בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 30/06/05 17:29
 |
|
 |
||
|
||||
 |
לא כל ידיעה ניתנת להוכחה. מצד שני לא כל הוכחה היא נכונה (גם כשהיא תקפה). אני אישית מעדיף להסתמך על ידיעה מאשר על הוכחה. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בנוגע לעצמי, לפחות. בתקשורת עם אחרים הוכחה משמשת כמשהו שמכוון צעד-צעד לעבר הידיעה. כמובן, אתה יכול להעביר רעיונות גם בלי הוכחה ריגורוזית, אם בן השיח שלך מוכן לעשות גם קצת עבודת חשיבה בעצמו, ולא מחכה שתוכיח לו הכל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מסכים. לדעתי כל ידיעה ניתנת להוכחה, והשאלה היא מה מערכת האקסיומות ומה כללי ההיסק שלך. את האמירה שהוכחה יכולה להיות לא נכונה לא הבנתי. כנראה זה נובע מכך שיש לנו גישות שונות למושג ה''נכונות''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''והשאלה היא מה מערכת האקסיומות ומה כללי ההיסק שלך.'' בדיוק. אתה יכול להוכיח משהו באופן תקף בהסתמך על הנחה שגויה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זו "הנחה שגויה"? זו שאלה שקשורה בקשר הדוק לשאלה מה זה "נכון" ששאלתי קודם. בכל אופן, השאלה איזה אקסיומות נראה לנו שמתאימות לאיזו סיטואציה שייכת לחלק של בניית המודל ושל ה"ידיעה" שאתה מדבר עליה - ולכן בעיות מהסוג שאתה מדבר עליהן נובעות מבעיות ב"ידיעה", לא מנכונות ההוכחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנחנו מקפצים ומדלגים סביב בעיית ההגדרה של "אמת". יש לך הצעה? :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ננסה להגדיר "אמת" על דרך הדוגמה. המשפטים הבאים, לדעתי, הם אמת: "אם אני צודק אז אני צודק" "בהנחה שאקסיומת הבחירה נכונה (...ועוד כמה דברים) אז קיים סדר טוב של הממשיים" "אתמול הרגשתי טוב" "האוכל הזה מגעיל אותי" "אני חושב שמייחסים למשפטי גדל את המשמעות ההפוכה מזו שהוא התכוון אליה" אתה מבין את הרעיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לא נתת לי הגדרה של ממש. לגבי שלושת המשפטים האחרונים, אני פשוט אאלץ להאמין לך שהם אמיתיים. המשפט הראשון אולי נכון ואולי לא, זה תלוי במשמעות של כל אחת מההיקרויות של הצירוף "אני צודק" (וגם במשמעות של המבנה "אם...אז..."). האם המשפט השני באמת נכון? תוכל להוכיח זאת? אתה מכיר את הדיאלוג של אכילס והצב שכתב לואיס קרול? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין הוא שאני נתתי לך *הגדרה* למושג אמת כפי שאני מבין אותו (ניסיתי, באמצעות הגדרה על ידי דוגמה, לחסוך דיון ארוך שכנראה לא יוביל לשום מקום ואני לא בטוח שהוא לא גדול עליי). לכן כל השאלות שלך לא רלוונטיות. אתה כמובן מוזמן להסכים איתי שאתה לא מסכים עם ההגדרה שלי, אבל אם אפילו המשפט הראשון לדעתך "אולי נכון ואולי לא", אין לנו אפילו בסיס משותף לעבוד איתו (וכל דיאלוג צריך להתחיל מבסיס משותף - מ"אמיתות" שעליהם מסכימים שני הצדדים, אחרת זה יהיה דו שיח של חירשים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרה ע"י דוגמה היא לא הגדרה. אלא אם כן המשפטים שהזכרת הם היחידים שאמיתיים. אין לי ספק שאף אחד מאתנו לא יצליח למצוא הגדרה ממש טובה ל"אמת", מהבחינה הזאת זה גדול על שנינו (זה לא אומר שדיון לא יהיה מעניין או מועיל). אם אתה חושב שהמשפט הראשון שלך הוא בהכרח נכון אז התפיסה שלך של סמנטיקה היא מאוד נאיבית. אף אחד לא יקבל אותה בשפה חופשית. (שפה פורמאלית זה דיון אחר). אבל פתאום שמתי לב שהמשפט האחרון שלך הוא הגדרה טובה מאוד של "אמת". הגדרה שאני מוכן אפילו, כהנחת עבודה, להסכים עליה (מה שעושה אותה נכונה, לא?). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני סטודנט למתמטיקה, אולי בגלל זה אני רואה רק דרך אחת לפרש משפט כמו ''אם אני צודק אז אני צודק''. אשמח אם תביא לי פרשנות שבה, לדעתך, המשפט אינו נכון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במילה אחת: סמנטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זה עונה לבקשה שלי, אני לא מבין איך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, כתבתי את ההודעה ההיא בהיסח דעת, היא באמת לא עונה על הבקשה שלך. מה שהתכוונתי הוא זה: לכל מבע יש משמעות. המשמעות היא חיצונית למבע, או לפחות חיצונית לצורת השטח של המבע. אותם מבעים בהקשרים שונים מביעים דברים שונים. אתה מכיר את הדוגמה עם המשפט :"the king is dead, long live the king"? על פניו המשפט הזה לא הגיוני, אבל ברור שהצירוף "the king" מתייחס בכל היקרות שלו למשהו אחר. אם אתה רוצה לדבר על אמיתות של מבעים בשפה טבעית אתה חייב לקחת סמנטיקה בחשבון, כלומר את המשמעויות של המבעים. אבל אף אחד עוד לא הצליח לתת לזה הגדרה או קריטריון מניחים את הדעת (אם כי היו הרבה פתרונות יפים ומעניינים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על התשובה, אבל גם זה לא מה שביקשתי. אני יודע שקיים כזה דבר "סמנטיקה". אני פשוט לא רואה איך הוא נכנס לתמונה במקרה הנוכחי. אני, כאמור, מתמטיקאי, והדרך הטובה ביותר לשכנע אותי שאני טועה היא להביא דוגמה נגדית. אני רוצה לראות הקשר שבו הביטוי "אם אני צודק אז אני צודק" יהיה שגוי. אני בטוח שזה לא כל כך מסובך להמציא אחד כזה. רק כדי למנוע אי הבנות סמנטיות, אולי באמת כדאי שאחדד: הביטוי המדוייק הוא "אם אני צודק כשאני אומר X אז אני צודק כשאני אומר X". אין בעיה להגיד שאם הכוונה שלי בביטוי הייתה "אם אני צודק כשאני אומר שהשמש זורחת אז אני צודק כשאני אומר שאני מלך העולם", אז הביטוי לא נכון, אבל אני מכוון לביטוי שהוא טאוטולוגיה, כמובן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה עם סמנטיקה בשפה טבעית היא שהיא מאוד תלויית הקשר. ה-X בדוגמה שהבאת הוא ייבוא משפה פורמאלית. בשפה טבעית המסומנים שלך לעולם אינם זהים בוודאות. בגלל זה נוצרו שפות פורמאליות, שבהן X הוא X הוא X לעולם ועד. אבל שפות פורמאליות נוצרו בעזרת שפות טבעיות שבהן המצב מסובך. אני לא רואה איך אתה יכול לקבוע אמיתות של מבע בשפה מסויימת מתוך אותה שפה. אתה תמיד חייב לצאת למטא-שפה, ומהי המטא-שפה של עברית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הממממ? טוב, אני ויתרתי על ההמשך עד שלא תיתן דוגמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דיברנו על אמת, ואתה נתת לי טאוטולוגיה כדוגמה למשפט שהוא בהכרח אמיתי. טאוטולוגיות קיימות בשפה פורמאלית. בשפה טבעית אנחנו אומרים הרבה פעמים דברים שנשמעים כמו טאוטולוגיות ("אדם הוא רק אדם, הסביר הרופא לבני המשפחה הנדהמים"; נתן זך) אבל מעבירים איזשהי משמעות אחרת. בפילוסופיה נהוג לדבר על משפטים אנליטיים ומשפטים סינתטיים (אתה בטח מכיר, אבל אני אסביר בכל זאת). משפט אנליטי מנתח מושג, ולכן הוא טאוטולוגי ("אדום הוא צבע"). משפט סינתטי אומר משהו חדש שלא כלול כבר במושג ("השולחן שלי אדום"). האמיתות בלוגיקה הן אנליטיות. בשפה טבעית, אני בהחלט יכול להגיד "אם אני צודק אז אני צודק" ולהעביר אינפורמציה סינתטית. למשל, אני יכול להגיד למישהו "אם אני צודק אז אני צודק", ומתוך ההקשר הוא מבין שמשמעות הדברים שלי היא "אני צודק", או "אני צודק ואתה טועה" או "אני חכם". כל המשפטים האלה הם לכאורה סינתטיים. בכל מקרה, כל עניין הסמנטיקה והאמת בשפה טבעית הוא הרבה יותר מורכב מאשר סתם התאמה בין המשפט לבין עובדה כלשהי במציאות. ומכיוון ששפה פורמאלית לעולם נשענת על שפה טבעית, גם בה מושג האמת הוא בעייתי להגדרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אדם הוא רק אדם'', גם בשפה פורמלית, הוא לא טאוטולוגיה... האמת, אין לי כוח להמשיך את הויכוח הזה, כי אני התכוונתי למשפטים בשפה פורמלית, או לפחות למשפטים בלי הקשר סמנטי מהסוג שעליו אתה מדבר, ונראה לי שמאז הלכנו לאיבוד ואיבדנו את המשמעות המקורית של ההודעה שלי שממנה זה התחיל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סבבה. שבוע טוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שאתה מבין שמטא-שפה קודמת לוגית לשפה-אובייקט, ולא כרונולוגית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שאתה לא לוקח כל שטות שאני כותב ברצינות (זה מספיק אם לוקחים רק חלק מהשטויות שאני כותב ברצינות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, לא הייתי בטוח איך להתייחס. עכשיו אני יודע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז מה? אתה בוחר סט אקסיומות שנראה לך נכון, ובונה את תמונת העולם המבוססת עליו. הדרך היחידה לידיעה היא הוכחה שאותו עניין "ידוע" אכן מתחייב מהאקסיומות וכללי הדדוקציה. זה מאפשר לך לבסס את הידיעות על מס' קטן של הנחות, ולתת ל"ידיעה" אותה רמת תקפות כמו להנחות היסוד. כל "ידיעה" מהסוג השני אינה אלא הוספת אקסיומה נוספת, ולפיכך היא מקטינה את רמת האמינות של המערכת כולה. אתה ודאי מסכים איתי שהאפיפיור טועה בידיעתו שישו חזר מהמתים, למרות שהוא ודאי "יודע" את זה באותו בטחון שאתה יודע מה קרה במעמד הר סיני, והמון אנשים יודעים שאין טעם להחליף את הוילונות במשחק של מונטי-הול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מבין את מה שאתה אומר. הרי יכולות להיות שתי אקסיומות שגויות ואחת נכונה. למה יותר אקסיומות מקטינות את רמת האמינות של המערכת? הרי גם האמונה בדדוקציה היא אקסיומה. אני לא יודע שום דבר על האפיפיור. אני לא ממש "יודע" מה קרה בהר סיני, אבל אני די בטוח שאני מעוניין להאמין בזה, ונתתי לזה טיעון רציונאלי בעבר (הטיעון של פסקל). אני לא מכיר את המשחק של מונטי הול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא ניקח דוגמא: 1. אתה בוחר בסט האקסיומות של אויקלידס, כמה של פיאנו ובאקסיומות הלוגיות המקובלות (נכון, כולל הדדוקציה). יש לך, נאמר, כמה עשרות אקסיומות כאלה. מאלה אתה מוכיח את המשפט ששלושת התיכונים במשולש נפגשים באותה נקודה. רמת הוודאות של המשפט הזה היא כרמת הודאות של האקסיומות שבחרת. אם אתה מוכן להמר על חייך שהאקסיומות תקפות לעולם, אתה מוכן להמר על חייך ששלושת התיכונים פגוש ייפגשו. 2. אתה מצייר הרבה משולשים, רואה מה קורה בהם ו"יודע" ששלושת התיכונים נפגשים באותה נקודה. אח"כ אתה מצייר מעגלית ומגלה שזוית שיושבת על הקוטר היא זוית ישרה. מצויין, הנה עוד ידיעה. בהמשך אתה אוסף עוד ועוד ידיעות כאלה, למשל אתה מצליח לחלק זויות שונות לשלושה חלקים זהים והנה צברת עוד ידיעה: אפשר לחלק כך כל זוית. לא הייתי מציע לך להמר על נכונות הידיעה הזאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל זה טוב ויפה, אבל אני לא מבין מה זה בא להראות. הכל תלוי על אם אתה מוכן להמר את חייך על האקסיומות האלה, כולל אקסיומת הדדוקציה. אבל אם עליה אתה לא מוכן להמר את חייך, אז אתה לא מוכן להמר את חייך גם על מה שנובע מהאחרות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בא להראות שרמת הוודאות של כל הידיעות ששאבת ע''י הוכחה זהה לרמת הוודאות של האקסיומות הבסיסיות שלך (כולל אלה שמטפלות בדדוקציה). יותר קל לטפל בסט קטן של אקסיומות כאלה ולהגיע לבטחון (יחסי, יחסי. בסופו של דבר תגלה שבמשולש יש יותר ממאב שמונים מעלות) שתמונת העולם שלך נקיה מסתירות. כשאתה אוסף עוד ועוד אקסיומות כאלה באותה דרך של ''ידיעה ללא הוכחה'' אתה בהכרח מסתכן יותר בסתירות וב''ידיעות'' מוטעות. אנחנו מהמרים על חיינו שאקסיומות הלוגיקה תקפות עשרות פעמים כל יום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל זה מסתמך על הגדרה של אמת כהתאמה בין משפט לבין עובדה במציאות. אני לא בטוח שכך אני מגדיר אמת. ''אנחנו מהמרים על חיינו שאקסיומות הלוגיקה תקפות עשרות פעמים כל יום'' אני חושב שאתה מייחס ללוגיקה יותר משקל משיש לה. אני, אישית, מאוד אוהב לוגיקה ואני רואה את עצמי כבן אדם רציונאלי ואף שכלתני למדי (יותר מדי, לפעמים). אבל נוכחתי פעמים רבות בחיי לגלות בדיעבד שהמניעים לפעולותיי אינם בהכרח מה שחשבתי שהם בעת פעולתי, ושניתן להסביר התנהגות של אנשים בכל מיני צורות שונות ושקולות. יש ציבור נכבד של אנשים שהלוגיקה משחקת אצלו תפקיד קטן יותר ומחייב פחות, והאנשים האלה לא פחות צודקים ממני וממך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה של מונטי הול: (דבר מרתק, באמת. אם תצליח להבין למה זה נכון בלי להתקומם ולקלל לפני כן, אני אוריד בפנייך את הכובע). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצחיק. את הבעיה הזאת קל הרבה יותר להבין אם אינך מתמטיקאי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח. נתקלתי בבעיה הזו הרבה לפני שהתחלתי ללמוד מתמטיקה או לחשוב בצורה מתמטית מסודרת, והסתבכתי קשות דווקא כי הלכתי עם האינטואיציה שלי. היום, עם מעט ההסתברות שאני יודע, כמעט ולא ברור לי מה בכלל הבעיה. אבל כנראה שזה די אישי, כי היו מתמטיקאים רבים שסינגרו בזעם על עמדת ה-1/2-1/2 (ולמען האמת, אולי הייתה להם סיבה טובה שנבעה מפרשנות שונה של מה שהולך שם, לא יודע). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חבר שלי שהציג לי את הבעיה הזאת לראשונה, סיפר לי שפרופסור למתמטיקה זרק אותו (ממש) מהחדר כשניסה להסביר לו למה כדאי להחליף דלתות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי ניסה להסביר למי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חבר שלי, שהוא פרופסור בעצמו, ניסה להסביר לפרופסור ידיד באותה אוניברסיטה (Northwestern אם זה משנה), והשני התעצבן עליו ודחף אותו החוצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש N דלתות ומאחוריהן K פרסים. המתחרה מצביע על R דלתות, אבל לא פותחים אותן עדיין. המנחה (שיודע היכן הפרסים מונחים) חייב על-פי כללי המשחק לפתוח T דלתות מאלו שהמתחרה לא הצביע עליהן, ולגלות שבהן לא מסתתר שום פרס. (כמובן K+R+T קטן או שווה ל- N). האם כדאי למתחרה להחליף דלתות? חלק מאלו שבחר, או את כולן? בכמה הוא משפר את תוחלת מספר הזכיות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עשיתי לך משהו רע? אני אחזור לזה אחרי שלושת המבחנים שיהיו לי השבוע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קח מקרה פרטי (ומקובל בשעשועי טלוויזיה), זה יקל עליך: מאחורי שלושה וילונות מסתתרים פרס מפתה ושני דחלילים. המשתתף מצביע על וילון אשר אם אכן מאחוריו נמצא הפרס המפתה, הוא יזכה בו. המנחה (אשר יודע מאחורי איזה וילון ניצב הפרס) מסיט את אחד הוילונות שהמשתתף לא בחר בו - וחושף דחליל. כעת ניתנת למשתתף האפשרות לדבוק בבחירתו הראשונה, או לשנות אותה. סטטיסטית, שינוי הבחירה מעלה את סיכויי הזכיה מ1/3 ל1/2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2/3, לא חצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה מעגלית: עיין בתגובה 313244. אגב, אני מצטרף לשכ"ג: 2/3, ואני מוכן להרוג על כך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פלורליסט אמיתי היה אומר "אני אישית מעדיף 2/3, אבל אני מכיר בזה שזו רק האמת שלי, ואולי לאנשים אחרים 1/2 יותר מתאים. כל אחד צריך לדבוק במה שמתאים לו, ולא להכנע בשום אופן לדיכוי ממסדי שמנסה להכתיב לנו איך לחשוב". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אתה באמת יכול להביא דוגמה לפרשנות שונה של הבעיה שבה זה כן 1/2? הרי לא ייתכן שמתמטיקאים נפלו בזה כי הם לא יודעים מתמטיקה. (ב"האיש שאהב רק מספרים" טוענים שאפילו ארדש לא הבין את זה - שקר נתעב?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקאים הם בני אדם, ולפעמים הם נחפזים לקבוע עמדה ע''ס האינטואיציה הראשונית שלהם. מרגע שהעמדה נקבעה הם (שוב, לפעמים) כבר מחוייבים לה במידה שמקשה לשמור ראש פתוח. לפחות כך אני מפרש את המקרה המוזר של אותו פרופסור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפרשנות השונה אומרת: מאחרי הקלעים יש איזה ממזר שמחכה עד שמונטי יפתח את הוילון הדחלילי, ואז מטיל מטבע ומחליט מה לעשות עם הפרס הגדול. ככה זה כשאתה חי בסביבה של קפיטליסטים חזיריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי נציג את הבעיה באופן שיאפשר לקוראים לעקוב. (למי שקרא את הערך בויקיפדיה, זה הזמן לשכוח כל מה שקראתם. מתחילים מהתחלה). אתה משתתף במשחק שבו מחביאים פרס באקראי מאחורי אחת משלוש דלתות, בסיכוי שווה לכל דלת. אני יודע באיזו דלת מדובר, אתה לא. אתה מצביע על דלת מספר 1, אבל לא פותח אותה. אני מחייך, ניגש לדלת מספר 2, ומראה לכולם שמאחוריה לא מסתתר שום פרס. האם אתה רוצה לעבור לדלת מספר 3? ליתר דיוק - מהם סיכויי הזכיה שלך אם תחליט לעבור לדלת מספר שלוש? - האם הם שליש, מכיוון שהסיכוי לכך שהפרס היה מונח מאחורי דלת מספר 3 היו שליש מההתחלה (והעובדה שפתחתי דלת אינה רלוונטית - הרי כבר כשבחרת ידעת שאחת משתי הדלתות האחרות אינה מסתירה פרס; אני רק הצבעתי על דלת כזו), - או שהם חצי, מכיוון שכעת אתה יודע שהפרס איננו מאחורי דלת מספר 2? - ואולי הסיכויים גדלו לשני-שליש, מכיוון שאתה יכול להסיק משהו נוסף מעצם העובדה שפתחתי דווקא את דלת מספר 2? האם זה תאור הוגן של הבעיה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התיאור נראה בהחלט הוגן. אינטואיטיבית לא נראה לי נכון שהסיכויים הם שליש אם אני עובר דלת. אפשר לייחס הסתברות לאחד משניים: להסתברות שיש פרס מאחורי דלת מסויימת, ולהסתברות שאני מצליח בבחירה שלי. ההסתברות שיש מאחורי הדלת שאליה מציעים לי לעבור פרס היא 1/3 אם לא נתון לי כלום, אבל אם נתון לי שיש מאחורי דלת אחרת דחליל, ההסתברות המותנית בידע הזה היא 1/2. לכן האינטואיציה גורסת לכיוון ה-1/2: אם הסיכוי שהפרס יהיה מאחורי כל אחת משתי הדלתות שנותרו פתוחות הוא 1/2, אז זה גם הסיכוי שלי לזכות אם אחליף דלת. ה"מלכוד" שאני רואה בגישה הזו היא שהיא בעצם אומרת "בוא נגריל מחדש את הדלתות, כי עכשיו ההסתברות שההגרלה תהיה מוצלחת היא 1/2". (אגב, האם הערך בויקיפדיה שגוי באופן כלשהו?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי נחליט לגבי הערך בויקיפדיה בסוף הדיון. כעת, בהתייחס לבעיה כפי שהצגתי אותה - נניח שאנחנו משתפים פעולה. האם אני יכול לסייע לך לבחור את הדלת הנכונה? שים לב שאם ניחשת נכון, אז דלתות 2 ו- 3 שתיהן ריקות, והמידע שאחת מהן ריקה אינו עוזר לך. ואם ניחשת לא נכון, לכאורה אין לי ברירה: דלת אחת בחרת, דלת אחת מסתירה את הפרס - נשארה לי רק אחת לפתוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
די בבירור אתה לא יכול לעזור לי - הגורל כבר נחרץ ברגע שבחרתי את הדלת. אלא שדווקא כאן הטיעון משחק לטובת ה-2/3. הגורל אמנם נחרץ, אבל אם אני מהסוג שמחליף הוא עובד לטובתי: אם בחרתי את הדלת הנכונה ואני מחליף אכלתי אותה, אבל אם בחרתי דלת השגויה ואני מחליף ניצחתי - והסיכוי שמלכתחילה בחרתי את הדלת הנכונה הוא רק 1/3. כלומר, הסיכוי הגבוה שלי לבחור דלת שגויה בהתחלה הוא זה שעוזר לי לבחור דלת נכונה בהמשך. לכן, במובן מסויים כן עזרת לי: אם בחרתי בהתחלה את הדלת הלא נכונה, הבטחת שאם אני ארצה להחליף, אני על בטוח אזכה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא סתם לעזור - אני יכול להבטיח שתזכה. אם בחרת את הדלת הנכונה, אני שותק. ואם בחרת דלת לא נכונה, אני פותח את הדלת השגויה האחרת - ומשאיר לך רק אפשרות אחת. אם אני נוהג כך, האסטרטגיה שלך צריכה להיות "להחליף ומיד". או בדרך אחרת: אם בחרת את הדלת הנכונה, אני מציע לך להחליף (ומכיוון שהסכמנו על הסימנים האלה מראש, אתה לומד שהדלת שלך היא הנכונה); ואם שגית, אני שותק ואתה לומד שכדאי להחליף (ולהצליח בסיכוי 1/2); בשיטה הזו סיכויי ההצלחה שלך הם 2/3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, כשאמרת "אין לי ברירה" חשבתי שהתכוונת לכך שאתה, כמנחה, מחוייב על פי חוקי המשחק תמיד לפתוח דלת. כמובן שאם היכולת לבחור האם לפתוח דלת או לא נתונה לשיקול דעתך, הכל יכול לקרות: אם אתה חבר שלי וסיכמנו לפני התוכנית, אני זוכה, ואם אתה מנייק וסיכמנו לפני התוכנית, אני מפסיד. אבל אני חושב רק על המקרה שבו אתה תמיד פותח דלת, לא משנה מה בחרתי, וגם ניסוח הבעיה מדבר על המקרה הזה אם אני לא טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי תבדוק מה אומר ניסוח הבעיה המוסכם (תגובה 313786)... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, התיאור לא הוגן. אבל אני בספק אם זה מה שקומם את המתמטיקאים. (איך ויקיפדיה מחזיקה מעמד בינתיים? ההנחה על פתיחת הדלת תמיד נמצאת בה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה קצת מקומם כשמעמיסים על בעיה פשוטה בהסתברות את האבחנה של קנט בין אנליטי-אפריורי וסינתטי-אפריורי. מספרים לנו ש"המנחה פותח דלת". האם הוא היה חייב לפתוח אותה? בוודאי שכן, הרי זה בדיוק מה שהוא עשה. בוודאי שלא, הוא יכול היה שלא לפתוח אותה. (לגבי ויקיפדיה: ראינו שלב הבעיה הוא ההתנהגות של המנחה. איך אפשר לספר סיפור שממנו לא נובע שום מידע על ההתנהגות הזו ולדון בתוצאות ממנו ובקשר שלהן לאינטואיציה, ואז להוסיף "הנחה" על ההתנהגות, שבלעדיה כל העסק *חסר משמעות*, ולהתחיל להסביר משם?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, אולי זו באמת הסיבה שנתקעתי בבעיה מלכתחילה. שמעתי אותה בגרסה של ''יש לך שלוש דלתות, מאחורי שתיים יש אריה ומאחורי אחת יש אוצר. אתה בוחר אחת, ואז שואג אריה מאחורי אחת מהדלתות האחרות'', ושם באמת אף אחד לא מכריח את האריה לשאוג. (אני לא מסכים לתיאור הזה שלך - אבל אתה מוזמן להוסיף את ההנחה מוקדם יותר אם אתה מוצא לנכון - לדעתי זה פשוט להכביר בפרטים טכניים עוד לפני שמתחילים לחדור לעומק הבעיה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח לרגע שאני שוקל לערוך את התאור של הבעיה בויקיפדיה. תחת ההנחה הזו, אני משער שההחלטה הראשונה שאצטרך לקבל היא האם לשכתב או לזרוק הכל ולהתחיל מהתחלה. איך לדעתך תתקבל האפשרות השניה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתמיהה. (נראה לי שזה דיון שצריך להתנהל שם ולא כאן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיע הזמן לתמוה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באופן שבו הבעיה מנוסחת בוויקיפדיה, ברור שהמנחה פותח את אחת הדלתות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שפחות ברור שהוא היה *חייב* לפתוח אותה. אם למשל המנחה היה פותח דלת רק כשאתה מנחש נכון, אף פעם לא היה כדאי לך להחליף אם המנחה פתח דלת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. אבל אני הבנתי שהוא *חייב* לפתוח בכל מקרה. אחרת הסיכויים מאוד לא ברורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לאחר שהשחקן בוחר דלת, המנחה פותח את אחת הדלתות האחרות, מראה מאחוריה עז, ושואל את השחקן האם ברצונו להחליף דלת" (ויקיפדיה). כך קרה במקרה המסויים שעליו מדברים. האם זה קורה בכל פעם? בכלל לא ברור שכללי השעשועון מחייבים אותו לעשות כן - וזו בדיוק הנקודה שלי. ה"בעיה" היא בכך שמספרים לנו על מאורע מסויים ומשמיטים מספיק פרטים כדי לבלבל אותנו בין אנליטי וסינתטי: האם המנחה פתח את הדלת כי הוא בחר לעשות זאת, או שהוא היה חייב לפתוח? מן הניסוח אי אפשר לדעת, וכמו שהסברתי זה הופך את חישוב ההסתברות לבעיה בפסיכולוגיה של מנחי שעשועונים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, טוב, אם הוא לא חייב לפתוח דלת נטולת פרס, אין כל דרך לעשות את החישוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה די מעניין. עושה רושם שהאנשים מתחלקים לשתי קבוצות: אלו שחושבים שהעובדה שלא הוגדר היטב שהמנחה חייב לפתוח דלת היא מהותית והיא מרכז הדיון, ואלו שלדעתם המקרה הזה בכלל לא מעניין ומובן מאליו שמניחים שהמנחה תמיד פותח דלת. לי אישית נראה מוזר שמתעסקים כל כך הרבה בשאלת הפסיכולוגיה של המנחה - הרי ברור שאם הוא פותח דלתות על דעת עצמו הבעיה הופכת לבלתי פתירה (או ליתר דיוק, לפתירה בכל אופן שרק תרצה) ולא מעניינת אף אחד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה לא רק שהמנחה חייב לפתוח דלת - הוא חייב לפתוח דלת שהוא יודע שאין מאחוריה פרס. מהניסוח בויקי אפשר לחשוב גם שהמנחה לא יודע איפה הפרס; הוא פתח דלת באקראי, ובמקרה הפרס לא היה מאחוריה. אז השאלה מוגדרת היטב, בלי פסיכולוגיה - והתשובה (עד כמה שאני מבין) היא שאין יתרון בהחלפה. והשאלה היא, אם מלכתחילה מדגישים שהמנחה יודע, ושהוא בוחר דווקא דלת ללא פרס, האם זה לא משנה את האינטואיציה של השומע, וגורם למסקנה להיות פחות מקוממת את השכל הישר (ולכן פחות נחמדה)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אני רואה שחייבים לכתוב הכל ואי אפשר לתת קרדיט לקורא שיבין שהמנחה, מכיוון שהוא המנחה, יודע איפה יש פרסים ואיפה אין. ואני דווקא זה שבד''כ מתלוננים עליו שכותב יותר מדי בפירוט. יתוקן. לדעתי זה לא משנה את האינטואיציה של השומע במיוחד, לפחות לא עבור שומעים שאני מצליח להבין מה עובר להם בראש (שזה אני, בקושי). אני לא חושב שהפסיכולוגיה של המנחה רלוונטית בכלל למהות של הבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, קריאה חוזרת בויקי (העברית) מעלה שלא ברור על מה אתה מדבר: השורה "המנחה יודע מאחורי איזו דלת נמצא הפרס, אך השחקן אינו יודע." שבתיאור הבסיסי של הבעיה הייתה בערך עוד מהגרסה הראשונה שלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתור עזר לאינטואיציה (שכבר הבאתי פעם באייל), חשוב מה קורה אם יש אלף דלתות, ואחרי שהצבעת על אחת אקראית, עוזי היודע-כל פותח עבורך 998 מתוכן: כולן ריקות, כולן לא זו שבחרת. איפה הפרס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שכתבתי קודם לעוזי, הפרס כמעט בודאות מאחורי הדלת השנייה (999/1000), כי אחת משתי אפשרויות: או שצדקתי בניחוש המקורי שלי (בהסתברות 1/1000) או שטעיתי, ואז עוזי בטובו צמצם לי את כל האפשרויות השגויות האחרות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אז למה כתבת לעוזי "*במובן מסויים* כן עזרת לי"? באיזה מובן אחר הוא לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במובן שמה שהוא עשה לא מסוגל לומר לי בודאות מאחורי איזו דלת נמצא הפרס. כלומר: גם אם אנחנו סחבקים והסכמנו לפני התוכנית שהוא יגלה לי איפה נמצא הפרס, הדרך היחידה שלו לעשות את זה היא באמצעות גירודים משונים באוזן, לא פתיחת דלתות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעקבות תגובה 313823 תיקון קטן: אני מניח שעוזי מחוייב על מי חוקי התוכנית לפתוח תמיד את אחת הדלתות (או במקרה הרב דלתותי שהצגת, את כל הדלתות חוץ מזו שבחרתי ועוד אחת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שכדאי להשתמש ב"אלף" כדי להסביר את ה-2/3. אם תשחק את משחק 3 הדלתות אלף פעמים ובכל פעם תשנה את בחירתך הראשונית, ההסתברות אומרת שתזכה פחות או יותר ב-667 משחקים. (בגלל שחלוקת הפרס בין 3 הדלתות היא אחידה וע"י החלפה אתה תופס "דוגם" 2 דלתות במקום אחת). מאחר ואתה משחק רק פעם אחת, המשמעות של ההסתברות היא מוגבלת: א) מצד אחד, מאחר ואינך יודע היכן הפרס במשחק היחיד שמעניין אותך, ההסתברות ממליצה לך לפעול לפי מה שקורה בד"כ. ב) מצד שני היא לא יכולה להגיד שום דבר מוחלט לגבי תוצאות המשחק הספציפי שמעניין אותך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין הוא שלפי הוויקיפדיה, מספיק שתיכנס לאולפן רק אחרי שאחת הדלתות נפתחה, וכבר ההסתברות שלך, במקרה שתחליף דלתות, יורדת לחצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מדוייק. אם נכנסת לאולפן אחרי שאחת הדלתות נפתחה אתה לא יכול "להחליף דלתות" כי אף פעם לא בחרת דלת שאפשר להחליף. כלומר, אתה פשוט מגריל דלת מבין הדלתות הסגורות. לעומת זאת, אם בחרת דלת ואז המנחה פתח דלת אחרת, הוא הבטיח בכך שאם בחרת לא נכון בהתחלה ו*תחליף* דלת, תזכה לבטח. את המידע הזה (מה נבחר לפני שנפתחה הדלת) אין למי שנכנס לאולפן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק. אני עומדת משתאה בפני מהירות הבריחה של נוירוני האומללים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהנתן הבעיה שתארתי, אי אפשר לדעת מה הסיכוי לזכות אם נחליט לעבור לדלת הבאה (או, לחילופין, אם נחליט להשאר), משום שאנחנו לא יודעים איך מתנהג המנחה בכל מצב. מספרים לנו שבסיטואציה מסויימת, המנחה (שיודע מהי הדלת הנכונה ומה המשתתף בחר) פותח דלת ומראה שהיא ריקה. האם הוא מתנהג כך רק כשהמשתתף מצליח בניחוש? רק כשהוא טועה? תמיד? מהסיפור אי-אפשר לדעת; ולכן אי אפשר לחשב את ההסתברות. הנתון החסר בתאור השאלה הוא הפסיכולוגיה של המנחה. באיזו הסתברות הוא מחליט לחשוף דלת שגויה אם המשתתף הצליח (נקרא להסתברות זו a), ובאיזו הסתברות הוא מחליט לעשות זאת אם המתחרה נכשל בניחוש הראשון (לזו נקרא b). הפסיכולוגיה של המנחה, אם-כן, מאופיינת בזוג המספרים a ו- b. יש סיכוי של 1/3 שהמשתתף הצליח, ולכן סיכוי של a/3 שהמשתתף הצליח והמנחה פותח את אחת הדלתות (במקרה כזה, אם המשתתף עובר, הוא בוודאי יפסיד). מצד שני, יש סיכוי של 2/3 שהמשתתף טעה, ולכן הסיכוי שזה יקרה והמנחה יפתח את אחת הדלתות הוא 2b/3 (במקרה כזה, אם המשתתף ישנה את דעתו, הוא בוודאי ירוויח). אם נסכם, הסיכוי שמנחה של (a,b) יפתח דלת, שווה ל- a+2b)/3). אם מספרים לנו שזה מה שקרה, אז הסיכויים להצלחה או כשלון של המשתתף מחושבים מתוך הסיכויים לכך שהמנחה אכן פתח את הדלת; כלומר - אם *יודעים* שהמנחה פתח דלת, הסיכוי לכך שהמשתתף הצליח בניחוש הראשון הוא בדיוק (a/(a+2b - ולכן הסיכוי שלו להצליח אם הוא ישנה את דעתו שווה ל- (2b/(a+2b. כמובן, המספר הזה יכול להיות כל דבר בין 0 ל- 1. אפשר לתפור מנחה לכל מטרה (ובפרט יש מנחים שאצלם הסיכוי של מחליפנים להצליח הוא שורש חצי). (לדעתי, הערך הנוכחי בויקיפדיה אפילו לא שגוי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרמטר אפשרי נוסף, שגם משפיע על התשובה (בניסוח שנתת) הוא הסיכוי שהמנחה נותן לכל אחת מהדלתות (אם המשתתף הצליח). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, אבל בשלב הזה אני מעדיף לעבוד עם דלתות לא ממוספרות (אין "דלת מספר 2" ו"דלת מספר 3", אלא "הדלת שהמשתתף בחר", "הדלת שהמנחה פתח" וכו'). העסק מספיק מסובך גם כך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעיה. פשוט כך תיארת את הבעיה במקור. אישית, אני חושב שחוקי המשחק די ברורים (אם כי לא מתחייבים) מן התאור הפשוט של הבעיה וכל הדקדקנות בפרטים נובעת בעיקר מאנשים שנתנו תשובה שגויה ומנסים למצוא דרכים להצדיק אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נא לא לשכוח שמדובר במשחק אמיתי ששוחק בטלוויזיה, והמנחה היה פותח דלת בכל פעם. אפשר בהחלט לראות את זה כחלק מחוקי המשחק, ואם ויקי לא הסבירה את זה כיאות אני בטוח שיימצא השומרוני הטוב שיקרא אותה לסדר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בויקיפדיה דווקא כתוב שהמנחה אף פעם לא היה פותח דלת, וזו שאלת ''מה היה אילו''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, אני זוכר שבארץ היה שעשועון (עם דחלילים ולא עיזים ווילונות ולא דלתות) שבו כן פתחו וילון, אם כי אני לא יודע אם היו חייבים בכל פעם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עשינו עסק" עם אברי גלעד בערוץ 2, אא"ט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק. המנחה היה פותח דלת, אבל לא נותן להחליף. מויקיפדיה: As stated, the problem is an extrapolation from the game show; Monty Hall did open a wrong door to build excitement, but did not allow players to change their choice.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק! אני מאחוריך! כלומר, אני פלורליסט! לי מתאים שורש חצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכרתי את הבעיה הזאת, אך לא בשמה. היא באמת עלתה לי בדם ויזע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''לדעתי כל ידיעה ניתנת להוכחה'' תוכיח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לוקח את הטענה הזו בתור האקסיומה היחידה במערכת שלי. ההוכחה היא בת משפט אחד: ציטוט האקסיומה. (אגב, כשמישהו אומר "לדעתי" על משהו, זה בדיוק אומר שהוא לא צריך להוכיח את זה, אלא לכל היותר לנמק מה השפיע על דעתו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, קצת יותר ברצינות. אתה באמת חושב שכל ידיעה ניתנת להוכחה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי תביא דוגמא למשהו שאתה יודע, אבל לא חושב שאפשר יהיה להוכיח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יודע מה זה טוב ורע, אבל לא חושב שאפשר להוכיח את זה. אני יודע שאתה בן אדם ולא חייזר, אבל לא חושב שאפשר להוכיח את זה. אני יודע שהשמש תזרח מחר בבוקר, אבל לא חושב שאפשר להוכיח את זה. אני חושב שZFC]1[ עקבית, אבל לא חושב שאפשר להוכיח את זה. 1 הנה, למדתי משהו חדש היום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסיבה כלשהי (אתה מרים לי להנחתה?) כשלת במקלדתך וכתבת שאתה "חושב ש ZFC עקבית". למה לא כתבת שאתה *יודע* זאת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על העידכון, אבל למה שירבבת את מה שאתה חושב שהוא נכון לרשימת דוגמאות על מה שאתה יודע שנכון? אם אתה מנסה להגיד (כמו שראיתי שענית לגדי) שבעצם מדובר על משהו סמנטי, ושמישהו אומר בשיחת יום יום "אני יודע ש X" הוא מדווח על תחושה סוביקטיבית שמתאימה לכל מיני רמות סמך, אז אין לנו וויכוח, אבל אז נדמה לי שהפירוש של דברי ד.ק. ( שהחלו את הפתיל, תגובה 312996) "אני אישית מעדיף להסתמך על ידיעה מאשר על הוכחה. ", הוא בעצם: אני אישית מעדיף להסתמך על <התחושה הסוביקטיבית שאני חש> מאשר על הוכחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רמת הוודאות שבא אני יודע שאם אני אעזוב את העפרון הוא יפול כלפי מטה לא נמוכה יותר מרמת הוודאות שבא אני יודע שמשפט פיתגורס נכון. למרות שלאחרון ראיתי כמה הוכחות, ולראשון אין הוכחה. אם מחר מישהו יוכיח לי שעפרונות יפלו כלפי מעלה אני אמשיך לדעת שהוא טועה, גם אם ההוכחה שלו תהיה מושלמת, גם אם האקסיומות שלו יהיו מקובלות עלי לחלוטין. זאת הסיבה שאני (ואני מניח שגם אתה וגדי) לא מאמינים שקוסמים באמת יודעים מה יהיה תוצאות הגרלת הלוטו. למרות שאני לא יודע איך הם עושים את זה, אני משוכנע שיש כאן טריק, בגלל שגם אני מסתמך על הידיעה שלי יותר מאשר על ה''הוכחה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי איפה הקוסמים ''מוכיחים'' משהו. לדוגמה שלך קשה להתייחס, כי היא מתארת מצב שלדעתי פשוט לא יתקיים במציאות - לא ייתכן שיבוא מישהו עם הוכחה מושלמת ואקסיומות שאתה מסכים עם כולן, ויוכיח שעפרונות נופלים כלפי מעלה למרות שאתה יודע שהם נופלים כלפי מטה (כמובן שהם יכולים ''ליפול'' כלפי מעלה אם אתה נופל נפילה חופשית ואותם משהו מעכב, למשל). אם תביא דוגמה קונקרטית למצב שבו מישהו מוכיח בצורה מושלמת ובהתבסס על אקסיומות שאתה מסכים איתן משהו שאתה יודע שהוא שגוי, אפשר יהיה להתייחס יותר ברצינות לדוגמה. כפי שכתבתי בהודעה אחרת, לזה שהעיפרון נופל למטה דווקא יש כמה וכמה הוכחות, השאלה היא מה האקסיומות וכללי ההיסק שאתה מסכים להן. חוק הכבידה העולמי של ניוטון הוא דוגמה לאקסיומה שכזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנחנו מסתובבים במעגלים. חוקי הכבידה של ניוטון הוסקו על סמך נפילת העפרונות. לקחת אותן כמערכת אקסיומטית ולהוכיח על פיהן שעפרונות נופלים זה מהלך תמוהה. בעולם בו אין לך את הידע על נפילת העפרונות, איזה סיבה יש לך לקחת את המערכת הניוטונית כמערכת אקסיומות? אני פשוט לא מצליח להבין על מה אתה בונה את תפיסת עולמך, איך אתה יודע איזה אקסיומות מוסכמות עליך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשזה מגיע לאקסיומות על העולם, למיטב הבנתי אנחנו לוקחים את אלו שמהן לא נובעות תוצאות שנוגדות את מה שאנחנו מסוגלים לראות בצורה אמפירית שאינו נכון. האם כשאתה מדבר על "ידיעה" אתה מדבר על ידיעה אפריורית או אפוסטריורית? בידיעה אפריורית אני מתכוון למשהו כמו "אני יודע שאם אני אעזוב את העיפרון הזה הוא ייפול", ובידיעה אפוסטריורית אני מתכוון ל"אני יודע שעזבתי את העיפרון והוא נפל". את חוקי הכבידה מסיקים על פי ידע אפוסטריורי, ואילו אני קיבלתי את הרושם שאתה מדבר על ידע אפריורי. להסיק מידע אפוסטריורי על ידע אפריורי, לדעתי, זה משהו שמתבסס גם אם באופן מובלע על אקסיומות והוכחה. גם טיעון כמו "כל העפרונות שראיתי עד היום נפלו אז גם העיפרון שאני מחזיק עכשיו יפול" מכיל את המבנה של אקסיומות-כללי היסק-הוכחה. רק שהוא די חלש. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |