בתשובה להאייל האלמוני, 26/04/05 12:35
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בספר Adventures of a Mathematician (טל הזכיר אותו כבר כמה פעמים באייל) כתב סטן אולם שג'ון פון-נוימן, חברו הקרוב, "אכל את עצמו" שלא היה זה הוא שהוכיח את המשפט - כנראה שהוא עבד בסביבה, והיה יחסית קרוב. (לא עונה לך על השאלה, אבל יחסית קשור.) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ובכל זאת נראה שגדל היה גדול עליו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מההקדמה של T. Gowers לספרו החדש "Mathematics: a very short introduction": ... I have done without anecdotes, cartoons, exclamations marks, jokey chapter titles, or pictures of the Mandelbrot set. I have also avoided topics such as chaos theory and Godel's theorem, which have a hold on the public imagination out of proportion to their impact on current mathemaical research...
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחר כך מתפלאים למה מתמטיקאים הם חכמים אבל לא עשירים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק המשפט שגרם לי להתאהב בספר. מומלץ בחום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל למה להימנע ממשפט גדל? גם בלי ההשפעה שלו על המתמטיקה (הייתה כזו? אין לי מושג), הרעיון שמאחוריו, ובפרט ההוכחה שלו (ומספור גדל עצמו) הם מאוד יפים (לפחות מה שלמדתי - את החלק הטכני באמת המרצה החביא בתור "קופסא שחורה"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי אמר שהם לא יפים? הספר של גאוארס קטן מאוד (בכוונה), ויש הרבה מאוד דברים יפים שלא נכנסו אליו. הנקודה שלו (שוב אני מסביר את כוונתו) היא שהוא מניח שהקורא ממילא מתעניין במתמטיקה כך שהוא לא צריך להתאמץ ולרגש אותו בכוח תוך שימוש בטריקים הסטנדרטיים של כותבי ספרי מתמטיקה פופולרית. הוא מנסה לדבר על דברים אחרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שיש משהו רע ב"טריקים" האלה (חבורת מנדלברוט היא די יפה, אם כי גם הדיוט כמוני רואה שגם קבוצת קנטור מעניינת ומשום מה עליה מדברים הרבה פחות בספרים שמזכירים פרקטלים) - האם לדעתך יש? בכל מקרה, התעניינתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש פשוט כבר מספיק מהם. העולם לא מוכרח עוד ספר עם ציור של *קבוצת*1 מנדלברוט. 1 :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאיפה באמת השתרש הביטוי "חבורת" מנדלברוט? אני זוכר שתהיתי עליו בעצמי, והנה אני משתמש בו בלי לשים לב (אולי כי אני לא שולט לגמרי בהגדרה הפורמלית שלה). האם היא כן מהווה חבורה, או שזה פשוט תרגום קלוקל של Set של אנשים שלא בקיאים במינוחים מתמטיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שמעתי את הביטוי "חבורת מנדלברוט" מעודי, אז קשה לי לענות על השאלה. אתה בטוח שהוא השתרש? (קבוצת מנדלברוט לא מהווה חבורה בשום מובן שאני יכול לחשוב עליו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על פי מבחן גוגל - כן. 10 מופעים ל"חבורת מנדלברוט" ורק 9 ל"קבוצת מנדלברוט". אחד המופעים היה בכיתוב התמונה של קבוצת מנדלברוט בויקיפדיה העברית (תוקן כעת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Mandelbrot Group: 28
Mandelbrot Set: 97,000 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכל בבקשה להרחיב קצת על המובנים והתרגומים. group = חבורה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חבורה (group) היא מבנה אלגברי שבו יש אוסף של איברים (קבוצה) עם פעולה ("חיבור" או "כפל"), מתקיים חוק הקיבוץ, יש איבר נייטרלי, ולכל איבר יש הופכי. קבוצה (set) זה אותו דבר בלי כל החלק המעניין (אין פעולה, אין קיבוץ1, אין נייטרלי, אין הופכי). 1 עד פה זה נשמע כמו משהו של הצופים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ודרך אגב, דובי: אני מתנצל על כל זה. זכור את תגובה 295871). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין בעיה. אני דווקא נהנה. ממה שאני מבין, לפחות. (המממ... זכור את תגובה 295871 לקודשו... אגב, שמת לב שאוטוטו אנחנו מגיעים ל-300,000 תגובות?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמתי. הטרגדיה היא שבערך אחוז מהן שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. פשוט בעברית לא מתמטית קבוצה היא group, אם איני טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאתה לא מדייק, אבל מזמן שכחתי עברית לא מתמטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע אם הצופים מתאימים כאן. אבל בחלק מהשיעורים בתורת החבורות נהגתי לחשוב שאדם מבחוץ שהיה נכנס לשם היה מניח שמדובר בסוציולוגיה: חבורות ימניות, חבורות שמאליות, אידיאלים... אפילו לפילטרים אפשר למצוא איזה הסבר כזה (דחוק, אמנם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 234820. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא באנגלית - בעברית. כאמור, לדעתי הטעות נובעת מתרגום שגוי של המילה Set, כי הדיוטים לא בהכרח מבדילים בין "חבורה" ו"קבוצה". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי, הבנתי, נו... (וזה ''הדיוטות''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אתפלא אם הטעות הזאת התחילה מתרגום של ורדה ויזלטיר לאיזה ספר בתורת הגשטלט שהופיע בו פרק על תורת החבורות שתרגום כתורת הקבוצות. לקח לי כמה דקות להתאפס על הטעות ולהתחיל לקלוט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני נתקלתי ב"חבורת מנדלברוט" הרבה פעמים, וזה אכן תרגום קלוקל של Set. מתרגמים יודעים להתייעץ עם מומחה לבוטניקה כשהם צריכים לתרגם שמות של צמחים, ואם היו יודעים להכליל את השיטה הזו לתחומים אחרים הם היו יכולים לחסוך הרבה שגיאות מביכות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שנתפשר על "כנופיית מנדלברוט"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חבורת מנדלברוט זה החבר'ה מהפקולטה למתמטיקה בייל ששותים קפה ואוכלים עוגיות שקדים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תה, בארבע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עם נענע, אלא מה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי מה הבעיה עם "חבורת מנדלברוט". הרי יש כזו קבוצה, לא? ויש לה איברים, לא? אז מה הבעיה להגדיר איזה פעולת כפל בין האברים שלה? יש בכלל קבוצה שהיא לא חבורה (עד כדי הגדרת פעולת כפל)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוץ מכפל יש עוד כמה תבלינים שבלעדיהם לא תיתכן חבורה, אבל אשאיר את התיאור לטבח הראשי, אלון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נכון. כל מה שצריך זה פעולת כפל. אמנם פעולת הכפל צריכה לקיים תנאים מסויימים, אבל עבור כל קבוצה שהיא ניתן להגדיר כזו פעולה, בלי להוסיף או לגרוע מהקבוצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק, צריך גם 0 ו-1 (אני רק לא זוכר כרגע איך הם מוגדרים בהכללה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך איבר אדיש בודד, והוא מוגדר כחלק מהגדרת הפעולה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 296327 אולי אין בעיה להגדיר כזאת פעולה וכאלה איברים, אבל כל עוד הם לא הוגדרו אין לך חבורה מוגדרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האיברים כבר מוגדרים, כל מה שצריך זה להגדיר את הפעולה, ובגלל שהגדרת הפעולה היא פעולה טכנית בלבד, ומשום שאף אחד לא משתמש בפעולה הזאת, אז מה הבעיה להניח שקיימת כזו פעולה, לקרוא לקבוצה חבורה? בשביל זה המוציא לאור צריך לשלם כסף ליועץ טכני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אאל"ט, לא תמיד אפשר להגדיר פעולת כפל בין האברים ולשמור על תכונת הסגירות (או תכונות אחרות של חבורה, כגון הפיכות). למשל: קבוצת המספרים השלמים איננה חבורה. לא לכל a קיים בקבוצה b כך שמתקיים a*b=b*a=e. (אבר היחידה מסומן ב-e). זה מתקיים רק עבור האברים 1,1-. כנראה שמשהו דומה קורה עם אברי קבוצת מנדלברוט. אבל למי אכפת? הציורים נורא יפים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאן אתה טועה. זה רק עניין של הגדרת הפעולה. למשל, עבור קבוצת המספרים השלמים, בו נגדיר את פעולת ה"כפל" כחיבור. סגירות יש? יש. איבר אדיש יש? יש (0). איבר הופכי יש? יש. חוק בקיבוץ מתקיים? מתקיים. מש"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם יהיה נכון לקרוא לכל בית "תחנת רכבת" (ולחסוך כסף על הגהות) רק בגלל שאפשר לבנות מסילת ברזל לידו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול בלי בעיה להגיד שאין מסילת רכבת, אתה לא יכול להגיד שאין פעולה כזו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מריח ויכוח ארוך עם סמיילי שכל כולו התקטננות על סמנטיקה :) אז רגע לפני שזה מתחיל - האם לכל קבוצה קיימת פעולה כך ש- (פעולה,קבוצה) היא חבורה? אם כן, האם יש לכך הוכחה? אם לא, האם יש דוגמא נגדית (רצוי פשוטה)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, כל קבוצה S אפשר להפוך לחבורה על-ידי הגדרת פעולה מתאימה. הוכחה: אם S סופית, יש חבורה ציקלית בגודל הנכון. אחרת, החבורה החופשית הנוצרת על-ידי S היא בעלת אותה עוצמה, ולכן אפשר לתרגם את פעולת החבורה החופשית לפעולה על S. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באמת, כדאי שנסיים עם הבדיחה הזאת מהר. ולשאלתך, עד כמה שידוע לי, כן, מלבד הקבוצה הריקה (שלא מכילה איבר אדיש לשום פעולה) ואפשר להוכיח את זה על ידי איזומורפיזם למספרים השלמים או הממשיים או על ידי בניית חבורה שכז מקבוצה סופית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואלה, אתה צודק. בגלל זה המציאו את הסימון (פעולה,קבוצה) ואי אפשר להגיד כלום על הקבוצה לבדה. (+,Z) היא חבורה. (*,Z) היא לא חבורה. (בהנחה שאנו מסכימים על הגדרת הסימנים +,*) המתטיקאים מוזמנים להעיר את הערותיהם לגבי האם קיים # כך ש (#,מנדלברוט) היא חבורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אשאל שאלה יותר פשוטה: האם באופן "טיפוסי" כל אוסף של מספרים מרוכבים מהווה חבורה תחת הגדרה מתאימה של הכפל? אינטואיטיבית אני חושב שתמיד אפשר למפות את האוסף באופן חח"ע למישור המרוכב, ואז להגדיר את הפעולה # כפעולה שמבצעת כפל על המיפוי. מצד שני, הגדרת המיפוי נראית לי כמו סיוט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אולי לא מתמטיקאי, אבל אם קבוצת מנדלברוט היא קבוצה בת-מניה, אפשר פשוט לזהות אותה עם השלמים עם חיבור, ואז היא חבורה. אם היא מעוצמת רצף, ניתן לעשות זאת עם הממשיים עם חיבור. השאלה היא אם יש פעולה טבעית ומעניינת על קבוצת מנדלברוט שהופכת אותה לחבורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''השאלה היא אם יש פעולה טבעית ומעניינת על קבוצת מנדלברוט שהופכת אותה לחבורה'' - זהו, שלא. אפשר לקרוא לה ''קבוצת מנדלברוט שאפשר להפוך לחבורת מנדלברוט אם נגדיר פעולה מתאימה'', אבל באותה מידה אפשר לקרוא לכל קבוצה ''קבוצה שאפשר להפוך לחבורה אם נגדיר פעולה מתאימה'', ובעיני ''קבוצה'' זה שם יותר קצר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלכ''נ, אבל תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה גורם לך לחשוב ש"קבוצה" זה שם קצר יותר מ"קבוצה שאפשר להפוך לחבורה אם נגדיר פעולה מתאימה"? באיזו הגדרה של אורך אתה משתמש? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתבייש לך על השאלה. האורך לא קובע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז מה לדעתך כן קובע מי יותר קצר? קרבה לחברי מרכז? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורך הגלות. פרדוקס המספר הקטן ביותר שאי אפשר להגיד בלי להזכיר את אורכו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קבוצת מנדלברוט מוכלת במישור הממשי ומכילה משטחים ממשיים. לפיכך עוצמתה היא בהכרח הרצף. האם זה אומר שניתן להגדיר התאמה חד-חד-ערכית-ועל בין הקבוצה לבין הממשיים? אויה, שכחתי את מה שלכאורה ידעתי על תורת הקבוצות. הצילו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו פחות או יותר ההגדרה. שתי קבוצות הן מאותה עוצמה אם קיימת התאמה חח"ע ועל מאחת לשנייה (זה יחס שקילות, למעשה). כדי להראות שקבוצה אחת היא מעוצמה קטנה יותר מקבוצה אחרת די להראות התאמה חח"ע מה"קטנה" ל"גדולה", וזה מה שעשית כאן: קבוצת מנדלברוט מוכלת במישור הממשי (המרוכב, למעשה), כלומר יש התאמה חח"ע ממנה למישור (שפשוט מעתיקה כל נקודה לעצמה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, אך לא נושעתי. התאמה חחע"ע גוררת שוויון עוצמות. ברור. את זה אפילו אני זוכר. אבל האם שוויון עוצמות גורר קיום התאמה חחע"ע שניתן *להגדיר*? ובמילים אחרות - האם ליד כל בית אפשר לבנות מסילת ברזל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאן אני כבר לא בטוח, אבל נראה לי שכן. הרי כדי להראות ששתי קבוצות הן מאותה עוצמה תצטרך להראות התאמה חח"ע ועל ביניהן, אין כאן ממש דרך עוקפת (גם שימוש בקנטור-שרדר-ברנשטיין בונה התאמה חח"ע ועל שכזו, אם כי עד כמה שאני זוכר זה לא אפשרי באופן כללי לתאר אותה). אם למשל הראית ש-A שקולה ל-B ו-B שקולה ל-C אז קל מאוד לבנות התאמה חח"ע ועל מ-A ל-B: מרכיבים את שתי ההתאמות שכבר יש לך. אם תוכל להביא דוגמא למצב שבו אתה מוכיח ששתי קבוצות הן שקולות עוצמה בלי להראות התאמה חח"ע ועל בינן, זה מאוד יסקרן אותי. לדעתי *אי אפשר* לומר על שתי קבוצות שהן שקולות עוצמה מבלי להראות התאמה חח"ע ועל בינן - זו פשוט ההגדרה. מצד שני, אם ההתאמה שבונים בהוכחה של קנטור שרדר ברנשטיין לא נחשבת בעינייך למסילת ברזל, אז כן, לא ליד כל בית אפשר לבנות מסילת ברזל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האומנם אין דרך קיצור? קל מאוד להראות ש |C|=|R^2|>=|M|>=|R| וכיוון שהודות לקנטור ושות'|R^2|=|R| ברורה גם עוצמת M.כאן לא הראיתי שום התאמה אל או מאת M. ולא הצלחתי להשתכנע שחייבת להיות התאמה גדירה שכזו. הנקודה המעניינת ביותר לענייננו היא סברתך לגבי ההתאמה: "לא אפשרי באופן כללי לתאר אותה". אם במקרה מנדלברוט אי אפשר לתאר אותה, אי אפשר להגדיר חבורה מעל הקבוצה, לפחות לא באופן זה. ואז השאלה נותרת פתוחה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי, בוא נראה: יש לי התאמה חח"ע מ-M אל R^2. יש לי גם התאמה חח"ע ועל מ-R^2 אל R והתאמה חח"ע מ-R אל M. אם אני ארכיב את שתי ההתאמות הללו אני אקבל התאמה חח"ע מ-R^2 אל M. כלומר יש לי התאמה חח"ע בשני הכיוונים ובקנטור שרדר ברנשטיין אני בונה התאמה חח"ע ועל מ-M ל-R^2 (ולכן גם ל-R ולכל קבוצה מעוצמת הרצף שתרצה). שוב, זה קם ונופל על כמה קונסטרקטיבית ההוכחה של קש"ב נראית לך. אני לא חושב שאי הקונסטרקטיביות שלה היא ברמות של אקסיומת הבחירה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פקששתי. אולי באמת כדאי שאני אחזור אל המחברות ואפסיק לבלבל את הציבור. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהינתן אקסיומת הבחירה - או משפט הסדר הטוב - כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך להראות התאמה חח''ע בכיוון אחד, בלי שניתן לעשות זאת בכיוון האחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כדי להראות שהיא קטנה *ממש*. לרוב רוצים להראות שהיא קטנה או שווה (טוב, זה תלוי כמובן במה שאתה מנסה לעשות, ייתכן שתרצה דווקא להראות שהיא קטנה ממש). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, התבלבלתי פעמיים: פעם אחת - לא שדמתי לב שמדובר בקבוצות שוות עצמה (כי ראיתי רק שכתוב על "עצמה קטנה יותר"). ופעם שנייה - שכתבתי חח"ע, כאשר כשמדובר על קטנה ממש - לא יכולה להיות פונקצייה כזאת. צר לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו שמתי לב שבתרגום של "כאוס" של ג'יימס גליק, מתרגם עמנואל לוטם את קבוצת מנדלברוט בתור חבורת מנדלברוט (שיתבייש לו!). אני מנחש שזה לפחות אחד מהמקורות של הביטוי בעברית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטח גם על זה דיברנו, אבל ככלל ''כאוס'' של גליק הוא ספר מדע פופולרי שכתוב גרוע ומעצבן. ייתיכן שגם התרגום של לוטם וחבורתו אשם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה יהיה מתעלק מדי לבקש הסבר תמציתי על משפט גדל וההשלכות שלו עבור הקוראים חסרי ההשכלה המתמטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מתעלק, רק מסוכן: יהיו כאלה שיניחו שאת ההודעה שלך שלחתי אני כדי שלא יהיה לי משעמם (ולא, לא משעמם לי. ממש לא. למעשה, ממש ממש ממש *ממש* לא). בקיצור נמרץ: לאור מספר טעויות היסטוריות וויכוחים על שאלות-יסוד, התעורר בסוף המאה ה-19 הרצון לבסס בזהירות את "כל המתמטיקה" על מספר קטן ומוסכם של הנחות-יסוד (אקסיומות) ומספר קטן ומוסכם של כללי-היסק. בגיאומטריה של המישור זה עבד היטב, והמטרה הבאה היתה תורת המספרים (תחום פשוט-לכאורה הדן בתכונותיהם של המספרים הטבעיים 1, 2, 3, וכו'). כדי להשתכנע שמערכת מסוג זה (אקסיומות וכללי-היסק) היא סבירה, ביקשו שתהיינה לה התכונות הבאות: 1. "סופיות": אם מישהו מראה לך טענה מסויימת ואת ההוכחה המדוייקת שלה, אתה תוכל להפעיל תהליך סופי ומכני כדי לוודא שההוכחה נכונה. לא היו אז מחשבים, אבל אילו היו, היו אומרים: הוכחה מתמטית צריכה להיות ניתנת לבדיקה ע"י מחשב. 2. "עקביות": המערכת לא מובילה לסתירה. אי אפשר להוכיח בעזרתה גם את "1 איננו 0" וגם את "1 שווה ל-0". 3. "שלמות": המערכת חזקה מספיק כדי להוכיח כל טענה נכונה. אין מצב שבו לא ניתן להוכיח את X וגם לא ניתן להוכיח את לא-X. את 1. רצו כדי שלא ניתן יהיה להתווכח אם הוכחה היא נכונה או לא: הוכחה היא תהליך מסודר שניתן לווידוא מכני. את 2. רצו מסיבות מובנות. את 3. רצו כי אם אי-אפשר להוכיח ש-X נכון וגם אי-אפשר להוכיח ש-X לא נכון, נראה שהמערכת חלשה מדי (ברור שאחד מהם נכון). חוץ מזה, בלי משהו כמו 3 זה "לא חכמה": מערכת טיפשית שיש בה אקסיומה אחת "הים הוא מלוח" ואף כלל-היסק עונה על 1 ו-2, אבל היא חלשה מכדי להגיד משהו מעניין על מספרים. מה שגדל הראה הוא שאין אפשרות לעשות זאת. כל מערכת לוגית (בעלת תכונות סבירות כמו 1) שהיא חזקה מספיק כדי לדבר על המספרים הטבעיים תהיה או לא עקבית או לא שלמה. לגבי ההשלכות: אלמלא משפט גדל, אפשר היה לדמיין את הלוגיקה המתמטית "נגמרת". היו בונים מערכת נוחה לכל המתמטיקה, מראים שהיא עקבית ושלמה, ושלום על ישראל. בגלל המשפט המפתיע הזה נוצר הצורך להבין את גבולות היכולת של מערכות פורמליות שונות, למה ניתן לצפות ולמה לא ניתן לצפות. חוץ מזה, נוצרה אפשרות מבהילה-קצת לפיה טענה מסויימת (כמו "כל זוגי הוא סכום של שני ראשוניים") תהיה לא-ניתנת-להוכחה וגם לא-ניתנת-לסתירה (במערכת פורמלית מסויימת). במהלך השנים נתגלו כמה תוצאות מעניינות מסוג זה. לבסוף, המשפט יצר מעין אופנה, או תרבות, או רוח-זמן, של תוצאות שוללניות בעלות אופי דומה, המצביעות על גבולות היכולת של מערכות מסויימות. כאמור, היו שניסו לייצר מכך טענות פילוסופיות דרמטיות למדי, ללא הצלחה מיוחדת להערכתי. כל זה בקיצור וקצת חפיפי, מקווה שזה עזר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בגלל המשפט המפתיע הזה נוצר הצורך להבין את גבולות היכולת של מערכות פורמליות שונות, למה ניתן לצפות ולמה לא ניתן לצפות" אתה יכול להרחיב קצת לגבי הנקודה הזאת? (כלומר, מה משפט גדל שינה לגבי התפיסה שלנו את גבולות היכולת של מערכות פורמליות שונות?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פשוט מאוד: הוא הראה שיש כאלה (גבולות, זאת אומרת). לפני גדל, קיוו לבנות מערכת פורמלית שבתוכה ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה בתורת-המספרים, נניח. בעקבות המשפט, הבינו שלא ניתן לצפות שמערכת פורמלית אחת תיתן מענה לכל השאלות. למערכת פורמלית נתונה יש "כוח" מסויים (דברים שהיא מסוגלת להראות), והכוח הזה לא תמיד מתלכד עם מה שהיית רוצה (דברים שהיא מסוגלת לדבר עליהם). לדוגמה, אף מערכת פורמלית (מעניינת, עקבית) איננה מסוגלת להוכיח את העקביות של עצמה, למרות שהרבה מערכות פורמליות מסוגלות לנסח את העקביות של עצמן כטענה (כלומר "לדבר על זה"). השינוי התפיסתי הרחב יותר הוא שמאז גדל, בכל פעם שמנסים להתמודד עם שאלה שנראית מסובכת, במיוחד שאלות בעלות אופי מאוד כללי (אלגוריתם הבודק אם יריעה היא כדור, השאלה אם P=NP, תהליך לבדיקת פתירות של משוואה דיופנטית), מנקר תמיד החשש שמא התשובה היא שאין תשובה (במסגרת האקסיומטית הנוכחית). לפעמים החשש אפילו מיתרגם לעובדה, לפעמים לא, אבל הוא בכל מקרה שם, ואני חושב שהוא לא ממש היה שם לפני 1931. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגלל הבורות שלי בתחום אני לא כ"כ מבין מה זה אומר " מערכת שאיננה מסוגלת להוכיח את העקביות של עצמה" אגב, יש אפשרות להסביר את ההוכחה המתמטית של גדל בצורה שתהיה מובנת לאנשים חסרי השכלה מתמטית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטח שיש. בשביל מה המציאו את הופשטטר? (תגובה 4582, תראו כמה מזמן הספר הזה הופיע באייל...). לא שצריך כל-כך הרבה עמודים בשביל זה, אבל זה ספר שלדעתי כדאי לקרוא (למרות מגרעותיו). יש עוד ספרים פופולריים על ההוכחה, אבל לא עולה לי בראש שם מתאים. אם תרצה אחפש. לשאלתך הראשונה: מערכת פורמלית של תורת המספרים מאפשרת לנסח טענות על מספרים. זה פשוט אוסף של סימנים מוסכמים (כמו "0", "y", "+", "=") וכל-מיני כללים האומרים איך אפשר לחבר את הסימנים האלה לפסוקים, מה האקסיומות, ומה הכללים המאפשרים להסיק מסקנות. פסוק יכול להיות משהו כמו A x E a,b,c,d | x=a^2+b^2+c^2+d^2 (נסה לקרוא את הפסוק הזה בקול כשאתה מחליף A ב"לכל", E ב-"יש" ו-"|" ב-"כך ש"). נניח שיש לך מערכת כזו, נקרא לה PA. על פניו נראה שהמשפט "PA היא עקבית" הוא משפט שאנחנו, בני-האדם, יכולים להגיד *על* PA. הוא לא נראה כמו פסוק שאפשר לנסח *בתוך* המערכת (כמו הפסוק "כל מספר הוא סכום של ארבעה ריבועים" שהדגמתי). זו לא (נראית כמו) טענה מתמטית, אלא כמו טענה מטא-מתמטית. אחד הדברים שגדל גילה הוא שזו אשלייה: אפשר לנסח ב-PA את הטענה "PA עקבית".אם אפשר לנסח את הטענה הזו, הצעד הבא הוא לנסות להוכיח אותה. את זה אי-אפשר לעשות, לא ב-PA. אפשר לעשות זאת בתוך מערכת חזקה יותר, אבל אז את העקביות *שלה*... וכו'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אני טועה, אבל יכול להיות שההסבר הברור שלך הזכיר לי במעומעם קורס בחישוביות(?) שלקחתי לפני שנות אלף אצל שוויקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היחיד שיכול לומר אם זה הזכיר לך או לא זה בעל הזיכרון - אתה (יש על זה מאמר מעניין באייל שהתפרסם לאחרונה, לא זוכר של מי. כדאי לך לקרוא). כן, בטח שיכול להיות... התוצאות הבסיסיות בחישוביות דומות מאוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אני לא בטוח שעניתי על השאלה, אם צריך אולי תוכל לחדד אותה קצת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דבר אחד שעדיין לא הבנתי בכל הנוגע למשפט גדל היא הנקודה של "יש דברים שאי אפשר להוכיח או להפריך, אבל הם *נכונים*". פנרוז, למשל, חוגג על זה ב-"The emperor's new mind" וטוען שבזה מותר האדם מהמחשב, או משהו. האם השערת הרצף היא "נכונה" במובן זה? ומשפט גודשטיין? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני, כמובן, לא יכול לענות לך, אבל רוצה לנצל את ההזדמנות להגיד משהו שקשור לזה: מה שפנרוז עשה עם משפט גדל גובל בפלילים. אין לי שום דבר נגד מי שרוצה לעשות ספקולציות פרועות עם כל עניין בעולם, אבל יואיל נא לציין בפני קהל קוראיו התמים שאלו ספקולציות שלו ולא משהו מוכח מתמטית כמשפט גדל עצמו. אחרת, כפי שקרה עם פנרוז, אתה נתקל באנשים שלא יודעים לחבר שתיים ושתיים בלי לקבל שש שמספרים לך בבטחון על כך ש"מתמטיקאים הוכיחו שהמוח אינו מכונה" או כל מיני בוקי סרוקי כאלה, מהם נובע כביכול שיש משהו על-טבעי באותו ליטר וחצי חומר אורגני שתחום ע"י עצמות הגולגולת. תופעה דומה קיימת גם בפיזיקה, בזכות הרעיון המשונה של ויגנר על התודעה האנושית שנחוצה כדי שפונקציית הגל תקרוס, והחתול המעונה של שרדינגר יוכל להחליט אם הוא חי או מת. מה עוד צריך כדי להוכיח קיום של איזו נשמה מסתורית שנמצאת מחוץ לתחומי הפיזיקה? כלום. המשפט "תורת הקוואנטים מוכיחה ש..." מחליף את "ויגנר העלה שפקולציה מוזרה ש..." בכל כך הרבה מקומות, עד שבא להקיא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, אלא שפנרוז ללא ספק יודע לחבר שתיים ועוד שתיים ולקבל ארבע, והספר שלו בכל זאת סוקר לא רע את התחומים שעליהם הוא מדבר, ולכן אני נוטה להקשיב לו (ולא להסכים) מאשר לקרוא למשטרה. אני גם לא חושב שהטענה שלו היא ''המוח אינו מכונה'', אלא לכל היותר ''המוח אינו מחשב'' - וייתכן שזה מעיד בעיקר על המגבלות של המחשבים כפי שהם קיימים כיום (אף אחד לא ''הוכיח'' את התזה של צ'רץ' וטיורינג, דומני). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי ספק שפנרוז עצמו מבין טוב מאד, ואני גם לא מוטרד מסטודנטים למתמטיקה שקוראים אותו. גם ויגנר ידע דבר או שניים בפיזיקה, וסטיבן גולד לא היה זקוק לקורס בדארויניזם. הבעיה היא שכשאתה כותב ספר לקהל הרחב ואתה לא מפריד באופן ברור ומוצהר בין הרעיונות שלך לבין משפטים, הוכחות ומה שמקובל בתחום, אתה פותח פתח לשרולטנים ולבורים (ויגנר פטור מהאשמה הזאת, כי עד כמה שאני יודע הוא לא כתב ספר פופולרי על הרעיונות שלו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא השתכנעתי בכלל מ-Emperor's New Mind וגם לא מספר ההמשך (שכחתי את שמו); פנרוז הוא פנרוז, אבל לדעתי כאן הוא פישל. אני חושב שאני יודע למה אתה מתכוון בביטוי "יש דברים שאי אפשר להוכיח או להפריך, אבל הם *נכונים*"; צריך רק להיזהר קצת כשאומרים דברים כאלה. "אי אפשר להוכיח" זה תמיד במסגרת של מערכת פורמלית מסויימת; אין תוצאות (בטח לא משפט גדל) שמראות שמשהו אינו ניתן להוכחה באיזשהו אופן *אבסולוטי*. גם לא תהיינה כאלה: תמיד אפשר להוסיף את הטעון-הוכחה כאקסיומה. צריך לזכור מה אנחנו מנסים לעשות עם כל המערכות הפורמליות האלה: לפרמל באופן פשוט, יחסית, מושגים מורכבים מאוד כמו "המספרים הטבעיים", ולהוכיח במסגרת זו מיני טענות. הניסיון לפרמל כך הוא ראוי ומוצלח, אבל אף-אחד לא הבטיח לנו שזה יעבוד, ולפעמים ההתרגשות הגדולה מכך שזה לא נראית לי משונה (אם לחזור רגע לפנרוז). אני לא אומר שאין כאן נקודות מבלבלות - יש הרבה - אבל מה הפלא בכך שמערכת מסויימת, נגיד PA, לא חזקה מספיק כדי להוכיח משהו? PA היא חמודה, נכון; היא נראית, אולי, "מספיקה" באופן אינטואיטיבי, נכון; אז? (אגב, אני לא יורד פה עליך, חלילה, אלא על צד שלישי מסתורי שטוען את הטענה שהזכרת). משפט גודסטין נובע מ-ZFC, למעשה ממערכות חלשות הרבה יותר (נראה לי, למשל, שאפשר לוותר על C). כיוון שכולם מאמינים ל-ZF, סביר להניח שמשפט גודסטין הוא נכון. בוא נזכור, שוב, מה מבלבל בו: אי אפשר להוכיחו ב-PA. מפתיע, משעשע, אולי אפילו מצער קצת, אבל זה לא אומר יותר מדי; בטח לא שהוא "לא נכון". השערת הרצף זה סיפור אחר. היא לא תלויה אפילו ב-ZFC, וגם לא באף אחד מבין הרבה חיזוקים שונים ומשונים של ZFC שרובם נמצאים תחת הכותרת "קרדינלים גדולים" (אין קשר לראצינגר). היא כן נובעת מ-V=L, שזו בערך ההנחה שכל הקבוצות בעולם ניתנות לבנייה מפורשת. האם היא נכונה "באמת"? אף אחד לא יודע. לא ברור שזו שאלה בעלת משמעות: האם אקסיומת המקבילים נכונה באמת? יש גאומטריות בהן כן, וגאומטריות בהן לא. מהי הגאומטריה הנכונה? זו התקפה ביקום הפיזיקלי? למה? יש אנשים הסבורים שיש דבר *אחד* כזה, "קבוצות", ובו CH או נכונה או לא נכונה. בימים זוגיים אני נוטה לקבל את ההנחה הזו; במקרה כזה, האנלוגיה לגאומטריה היא אחרת: עלינו פשוט למצוא את "אקסיומת המקבילים" המתאימה, זו שהיא גם מובנת-מאליה וגם מכריעה את CH. כאמור, עד היום לא נמצאה כזו (V=L רחוקה מלהיות מובנת-מאליה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי אישית מפריעות הטענות שמשהו נכון באופן "אבסולוטי". הרי אני יכול מחר להמציא תורת מספרים שבה 1+1=0 (יש שמועות שכבר יש כזו), וזה יהיה "נכון", למרות שבאופן "אבסולוטי" זה לא נכון (כי הרי כל ילד יודע ש1+1=2). לכן המושג שלי של "נכונות" מתמצה ב"יכיחות", ואם משהו לא ניתן להוכחה ממערכת אקסיומטית מסויימת, אני גם לא יכול לומר שהוא נכון בה. כמובן, כשאנחנו ניגשים למציאות עם המושג האינטואיטיבי שלנו של "נכון", ברור לנו ש-1+1=2 ולכן התוצאה 1+1=0 "לא נכונה". אבל אי הנכונות הזו פירושה שהמערכת האקסיומטית שלנו שבה 1+1=0 פשוט לא *מתאימה* למציאות שאותה אנחנו מנסים למדל, לא שהיא "לא נכונה". אבל כשלמדתי לוגיקה טיפה הסתבכתי, כי שם דיברו על דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי, אבל לא יכיחים מתוכה. ואת זה כבר לא הבנתי, לפחות לא את המשמעות הפילוסופית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשפט האחרון בתגובה שלך הוא לוז העניין, אבל אלון יסביר את זה הרבה יותר טוב ממני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגזמת. תורת המספרים שלך (זו עם מציין 2) היא תורה, אבל לא תורת-*ה*מספרים. אתה לא מקבל שיש דבר כזה "המספרים הטבעיים"? אתה מאמין שמשפט פרמה נכון? למה? כי הוכיחו אותו? מאילו אקסיומות? כנראה, ZFC. למה אתה מקבל את האקסיומות של ZFC כנכונות? אם "נכונות" זה "יכיחות", איך אתה מקבל איזושהי אקסיומה בכלל? הזכרת את "המציאות שאותה אנחנו מנסים למדל". אם יש כזו, אז יש כזה דבר "נכון". נניח שמחר מוכיחים שההשערה על קיום אינסוף ראשוניים-תאומים (twin primes) איננה תלויה ב-ZFC; זה לא בלתי-אפשרי. מה תאמר אז? ש-TP אינו נכון ואינו לא נכון, או שהוא אחד מאלה ורק חסרה אקסיומה? אחרת הדרכים לפרש את משפט גדל היא לומר, בדיוק, ש"נכונות" (של טענות במודל מסויים) *אינה* יכולה להתמצות ב"יכיחות" (במסגרת מערכת אקסיומות מסויימת לאותו מודל). זה כנראה מה שבלבל אותך בקורס בלוגיקה (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לשאלות האלה אני כבר לא יכול לענות בלי לעורר אצלך עוד שאלות מאותו סוג, ולכן אקח אותן כחומר למחשבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
< (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). יתכן והכוונה דברים שנכונים ב*מודל* מסוים של האקסיומות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממה שאני זוכר, ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון". האם זה באמת אומר שהכוונה היא שהוא יהיה נכון ב*כל* מודל שמתאים לאקסיומות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהוא ''נכון'' לא אומר שהוא נכון. אם היה נכון בכל מודל של התורה , הרי היה יכיח ע''פ משפט השלמות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אני כותב ''''נכון'''' ולא ''נכון'', ולכן אני אומר שלא הבנתי את המשמעות הפילוסופית (וכנראה פשוט לא הבנתי מה שהמרצה אמר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא "משמעות פילוסופית", אלא דווקא הבנה של המשפט מבחינה מתמטית. הפסוק שגדל בנה אומר, בערך, "אני לא יכיח במערכת X", כש-X היא מערכת פורמלית מסויימת (הפסוק הוא אחר לכל מערכת). צריך לשם לב לכך שזה שהוא *אומר* שהוא לא יכיח לא אומר שהוא לא יכיח: הפסוק יכול להיות שקרי. אלא מאי, אם הוא כן יכיח, אז המערכת X מוכיחה משפט שקרי, שאז היא לא עקבית. אם הוא, באמת, לא יכיח, אז הוא נכון, והרי לנו משפט נכון שאיננו יכיח והמערכת X אינה שלמה. לסיכום, קיומו של הפסוק מראה ש-X היא *או* לא עקבית *או* לא שלמה (או שניהם). הוא לא מראה שהיא אחד מסויים משני אלה. כתבת למעלה: "ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון"". זה לא מדוייק: אי-אפשר להראות שפסוק מסויים אינו יכיח במערכת X מבלי להוכיח ש-X עקבית. משפט גדל רחוק מלהראות זאת. הוא תקף בכל מערכת פורמלית מספיק חזקה, ויש הרבה מערכות כאלה שהן דווקא לא עקביות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. לכן אומרים שלא ניתן (או לא הצליחו עד עתה) להוכיח ש-ZF עקבית? האם ניתן להוכיח ש-ZF עקבית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט אחר של גדל, דומה ברוחו, אומר שאף מערכת (חזקה מספיק) אינה יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. לכן, אם מעוניינים להראות ש-ZF עקבית, יש לעבוד במערכת אחרת - אולי ZF עם עוד אקסיומות, אולי משהו אחר. לא מוכרות לי מועמדות מוצלחות למערכות כאלה. מהי מועמדת מוצלחת? כזו שהאקסיומות שלה נראות מובנות-מאליהן, כמו אלו של ZF; מה זה "מובן מאליו" זו כבר שאלה די נזילה. הבעייה היא שאם אותה מערכת חדשה המוכיחה את עקביות ZF - נקרא לה GA - היא מובנת-מאליה, אין סיבה שלא נהפוך *אותה* למערכת המתמטית הסטנדרטית, נוציא את ZF לגמלאות, ונישאר תקועים עם השאלה "האם GA עקבית?". אם GA איננה ממש מובנת-מאליה, אני לא חושב שמישהו ירצה לקבל אותה: הרבה יותר פשוט סתם להניח שאי-אפשר להוכיח ב-ZF ש-5=2+2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלטת בסוף לפרסם את מערכת האקסיומות שלנו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי דווקא לתת כבוד לבן-שיחי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |