בתשובה לאלון עמית, 27/04/05 1:44
 |
|
 |
||
|
||||
 |
דבר אחד שעדיין לא הבנתי בכל הנוגע למשפט גדל היא הנקודה של "יש דברים שאי אפשר להוכיח או להפריך, אבל הם *נכונים*". פנרוז, למשל, חוגג על זה ב-"The emperor's new mind" וטוען שבזה מותר האדם מהמחשב, או משהו. האם השערת הרצף היא "נכונה" במובן זה? ומשפט גודשטיין? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני, כמובן, לא יכול לענות לך, אבל רוצה לנצל את ההזדמנות להגיד משהו שקשור לזה: מה שפנרוז עשה עם משפט גדל גובל בפלילים. אין לי שום דבר נגד מי שרוצה לעשות ספקולציות פרועות עם כל עניין בעולם, אבל יואיל נא לציין בפני קהל קוראיו התמים שאלו ספקולציות שלו ולא משהו מוכח מתמטית כמשפט גדל עצמו. אחרת, כפי שקרה עם פנרוז, אתה נתקל באנשים שלא יודעים לחבר שתיים ושתיים בלי לקבל שש שמספרים לך בבטחון על כך ש"מתמטיקאים הוכיחו שהמוח אינו מכונה" או כל מיני בוקי סרוקי כאלה, מהם נובע כביכול שיש משהו על-טבעי באותו ליטר וחצי חומר אורגני שתחום ע"י עצמות הגולגולת. תופעה דומה קיימת גם בפיזיקה, בזכות הרעיון המשונה של ויגנר על התודעה האנושית שנחוצה כדי שפונקציית הגל תקרוס, והחתול המעונה של שרדינגר יוכל להחליט אם הוא חי או מת. מה עוד צריך כדי להוכיח קיום של איזו נשמה מסתורית שנמצאת מחוץ לתחומי הפיזיקה? כלום. המשפט "תורת הקוואנטים מוכיחה ש..." מחליף את "ויגנר העלה שפקולציה מוזרה ש..." בכל כך הרבה מקומות, עד שבא להקיא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, אלא שפנרוז ללא ספק יודע לחבר שתיים ועוד שתיים ולקבל ארבע, והספר שלו בכל זאת סוקר לא רע את התחומים שעליהם הוא מדבר, ולכן אני נוטה להקשיב לו (ולא להסכים) מאשר לקרוא למשטרה. אני גם לא חושב שהטענה שלו היא ''המוח אינו מכונה'', אלא לכל היותר ''המוח אינו מחשב'' - וייתכן שזה מעיד בעיקר על המגבלות של המחשבים כפי שהם קיימים כיום (אף אחד לא ''הוכיח'' את התזה של צ'רץ' וטיורינג, דומני). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי ספק שפנרוז עצמו מבין טוב מאד, ואני גם לא מוטרד מסטודנטים למתמטיקה שקוראים אותו. גם ויגנר ידע דבר או שניים בפיזיקה, וסטיבן גולד לא היה זקוק לקורס בדארויניזם. הבעיה היא שכשאתה כותב ספר לקהל הרחב ואתה לא מפריד באופן ברור ומוצהר בין הרעיונות שלך לבין משפטים, הוכחות ומה שמקובל בתחום, אתה פותח פתח לשרולטנים ולבורים (ויגנר פטור מהאשמה הזאת, כי עד כמה שאני יודע הוא לא כתב ספר פופולרי על הרעיונות שלו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא השתכנעתי בכלל מ-Emperor's New Mind וגם לא מספר ההמשך (שכחתי את שמו); פנרוז הוא פנרוז, אבל לדעתי כאן הוא פישל. אני חושב שאני יודע למה אתה מתכוון בביטוי "יש דברים שאי אפשר להוכיח או להפריך, אבל הם *נכונים*"; צריך רק להיזהר קצת כשאומרים דברים כאלה. "אי אפשר להוכיח" זה תמיד במסגרת של מערכת פורמלית מסויימת; אין תוצאות (בטח לא משפט גדל) שמראות שמשהו אינו ניתן להוכחה באיזשהו אופן *אבסולוטי*. גם לא תהיינה כאלה: תמיד אפשר להוסיף את הטעון-הוכחה כאקסיומה. צריך לזכור מה אנחנו מנסים לעשות עם כל המערכות הפורמליות האלה: לפרמל באופן פשוט, יחסית, מושגים מורכבים מאוד כמו "המספרים הטבעיים", ולהוכיח במסגרת זו מיני טענות. הניסיון לפרמל כך הוא ראוי ומוצלח, אבל אף-אחד לא הבטיח לנו שזה יעבוד, ולפעמים ההתרגשות הגדולה מכך שזה לא נראית לי משונה (אם לחזור רגע לפנרוז). אני לא אומר שאין כאן נקודות מבלבלות - יש הרבה - אבל מה הפלא בכך שמערכת מסויימת, נגיד PA, לא חזקה מספיק כדי להוכיח משהו? PA היא חמודה, נכון; היא נראית, אולי, "מספיקה" באופן אינטואיטיבי, נכון; אז? (אגב, אני לא יורד פה עליך, חלילה, אלא על צד שלישי מסתורי שטוען את הטענה שהזכרת). משפט גודסטין נובע מ-ZFC, למעשה ממערכות חלשות הרבה יותר (נראה לי, למשל, שאפשר לוותר על C). כיוון שכולם מאמינים ל-ZF, סביר להניח שמשפט גודסטין הוא נכון. בוא נזכור, שוב, מה מבלבל בו: אי אפשר להוכיחו ב-PA. מפתיע, משעשע, אולי אפילו מצער קצת, אבל זה לא אומר יותר מדי; בטח לא שהוא "לא נכון". השערת הרצף זה סיפור אחר. היא לא תלויה אפילו ב-ZFC, וגם לא באף אחד מבין הרבה חיזוקים שונים ומשונים של ZFC שרובם נמצאים תחת הכותרת "קרדינלים גדולים" (אין קשר לראצינגר). היא כן נובעת מ-V=L, שזו בערך ההנחה שכל הקבוצות בעולם ניתנות לבנייה מפורשת. האם היא נכונה "באמת"? אף אחד לא יודע. לא ברור שזו שאלה בעלת משמעות: האם אקסיומת המקבילים נכונה באמת? יש גאומטריות בהן כן, וגאומטריות בהן לא. מהי הגאומטריה הנכונה? זו התקפה ביקום הפיזיקלי? למה? יש אנשים הסבורים שיש דבר *אחד* כזה, "קבוצות", ובו CH או נכונה או לא נכונה. בימים זוגיים אני נוטה לקבל את ההנחה הזו; במקרה כזה, האנלוגיה לגאומטריה היא אחרת: עלינו פשוט למצוא את "אקסיומת המקבילים" המתאימה, זו שהיא גם מובנת-מאליה וגם מכריעה את CH. כאמור, עד היום לא נמצאה כזו (V=L רחוקה מלהיות מובנת-מאליה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי אישית מפריעות הטענות שמשהו נכון באופן "אבסולוטי". הרי אני יכול מחר להמציא תורת מספרים שבה 1+1=0 (יש שמועות שכבר יש כזו), וזה יהיה "נכון", למרות שבאופן "אבסולוטי" זה לא נכון (כי הרי כל ילד יודע ש1+1=2). לכן המושג שלי של "נכונות" מתמצה ב"יכיחות", ואם משהו לא ניתן להוכחה ממערכת אקסיומטית מסויימת, אני גם לא יכול לומר שהוא נכון בה. כמובן, כשאנחנו ניגשים למציאות עם המושג האינטואיטיבי שלנו של "נכון", ברור לנו ש-1+1=2 ולכן התוצאה 1+1=0 "לא נכונה". אבל אי הנכונות הזו פירושה שהמערכת האקסיומטית שלנו שבה 1+1=0 פשוט לא *מתאימה* למציאות שאותה אנחנו מנסים למדל, לא שהיא "לא נכונה". אבל כשלמדתי לוגיקה טיפה הסתבכתי, כי שם דיברו על דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי, אבל לא יכיחים מתוכה. ואת זה כבר לא הבנתי, לפחות לא את המשמעות הפילוסופית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשפט האחרון בתגובה שלך הוא לוז העניין, אבל אלון יסביר את זה הרבה יותר טוב ממני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגזמת. תורת המספרים שלך (זו עם מציין 2) היא תורה, אבל לא תורת-*ה*מספרים. אתה לא מקבל שיש דבר כזה "המספרים הטבעיים"? אתה מאמין שמשפט פרמה נכון? למה? כי הוכיחו אותו? מאילו אקסיומות? כנראה, ZFC. למה אתה מקבל את האקסיומות של ZFC כנכונות? אם "נכונות" זה "יכיחות", איך אתה מקבל איזושהי אקסיומה בכלל? הזכרת את "המציאות שאותה אנחנו מנסים למדל". אם יש כזו, אז יש כזה דבר "נכון". נניח שמחר מוכיחים שההשערה על קיום אינסוף ראשוניים-תאומים (twin primes) איננה תלויה ב-ZFC; זה לא בלתי-אפשרי. מה תאמר אז? ש-TP אינו נכון ואינו לא נכון, או שהוא אחד מאלה ורק חסרה אקסיומה? אחרת הדרכים לפרש את משפט גדל היא לומר, בדיוק, ש"נכונות" (של טענות במודל מסויים) *אינה* יכולה להתמצות ב"יכיחות" (במסגרת מערכת אקסיומות מסויימת לאותו מודל). זה כנראה מה שבלבל אותך בקורס בלוגיקה (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לשאלות האלה אני כבר לא יכול לענות בלי לעורר אצלך עוד שאלות מאותו סוג, ולכן אקח אותן כחומר למחשבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
< (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). יתכן והכוונה דברים שנכונים ב*מודל* מסוים של האקסיומות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממה שאני זוכר, ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון". האם זה באמת אומר שהכוונה היא שהוא יהיה נכון ב*כל* מודל שמתאים לאקסיומות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהוא ''נכון'' לא אומר שהוא נכון. אם היה נכון בכל מודל של התורה , הרי היה יכיח ע''פ משפט השלמות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אני כותב ''''נכון'''' ולא ''נכון'', ולכן אני אומר שלא הבנתי את המשמעות הפילוסופית (וכנראה פשוט לא הבנתי מה שהמרצה אמר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא "משמעות פילוסופית", אלא דווקא הבנה של המשפט מבחינה מתמטית. הפסוק שגדל בנה אומר, בערך, "אני לא יכיח במערכת X", כש-X היא מערכת פורמלית מסויימת (הפסוק הוא אחר לכל מערכת). צריך לשם לב לכך שזה שהוא *אומר* שהוא לא יכיח לא אומר שהוא לא יכיח: הפסוק יכול להיות שקרי. אלא מאי, אם הוא כן יכיח, אז המערכת X מוכיחה משפט שקרי, שאז היא לא עקבית. אם הוא, באמת, לא יכיח, אז הוא נכון, והרי לנו משפט נכון שאיננו יכיח והמערכת X אינה שלמה. לסיכום, קיומו של הפסוק מראה ש-X היא *או* לא עקבית *או* לא שלמה (או שניהם). הוא לא מראה שהיא אחד מסויים משני אלה. כתבת למעלה: "ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון"". זה לא מדוייק: אי-אפשר להראות שפסוק מסויים אינו יכיח במערכת X מבלי להוכיח ש-X עקבית. משפט גדל רחוק מלהראות זאת. הוא תקף בכל מערכת פורמלית מספיק חזקה, ויש הרבה מערכות כאלה שהן דווקא לא עקביות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. לכן אומרים שלא ניתן (או לא הצליחו עד עתה) להוכיח ש-ZF עקבית? האם ניתן להוכיח ש-ZF עקבית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט אחר של גדל, דומה ברוחו, אומר שאף מערכת (חזקה מספיק) אינה יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. לכן, אם מעוניינים להראות ש-ZF עקבית, יש לעבוד במערכת אחרת - אולי ZF עם עוד אקסיומות, אולי משהו אחר. לא מוכרות לי מועמדות מוצלחות למערכות כאלה. מהי מועמדת מוצלחת? כזו שהאקסיומות שלה נראות מובנות-מאליהן, כמו אלו של ZF; מה זה "מובן מאליו" זו כבר שאלה די נזילה. הבעייה היא שאם אותה מערכת חדשה המוכיחה את עקביות ZF - נקרא לה GA - היא מובנת-מאליה, אין סיבה שלא נהפוך *אותה* למערכת המתמטית הסטנדרטית, נוציא את ZF לגמלאות, ונישאר תקועים עם השאלה "האם GA עקבית?". אם GA איננה ממש מובנת-מאליה, אני לא חושב שמישהו ירצה לקבל אותה: הרבה יותר פשוט סתם להניח שאי-אפשר להוכיח ב-ZF ש-5=2+2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלטת בסוף לפרסם את מערכת האקסיומות שלנו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי דווקא לתת כבוד לבן-שיחי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |