בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 27/04/05 11:25
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הגזמת. תורת המספרים שלך (זו עם מציין 2) היא תורה, אבל לא תורת-*ה*מספרים. אתה לא מקבל שיש דבר כזה "המספרים הטבעיים"? אתה מאמין שמשפט פרמה נכון? למה? כי הוכיחו אותו? מאילו אקסיומות? כנראה, ZFC. למה אתה מקבל את האקסיומות של ZFC כנכונות? אם "נכונות" זה "יכיחות", איך אתה מקבל איזושהי אקסיומה בכלל? הזכרת את "המציאות שאותה אנחנו מנסים למדל". אם יש כזו, אז יש כזה דבר "נכון". נניח שמחר מוכיחים שההשערה על קיום אינסוף ראשוניים-תאומים (twin primes) איננה תלויה ב-ZFC; זה לא בלתי-אפשרי. מה תאמר אז? ש-TP אינו נכון ואינו לא נכון, או שהוא אחד מאלה ורק חסרה אקסיומה? אחרת הדרכים לפרש את משפט גדל היא לומר, בדיוק, ש"נכונות" (של טענות במודל מסויים) *אינה* יכולה להתמצות ב"יכיחות" (במסגרת מערכת אקסיומות מסויימת לאותו מודל). זה כנראה מה שבלבל אותך בקורס בלוגיקה (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, לשאלות האלה אני כבר לא יכול לענות בלי לעורר אצלך עוד שאלות מאותו סוג, ולכן אקח אותן כחומר למחשבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
< (את המשפט "דברים שהם "נכונים" בתוך *מערכת אקסיומות* כלשהי" אני מתקשה לפענח). יתכן והכוונה דברים שנכונים ב*מודל* מסוים של האקסיומות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממה שאני זוכר, ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון". האם זה באמת אומר שהכוונה היא שהוא יהיה נכון ב*כל* מודל שמתאים לאקסיומות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהוא ''נכון'' לא אומר שהוא נכון. אם היה נכון בכל מודל של התורה , הרי היה יכיח ע''פ משפט השלמות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אני כותב ''''נכון'''' ולא ''נכון'', ולכן אני אומר שלא הבנתי את המשמעות הפילוסופית (וכנראה פשוט לא הבנתי מה שהמרצה אמר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא "משמעות פילוסופית", אלא דווקא הבנה של המשפט מבחינה מתמטית. הפסוק שגדל בנה אומר, בערך, "אני לא יכיח במערכת X", כש-X היא מערכת פורמלית מסויימת (הפסוק הוא אחר לכל מערכת). צריך לשם לב לכך שזה שהוא *אומר* שהוא לא יכיח לא אומר שהוא לא יכיח: הפסוק יכול להיות שקרי. אלא מאי, אם הוא כן יכיח, אז המערכת X מוכיחה משפט שקרי, שאז היא לא עקבית. אם הוא, באמת, לא יכיח, אז הוא נכון, והרי לנו משפט נכון שאיננו יכיח והמערכת X אינה שלמה. לסיכום, קיומו של הפסוק מראה ש-X היא *או* לא עקבית *או* לא שלמה (או שניהם). הוא לא מראה שהיא אחד מסויים משני אלה. כתבת למעלה: "ההוכחה של משפט אי השלמות עצמו בונה פסוק מהסוג הזה: הוא לא יכיח אבל הוא "נכון"". זה לא מדוייק: אי-אפשר להראות שפסוק מסויים אינו יכיח במערכת X מבלי להוכיח ש-X עקבית. משפט גדל רחוק מלהראות זאת. הוא תקף בכל מערכת פורמלית מספיק חזקה, ויש הרבה מערכות כאלה שהן דווקא לא עקביות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. לכן אומרים שלא ניתן (או לא הצליחו עד עתה) להוכיח ש-ZF עקבית? האם ניתן להוכיח ש-ZF עקבית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט אחר של גדל, דומה ברוחו, אומר שאף מערכת (חזקה מספיק) אינה יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. לכן, אם מעוניינים להראות ש-ZF עקבית, יש לעבוד במערכת אחרת - אולי ZF עם עוד אקסיומות, אולי משהו אחר. לא מוכרות לי מועמדות מוצלחות למערכות כאלה. מהי מועמדת מוצלחת? כזו שהאקסיומות שלה נראות מובנות-מאליהן, כמו אלו של ZF; מה זה "מובן מאליו" זו כבר שאלה די נזילה. הבעייה היא שאם אותה מערכת חדשה המוכיחה את עקביות ZF - נקרא לה GA - היא מובנת-מאליה, אין סיבה שלא נהפוך *אותה* למערכת המתמטית הסטנדרטית, נוציא את ZF לגמלאות, ונישאר תקועים עם השאלה "האם GA עקבית?". אם GA איננה ממש מובנת-מאליה, אני לא חושב שמישהו ירצה לקבל אותה: הרבה יותר פשוט סתם להניח שאי-אפשר להוכיח ב-ZF ש-5=2+2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלטת בסוף לפרסם את מערכת האקסיומות שלנו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי דווקא לתת כבוד לבן-שיחי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |