בתשובה לעוזי ו., 02/07/05 21:56
 |
|
 |
||
|
||||
 |
עשיתי לך משהו רע? אני אחזור לזה אחרי שלושת המבחנים שיהיו לי השבוע. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
קח מקרה פרטי (ומקובל בשעשועי טלוויזיה), זה יקל עליך: מאחורי שלושה וילונות מסתתרים פרס מפתה ושני דחלילים. המשתתף מצביע על וילון אשר אם אכן מאחוריו נמצא הפרס המפתה, הוא יזכה בו. המנחה (אשר יודע מאחורי איזה וילון ניצב הפרס) מסיט את אחד הוילונות שהמשתתף לא בחר בו - וחושף דחליל. כעת ניתנת למשתתף האפשרות לדבוק בבחירתו הראשונה, או לשנות אותה. סטטיסטית, שינוי הבחירה מעלה את סיכויי הזכיה מ1/3 ל1/2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2/3, לא חצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה מעגלית: עיין בתגובה 313244. אגב, אני מצטרף לשכ"ג: 2/3, ואני מוכן להרוג על כך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פלורליסט אמיתי היה אומר "אני אישית מעדיף 2/3, אבל אני מכיר בזה שזו רק האמת שלי, ואולי לאנשים אחרים 1/2 יותר מתאים. כל אחד צריך לדבוק במה שמתאים לו, ולא להכנע בשום אופן לדיכוי ממסדי שמנסה להכתיב לנו איך לחשוב". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אתה באמת יכול להביא דוגמה לפרשנות שונה של הבעיה שבה זה כן 1/2? הרי לא ייתכן שמתמטיקאים נפלו בזה כי הם לא יודעים מתמטיקה. (ב"האיש שאהב רק מספרים" טוענים שאפילו ארדש לא הבין את זה - שקר נתעב?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקאים הם בני אדם, ולפעמים הם נחפזים לקבוע עמדה ע''ס האינטואיציה הראשונית שלהם. מרגע שהעמדה נקבעה הם (שוב, לפעמים) כבר מחוייבים לה במידה שמקשה לשמור ראש פתוח. לפחות כך אני מפרש את המקרה המוזר של אותו פרופסור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפרשנות השונה אומרת: מאחרי הקלעים יש איזה ממזר שמחכה עד שמונטי יפתח את הוילון הדחלילי, ואז מטיל מטבע ומחליט מה לעשות עם הפרס הגדול. ככה זה כשאתה חי בסביבה של קפיטליסטים חזיריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי נציג את הבעיה באופן שיאפשר לקוראים לעקוב. (למי שקרא את הערך בויקיפדיה, זה הזמן לשכוח כל מה שקראתם. מתחילים מהתחלה). אתה משתתף במשחק שבו מחביאים פרס באקראי מאחורי אחת משלוש דלתות, בסיכוי שווה לכל דלת. אני יודע באיזו דלת מדובר, אתה לא. אתה מצביע על דלת מספר 1, אבל לא פותח אותה. אני מחייך, ניגש לדלת מספר 2, ומראה לכולם שמאחוריה לא מסתתר שום פרס. האם אתה רוצה לעבור לדלת מספר 3? ליתר דיוק - מהם סיכויי הזכיה שלך אם תחליט לעבור לדלת מספר שלוש? - האם הם שליש, מכיוון שהסיכוי לכך שהפרס היה מונח מאחורי דלת מספר 3 היו שליש מההתחלה (והעובדה שפתחתי דלת אינה רלוונטית - הרי כבר כשבחרת ידעת שאחת משתי הדלתות האחרות אינה מסתירה פרס; אני רק הצבעתי על דלת כזו), - או שהם חצי, מכיוון שכעת אתה יודע שהפרס איננו מאחורי דלת מספר 2? - ואולי הסיכויים גדלו לשני-שליש, מכיוון שאתה יכול להסיק משהו נוסף מעצם העובדה שפתחתי דווקא את דלת מספר 2? האם זה תאור הוגן של הבעיה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התיאור נראה בהחלט הוגן. אינטואיטיבית לא נראה לי נכון שהסיכויים הם שליש אם אני עובר דלת. אפשר לייחס הסתברות לאחד משניים: להסתברות שיש פרס מאחורי דלת מסויימת, ולהסתברות שאני מצליח בבחירה שלי. ההסתברות שיש מאחורי הדלת שאליה מציעים לי לעבור פרס היא 1/3 אם לא נתון לי כלום, אבל אם נתון לי שיש מאחורי דלת אחרת דחליל, ההסתברות המותנית בידע הזה היא 1/2. לכן האינטואיציה גורסת לכיוון ה-1/2: אם הסיכוי שהפרס יהיה מאחורי כל אחת משתי הדלתות שנותרו פתוחות הוא 1/2, אז זה גם הסיכוי שלי לזכות אם אחליף דלת. ה"מלכוד" שאני רואה בגישה הזו היא שהיא בעצם אומרת "בוא נגריל מחדש את הדלתות, כי עכשיו ההסתברות שההגרלה תהיה מוצלחת היא 1/2". (אגב, האם הערך בויקיפדיה שגוי באופן כלשהו?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי נחליט לגבי הערך בויקיפדיה בסוף הדיון. כעת, בהתייחס לבעיה כפי שהצגתי אותה - נניח שאנחנו משתפים פעולה. האם אני יכול לסייע לך לבחור את הדלת הנכונה? שים לב שאם ניחשת נכון, אז דלתות 2 ו- 3 שתיהן ריקות, והמידע שאחת מהן ריקה אינו עוזר לך. ואם ניחשת לא נכון, לכאורה אין לי ברירה: דלת אחת בחרת, דלת אחת מסתירה את הפרס - נשארה לי רק אחת לפתוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
די בבירור אתה לא יכול לעזור לי - הגורל כבר נחרץ ברגע שבחרתי את הדלת. אלא שדווקא כאן הטיעון משחק לטובת ה-2/3. הגורל אמנם נחרץ, אבל אם אני מהסוג שמחליף הוא עובד לטובתי: אם בחרתי את הדלת הנכונה ואני מחליף אכלתי אותה, אבל אם בחרתי דלת השגויה ואני מחליף ניצחתי - והסיכוי שמלכתחילה בחרתי את הדלת הנכונה הוא רק 1/3. כלומר, הסיכוי הגבוה שלי לבחור דלת שגויה בהתחלה הוא זה שעוזר לי לבחור דלת נכונה בהמשך. לכן, במובן מסויים כן עזרת לי: אם בחרתי בהתחלה את הדלת הלא נכונה, הבטחת שאם אני ארצה להחליף, אני על בטוח אזכה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא סתם לעזור - אני יכול להבטיח שתזכה. אם בחרת את הדלת הנכונה, אני שותק. ואם בחרת דלת לא נכונה, אני פותח את הדלת השגויה האחרת - ומשאיר לך רק אפשרות אחת. אם אני נוהג כך, האסטרטגיה שלך צריכה להיות "להחליף ומיד". או בדרך אחרת: אם בחרת את הדלת הנכונה, אני מציע לך להחליף (ומכיוון שהסכמנו על הסימנים האלה מראש, אתה לומד שהדלת שלך היא הנכונה); ואם שגית, אני שותק ואתה לומד שכדאי להחליף (ולהצליח בסיכוי 1/2); בשיטה הזו סיכויי ההצלחה שלך הם 2/3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, כשאמרת "אין לי ברירה" חשבתי שהתכוונת לכך שאתה, כמנחה, מחוייב על פי חוקי המשחק תמיד לפתוח דלת. כמובן שאם היכולת לבחור האם לפתוח דלת או לא נתונה לשיקול דעתך, הכל יכול לקרות: אם אתה חבר שלי וסיכמנו לפני התוכנית, אני זוכה, ואם אתה מנייק וסיכמנו לפני התוכנית, אני מפסיד. אבל אני חושב רק על המקרה שבו אתה תמיד פותח דלת, לא משנה מה בחרתי, וגם ניסוח הבעיה מדבר על המקרה הזה אם אני לא טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי תבדוק מה אומר ניסוח הבעיה המוסכם (תגובה 313786)... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, התיאור לא הוגן. אבל אני בספק אם זה מה שקומם את המתמטיקאים. (איך ויקיפדיה מחזיקה מעמד בינתיים? ההנחה על פתיחת הדלת תמיד נמצאת בה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה קצת מקומם כשמעמיסים על בעיה פשוטה בהסתברות את האבחנה של קנט בין אנליטי-אפריורי וסינתטי-אפריורי. מספרים לנו ש"המנחה פותח דלת". האם הוא היה חייב לפתוח אותה? בוודאי שכן, הרי זה בדיוק מה שהוא עשה. בוודאי שלא, הוא יכול היה שלא לפתוח אותה. (לגבי ויקיפדיה: ראינו שלב הבעיה הוא ההתנהגות של המנחה. איך אפשר לספר סיפור שממנו לא נובע שום מידע על ההתנהגות הזו ולדון בתוצאות ממנו ובקשר שלהן לאינטואיציה, ואז להוסיף "הנחה" על ההתנהגות, שבלעדיה כל העסק *חסר משמעות*, ולהתחיל להסביר משם?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, אולי זו באמת הסיבה שנתקעתי בבעיה מלכתחילה. שמעתי אותה בגרסה של ''יש לך שלוש דלתות, מאחורי שתיים יש אריה ומאחורי אחת יש אוצר. אתה בוחר אחת, ואז שואג אריה מאחורי אחת מהדלתות האחרות'', ושם באמת אף אחד לא מכריח את האריה לשאוג. (אני לא מסכים לתיאור הזה שלך - אבל אתה מוזמן להוסיף את ההנחה מוקדם יותר אם אתה מוצא לנכון - לדעתי זה פשוט להכביר בפרטים טכניים עוד לפני שמתחילים לחדור לעומק הבעיה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח לרגע שאני שוקל לערוך את התאור של הבעיה בויקיפדיה. תחת ההנחה הזו, אני משער שההחלטה הראשונה שאצטרך לקבל היא האם לשכתב או לזרוק הכל ולהתחיל מהתחלה. איך לדעתך תתקבל האפשרות השניה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתמיהה. (נראה לי שזה דיון שצריך להתנהל שם ולא כאן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיע הזמן לתמוה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באופן שבו הבעיה מנוסחת בוויקיפדיה, ברור שהמנחה פותח את אחת הדלתות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שפחות ברור שהוא היה *חייב* לפתוח אותה. אם למשל המנחה היה פותח דלת רק כשאתה מנחש נכון, אף פעם לא היה כדאי לך להחליף אם המנחה פתח דלת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. אבל אני הבנתי שהוא *חייב* לפתוח בכל מקרה. אחרת הסיכויים מאוד לא ברורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לאחר שהשחקן בוחר דלת, המנחה פותח את אחת הדלתות האחרות, מראה מאחוריה עז, ושואל את השחקן האם ברצונו להחליף דלת" (ויקיפדיה). כך קרה במקרה המסויים שעליו מדברים. האם זה קורה בכל פעם? בכלל לא ברור שכללי השעשועון מחייבים אותו לעשות כן - וזו בדיוק הנקודה שלי. ה"בעיה" היא בכך שמספרים לנו על מאורע מסויים ומשמיטים מספיק פרטים כדי לבלבל אותנו בין אנליטי וסינתטי: האם המנחה פתח את הדלת כי הוא בחר לעשות זאת, או שהוא היה חייב לפתוח? מן הניסוח אי אפשר לדעת, וכמו שהסברתי זה הופך את חישוב ההסתברות לבעיה בפסיכולוגיה של מנחי שעשועונים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, טוב, אם הוא לא חייב לפתוח דלת נטולת פרס, אין כל דרך לעשות את החישוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה די מעניין. עושה רושם שהאנשים מתחלקים לשתי קבוצות: אלו שחושבים שהעובדה שלא הוגדר היטב שהמנחה חייב לפתוח דלת היא מהותית והיא מרכז הדיון, ואלו שלדעתם המקרה הזה בכלל לא מעניין ומובן מאליו שמניחים שהמנחה תמיד פותח דלת. לי אישית נראה מוזר שמתעסקים כל כך הרבה בשאלת הפסיכולוגיה של המנחה - הרי ברור שאם הוא פותח דלתות על דעת עצמו הבעיה הופכת לבלתי פתירה (או ליתר דיוק, לפתירה בכל אופן שרק תרצה) ולא מעניינת אף אחד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה לא רק שהמנחה חייב לפתוח דלת - הוא חייב לפתוח דלת שהוא יודע שאין מאחוריה פרס. מהניסוח בויקי אפשר לחשוב גם שהמנחה לא יודע איפה הפרס; הוא פתח דלת באקראי, ובמקרה הפרס לא היה מאחוריה. אז השאלה מוגדרת היטב, בלי פסיכולוגיה - והתשובה (עד כמה שאני מבין) היא שאין יתרון בהחלפה. והשאלה היא, אם מלכתחילה מדגישים שהמנחה יודע, ושהוא בוחר דווקא דלת ללא פרס, האם זה לא משנה את האינטואיציה של השומע, וגורם למסקנה להיות פחות מקוממת את השכל הישר (ולכן פחות נחמדה)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אני רואה שחייבים לכתוב הכל ואי אפשר לתת קרדיט לקורא שיבין שהמנחה, מכיוון שהוא המנחה, יודע איפה יש פרסים ואיפה אין. ואני דווקא זה שבד''כ מתלוננים עליו שכותב יותר מדי בפירוט. יתוקן. לדעתי זה לא משנה את האינטואיציה של השומע במיוחד, לפחות לא עבור שומעים שאני מצליח להבין מה עובר להם בראש (שזה אני, בקושי). אני לא חושב שהפסיכולוגיה של המנחה רלוונטית בכלל למהות של הבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, קריאה חוזרת בויקי (העברית) מעלה שלא ברור על מה אתה מדבר: השורה "המנחה יודע מאחורי איזו דלת נמצא הפרס, אך השחקן אינו יודע." שבתיאור הבסיסי של הבעיה הייתה בערך עוד מהגרסה הראשונה שלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתור עזר לאינטואיציה (שכבר הבאתי פעם באייל), חשוב מה קורה אם יש אלף דלתות, ואחרי שהצבעת על אחת אקראית, עוזי היודע-כל פותח עבורך 998 מתוכן: כולן ריקות, כולן לא זו שבחרת. איפה הפרס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שכתבתי קודם לעוזי, הפרס כמעט בודאות מאחורי הדלת השנייה (999/1000), כי אחת משתי אפשרויות: או שצדקתי בניחוש המקורי שלי (בהסתברות 1/1000) או שטעיתי, ואז עוזי בטובו צמצם לי את כל האפשרויות השגויות האחרות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אז למה כתבת לעוזי "*במובן מסויים* כן עזרת לי"? באיזה מובן אחר הוא לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במובן שמה שהוא עשה לא מסוגל לומר לי בודאות מאחורי איזו דלת נמצא הפרס. כלומר: גם אם אנחנו סחבקים והסכמנו לפני התוכנית שהוא יגלה לי איפה נמצא הפרס, הדרך היחידה שלו לעשות את זה היא באמצעות גירודים משונים באוזן, לא פתיחת דלתות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעקבות תגובה 313823 תיקון קטן: אני מניח שעוזי מחוייב על מי חוקי התוכנית לפתוח תמיד את אחת הדלתות (או במקרה הרב דלתותי שהצגת, את כל הדלתות חוץ מזו שבחרתי ועוד אחת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שכדאי להשתמש ב"אלף" כדי להסביר את ה-2/3. אם תשחק את משחק 3 הדלתות אלף פעמים ובכל פעם תשנה את בחירתך הראשונית, ההסתברות אומרת שתזכה פחות או יותר ב-667 משחקים. (בגלל שחלוקת הפרס בין 3 הדלתות היא אחידה וע"י החלפה אתה תופס "דוגם" 2 דלתות במקום אחת). מאחר ואתה משחק רק פעם אחת, המשמעות של ההסתברות היא מוגבלת: א) מצד אחד, מאחר ואינך יודע היכן הפרס במשחק היחיד שמעניין אותך, ההסתברות ממליצה לך לפעול לפי מה שקורה בד"כ. ב) מצד שני היא לא יכולה להגיד שום דבר מוחלט לגבי תוצאות המשחק הספציפי שמעניין אותך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין הוא שלפי הוויקיפדיה, מספיק שתיכנס לאולפן רק אחרי שאחת הדלתות נפתחה, וכבר ההסתברות שלך, במקרה שתחליף דלתות, יורדת לחצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מדוייק. אם נכנסת לאולפן אחרי שאחת הדלתות נפתחה אתה לא יכול "להחליף דלתות" כי אף פעם לא בחרת דלת שאפשר להחליף. כלומר, אתה פשוט מגריל דלת מבין הדלתות הסגורות. לעומת זאת, אם בחרת דלת ואז המנחה פתח דלת אחרת, הוא הבטיח בכך שאם בחרת לא נכון בהתחלה ו*תחליף* דלת, תזכה לבטח. את המידע הזה (מה נבחר לפני שנפתחה הדלת) אין למי שנכנס לאולפן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק. אני עומדת משתאה בפני מהירות הבריחה של נוירוני האומללים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהנתן הבעיה שתארתי, אי אפשר לדעת מה הסיכוי לזכות אם נחליט לעבור לדלת הבאה (או, לחילופין, אם נחליט להשאר), משום שאנחנו לא יודעים איך מתנהג המנחה בכל מצב. מספרים לנו שבסיטואציה מסויימת, המנחה (שיודע מהי הדלת הנכונה ומה המשתתף בחר) פותח דלת ומראה שהיא ריקה. האם הוא מתנהג כך רק כשהמשתתף מצליח בניחוש? רק כשהוא טועה? תמיד? מהסיפור אי-אפשר לדעת; ולכן אי אפשר לחשב את ההסתברות. הנתון החסר בתאור השאלה הוא הפסיכולוגיה של המנחה. באיזו הסתברות הוא מחליט לחשוף דלת שגויה אם המשתתף הצליח (נקרא להסתברות זו a), ובאיזו הסתברות הוא מחליט לעשות זאת אם המתחרה נכשל בניחוש הראשון (לזו נקרא b). הפסיכולוגיה של המנחה, אם-כן, מאופיינת בזוג המספרים a ו- b. יש סיכוי של 1/3 שהמשתתף הצליח, ולכן סיכוי של a/3 שהמשתתף הצליח והמנחה פותח את אחת הדלתות (במקרה כזה, אם המשתתף עובר, הוא בוודאי יפסיד). מצד שני, יש סיכוי של 2/3 שהמשתתף טעה, ולכן הסיכוי שזה יקרה והמנחה יפתח את אחת הדלתות הוא 2b/3 (במקרה כזה, אם המשתתף ישנה את דעתו, הוא בוודאי ירוויח). אם נסכם, הסיכוי שמנחה של (a,b) יפתח דלת, שווה ל- a+2b)/3). אם מספרים לנו שזה מה שקרה, אז הסיכויים להצלחה או כשלון של המשתתף מחושבים מתוך הסיכויים לכך שהמנחה אכן פתח את הדלת; כלומר - אם *יודעים* שהמנחה פתח דלת, הסיכוי לכך שהמשתתף הצליח בניחוש הראשון הוא בדיוק (a/(a+2b - ולכן הסיכוי שלו להצליח אם הוא ישנה את דעתו שווה ל- (2b/(a+2b. כמובן, המספר הזה יכול להיות כל דבר בין 0 ל- 1. אפשר לתפור מנחה לכל מטרה (ובפרט יש מנחים שאצלם הסיכוי של מחליפנים להצליח הוא שורש חצי). (לדעתי, הערך הנוכחי בויקיפדיה אפילו לא שגוי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרמטר אפשרי נוסף, שגם משפיע על התשובה (בניסוח שנתת) הוא הסיכוי שהמנחה נותן לכל אחת מהדלתות (אם המשתתף הצליח). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, אבל בשלב הזה אני מעדיף לעבוד עם דלתות לא ממוספרות (אין "דלת מספר 2" ו"דלת מספר 3", אלא "הדלת שהמשתתף בחר", "הדלת שהמנחה פתח" וכו'). העסק מספיק מסובך גם כך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעיה. פשוט כך תיארת את הבעיה במקור. אישית, אני חושב שחוקי המשחק די ברורים (אם כי לא מתחייבים) מן התאור הפשוט של הבעיה וכל הדקדקנות בפרטים נובעת בעיקר מאנשים שנתנו תשובה שגויה ומנסים למצוא דרכים להצדיק אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נא לא לשכוח שמדובר במשחק אמיתי ששוחק בטלוויזיה, והמנחה היה פותח דלת בכל פעם. אפשר בהחלט לראות את זה כחלק מחוקי המשחק, ואם ויקי לא הסבירה את זה כיאות אני בטוח שיימצא השומרוני הטוב שיקרא אותה לסדר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בויקיפדיה דווקא כתוב שהמנחה אף פעם לא היה פותח דלת, וזו שאלת ''מה היה אילו''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, אני זוכר שבארץ היה שעשועון (עם דחלילים ולא עיזים ווילונות ולא דלתות) שבו כן פתחו וילון, אם כי אני לא יודע אם היו חייבים בכל פעם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עשינו עסק" עם אברי גלעד בערוץ 2, אא"ט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק. המנחה היה פותח דלת, אבל לא נותן להחליף. מויקיפדיה: As stated, the problem is an extrapolation from the game show; Monty Hall did open a wrong door to build excitement, but did not allow players to change their choice.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק! אני מאחוריך! כלומר, אני פלורליסט! לי מתאים שורש חצי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |