בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 27/04/05 8:56
 |
|
 |
||
|
||||
 |
לא הבנתי מה הבעיה עם "חבורת מנדלברוט". הרי יש כזו קבוצה, לא? ויש לה איברים, לא? אז מה הבעיה להגדיר איזה פעולת כפל בין האברים שלה? יש בכלל קבוצה שהיא לא חבורה (עד כדי הגדרת פעולת כפל)? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
חוץ מכפל יש עוד כמה תבלינים שבלעדיהם לא תיתכן חבורה, אבל אשאיר את התיאור לטבח הראשי, אלון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נכון. כל מה שצריך זה פעולת כפל. אמנם פעולת הכפל צריכה לקיים תנאים מסויימים, אבל עבור כל קבוצה שהיא ניתן להגדיר כזו פעולה, בלי להוסיף או לגרוע מהקבוצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק, צריך גם 0 ו-1 (אני רק לא זוכר כרגע איך הם מוגדרים בהכללה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך איבר אדיש בודד, והוא מוגדר כחלק מהגדרת הפעולה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 296327 אולי אין בעיה להגדיר כזאת פעולה וכאלה איברים, אבל כל עוד הם לא הוגדרו אין לך חבורה מוגדרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האיברים כבר מוגדרים, כל מה שצריך זה להגדיר את הפעולה, ובגלל שהגדרת הפעולה היא פעולה טכנית בלבד, ומשום שאף אחד לא משתמש בפעולה הזאת, אז מה הבעיה להניח שקיימת כזו פעולה, לקרוא לקבוצה חבורה? בשביל זה המוציא לאור צריך לשלם כסף ליועץ טכני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אאל"ט, לא תמיד אפשר להגדיר פעולת כפל בין האברים ולשמור על תכונת הסגירות (או תכונות אחרות של חבורה, כגון הפיכות). למשל: קבוצת המספרים השלמים איננה חבורה. לא לכל a קיים בקבוצה b כך שמתקיים a*b=b*a=e. (אבר היחידה מסומן ב-e). זה מתקיים רק עבור האברים 1,1-. כנראה שמשהו דומה קורה עם אברי קבוצת מנדלברוט. אבל למי אכפת? הציורים נורא יפים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאן אתה טועה. זה רק עניין של הגדרת הפעולה. למשל, עבור קבוצת המספרים השלמים, בו נגדיר את פעולת ה"כפל" כחיבור. סגירות יש? יש. איבר אדיש יש? יש (0). איבר הופכי יש? יש. חוק בקיבוץ מתקיים? מתקיים. מש"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם יהיה נכון לקרוא לכל בית "תחנת רכבת" (ולחסוך כסף על הגהות) רק בגלל שאפשר לבנות מסילת ברזל לידו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול בלי בעיה להגיד שאין מסילת רכבת, אתה לא יכול להגיד שאין פעולה כזו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מריח ויכוח ארוך עם סמיילי שכל כולו התקטננות על סמנטיקה :) אז רגע לפני שזה מתחיל - האם לכל קבוצה קיימת פעולה כך ש- (פעולה,קבוצה) היא חבורה? אם כן, האם יש לכך הוכחה? אם לא, האם יש דוגמא נגדית (רצוי פשוטה)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, כל קבוצה S אפשר להפוך לחבורה על-ידי הגדרת פעולה מתאימה. הוכחה: אם S סופית, יש חבורה ציקלית בגודל הנכון. אחרת, החבורה החופשית הנוצרת על-ידי S היא בעלת אותה עוצמה, ולכן אפשר לתרגם את פעולת החבורה החופשית לפעולה על S. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באמת, כדאי שנסיים עם הבדיחה הזאת מהר. ולשאלתך, עד כמה שידוע לי, כן, מלבד הקבוצה הריקה (שלא מכילה איבר אדיש לשום פעולה) ואפשר להוכיח את זה על ידי איזומורפיזם למספרים השלמים או הממשיים או על ידי בניית חבורה שכז מקבוצה סופית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואלה, אתה צודק. בגלל זה המציאו את הסימון (פעולה,קבוצה) ואי אפשר להגיד כלום על הקבוצה לבדה. (+,Z) היא חבורה. (*,Z) היא לא חבורה. (בהנחה שאנו מסכימים על הגדרת הסימנים +,*) המתטיקאים מוזמנים להעיר את הערותיהם לגבי האם קיים # כך ש (#,מנדלברוט) היא חבורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אשאל שאלה יותר פשוטה: האם באופן "טיפוסי" כל אוסף של מספרים מרוכבים מהווה חבורה תחת הגדרה מתאימה של הכפל? אינטואיטיבית אני חושב שתמיד אפשר למפות את האוסף באופן חח"ע למישור המרוכב, ואז להגדיר את הפעולה # כפעולה שמבצעת כפל על המיפוי. מצד שני, הגדרת המיפוי נראית לי כמו סיוט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אולי לא מתמטיקאי, אבל אם קבוצת מנדלברוט היא קבוצה בת-מניה, אפשר פשוט לזהות אותה עם השלמים עם חיבור, ואז היא חבורה. אם היא מעוצמת רצף, ניתן לעשות זאת עם הממשיים עם חיבור. השאלה היא אם יש פעולה טבעית ומעניינת על קבוצת מנדלברוט שהופכת אותה לחבורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''השאלה היא אם יש פעולה טבעית ומעניינת על קבוצת מנדלברוט שהופכת אותה לחבורה'' - זהו, שלא. אפשר לקרוא לה ''קבוצת מנדלברוט שאפשר להפוך לחבורת מנדלברוט אם נגדיר פעולה מתאימה'', אבל באותה מידה אפשר לקרוא לכל קבוצה ''קבוצה שאפשר להפוך לחבורה אם נגדיר פעולה מתאימה'', ובעיני ''קבוצה'' זה שם יותר קצר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלכ''נ, אבל תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה גורם לך לחשוב ש"קבוצה" זה שם קצר יותר מ"קבוצה שאפשר להפוך לחבורה אם נגדיר פעולה מתאימה"? באיזו הגדרה של אורך אתה משתמש? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתבייש לך על השאלה. האורך לא קובע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז מה לדעתך כן קובע מי יותר קצר? קרבה לחברי מרכז? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אורך הגלות. פרדוקס המספר הקטן ביותר שאי אפשר להגיד בלי להזכיר את אורכו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קבוצת מנדלברוט מוכלת במישור הממשי ומכילה משטחים ממשיים. לפיכך עוצמתה היא בהכרח הרצף. האם זה אומר שניתן להגדיר התאמה חד-חד-ערכית-ועל בין הקבוצה לבין הממשיים? אויה, שכחתי את מה שלכאורה ידעתי על תורת הקבוצות. הצילו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו פחות או יותר ההגדרה. שתי קבוצות הן מאותה עוצמה אם קיימת התאמה חח"ע ועל מאחת לשנייה (זה יחס שקילות, למעשה). כדי להראות שקבוצה אחת היא מעוצמה קטנה יותר מקבוצה אחרת די להראות התאמה חח"ע מה"קטנה" ל"גדולה", וזה מה שעשית כאן: קבוצת מנדלברוט מוכלת במישור הממשי (המרוכב, למעשה), כלומר יש התאמה חח"ע ממנה למישור (שפשוט מעתיקה כל נקודה לעצמה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, אך לא נושעתי. התאמה חחע"ע גוררת שוויון עוצמות. ברור. את זה אפילו אני זוכר. אבל האם שוויון עוצמות גורר קיום התאמה חחע"ע שניתן *להגדיר*? ובמילים אחרות - האם ליד כל בית אפשר לבנות מסילת ברזל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאן אני כבר לא בטוח, אבל נראה לי שכן. הרי כדי להראות ששתי קבוצות הן מאותה עוצמה תצטרך להראות התאמה חח"ע ועל ביניהן, אין כאן ממש דרך עוקפת (גם שימוש בקנטור-שרדר-ברנשטיין בונה התאמה חח"ע ועל שכזו, אם כי עד כמה שאני זוכר זה לא אפשרי באופן כללי לתאר אותה). אם למשל הראית ש-A שקולה ל-B ו-B שקולה ל-C אז קל מאוד לבנות התאמה חח"ע ועל מ-A ל-B: מרכיבים את שתי ההתאמות שכבר יש לך. אם תוכל להביא דוגמא למצב שבו אתה מוכיח ששתי קבוצות הן שקולות עוצמה בלי להראות התאמה חח"ע ועל בינן, זה מאוד יסקרן אותי. לדעתי *אי אפשר* לומר על שתי קבוצות שהן שקולות עוצמה מבלי להראות התאמה חח"ע ועל בינן - זו פשוט ההגדרה. מצד שני, אם ההתאמה שבונים בהוכחה של קנטור שרדר ברנשטיין לא נחשבת בעינייך למסילת ברזל, אז כן, לא ליד כל בית אפשר לבנות מסילת ברזל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האומנם אין דרך קיצור? קל מאוד להראות ש |C|=|R^2|>=|M|>=|R| וכיוון שהודות לקנטור ושות'|R^2|=|R| ברורה גם עוצמת M.כאן לא הראיתי שום התאמה אל או מאת M. ולא הצלחתי להשתכנע שחייבת להיות התאמה גדירה שכזו. הנקודה המעניינת ביותר לענייננו היא סברתך לגבי ההתאמה: "לא אפשרי באופן כללי לתאר אותה". אם במקרה מנדלברוט אי אפשר לתאר אותה, אי אפשר להגדיר חבורה מעל הקבוצה, לפחות לא באופן זה. ואז השאלה נותרת פתוחה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי, בוא נראה: יש לי התאמה חח"ע מ-M אל R^2. יש לי גם התאמה חח"ע ועל מ-R^2 אל R והתאמה חח"ע מ-R אל M. אם אני ארכיב את שתי ההתאמות הללו אני אקבל התאמה חח"ע מ-R^2 אל M. כלומר יש לי התאמה חח"ע בשני הכיוונים ובקנטור שרדר ברנשטיין אני בונה התאמה חח"ע ועל מ-M ל-R^2 (ולכן גם ל-R ולכל קבוצה מעוצמת הרצף שתרצה). שוב, זה קם ונופל על כמה קונסטרקטיבית ההוכחה של קש"ב נראית לך. אני לא חושב שאי הקונסטרקטיביות שלה היא ברמות של אקסיומת הבחירה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פקששתי. אולי באמת כדאי שאני אחזור אל המחברות ואפסיק לבלבל את הציבור. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהינתן אקסיומת הבחירה - או משפט הסדר הטוב - כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך להראות התאמה חח''ע בכיוון אחד, בלי שניתן לעשות זאת בכיוון האחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כדי להראות שהיא קטנה *ממש*. לרוב רוצים להראות שהיא קטנה או שווה (טוב, זה תלוי כמובן במה שאתה מנסה לעשות, ייתכן שתרצה דווקא להראות שהיא קטנה ממש). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, התבלבלתי פעמיים: פעם אחת - לא שדמתי לב שמדובר בקבוצות שוות עצמה (כי ראיתי רק שכתוב על "עצמה קטנה יותר"). ופעם שנייה - שכתבתי חח"ע, כאשר כשמדובר על קטנה ממש - לא יכולה להיות פונקצייה כזאת. צר לי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |