בתשובה לאלון עמית, 27/04/05 11:37
 |
|
 |
||
|
||||
 |
< (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). יתכן והכוונה דברים שנכונים ב*מודל* מסוים של האקסיומות. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ממה שאני זוכר, ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון". האם זה באמת אומר שהכוונה היא שהוא יהיה נכון ב*כל* מודל שמתאים לאקסיומות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהוא ''נכון'' לא אומר שהוא נכון. אם היה נכון בכל מודל של התורה , הרי היה יכיח ע''פ משפט השלמות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אני כותב ''''נכון'''' ולא ''נכון'', ולכן אני אומר שלא הבנתי את המשמעות הפילוסופית (וכנראה פשוט לא הבנתי מה שהמרצה אמר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא "משמעות פילוסופית", אלא דווקא הבנה של המשפט מבחינה מתמטית. הפסוק שגדל בנה אומר, בערך, "אני לא יכיח במערכת X", כש-X היא מערכת פורמלית מסויימת (הפסוק הוא אחר לכל מערכת). צריך לשם לב לכך שזה שהוא *אומר* שהוא לא יכיח לא אומר שהוא לא יכיח: הפסוק יכול להיות שקרי. אלא מאי, אם הוא כן יכיח, אז המערכת X מוכיחה משפט שקרי, שאז היא לא עקבית. אם הוא, באמת, לא יכיח, אז הוא נכון, והרי לנו משפט נכון שאיננו יכיח והמערכת X אינה שלמה. לסיכום, קיומו של הפסוק מראה ש-X היא *או* לא עקבית *או* לא שלמה (או שניהם). הוא לא מראה שהיא אחד מסויים משני אלה. כתבת למעלה: "ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון"". זה לא מדוייק: אי-אפשר להראות שפסוק מסויים אינו יכיח במערכת X מבלי להוכיח ש-X עקבית. משפט גדל רחוק מלהראות זאת. הוא תקף בכל מערכת פורמלית מספיק חזקה, ויש הרבה מערכות כאלה שהן דווקא לא עקביות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. לכן אומרים שלא ניתן (או לא הצליחו עד עתה) להוכיח ש-ZF עקבית? האם ניתן להוכיח ש-ZF עקבית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט אחר של גדל, דומה ברוחו, אומר שאף מערכת (חזקה מספיק) אינה יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. לכן, אם מעוניינים להראות ש-ZF עקבית, יש לעבוד במערכת אחרת - אולי ZF עם עוד אקסיומות, אולי משהו אחר. לא מוכרות לי מועמדות מוצלחות למערכות כאלה. מהי מועמדת מוצלחת? כזו שהאקסיומות שלה נראות מובנות-מאליהן, כמו אלו של ZF; מה זה "מובן מאליו" זו כבר שאלה די נזילה. הבעייה היא שאם אותה מערכת חדשה המוכיחה את עקביות ZF - נקרא לה GA - היא מובנת-מאליה, אין סיבה שלא נהפוך *אותה* למערכת המתמטית הסטנדרטית, נוציא את ZF לגמלאות, ונישאר תקועים עם השאלה "האם GA עקבית?". אם GA איננה ממש מובנת-מאליה, אני לא חושב שמישהו ירצה לקבל אותה: הרבה יותר פשוט סתם להניח שאי-אפשר להוכיח ב-ZF ש-5=2+2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלטת בסוף לפרסם את מערכת האקסיומות שלנו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי דווקא לתת כבוד לבן-שיחי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |