בתשובה לד.ק., 20/07/05 21:17
 |
|
 |
||
|
||||
 |
ג. קח תורה פרימיטיבת (נגיד Presburger Arithmetic) וצרף אליה את עקביות PA, או משהו מתוחכם יותר שממנו נובעת עקביות PA כאקסיומה. זו לא "רמאות" - אין כל דרך להבחין בין זה לבין ZFC ש"באמת" מוכיחה ש-PA עקבית. בשני המקרים, יש אקסיומות, ומהן גוזרים פורמלית את הטענה. אני אחזור, גם כאן, על תגובת הראי שלי: "קשה לי לראות איך מערכת פורמאלית שמתארת את PA/מחשב אישי/שימפנזה/ZFC יכולה לעשות זאת מבלי להיות אריתמטית ואפקטיבית. מאחר והיא בהכרח עקבית (כאן אנחנו חייבים עקביות) אז היא בהכרח לא שלמה. אם אין לך תיאור פורמאלי שלם של PA/מחשב אישי/שימפנזה/ZFC אז אתה גם לא יכול לצפות לבנות מ"ט שלו." אתה לא מסביר מה זה "תיאור", אבל אם זה מה שנראה שזה, אז גם את PA אי-אפשר לתאר; לא רק שהאדם איננו מערכת פורמלית, אפילו מערכות פורמליות אינן מערכת פורמלית. אם אתה טוען שאדם יודע מתמטיקה ושימפנזה לא וZFC לא, עליך להסביר באיזה מובן אדם יודע משהו על מספרים משהו ש-ZFC לא יודעת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין מה המשמעות של לתאר את PA ואת ZFC באמצעות מערכת פורמאלית. אולי מטא-מערכת מתארת מערכת-בת. מטא-שפה כנראה מתארת שפה-אובייקט. אבל אני לא יודע, זה מוזר להתייחס אליהן בצורה הזו. אם יש שימפנזה-מ"ט אז כנראה שההתנהגות שלה ניתנת לתיאור כרצף סיבתי של אירועים. אם נדע את המכלול שלה ברגע t, נדע בדיוק מה יקרה בה ברגע t+1. תיאור כזה הוא בעצם מערכת פורמאלית דדוקטיבית. יכול להיות שהיחסים והפונקציות והקבועים הם אלה של הפיזיקה. כלומר, המערכת מתארת מה קורה לכל חלקיק וחלקיק בכל רגע על סמך חוקי הפיזיקה. זה יהיה תיאור פיזיקליסטי של השימפנזה. ייתכן שתיאור פיזיקליסטי שלם של שימפנזה הוא באפשר, אם כי הוא נראה לי רחוק מאוד (בלשון המעטה). עכשיו תיאור כזה, כדי להיות שלם, צריך לתאר גם את המאורעות הנפשיים של השימפנזה. אם התיאור הזה הוא של בן אדם אז הוא צריך לכלול גם את המחשבות שלו ואת כל מה שהוא יודע. זה כולל את PA ואת ZFC. זה כולל גם את התיאור עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשמעות של לתאר את PA ואת ZFC באמצעות מערכת פורמלית ברורה לך פחות מהאפשרות לתאר אדם באופן הזה? כתוב תכנת-מחשב שמוכיחה משפטים ב-PA או ב-ZFC, והא לך מכונת טיורינג. מה "מוזר" בזה, ואיזה תוקף לוגי יש לטענה שזה "מוזר"? המכונה הזו "יודעת" את PA ואת ZFC בדיוק כמו שהאדם יודע. אם אתה טוען שלא, הסבר מדוע. זה צריך להיות ליבו של הטיעון שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין תוקף לוגי לטענה שזה מוזר. אתה קשוח, אה? להוות תיאור של משהו זה להיות מטא-המשהו הזה. PA עצמה אינה תיאור של PA. כשהמורה שלי ללוגיקה לימד אותי את PA, אז הוא תיאר את PA. כדי לתאר אותה הוא צריך להשתמש במטא-שפה (פונקציית העוקב על n מחזירה את n+1). כלומר, אני צריך לדעת מה זה n+1 כדי להבין מה זה פונקצית העוקב. (אז זה לא כ"ך מוזר, אתה צודק). תיאור מדוייק כזה של האדם בהכרח מהווה מטא-מערכת לאדם. אבל האדם מכיל את התיאור הזה. אז התיאור הוא מטא-מערכת של עצמו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"להוות תיאור של משהו זה להיות המטא-משהו הזה". מדוע אתה אומר זאת? איזה פשר יש להיגד הזה? זה שהמורה שלך השתמש בשפה-טבעית כדי לתאר את PA, זה סביר מאוד; מה זה אומר? כבר ניסית פעם לטעון שיש איזו היררכיית-מטא בין מערכות, ולא הצלחת, כמדומני. לעניין: כן, PA מסוגלת בקלות לתאר את עצמה. זה אחד הדברים שעושה ההוכחה של משפט גדל. אז? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אמרת באיזו הודעה שהמשפט הראשון של גדל מוכח בתוך PA ולא באיזו מטא-PA או מה-שלא-יהיה. מתוך ההיכרות השטחית שלי עם ההוכחה אני מבין את האמירה הזאת, אבל נשאר באיזו אי-הבנה בסיסית: הרי ההוכחה מתבססת על המשפט האריתמטי שאומר "אינני יכיח ב PA" והיא *מראה (בקלות) שהוא אינו יכול להיות שגוי* אם PA עקבית. אם היא עושה את זה בתוך PA עצמה, הרי הפסוקית בין הכוכביות שלנו מהווה בעצמה הוכחה למשפט, והגענו לסתירה, לא לאי שלמות. אמנם זאת הוכחה בדרך השלילה שאינה מקובלת אצל אידיאליסטים מסויימים, אבל ודאי שלא זה הפתרון לקושיה. (תשובה עם "אלוהים אדירים" תתקבל בהכנעה. ברור לי שאני טועה, רק לא ברור לי איפה) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלוהים אדירים! (סתם, אני סקרן לראות אותך כנוע). לא כל כך הבנתי את הטריק עם הכוכביות: שמת אתן מסביב לחלק מהטענה, והשמטת את ה"אם PA עקבית". ההוכחה ב-PA לא מראה את החלק המכוכב לבדו, אלא את כל הטענה - *אם* PA לא מוכיחה סתירה, *אז* המשפט האריתמטי G הוא נכון. ליתר דיוק, מה שההוכחה מראה הוא שאם G יכיח ב-PA, אז גם שלילתו יכיחה ב-PA, ואז PA לא עקבית. את כל זה באמת אפשר להראות ב-PA. (אגב, זה לא הכל; מה שהראינו בינתיים זה שאם PA עקבית אז G לא יכיח ב-PA. זה לא אומר ש-PA לא שלמה: צריך גם להראות ש*שלילת* G לא יכיחה ב-PA. את זה *אי-אפשר* לעשות בלי להניח עוד משהו, סוג של נאותות, על PA; מי שהצליח להיפטר מהדרישה הנוספת הזו היה רוסר, אבל הוא לא השתמש במשפט האריתמטי שהזכרת אלא במשפט אחר, יותר מתוחכם ונבזי). זה פותר את הבעייה? אם לא, אנא, תן לי את הצ'אנס לראות אותך שוב מקבל בהכנעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראת לי? ההסבר שלך פותר את הבעיה רק בערך. אני מסתבך כאן כבר כמה דקות בנסיון לנסח את מה שמפריע לי, ולא מגיע לתוצאה שמשביעה את רצוני. הנה כמה עניינים שקשורים לחוסר הנחת שלי, בתקוה שתצליח להבין מה אני ממלמל שם: 1. מאחר והשכל הישר מתקומם נגד ההנחה ש PA אינה עקבית (מה כבר יכול להיות שם לא עקבי, הוא שואל אותי), אנחנו נותרים עם האפשרות שהיא אינה שלמה. זאת גם ה"מסקנה" המקובלת ממשפט גדל בקרב הציבור הרחב. 2. אבל אם PA אינה שלמה המספר G טוען טענה נכונה. את אמיתות הטענה *הוכחנו* ב PA (תחת הנחת העקביות שלה), ואם כך היא שוב "שלמה" לפחות לגבי המספר G, וכל הבניין שלנו קורס על עצמו. מספר גדל הרי אומר "אינני יכיח" ואם הצלחנו להראות שהטענה נכונה הרי *הוכחנו את חוסר היכיחות*. כל כחכוחי הגרון האלה משאירים אותנו עם: 3. אם כך, PA אינה סתם "או לא עקבית או לא שלמה" אלא "לא עקבית" ממש, בניגוד גמור לסעיף 1 לעיל. 4. כידוע, זאת לא המסקנה האמיתית ממשפט גדל שטוען טענה חלשה יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? אם PA אכן לא מוכיחה את G, G דובר אמת, נכון. אבל זה לא אומר שיש הוכחה פורמלית ב-PA של G; מסתמא אין כזו, דווקא. 1. לא לגמרי הבנתי איך זה קשור לטיעון. נכון שזה סביר יותר, אבל איך זה מקנה תוקף להמשך? 2. "את אמיתות הטענה *הוכחנו* ב PA" - את אמיתות איזו טענה? שוב אתה מנסה להדחיק את "הנחת העקביות שלה": קודם הגלית אותה מחוץ לכוכביות, עכשיו שמת אותה בסוגריים. מה ש-PA מראה הוא את הגרירה PA עקבית -> G; זה פסוק פורמלי שיש לו הוכחה פורמלית ב-PA: אקסיומה, אקסיומה, מסקנה, אקסיומה, מסקנה, מסקנה, מסקנה, בום, מש"ל. הוכחה פורמלית כזו ל-G עצמה, סובר הציבור הרחב, דווקא אין! "מספר גדל הרי אומר "אינני יכיח" ואם הצלחנו להראות שהטענה נכונה הרי *הוכחנו את חוסר היכיחות*". הצלחנו להראות שהטענה נכונה? לא, הצלחנו רק לומר "G נכונה!" ואז למלמל בחיפזון מתחת לשפמנו, "כן, נו, בהנחה ש-PA עקבית, מה זה, איזו מין הנחה זו, ברור ש-PA עקבית". הבה נודה, בינינו לבינינו, שמה ש"הראינו" זה לא ש-G נכונה, אלא שאם PA עקבית ("ברור, ברור") אז G נכונה. וזה, כזכור, בדיוק מה שגם PA יודעת להראות, פורמלית לגמרי. אני מציין זאת כדי להדגיש שוב שאין פה איזו מערכת חיצונית ל-PA, איזה הגיון-ברזל משולב בחכמת-חיים, שמצליח להראות משהו ש-PA לא. את C->G מראה גם הגיוננו וגם PA, כש-C זה הפסוק "PA עקבית"; את G עצמה לא אנחנו ולא PA יודעים להראות. 3. כדי להסיק ש-PA לא עקבית, יש לעשות דבר פשוט: להוכיח פורמלית דבר והיפוכו, או לפחות להוכיח פורמלית שיש הוכחה פורמלית של דבר והיפוכו. כפי שאתה רואה, לא עשינו את זה ולא עשינו את זה - נכון? את איזה פסוק-והיפוכו הוכחנו? נדמה לי שקודם הרגשת בנוח עם משפט גדל והוכחתו, ומה שמבלבל אותך עכשיו הוא הטענה שלי שלא רק שהמשפט נכון, אלא שהוכחתו ניתנת לפירמול ב-PA. שוב, כל מה שזה אומר הוא שהפסוק C->G יכיח ב-PA - והפסוק הזה איננו G עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו נסיון נוסף שלי לעשות סדר, לפני שנחליט להעביר את המשך הפתיל ל דיון 1571. שוב אמספר את הטענות שלי כדי שתוכל לשלות במלקחיים את הטענה השגויה ולהסביר לי את הטעות. אני גם משמיט, בשלב הראשון, כל מיני פסאודו-טענות מעורפלות ואמירות כלליות ומנסה לגעת בלב העניין. 1. G הוא משפט ב PA. 2. G אומר "אני לא יכיח ב PA". 3. אם G אינו נכון, הרי שהטענה שהוא טוען שגויה, דהיינו הוא כן יכיח ב PA. מכאן: ב PA אפשר להוכיח משפטים לא נכונים (שהרי זאת ההנחה על G בסעיף זה), ומכאן שהיא לא עקבית. אם אתה מתעקש על הוכחה של משפט וגם של המשפט המנוגד לו, אפשר בקלות לנסח את המצב גם באופן הזה. 4. אם G נכון, הרי הטענה שהוא טוען מתקיימת, ומצאנו משפט נכון שאינו יכיח, ומכאן ש PA אינה שלמה. עד כאן אין לי בעיה, וזה המקום בו הסיפור נגמר בד"כ. הצרוף של 3 ו 4 הוא המסקנה המקובלת ממשפט גדל: PA אינה שלמה או אינה עקבית. עכשיו: 5. האם ייתכן ש PA עקבית אך לא שלמה? הרי הראינו בסעיף 3 שאם היא עקבית אזי G חייב להיות נכון (אינו יכול להיות לא נכון). 6. מה זה "הראינו בסעיף 3"? הוכחנו. אם לא השתמשנו שם בשום דבר שחורג מתחומי PA הרי שהוכחנו זאת ב PA. 7. אם כך הוכחנו את מה שכביכול אינו יכיח והגענו שוב לסתירה. 8. אם כך PA אינה עקבית. והערה לסיום: כידוע אני לא נמנה עם מחנה "מותר האדם ממכונות טיורינג" כך שאין צורך לחשוד בי שאני מנסה להשתמש במשפט גדל כדי לשרת איזו אג'נדה אנתרופוצנטרית. אתה צודק בכך שהרבה זמן חייתי בשלום עם G מתוך שהינחתי שסעיף 6 לא נכון, דהיינו שבסעיפים 3 ו 4 נעשה שימוש בטיעונים שחורגים מ PA (אין לי מושג אילו מחוקי הלוגיקה הם חלק ממנה ומה בדיוק מותר לטעון במסגרתה). רק כשהערת באחת ההודעות שהכל כולל הכל נעשה בתוך PA התחלתי להרגיש את תחושת חוסר הנוחות ממה שהולך כאן. אני מכיר היטב את התחושה הזאת: היא מהסוג שמתחלף מהר בהרגשה "איזה אידיוט אני", אבל אליה כבר התרגלתי מזמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את 7. איזו סתירה? מה שהוכחנו הוא, כדבריך (ואני מצטט את סעיף 5): "הראינו בסעיף 3 שאם היא עקבית אזי G חייב להיות נכון". זהו, זה כל מה שהראינו: ש*אם* PA עקבית *אז* G חייב להיות נכון. זה (כמו שציינת ב-6) כל מה שאנחנו יודעים להוכיח ב-PA. איפה הסתירה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבוי. הראינו (תחת הנחת העקביות) ש G חייב להיות נכון, אבל G עצמו הרי אומר שאנחנו לא יכולים להראות דבר כזה ("א... אי.. אינ... אינני יכיח" הוא חוזר ואומר), כלומר הוא לא נכון. סתירה. אולי העניינים יתבררו לי ביתר קלות אם תשיב על שאלה אחרת: האם ניתן לבנות בדומה ל G את המספר R שהטענה שהוא מייצג היא "אינני נכון ב PA"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אתה מבלבל בין "תחת הנחת העקביות, G נכון" ל-"G נכון". שים לב: "הראינו (תחת הנחת העקביות) ש G חייב להיות נכון" נכון... "אבל G עצמו הרי אומר שאנחנו לא יכולים להראות דבר כזה" לא נכון. הוא אומר "אינני יכיח מהאקסיומות של PA ותו לא; אני לא מתחייב על מה יקרה איתי אם תצרף הנחות נוספות (למשל ההנחה ש-PA עקבית)". בוא נסכים קודם על זה (או שלא), ואח"כ נדון בבעייתיות של המספר R. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובה הראשונה שלי היתה "אהה!" אבל מיד אחריה חזרה הרגשת חוסר הנחת. אוקיי, היא אומרת לי, אז בוא נבנה את המערכת האקסיומטית SA, שהיא PA בצרוף האקסיומה "PA עקבית". המספר G ב SA הוא ממש אותו אחד שאנחנו מכירים ב PA (כלומר הוא עצמו עדיין מדבר על אי-יכיחותו ב PA, אבל אנחנו מסתכלים עליו מ SA) אלא שעכשיו הוא מוביל לסתירה: מאחר ו PA עקבית עפ"י האקסיומה שהוספנו, הוכחנו (בדרך השלילה) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח. לכן SA לא עקבית, אבל קל לראות ש SA עקבית אם"ם PA עקבית, ולכן PA אינה עקבית. מה היית עונה לאותה הרגשה טורדנית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הוכחנו (בדרך השלילה) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח". וביתר פירוט: "הוכחנו (ב-SA) את המשפט שאומר על עצמו שאינו יכיח-ב-PA" לכן SA לא עקבית? למה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהה! תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם טרם מיציתי את הסבלנות שלך, ואם יש לך זמן וחשק: מה עם המספר R? (אם התשובה על הרישא שלילית זה בסדר, הכי גרוע אשוב אל GEB הישן והטוב, נדמה לי שהוא מזכיר אותו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעייה :-) אבל לא הבנתי מה ברצונך שהמספר R "יגיד". מה זה "נכון ב-PA"? נובע מהאקסיומות? נכון במודל הסטנדרטי של הטבעיים? אם זה הראשון, אז זה בדיוק "יכיח", כמו G. אם השני, אין לזה קשר ל-PA, ואין פרדיקט ב-PA האומר "x נכון בטבעיים". להגיד ש-x נכון זה פשוט להגיד "x"; להגיד שהוא לא נכון זה פשוט להגיד "לא x". אתה רוצה ש-R יהיה "לא R"? אי-אפשר... | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |