהטענה נכונה הרי *הוכחנו את חוסר היכיחות*". הצלחנו להראות שהטענה נכונה? לא, הצלחנו רק לומר "G נכונה!" ואז למלמל בחיפזון מתחת לשפמנו, "כן, נו, בהנחה ש-PA עקבית, מה זה, איזו מין הנחה זו, ברור ש-PA עקבית". הבה נודה, בינינו לבינינו, שמה ש"הראינו" זה לא ש-G נכונה, אלא שאם PA עקבית ("ברור, ברור") אז G נכונה. וזה, כזכור, בדיוק מה שגם PA יודעת להראות, פורמלית לגמרי. אני מציין זאת כדי להדגיש שוב שאין פה איזו מערכת חיצונית ל-PA, איזה הגיון-ברזל משולב בחכמת-חיים, שמצליח להראות משהו ש-PA לא. את C->G מראה גם הגיוננו וגם PA, כש-C זה הפסוק "PA עקבית"; את G עצמה לא אנחנו ולא PA יודעים להראות. 3. כדי להסיק ש-PA לא עקבית, יש לעשות דבר פשוט: להוכיח פורמלית דבר והיפוכו, או לפחות להוכיח פורמלית שיש הוכחה פורמלית של דבר והיפוכו. כפי שאתה רואה, לא עשינו את זה ולא עשינו את זה - נכון? את איזה פסוק-והיפוכו הוכחנו? נדמה לי שקודם הרגשת בנוח עם משפט גדל והוכחתו, ומה שמבלבל אותך עכשיו הוא הטענה שלי שלא רק שהמשפט נכון, אלא שהוכחתו ניתנת לפירמול ב-PA. שוב, כל מה שזה אומר הוא שהפסוק C->G יכיח ב-PA - והפסוק הזה איננו G עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו נסיון נוסף שלי לעשות סדר, לפני שנחליט להעביר את המשך הפתיל ל דיון 1571. שוב אמספר את הטענות שלי כדי שתוכל לשלות במלקחיים את הטענה השגויה ולהסביר לי את הטעות. אני גם משמיט, בשלב הראשון, כל מיני פסאודו-טענות מעורפלות ואמירות כלליות ומנסה לגעת בלב העניין. 1. G הוא משפט ב PA. 2. G אומר "אני לא יכיח ב PA". 3. אם G אינו נכון, הרי שהטענה שהוא טוען שגויה, דהיינו הוא כן יכיח ב PA. מכאן: ב PA אפשר להוכיח משפטים לא נכונים (שהרי זאת ההנחה על G בסעיף זה), ומכאן שהיא לא עקבית. אם אתה מתעקש על הוכחה של משפט וגם של המשפט המנוגד לו, אפשר בקלות לנסח את המצב גם באופן הזה. 4. אם G נכון, הרי הטענה שהוא טוען מתקיימת, ומצאנו משפט נכון שאינו יכיח, ומכאן ש PA אינה שלמה. עד כאן אין לי בעיה, וזה המקום בו הסיפור נגמר בד"כ. הצרוף של 3 ו 4 הוא המסקנה המקובלת ממשפט גדל: PA אינה שלמה או אינה עקבית. עכשיו: 5. האם ייתכן ש PA עקבית אך לא שלמה? הרי הראינו בסעיף 3 שאם היא עקבית אזי G חייב להיות נכון (אינו יכול להיות לא נכון). 6. מה זה "הראינו בסעיף 3"? הוכחנו. אם לא השתמשנו שם בשום דבר שחורג מתחומי PA הרי שהוכחנו זאת ב PA. 7. אם כך הוכחנו את מה שכביכול אינו יכיח והגענו שוב לסתירה. 8. אם כך PA אינה עקבית. והערה לסיום: כידוע אני לא נמנה עם מחנה "מותר האדם ממכונות טיורינג" כך שאין צורך לחשוד בי שאני מנסה להשתמש במשפט גדל כדי לשרת איזו אג'נדה אנתרופוצנטרית. אתה צודק בכך שהרבה זמן חייתי בשלום עם G מתוך שהינחתי שסעיף 6 לא נכון, דהיינו שבסעיפים 3 ו 4 נעשה שימוש בטיעונים שחורגים מ PA (אין לי מושג אילו מחוקי הלוגיקה הם חלק ממנה ומה בדיוק מותר לטעון במסגרתה). רק כשהערת באחת ההודעות שהכל כולל הכל נעשה בתוך PA התחלתי להרגיש את תחושת חוסר הנוחות ממה שהולך כאן. אני מכיר היטב את התחושה הזאת: היא מהסוג שמתחלף מהר בהרגשה "איזה אידיוט אני", אבל אליה כבר התרגלתי מזמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את 7. איזו סתירה? מה שהוכחנו הוא, כדבריך (ואני מצטט את סעיף 5): "הראינו בסעיף 3 שאם היא עקבית אזי G חייב להיות נכון". זהו, זה כל מה שהראינו: ש*אם* PA עקבית *אז* G חייב להיות נכון. זה (כמו שציינת ב-6) כל מה שאנחנו יודעים להוכיח ב-PA. איפה הסתירה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבוי. הראינו (תחת הנחת העקביות) ש G חייב להיות נכון, אבל G עצמו הרי אומר שאנחנו לא יכולים להראות דבר כזה ("א... אי.. אינ... אינני יכיח" הוא חוזר ואומר), כלומר הוא לא נכון. סתירה. אולי העניינים יתבררו לי ביתר קלות אם תשיב על שאלה אחרת: האם ניתן לבנות בדומה ל G את המספר R שהטענה שהוא מייצג היא "אינני נכון ב PA"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אתה מבלבל בין "תחת הנחת העקביות, G נכון" ל-"G נכון". שים לב: "הראינו (תחת הנחת העקביות) ש G חייב להיות נכון" נכון... "אבל G עצמו הרי אומר שאנחנו לא יכולים להראות דבר כזה" לא נכון. הוא אומר "אינני יכיח מהאקסיומות של PA ותו לא; אני לא מתחייב על מה יקרה איתי אם תצרף הנחות נוספות (למשל ההנחה ש-PA עקבית)". בוא נסכים קודם על זה (או שלא), ואח"כ נדון בבעייתיות של המספר R. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובה הראשונה שלי היתה "אהה!" אבל מיד אחריה חזרה הרגשת חוסר הנחת. אוקיי, היא אומרת לי, אז בוא נבנה את המערכת האקסיומטית SA, שהיא PA בצרוף האקסיומה "PA עקבית". המספר G ב SA הוא ממש אותו אחד שאנחנו מכירים ב PA (כלומר הוא עצמו עדיין מדבר על אי-יכיחותו ב PA, אבל אנחנו מסתכלים עליו מ SA) אלא שעכשיו הוא מוביל לסתירה: מאחר ו PA עקבית עפ"י האקסיומה שהוספנו, הוכחנו (בדרך השלילה) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח. לכן SA לא עקבית, אבל קל לראות ש SA עקבית אם"ם PA עקבית, ולכן PA אינה עקבית. מה היית עונה לאותה הרגשה טורדנית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הוכחנו (בדרך השלילה) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח". וביתר פירוט: "הוכחנו (ב-SA) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח-ב-PA" לכן SA לא עקבית? למה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהה! תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם טרם מיציתי את הסבלנות שלך, ואם יש לך זמן וחשק: מה עם המספר R? (אם התשובה על הרישא שלילית זה בסדר, הכי גרוע אשוב אל GEB הישן והטוב, נדמה לי שהוא מזכיר אותו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעייה :-) אבל לא הבנתי מה ברצונך שהמספר R "יגיד". מה זה "נכון ב-PA"? נובע מהאקסיומות? נכון במודל הסטנדרטי של הטבעיים? אם זה הראשון, אז זה בדיוק "יכיח", כמו G. אם השני, אין לזה קשר ל-PA, ואין פרדיקט ב-PA האומר "x נכון בטבעיים". להגיד ש-x נכון זה פשוט להגיד "x"; להגיד שהוא לא נכון זה פשוט להגיד "לא x". אתה רוצה ש-R יהיה "לא R"? אי-אפשר... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ג. אנסה להתחכם עוד יותר מהמתטיקאי שמעלי (תוך הסתכנות באמירת שטויות): התורה שיש בה אקסיומה אחת: "PA עקבית". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי אפשר להגיד סתם-כך ''עקבית''. שפה מסדר ראשון מרשה לך להשתמש רק בקשרים הלוגיים הרגילים, ובפונקציות, יחסים וקבועים שמותרים בשפה. צריך מספיק ''יכולת אריתמטית'' במסגרת השפה כדי לתרגם ''עקביות'' למשפט תקני בשפה (העובדה שזה בכלל אפשרי היא ההישג הגדול של גדל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק כפי שציינת, את האקסיומה "PA עקבית" אפשר לרשום באותו אופן גם ב-PA וגם בתורה שיש לה את אותה השפה של PA ואף לא אקסיומה אחת. ה"יכולת האריתמטית" קיימת ב*שפה* ברגע שיש בה את הסימנים המתאימים ("0", "+" וכו'). לכאורה, אפשר לקחת את הנוסחה (Con(PA כפי שהיא מופיעה ב-PA, ולהשאיר אותה לבד בלי אף אקסיומה אחרת, ולקבל את התורה שירדן דיבר עליה. הבעייה היא שאז יהיה קשה להגן על הטיעון שהתורה המנוונת הזו אכן אומרת משהו על עקביות PA, פשוט מפני שאין כל סיבה לפרש את הסימנים בשפה באופן הרגיל. כדי לעשות זאת, צריך (כמו שאמרת) את ה"יכולת האריתמטית" המינימלית, אבל זו תנבע מ*אקסיומות* נוספות שנשים שם, לא מהשפה. אם אני לא טועה, תורות אריתמטיות פשוטות יותר מ-PA (כמו פרסבורגר) מספיקות כדי שהפרשנות של הנוסחה (Con(PA במודל הסטנדרטי תהיה, באמת, ש-PA עקבית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני בכלל לא בטוח שאתה צודק. לא ניתן לכתוב את con(PA) במערכת לא אריתנטית. בפרט, לא ניתן לכתוב את con(PA) במערכת אפקטיבית שלמה. ספציפית, בפרסבורגר אי אפשר לבצע את קידוד גדל הסטנדרטי כי אי אפשר להגיד מחלק, ראשוני וכו'. אף על פי כן, ניתן לבנות תורה חלקית ממש ל-PA + con(PA) שעדיין תוכיח את con(PA). לשם כך צריך פשוט להסתכל על תורה נוצרת סופית, ע"י ויתור על רוב אקסיומות האינדוקציה, שבה עדיין אפשר לבצע את קידוד גדל. ע"פ משפט הקומפקטיות, יש כזו1. טא דם! 1 בעצם לקחנו את כל המופעים של סכמת האינדוקציה שמופיעים בהוכחת משפט גדל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סילוק חלק מאקסיומות האינדוקציה היה המהלך הבא שלי - חשפת אותי! פרסבורגר הוא כנראה באמת חלש מדי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד פעם אתה עושה את הבלבול הזה בין *תיאור* שלם של מערכת פורמלית לבין שלמות התורה. זה לא אותו דבר בשום מובן שאני יכול להעלות על הדעת. כדי לסבר את האוזן, אתן דוגמא: האם מי שמתכנן מחשב (או iMac, בשביל אלון) צריך לדעת מה יעשה המחשב עבור כל קלט נתון? כן, הוא יכול להריץ סימולציה של המחשב המתוכנן. האם זה אומר שהוא יודע, עבור כל פלט אפשרי, האם יש קלט שיגרום למחשב לתת את הפלט הזה? התשובה במהופך: cl סתם, התשובה היא לא, אבל כן אפשר לכתוב במהופך.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם הפיזיקה אינה מערכת פורמאלית שמתארת את העולם? כדי שהיא תהיה שלמה, כל משפט בשפה שלה שנכון לגבי העולם צריך להיות יכיח בה על סמך האקסיומות וכללי ההיסק. אני משער שיש כל מיני דרכים להבנות את כל הידע הפיזיקלי לכדי מערכת. אולי חוקי הפיזיקה הם הפונקציות והאקסיומות, וגם יש איזשהו קבוע - המפץ הגדול בנקודת זמן 0. אנחנו יכולים לחשב איך בדיוק היקום נראה בכל נקודת זמן על סמך המערכת הזאת (אם היא שלמה), כלומר להוכיח בה כל משפט שנכון לגבי היקום. אבל איך לעזאזל ניתן להוכיח שהיא עקבית? הרי אי אפשר לבנות לה מודל בתורה חיצונית מכיוון שלא יכולה להיות לה תורה חיצונית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי אישית לא ברור למה מערכת פורמלית שמתארת את העולם/פיזיקה+תנאי התחלה צריכה להיות: א. אפקטיבית ב. שלמה א. מניח שיש תורה של הכל עם תיאור סופי, ענין שכלל לא ברור בעיני. ב. עוד פחות ברור. אם יורשה לי לצטט סתם איזה מישהו: האם השאלה האם יש אינסוף ספרות 7 בפיתוח העשרוני של פאי היא שאלה פיזיקלית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני גם לא חושב שהמערכת שמתארת את היקום היא אפקטיבית ושלמה. אבל זאת המשמעות של המשפט ''היקום הוא מ''ט''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושש שהתבלבת כאן: ברור שלכל פלט אפשרי X קיים קלט שגורם למחשב לתת אותו. למשל הקלט: printf("%s", X);
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה חושב על מחשב שמריץ תוכניות בשפת C ואילו אני מדבר על מחשב כללי. גם בדוגמא שלך אין לך תיאור שלם במובן ש-ד.ק. השתמש בו: אם תריץ תוכנה למצוא מספר זוגי שאינו סכום של שני ראשוניים האם היא תדפיס משהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מטיעון האלכסון שלך נראה לי שאפשר להסיק רק את הדבר הבא: כל מה שהאדם יכול לעשות (המספר החריג ברשימה), ניתן לבנות מחשב שידע לעשות אותו (הוספת המספר החריג לרשימה) אבל לא קיים מחשב שיוכל לעשות את כל מה שהאדם יכול לעשות *בו זמנית* (המוגבלות של הרשימה). לי זה נשמע בעייתי כי אנחנו הרי עובדים עם מכונת טיורינג, שהיא מודל "סטטי" - יש דברים שהיא יכולה לעשות, ויש דברים שלא. זהו. לכן לא ייתכן שתהיה תכונה שביום א' האדם מסוגל לה והמ"ט לא, וביום ב' שניהם מסוגלים לה. (זה לא אומר שהטיעון הבסיסי שלך לא נכון, רק שלי נראה שיש בעיה עם דוגמת האלכסון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא קיים מחשב שיוכל לעשות את כל מה שהאדם יכול לעשות *בו זמנית*" וזה לא מוכיח לדעתך שהאדם אינו מ"ט? "לא ייתכן שתהיה תכונה שביום א' האדם מסוגל לה והמ"ט לא, וביום ב' שניהם מסוגלים לה." אתה צודק. זו לא אותה מכונת טיורינג שיכולה לעשות ביום ב' את מה שלא הצליחה ביום א', אלא מ"ט חדשה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, ייתכן שהתבלבלתי קצת. מכונות טיורינג באופן כללי מיועדות לביצוע משימה ספציפית, אבל יש מה שמכונה "מכונת טיורינג אוניברסלית", שזו מכונת טיורינג שמסוגלת לסמלץ כל מכונת טיורינג אחרת, ואליו כיוונתי. אני מניח שזה גם מה שמדברים עליו באופן כללי כשמשווים את האדם למכונת טיורינג. עכשיו, אם יש משהו שמכונת טיורינג *כלשהי* מסוגלת לעשות, גם מכונת הטיורינג האוניברסלית מסוגלת לעשות אותו, ולכן למיטב הבנתי אי אפשר לדבר על "זו לא אותה מכונת טיורינג". הציטוט הראשון שלי שציטטת בהודעה אכן מראה שהאדם הוא כנראה לא מ"ט, אבל אני לא תומך בו - כפי שכתבתי בהודעה הקודמת שלי, הטיעון שלך נראה לי בעייתי, מהסיבות שציינתי כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי גם מכונת טיורינג אוניברסלית1 חשופה למשפט גדל. 1 במידה שהמערכת הפורמאלית שמקבילה לה חשופה למשפט גדל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא טענתי שלא. טענתי שזה מקלקל את טיעון האלכסון שלך, כי אי אפשר להגיד משהו כמו "לכל מכונת טיורינג תהיה קיימת תכונה של האדם שאמנם ניתן לממש במכונת טיורינג *אחרת* אבל לא בזו שלנו". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. אם גם המכונה האוניברסלית חשופה למשפט גדל, אזי "לכל מכונת טיורינג תהיה קיימת תכונה של האדם שלא ניתן לממש בה", לא? זה לא מספיק? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? [אתה כל הזמן מניח את מה שאתה רוצה להוכיח!] |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דווקא משתדל להניח את ההיפך ולהגיע לסתירה. הפתיל הזה עם גדי היה קצת מבולבל. אתה יכול לנסח את השאלה בשלמות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שלמות? איך? לא שמעת על גדל? אתה טוען שלכל מכונת טיורינג תהיה קיימת תכונה של האדם שלא ניתן לממש בה. (א) איך אתה מגדיר "תכונה" בהקשר הזה? (ב) איך אתה מוכיח את זה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת היא שהפתיל הזה לא לגמרי ברור לי. הוא מבוסס על תגובה 317320, שבה השתמשתי בטיעון האלכסון כדי לדבר על משהו אחר, ולא כטיעון בפני עצמו. גדי, בתגובה 317330 התייחס לזה כאילו השתמשתי באלכסון בתור טיעון ממש ובלי משים השבתי לו באותו עניין. אם כי זה יכול להיות מעניין לבחון את טיעון האלכסון בהקשר הזה, אני חושב שיש כאן מספיק בלגן בדיון לעכשיו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנצל, אבל באותה תגובה הדבר היחיד שניתן היה להתייחס אליו היה טיעון האלכסון. פרט אליו, הטיעון היחיד שלך היה: "ההבדל בין אדם לבין מכונה הוא דק. זו בעיה להצביע על תכונה שיש לו, כי כל תכונה שאגדיר, ניתן יהיה להגדיר אותה במונחים של מכונה. האדם שונה ממכונה במקום שהוא דק מכדי הגדרה". קשה להתמודד עם טיעון שאומר שההבדל "דק מכדי הגדרה" אבל קיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לך על מה להתנצל. לא כל תגובה חייבת להכיל טיעון. התגובה ההיא חיוותה משהו על מהות הבעייה, לא ניסתה להוכיח אותו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, לא ברור לי למה הכנסת את האלכסון לעניין. בכל מקרה, במתמטיקה אוהבים לדבר על איזומורפיזם של דברים, שפירושו שהם זהים בכל התכונות שמעניינות אותנו (כמובן שהשאלה מה התכונות שמעניינות אותנו נקבעות על פי ההקשר). אם ההבדל בין האדם למכונת טיורינג הוא כזה עדין שאי אפשר אפילו להגדיר אותו במילים, למה בעצם הוא רלוונטי? יש דיונים שבהם מדברים על הבדלים "קונקרטיים" - לאדם יש קוואליה ולמכונת טיורינג אין. האדם מסוגל לפתור את בעיית העצירה ומכונת טיורינג לא (סתם המצאתי). האדם רואה שהפסוק שעליו מדברים במשפט גדל נכון ואילו מכונת טיורינג לא (כאן זה לא נכון, אם הבנתי את אלון). כל אלו הם הבדלים קריטיים, שיש להם בשר ויש מה לדבר עליהם. אם ההבדל שאתה מוצא בין אדם ומ"ט הוא כל כך עדין שאי אפשר לדבר עליו או לנסח אותו במדוייק, אולי הוא פשוט לא רלוונטי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הבנתי נכון, אלון טוען גם שגם האדם אינו מסוגל לפתור את בעית העצירה. ומה שלא הבנתי נשארה השאלה, מה בכלל הקשר בין האדם למ"ט? אולי אתה תצליח להסביר לי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, כאמור, סתם המצאתי. אני לא חושב שהאדם מסוגל להגיד אפילו אם תוכנה פשוטה מעשה ידיו עוצרת תמיד, ולכן יש לנו תעשייה ענפה של אימות תוכנה. ברמה הבסיסית, מכונת טיורינג היא נסיון לענות על השאלה "מה ניתן לחשב?" בכך שמספקים מודל שמסוגל לחשב כל מה ש"ניתן לחישוב" (כן, זה עמום, ויישאר כך עד שיבוא מישהו שמבין בנושא או שאני אלמד יותר). העניין הוא, למיטב הבנתי, שמכונת טיורינג יכולה להריץ אלגוריתמים - כלומר, צריך לקבוע עבורה בצורה חדה וברורה מה היא תעשה בכל שלב של החישוב בהינתן קלט מסויים. לעומת זאת, כשאנחנו חושבים על הצורה בה אדם פותר בעיות, נראה לנו שהגישה שלו היא יותר אסוציאטיבית ולא ממש אלגוריתמית, ולכן אולי הוא "מסוגל ליותר". ברמה היותר פילוסופית, אפשר לנסות ו"לסמלץ" אדם עם מכונת טיורינג. מסתכלים עליו כעל סך של כל הקלטים שלו (מה שנקלט על ידי החושים, למשל) והפלטים שלו, ואפשר לחשוב על המוח כעל מכונה בעלת מספר גדול מאוד של מצבים, ולכן הוא "שקול" למכונת טיורינג. לטיעון הזה יש חשיבות בשאלה האם המכונות יהיו אי פעם אנושיות כמונו - הרי ברובוטים שניצור יהיו מוחות שהם בעצם מחשבים. כאן עולה שאלת הקוואליה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, יפה, אבל באיזה מובן המוח שלי עושה פעולה "חישובית" כשאני, נניח, ממציאה סיפור לילדים? משחקת באסוציאציות? מסתלבטת על גלידה שוקולד? בקיצור, מה מכונת טיורינג תעשה עם הדברים האלה? (והאם היא תריב אתי על איזה בחור חתיך שניתקל בו ביחד?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המוח שלך מקבל קלט מסוים, ומחזיר פלט כלשהו. הקלט מתקבל (בעיקר) דרך החושים, והפלט מתבטא בתנועת השרירים. למעשה, הוא מחשב פונקציה f כלשהי, שמקיימת: f(קלט) = פלט השאלה היא האם יש מכונת טיורינג שמחשבת את אותה פונקציה. אם היא קיימת גם היא תוכל, בנסיבות דומות לאלה שלך, להמציא סיפור לילדים (או לפחות להוציא פלט שמשמעותו הזזת השפתיים כך שהן יגידו מילים מסוימות). באותו אופן היא גם תוכל לשחק באסוציאציות. אם תגרמי לה לקבל את אותו קלט שאת מקבלת מהעצבים שלך כשאת אוכלת גלידה, גם היא תזכה להסתלבט עליה. אם תגרמי לקבל את הקלט שאת מקבלת כשאת נתקלת בבחור חתיך, סביר להניח שתתחיל ביניכן מלחמת עולם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נחמד מאוד להגיד "פונקציה f כלשהיא", אבל כל עוד לא אמרת מהי, לא אמרת כלום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בודאי שאני לא יודע איזו פונקציה. אם הייתי יודע זו הייתה הוכחה לכך שהאדם הוא מכונת טיורינג. אני אנסה להיות יותר ברור: כשאדם מקבל קלט מסוים (דרך החושים) ומחזיר פלט כלשהו (דרך השרירים) הוא מבצע פעולת עיבוד מסוימת. השאלה היא האם קיימת תוכנת מחשב (או מכונת טיורינג) שיכולה לבצע את אותה פעולת עיבוד. "פונקציה" זה רק שם אחר ל"פעולת עיבוד". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצדי, אתה יכול לקרוא לפעולת העיבוד גם ברוניסלב מועלם. מה יעזור לי השם? עדיין לא ברור לי איך נכנסת כאן מכונת טיורינג כלל ועיקר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האדם הוא מכונה שמקבלת קלט, מפעילה תהליך עיבוד, ומוציאה פלט. כל מכונת טיורינג מקבלת קלט, מפעילה תהליך עיבוד, ומוציאה פלט. *לא* לכל תהליך עיבוד קיימת מכונת טיורינג שמפעילה אותו. השאלה: האם קיימת מכונת טיורינג שמפעילה את אותו תהליך עיבוד כמו האדם. אם כן, האדם הוא מכונת טיורינג (שזה כמו להגיד: האדם הוא מחשב). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם פרות עושות את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. באותה מידה אנחנו לא יודעים האם פרה היא מחשב 1. אלא שהשאלה הזאת הרבה פחות מעניינת. 1 סביר להניח, לדעתי, ששתי השאלות גם שקולות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם תכיר לי פרה שסבורה שמכונת טיורינג זהה למח שלה, אשתכנע שהשאלות שקולות. אחרת - אין עסקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שהפרה והאדם הם אותה מכונת טיורינג. רק טענתי שבסבירות גבוהה, שניהם מכונות טיורינג, או שאף אחת מהן אינה מכונת טיורינג. ברור שהאדם קצת יותר מורכב מפרה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון קטן וחשוב: כתבת "מכונת טיורינג זהה למוח שלה". זה ניסוח לא מדויק. הטענה היא ש*קיימת* מכונת טיורינג שזהה למוח שלה, *קיימת* מכונת טיורינג (אחרת) שזהה למוח שלי, ו*קיימת* מכונת טיורינג (אחרת) שזהה למוח שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, שיהיה, "שמכונת טיורינג *מסוימת* זהה למח שלה". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר, אין שום השלכות לעובדה שהאדם אינו פרה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חכה שאני אשליך עליך איזו פרה, ואז נראה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשל, כשאת ממציאה סיפור לילדים את לוקחת רעיונות שכבר קיימים אצלך בראש ואסוציאציות שכבר קיימות אצלך בראש ומרכיבה מהם משהו חדש על פי כללים כלשהם. אפשר לחשוב על זה כעל פעולה חישובית (מורכבת מאוד). ברור שאין לנו מושג איך לכתוב אלגוריתם שעושה את זה. המוח מתוחכם בהרבה מהמחשבים שלנו. השאלה היא האם לא ניתן לצמצם את פעולת המוח לכמה פעולות יסוד שאם ניתן יהיה לחקות אותן באמצעות מחשב, המוח יוכל בתיאוריה לחקות את האדם. זה לא בלתי סביר שמורכבות גדולה יכולה להיווצר מפעולות יסוד בסיסיות - גם המעבד הביתי שלנו מסוגל לבצע רק כמה פעולות יסוד, אבל התוצאה שלהן היא כל מה שהמחשבים בימינו עושים, שהוא הרבה, ומכונת טיורינג יכולה לעשות מספר זעום של פעולות יסוד אבל אפשר לתאר באמצעותה את כל הפעולות שמחשב יכול לעשות. כדאי לזכור שבינתיים הקרב הוא לא הוגן. המוח של האדם הוא מורכב הרבה יותר, מבחינה כמותית נטו, מהמחשבים הקיימים. למוח של אדם יש גם שנים רבות ללמוד לפני שמתחילים לצפות ממנו לתוצאות של ממש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל מה עם הגלידה והחתיך?:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הם נובעים מתקלות בפעולה התקינה של המוח. אפשר לקחת מחשב ולהחטיף לו מכות ואז גם הוא ירצה גלידה ואת החתיך (כדי שזה יעבוד בפועל המכות צריכות להינתן בזווית שהיא פתרון של משוואה דיפרנציאלית שהשוליים הללו צרים מלהכיל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על איזו תקלה אתה מדבר? אולי המוח לא ממלא את "מטרתו", אבל זה עדיין חלק מאותו תהליך עיבוד. כמו כן, אנחנו לא מתעניינים בהיותו של האדם מחשב מבחינה פיזית. השאלה היא האם הוא מחשב פונקציה ניתנת לחישוב במכונת טיורינג, שהיא אובייקט מתמטי מופשט ונטול-תקלות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התלוצצתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, נכנעתי. מחשב שעובד בעזרת זפטות נאותות נשמע לי אנושי ביותר... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם האלגוריתם מקבל את אותו קלט שאת מקבלת מהחושים כשאת אוכלת גלידה ורואה חתיך, הוא יגיב בדיוק כמוך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על זה כל הויכוח: יש כאלה שטוענים שהאדם הוא מכונת טיורינג. מה שבטוח הוא: (א) אדם הגדיר את מכונת טיורינג (נחש איך קוראים לו, לאותו אדם). (ב) בהנתן אדם עם דף בגודל אינסופי, וזמן אינסופי, ניתן לסמלץ עליו מכונת טיורינג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניחושים כאלו הם דבר מסוכן: מי שיער את השערת גולדבך, ומי הוכיח את כלל לופיטל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, ומה התשובה? מי שיער את השערת גולדבך - ומי הוכיח את כלל פיטל? (וגם מהו, לעזאזל?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(כלל שאומר שכאשר מחשבים גבול של פונקציה שהיא מנה של שתי פונקציות, ושתי הפונקציות במונה ובמכנה שואפות שתיהן לאפס או לאינסוף, אפשר לגזור את שתיהן והגבול ישמר 1). 1 וגם בכלל הזה יותר חשוב מה הוא לא אומר, משום שסטודנטים נוטים לעשות הכל לפי כלל לופיטל, גם כאשר הכללים היסודיים של הכלל לא נשמרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובגלל ששכחת את הפואנטה - ככל הנראה הכלל הומצא ע''י ברנולי (אחד מהם...) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את מה שאנחנו מכירים בתור השערת גולדבך שיער דווקא אוילר, במכתב תשובה לגולדבך, אחרי שגולדבך שלח לו מכתב עם השערה חלשה יותר (שנקראת היום ''השערת גולדבך החלשה). את כלל לופיטל גילה יוהן ברנולי, שהיה המורה של לופיטל, ולופיטל היה הראשון שפרסם אותו (אם איני טועה, זה היה במסגרת עסקה בין השניים לפיה ברנולי ישלח ללופיטל את התגליות שלו תמורת משכורת). כלל לופיטל מציע דרך נוחה לחשב גבולות של מנות של פונקציות, כששתי הפונקציות במנה שואפות לאפס או לאינסוף, תוך שימוש בנגזרת של הפונקציות. אפשר גם להרחיב את זה לעוד כמה סוגים של זוגות של פונקציות. (אני מקווה שלא התבלבלתי בעצמי) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נשמעים לי מאוד לא הוגנים הסידורים האלה. מה גם שהם לא מביאים גאולה לעולם. פדי! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמחי שלופיטל לא החליט לגנוז את המשפט ולאסור על השימוש בו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. תאר לך שהוא היה מתנגד חריף ל''יש גבול'', וחושש לעודד אותם... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, עד כה הצליחה תודעתי הזבלולית לקלוט מהו נושא הוויכוח. מה שלא נקלט בה זו הסיבה למחשבה הזאת בכלל: כלומר, למחשבה שהאדם יכול להיות מכונת טיורינג (או להיפך). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקאים פיתחו הרבה מודלים חישוביים אחרים, כמו מכונת טיורינג. התברר שכל המודלים שניתן לתאר באופן סופי יכולים לחשב בדיוק את אותן פונקציות. היום מקובל, בתחום החישוביות, להניח שלעולם לא יהיה מחשב שיוכל לחשב פונקציות שמכונת טיורינג אינה יכולה לחשב. זאת מכיוון ש(ע"פ הנחה זו) לא יכול להתקיים מחשב כזה בעולם הפיזי. אם כך, מדוע שמוח האדם יהיה טוב יותר מכל מחשב אפשרי? פילוסופית, הויכוח הוא על השאלה האם _מהותו_ של אדם מסוים ניתנת לתיאור באופן סופי. אם כן, המוח הוא "סתם" מחשב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינני רואה שום סיבה שמח האדם יהיה *טוב* יותר מכל מחשב אפשרי. אבל גם אינני רואה כל סיבה שהוא יהיה דומה לו במשהו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם האדם יכול לעשות כל מה שמחשב יכול לעשות, ומחשב יכול לעשות כל מה שאדם יכול לעשות 1, אז מבחינה חישובית האדם והמחשב שקולים. כשאדם מקבל קלט מסוים (דרך החושים) ומחזיר פלט כלשהו (דרך השרירים) הוא מבצע פעולת עיבוד מסוימת. השאלה היא האם קיימת תוכנת מחשב (או מכונת טיורינג) שיכולה לבצע את אותה פעולת עיבוד. "תוכנת מחשב" זה רק שם אחר ל"פעולת עיבוד". 1 כלומר, אם ניתן לכתוב תוכנת מחשב שתהיה זהה לך, ולהפעיל אותה על רובוט שיהיה זהה לגוף שלך, והיא תפעל בדיוק כמוך. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |