בתשובה לארז לנדוור, 10/09/15 11:01
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אתה יכול לתת לי דוגמה לתאוריה מתמטית שאפשר להגות כחלק מהלימודים בתיכון? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא תאוריה מתמטית. הוכחת משפטים, לימוד מודלים מתמטים, לימוד דוגמאות יישומיות למתמטיקה וכמו שמציין כותב המאמר גם רקע היסטורי ופילוסופי של המתמטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל החומר של הנדסת המישור מלא בהוכחות משפטים. אתה יכול לתת דוגמה למקום שבו הרקע ההיסטורי והפילוסופי של המתמטיקה יתרום להבנתה (ובגלל שככה כתוב במאמר)? אני הייתי דווקא שמח להיפר מפרקים היסטוריים כגון שיטת הספירה הרומית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רקע היסטורי ופילוסופי לא תורם להבנה אלא מעשיר את חווית הלימוד. הוא מציג את המתמטיקה כתחום נרחב ומעניין יותר מדרך לפתירת תרגילים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע בקשר ל"יתרום להבנתה" אבל כשלמדתי בפעם הראשונה מה מקור ה"דמיוני" ב"מספר דמיוני" - וזה היה כמה עשורים אחרי שהשלמתי את כל הלימודים הפורמליים שלי - היתה לי חווית "א-הה" רצינית, והרגשה שלא ברור למה לא שמעתי על זה במסגרת לימודי המתמטיקה בתיכון. הקרבות ההיסטוריים בקשר עם פתרון משוואות ממעלה שלישית נראה לי לא פחות מרתק ממשחקי הכס או משחקי הרעב או מה שהולך היום. ובמקום "הרקע ההיסטורי והפילוסופי של המתמטיקה" הייתי משלב כמה נושאים שהם פשוט יפים מכדי לא לחשוף אותם לעיני התיכוניסטים (ואני רוצה להדגיש: דווקא אלה שלא יתעסקו עם מתמטיקה בהמשך חייהם, כי האחרים ייתקלו בזה ממילא בהמשך, בידוק כפי שקרה לי). משפט האלכסון של קנתור, משפט הראשוניים של אוקלידס, ההוכחה ששורש 2 הוא אירציונלי (וההכללה למספרים ראשוניים בכלל), ההוכחה שמס' אירציונלי בחזקת מס' אירציונלי יכול לתת תוצאה רציונלית1, האקויולנטיות בין אינדוקציה למשפט "לכל קבוצה לא ריקה של טבעיים יש איבר קטן ביותר" (עדיף בצורה של חידה, ע"י הצגת "הוכחה" של אקסיומת האינדוקציה). אלה דוגמאות לנושאים שאולי אינם חשובים במיוחד לכשלעצמם, אבל יש להם חשיבות אסתטית גדולה והם אמורים גם להציף בפני התיכוניסטים שהמתמטיקה אינה מסתכמת בפתרון של משוואות ריבועיות או חישובי מהירות. גם קצת דיבורים, אפילו ברמה של נפנופי ידיים, לגבי גיאומטריות לא אוקלידיות ובפרט לגבי ההיסטוריה שלהן2 נראים לי כמו משהו שחבל לא לחשוף בפני המתבגרים. האם משהו מכל אלה כבר שולב בתוכנית הלימודים מאז שאני סיימתי תיכון? ______________ 1- וכל זאת בלי שאנחנו יכולים להצביע על זוג מספרים כזה אלא רק להראות שני זוגות שאחד מהם בוודאות עונה על התנאי. 2- ובפרט, מה היו המחסומים הנפשיים הלא-מודעים שעיכבו את ההתפתחות של התחום הזה ואיך אפשר להשליך מזה לגבי תחומים אחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מבין כל התוצאות שציינת, נתקלתי בתיכון רק באחת: ההוכחה לאי-רציונליות של שורש 2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם למתימטיקאים לעתיד הנושאים האלה יעזרו קמעה, כי הם יחשפו בפניהם ולו קצת את אופיה של מתימטיקה אוניברסיטאית, ויכולים קצת למתן את הרגשת ה-WTF המופתעת שרבים חווים כשהם נתקלים בשבועות הראשונים של האוניברסיטה באינפי א'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם כבר, אתה יכול לחלוק איתנו את הגירסה שאתה מכיר לדימיוניות ה"דימיוניים", ומה גרם לחווית ה"א-הה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיפור טיפה ארוך, אבל מה שקרה הוא שבמהלך נסיון לפתור סוג מסויים1 של משוואות ממעלה שלישית נתקלו לפעמים בצורך להוציא שורש ממספר שלילי בדרך לפתרון. ברור שרוב האנשים שמגיעים לשלב הזה (ובפרט תלמידי התיכון שאמורים, לשיטתי, להגיע בעזרת המורה לאותה נקודה) מקללים קצת, זורקים את מה שעשו לפח ומנסים למצוא דרך אחרת. מתמטיקאי איטלקי בשם קרדנו עלה על הרעיון לנסות לראות מה קורה אם לא מתייאשים, כלומר הוא אמר משהו כזה: בואו נדמיין שיש שורש למספר השלילי הזה, ונמשיך את הפיתוח שלנו הלאה עם אותו מספר דמיוני שהנחנו, בתקווה שנצליח להפטר ממנו אח"כ, מה שבאמת קרה באותה משוואה. קרדנו עצמו, כמו מתמטיקאים אחרים בזמנו, היה ספקן גדול בקשר לחשיבות הרעיון הזה, והכריז עליו כחסר ערך. חסר ערך! __________ 1- מהצורה x^3 + mx + n = 0 . כל משוואה ממעלה שלישית ניתן להמיר לצורה הזאת ע"י הצבה מתוחכמת, אבל לא נכנס לזה כרגע. ספציפית המשוואה היתה x^3 - 15x - 4 = 0 ובדרך לפתרון היה צורך לחשב את השורש הריבועי של 121- (למזלנו. אני מנחש שאם היה צורך להוציא שורש ריבועי של 342124.564646- הוא היה פשוט פורש). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יופי של סיפור. האירוניה (הנוספת) שמסתתרת מאחוריו היא שהרי הרבה לפני ה'צורך להוציא שורש ממספר שלילי בדרך לפתרון של משוואה ממעלה שלישית' כמו למשל x^3 - 15x - 4 = 0 הנזכרת, עלה מן הסתם הצורך להוציא שורש למספר שלילי כדי לפתור את המשוואה ההרבה יותר פשוטה ממעלה שנייה x^2 + 1 = 0. אלא שמי שסרב כבר כאן לדמיין שקיים כזה, נועד להיתקל בצורך הזה שוב בבעייה הרבה יותר מסובכת, ודוקא שם הסכים לחשוב על הבלתי נתפס. אבל זאת כנראה תופעה נפוצה, מי שלא מספיק לו פטיש של קילו, לרוב יקבל פטיש של חמישה קילו בפעם הבאה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור, הוא "הסכים לחשוב על הבלתי נתפס" בתקווה שאותו בלתי נתפס הוא ישות וירטואלית שתמות תוך כדי החישוב, כפי שאכן קרה, בניגוד לפתרון המשואה x^2 + 1 = 0 שאמור להיות משהו "אמיתי". כלומר "בואו נניח לרגע שהשורש הזה קיים ונראה מה קורה הלאה" הוא פחות מהפכני מ"בואו נחליט בכוח שקיים פתרון למשוואה הריבועית". האנלוגיה לפיזיקה מודרנית די משעשעת: גם הרעיון שניתן יהיה להפטר מגודל משוגע בהמשך החישוב (שורש של מספר שלילי כאן, אינסוף בכל מיני חישובים בפיזיקה שנעלם בעזרת טכניקות נורמליזציה), וגם הרעיון שאותו מספר "דמיוני" מופיע ונעלם לו בהמשך קצת מזכיר חלקיקים וירטואלים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שתי האנלוגיות הנ"ל עלו במחשבתי וברגע האחרון לא הכנסתי אותן לתגובתי הקודמת. אכן כך1. אנלוגיה נוספת מעולם הפיזיקה המודרנית הוא האנטי-חלקיקים שנובאו כחלק מהפתרונות של משוואת דיראק. האנלוגיה הזאת אפילו דומה יותר, כי הסיבה שבתחילה סרבו להכיר בחלקיקים הללו היא שהם נושאים אנרגיה 'שלילית' בפרשנות הראשונית של המשוואה - דבר בעייתי בפיזיקה לפחות כמו שורש של מספר שלילי במתימטיקה. 1 טכנית כנראה שענין החלקיקים הוירטואליים פחות דומה, והוא מוצג באופן קצת שגוי בספרות הפופולרית, אבל נניח לזה כרגע2. קונספטואלית בהחלט יש דמיון. 2 טוב, למי שממש מתעניין, נתקלתי לאחרונה בהסבר מפורט יחסית אבל במושגים פשוטים שמתייחס לנקודה הזאת בהרחבה: 'חלקיקים' וירטואליים - האמנם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סתם הערה (קצת היסטורית, קצת מתמטית): אין שום צורך להוציא שורש למשוואה x^2 + 1 = 0. אפשר פשוט להכריז שאין לה פיתרון (וזו הכרזה מדוייקת, מעל הממשיים). לעומת זאת, כאשר עוברים למשוואות ממעלה שלישית נתקלים בתופעה שלא קיימת במשוואות ממעלה שנייה: משוואות עם פתרונות ממשיים, שאין דרך לבטא אותם כפונקציה אלגברית של מקדמי המשוואה מבלי שבדרך, כשלבי ביניים, יצוצו מספרים מרוכבים. זה יוצר בעיה קשה למי שרוצה להכריז ש-"מספרים דמיוניים" הם דמיוניים לעומת "מספרים ממשיים" שהם ממשיים. הנה פולינומים עם מקדמים ממשיים - כלומר המשוואות הכי קונקרטיות שאפשר לבקש - להם פתרונות רגילים לחלוטין שאפשר ממש להצביע עליהם, אבל אין דרך לבטא אותם בלי לעבור דרך המרוכבים. כמובן שהמספרים הממשיים גם לא נחשבו פעם "ממשיים", וסיפור מאד דומה הוביל לקבלתם ככאלה: אז היה מדובר בבניה גיאומטרית קונקרטית לגמרי שגרמה למספרים לא רציונלים לצוץ (כאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו הוא 1). בשני המקרים הדבר שהוביל להתייחסות רצינית למושגים אבסטרקטיים (מספרים לא-רציונליים, מספרים דמיוניים) הוא ההופעה הטבעית שלהם בסביבה קונקרטית. אני חושב שאפשר לראות דברים דומים גם במתמטיקה מודרנית יותר. נגיד, אני משער שעדיין היו רואים בתורת הקטגוריה "Abstract Nonsense" אלמלא עבודתו המטורפת (נו-פאן אינטנדד) של גרות'נדיק באלגברה הומולוגית וגיאומטריה אלגברית. אבל מן הסתם התפיסה המודרנית של המתמטיקה שונה מאד מהמצב בימי הביניים או ביוון הקלאסית (למשל, גיאומטריה אלגברית, בה הטופולוגיה שנוצרת על ידי האידיאלים של חוג היא רק נקודת ההתחלה, נחשבת לסביבה "קונקרטית"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סיפור מעניין, אבל לפי ויקיפדיה, The name "imaginary number" was coined in the 17th century as a derogatory term, as such numbers were regarded by some as fictitious or useless. מי צודק?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה הסתירה? דקראט הוא זה שטבע את המונח "מספרים דמיוניים", מן הסתם במאה ה-17 (ישראל קליינר ב-"לקבל את הבלתי מתקבל על הדעת: סיפורם של המספרים המרוכבים" ובנו ארבל ב-"מתמטיקאים ואירועים גדולים בתולדות המתמטיקה" מסכימים על זה). לא נראה שהיה מדובר ב- derogatory term, כי הוא השתמש בהם בעצמו, ועושה רושם שהמונח נועד בסה"כ לבטא את אי-המצאותם של נקודות כאלה במישור הקואורדינטות (רעיונו הבאמת גדול של דקארט, עם כל הכבוד ל-cogito). יחד עם זאת, הסיפור של שכ"ג פחות או יותר נכון. פרט לכמה אזכורים אנדקוטוליים מוקדמים יותר ללא השלכות של ממש, המספרים המרוכבים מופיעים לראשונה בעבודתם של מתמטיקאים איטלקיים (בעיקר קרדנו, בומבלי, טרטליה, דל פרו), על משוואות ממעלה שלישית במאה ה-16. כינו אותם בכל מיני שמות, כמו "מספרים שקריים לגמרי" - אבל להבנתי בכל מקרה לא מדובר בכינוי גנאי למינהם, ואפילו להפך: במעין תרגיל רטורי שנועד להקל על קבלת הרעיון בידי הקוראים (משהו בסגנון "כן, אני יודע שזה נשמע כמו שטויות - אבל רגע, תראו, זה עובד"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסתירה (הלא כל כך חמורה) היא בין הטענה בוויקיפדיה לפיה הביטוי "מספר מדומה" התחיל ככינוי גנאי, לבין הגרסה שהביא שכ"ג, לפיה מקור השם הוא בגישה הקונסטרוקטיבית (וחסרת הגנאי) "בואו נדמיין שיש שורש למספר השלילי הזה, ונמשיך את הפיתוח שלנו". אם אני זוכר נכון, בספר החדו"א של זעפרני וקון (שדורות של תלמידי הטכניון למדו ממנו) כתוב שמספרים אי-רציונליים נקראים כפי שהם נקראים כי הם נראו פעם "לא הגיוניים". באמת? למיטב הבנתי המספרים הרציונלים נקראים רציונליים כי אפשר לבטא אותם כיחס (ratio) בין שני שלמים, ולכן האי-רציונלים הם פשוט אלה שלא ניתן לבטא אותם כיחס כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי הרציונלים והאירציונלים גם אני חושב כמוך. אולי זה בגלל שאנחנו אנשים רציונלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, חברים, היום זה אחד הימים שיצא לנו משהו מהאייל. בנוגע לאי-רציונליים, גם אני נתקלתי בטענת ה"לא הגיוניים", והייתי בטוח כמוך שהיא שגויה וזה קשור לרציו=יחס. אבל עכשיו פתאום שאלתי את עצמי: מה הקשר האטימולוגי בין "רציו"=יחס ל"רציונלי"=הגיוני? אז הנה התשובה המדהימה: קון וזעפרני צדקו. כלומר, כמעט. "אירציונלי" בלטינית פירושו באמת "לא הגיוני", וזה היה תרגום אולי לא הכי טוב של "אלוגוס" שטבע אאוקלידס, שפירושו יכול להיות "לא הגיוני" אבל גם, יותר סביר, "לא ניתן לאמרו" או שמא (יותר מגניב, ומתאים לסיפור על אאוקלידס והמספרים האלו) "אסור לאמרו"1. בלטינית גזרו לאחור מ"מספר אירציונלי" את "מספר רציונלי". "רציו" קיימת בלטינית, אבל במשמעות של "נימוק"1 או "חישוב", לא במשמעות של יחס. את המשמעות "יחס", עד כמה שהמלומדים יכולים להסיק, גזרה האנגלית לאחור מ"מספר רציונלי". בכלל, גזירות לאחור זה אחד התהליכים הכי מצחיקים שיש בשפות, והם תמיד מועדים לבלבל אנשים הרבה שנים אחר כך, כמונו, שיש להם רציונליות אבל חסרות להם עובדות. 1 קשה לי לדעת בדיוק, בגלל שאני מתרגם את ההסבר מאנגלית... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה מאד. אכן יצא לנו היום משהו מהאייל. וכדי שייצא משהו ליותר אנשים, מי מתנדב לתקן את הערך "מספר רציונלי" בויקיפדיה העברית? (שם כתוב: "המונח 'רציונלי' מקורו במילה 'ratio' שמשמעותה יחס, דבר המבטא את העובדה שמספר רציונלי הוא היחס בין שני מספרים שלמים.") כדאי אולי יהיה לתת שם סימוכין יותר משכנעים מאשר לינק לדיון ב-stackexchange. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התחלתי (בדף השיחה של מספר רציונלי [ויקיפדיה]). עדיין אין לי מושג מושג מהם השימושים הראשונים באנגלית שאליהם מכוון העונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו תיאוריה בלבד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בנוסף למה שעומר ענה לך, אתה באמת מתכוון לקלקל את הסיפור שלי עם עובדות? תתבייש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתפלא. מכניסים חלק מהנושאים ''שאינם חשובים במיוחד לכשלעצמם, אבל יש להם חשיבות אסתטית גדולה'' בתכניות העשרה של ''נוער חובב מתמטיקה'' כבר ביסודי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל לדעתי כדאי לחשוף דווקא את מי שלא מוגדר כ''נוער חובב מתמטיקה'' לנושאים כאלה. את שייקספיר מלמדים לא רק בתוכניות העשרה של ''נוער חובב ספרות'', וטוב שכך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא לגמרי קשור הנה ומן הסתם קצת קשה עבור תיכוניסט ממוצע, אבל אני לא יכול לעבור בשתיקה על הסרטונים הבאים: שלושת סרטונים ביחד יגזלו קצת יותר מחצי שעה מזמנכם, ועבור מי שלא מכיר את הנושא אני מתקשה לחשוב על דרך טובה יותר לבלות שלושים ומשהו דקות. סנדרסון (לא דני, השני) כתב בהערות "If this doesn't blow your mind, I don't know what will" ואני הייתי משנה את זה ל: "If this doesn't blow your mind you probably don't have one", תחת ההסתייגות שקהל היעד הוא אנשים עם יותר מקמצוץ של חשיבה מתמטית. אגב, הנושא טופל גם אצל החבר'ה מערוץ numberphile אבל אין מה להשוות. תהנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מכיר את החידה, אבל הכחולאחדחוםאחד מוצלח מאד, וההסברים והויזואליזציה שלו באמת ראויים לציון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהבתי את הדרך שבה מעגל מצליח להשתחל לסיפור ואגב כך מסביר את מה שנראה בתחילה בלתי ברור לגמרי, דהיינו מה יש לפיי לחפש כאן. בניגוד למה שחשבתי עד לא מזמן, אני מתחיל לחשוב שבסופו של דבר מאחרי כל פיי כן מסתתר מעגל, לפעמים, אבל לא תמיד, בתיווך פונקציות טריגונומטריות. אאז''נ זאת דעתו של גראנט סנדרסון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא אם מאחורי כל פיי מסתתר מעגל, או אם מאחורי כל מעגל מסתתר פיי. זה כמובן לא אותו דבר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. אתה יכול לתת דוגמה בה פיי לכאורה אינו קשור למעגל? הוא מופיע לפעמים במפתיע, אבל כשמסתכלים בחישוב רואים שהוא הופיע בגלל מסלול אינטגרציה מעגלי או כגבול של אורך מצולעים ההולכים ונצמדים למעגל. ב. מעניין אם לפיי יש אותו ערך גם בגאומטריות לא אוקלידיות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. כן, פאי תפוחים | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מדובר על עוגה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לקח לי כמה שניות עד שנזכרתי בספרון ההוא https://kavimvenekudot.files.wordpress.com/2012/10/d7... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. בפוסט הזה בquora אלון עמית, אייל ותיק בזכות עצמו, מסביר בפירוט את העמדה ההפוכה, לפיה פיי לא מוגדר על ידי גאומטריה או מעגלים. אגב, על פי ההגדרה הזו, התשובה לשאלה למטה בפתיל האם פיי שונה בגאומטריות שונות היא בברור שלילית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני נוטה לא להסכים איתו. קודם כל (זה לא העיקר, אבל זו אולי הנקודה שהכי הציקה לי בתשובה שלו) "הדרך הנכונה" להבין את הפונקציה האקספוננציאלית היא.... באמצעות מעגלים. הרפרנס האולטמטיבי לנושא הוא הספר Visual Complex Analysis1. אז בתשובה "פיי לא קשור למעגלים, אלא לפונקציה האקספוננציאלית המרוכבת" יש בעיה אינהנרטית. העיקר הוא שבאופן עובדתי, יש לפיי ערכים שונים במרחבים שונים. הוא מודד אינטרקציה שהיא profound, incredible, and beautiful בין שני הגדלים הגאומטרים הכי יסודיים: מרחק ונפח, וככזה הוא כנראה הביטוי הכי אלמנטרי למשפחה רחבה של תופעות עמוקות הקשורות בעקמומיות ובממד2. אני לא חושב שזה "קוריוז היסטורי" שהוא מוגדר כך, אלא זה לב העניין. זה למשל קסם שהוא קבוע במרחבים נורמיים, ומינימלי כשהגאומטריה היא אוקלידית. ראוי להדגיש את זה, לא לטשטש את זה. אלון, אתה כאן? 1 ספר נהדר ממש. אפשר לקרוא את רובו גם ללא רקע מתמטי רחב, וכדאי לכל מי שאוהב מתמטיקה לעשות את זה. 2 אני חושב על דברים כמו volume entropy, או אי-שוויונות גרומוב, או הפונקציה האיזופרימטרית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה אחת שנתקלתי בה לגמרי במקרה לא מזמן: בהרחבה המקובלת לפונקציית העצרת (!) על מספרים לא שלמים בעזרת מה שנקרא פונקציית גאמה, !0.5 הוא חצי שורש π. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא "הסבר", אבל אולי זה מוריד קצת מהמסתורין: פונקציית גאמא צצה בטבעיות בפיתוח הנוסחה לנפח של כדורים במרחבים נורמיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שכתבת, זה לא "הסבר" שכן השאלה נשארת: מה לפונקציה ש"צצה בטבעיות בפיתוח הנוסחה לנפח של כדורים במרחבים נורמיים" ולהרחבה "טבעית" של פונקציית העצרת לשברים? __________ את זה המקשה בחיים לא יפתור: בגלל האפשרויות הרבות לסדר את n המוזמנים הוחלט לבטל את טקס הזכרון (4,3) (ש). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם תקרא את ההוכחה, תראה שהיא צצה שם כתוצאה של קשר רקורסיבי בין נפח של כדור בממד נתון, לנפח של כדור באותו רדיוס בממד נמוך יותר - שזהה למבנה הרקורסיה באמצעותה פונקציית העצרת מוגדרת. זה מה ש-''טבעי'' בהופעה של פונקציית גאמה בהקשר הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מאמין לך בלי לקרוא את ההוכחה (הצרפתית שלי לא מה שהיתה פעם). רק לשם תזכורת, זאת תשובה לשאלה של שוקי "אתה יכול לתת דוגמה בה פיי לכאורה אינו קשור למעגל?" אחרי שכתבתי "אני מתחיל לחשוב שבסופו של דבר מאחרי כל פיי כן מסתתר מעגל". ההדגשה שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דעתי כדעתך, אבל בוא נראה מה יש לאלון להגיד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמישהו יקרא לו הנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את רוב מה שיש לי לומר כתבתי כאן. אני לא מבין את הטענה שמאחורי כל מופע של פאי ״מסתתר״ מעגל: אפשר למתוח את ההסתתרות כמה שרוצים ואז להכריז נצחון. סנדרסון מציג פתרון גיאומטרי נאה לבעיית בזל בעזרת מעגל, אבל אני לא רואה איך לעשות את אותו הדבר במצבים אחרים, כמו חישוב פונקציית זיטא ב-14 או כשמוכיחים שפאי אי-רציונלי. הכל קשור להכל, בסדר; הטענה שלי היא שההגדרה הטבעית והיסודית ביותר של המספר הזה לא מתחילה ממעגל, ולמעשה ההגדרה עם המעגל היא לא פשוטה כלל וכלל. כנ״ל לגבי הפונקציות הטריגונומטריות. אם יש הוכחה של משהו עם פאי שמופיע בה קוסינוס זו לא סיבה להתפעל ממעגל כלשהו; כמעט תמיד המהות של הקוסינוס הזה היא היותו פונקציה המקיימת משוואה דיפרנציאלית מסויימת. מאחורי הקוסינוס ״מסתתר״ מעגל? נו טוף. לא מבין איזה אור זה שופך על המצב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי אלון, טוב לפגוש אותך שוב. אני מסכים שלא מדובר על משהו חשוב או עמוק במיוחד, אבל למה אתה זועף? לא התאוששת מההפסד של פריסקו? (אגב, אאל"ט לפחות הוכחה אחת לאירציונליות של π מתחילה מפיתוח של TAN). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, בכלל לא התכוונתי לזעוף. פריסקו הפסידה? (לא כל כך הבנתי את ההערה בסוגריים. כל ההוכחות לאי-רציונליות של פאי מתחילות מ-exp או מפונקציות טריגונומטריות, וכפי שניסיתי להסביר, אין טעם בלקרוא לזה ״מעגל מסתתר״). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, אוקיי. חשבתי שאתה מתכוון שההוכחות לא מתבססות על פונקציות טריגונומטריות (מה אני יודע? אני מכיר בקושי אחת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הטענה ש-"מאחורי כל פאי מסתתר מעגל"1 אני מצדיק כך: במטריקת l1 היחס בין היקף של מעגל לקוטרו הוא גודל קבוע, ושווה תמיד ל-4, ואני רוצה להגיד שבמרחב הזה pi=4. אני לגמרי מסכים עם שכ"ג שלא מדובר במשהו חשוב, אבל דווקא כן חושב שיש בו עומק. המודל המנטלי שלי הוא כזה: המספרים הממשיים והמרוכבים קשורים אינטימית לגיאומטריה האוקלידית (נגיד, בגלל הקשר בין הנורמה האלגברית שלהם לנורמה האוקלידית), ולכן באנליזה ממשית ומרוכבת הערך 3.14159... צץ בכל מקום. אבל זו תופעה גיאומטרית ביסודו של דבר, ובהקשרים שמערבים גיאומטריה שונה למספר הזה אין שום תפקיד, בעוד שלרעיון הגיאומטרי (האופן בו הנפח גדל עם הרדיוס - אם בכלל - וכדומה) נשאר תפקיד מרכזי. למשל, באנליזה פי-אדית למספר 3.141592... יש איזשהו תפקיד? (רחוק מהתחום שלי - אבל אני חושב שלא). 1 אני לא עומד מאחורי הניסוח הזה בדיוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שגם אם היינו חיים בעולם דו-ממדי, אבל על כדור, כשיחס המעגל לרדיוס אינו פאי וכן הלאה, עדיין הפונקציה האקספוננציאלית היתה נשארת כמו היום, והמחזור שלה היה נשאר 2*פאי*i. הפאי האמיתי, לא זה של העולם הכדורי. כנל גם ההתפלגות הגאוסית הנורמלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש התפלגות גאוסית לא נורמלית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה רשאי למחוק אחת מהן כרצונך. או כמו שאני מנסה לחנך את הבת הגדולה שלי - זה שאמרתי לך משהו כבר פעם אחת לא אומר שאסור לי לומר אותו שוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שלפסיכיאטר מחוזי יש סמכות לקבוע את זה. ______________ אריק מתעל את התסכול שלו מכך שלא רק את הרעיונות בשרשור הזה הוא מתקשה להבין, אלא אפילו חלק מהמלים זרות לו לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאיזו פונקציה אקספוננציאלית אתה מתייחס? (זה מבלבל במיוחד, כי בחרת את הממד הנמוך היחיד בו הספרה אינה חבורת-לי...) אני גם לא עוקב אחרי הטענה אודות ההתפלגות הנורמלית. אבל יש קשר הדוק בין התפלגות נורמלית לכדורים אוקלידיים, אז גם בלי להבין, אני מהמהר שאתה צודק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, גם בהתפלגות גאוסית יש (שורש) פאי, שיש שיטענו שהוא נובע מאינטגרל וכולי, אבל אני רואה בזה פלא קטן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, ההוכחה הרגילה לכך משתמשת בעובדה שלהתפלגות הגאוסית יש סימטריה סיבובית בשני מימדים, זאת הסיבה לכך שמופיע שורש פאי ולא פאי עצמו (וראה גם תגובה 713169). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובה שלך יותר מדוייקת ועמוקה מתמטית (סימטריה רדיאלית של האינטגרל) אבל הסרטון הבא מדגים יפה ופשוט עד כמה מדובר בחישוב פני השטח של חצי כדור. חישוב אינטגרל סופי של פילוג נורמלי |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי מה ההבדל בין התגובה שלי למה שמופיע בסרטון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי שמדובר בהסברים שונים. הסרטון מראה באופן טכני איך ה-pi מופיע כתוצאה של חישוב פני השטח של חצי כדור. ההסבר שלך מסביר את הסיבה מנין הופיע הכדור (הסימטריה הרדיאלית של הפונקציה וגו'). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה אתה רואה שם כדור, ואיפה אתה רואה שם חישוב של פני שטח? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק. זה נפח של גוף סיבובי. וכדי להציל את כבודי, אומר, שזה סכום הנפחים של סדרה של גלילים אינפיניטיסימלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכל בסדר ;-) בגלל הקורונה, יימח שמה, אני משקיע הסמסטר הרבה שעות בלהמיר את חומר ההרצאות שלי ב"מבוא להסתברות" לשקפים (עד היום לימדתי את הקורס בגישת אולד סקול, עם טוש על לוח). בצירוף מקרים מוחלט, הדיון הקטן הזה שלנו בדיוק נפל על הכנת השקפים בנושא ההתפלגות הנורמלית, ועל איך מוכיחים שהאינטגרל של הצפיפות שלה מסתכם ב-1 למרות שלצפיפות הנ"ל אין פונקציה קדומה אלמנטרית. וחוץ מזה, הסרטון שקישרת אליו משתמש בבירור בחבילת האנימציה שהכין גרנט סנדרסון הגאון, לטובת ערוץ היוטיוב המהמם שלו, 3blue1brown. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גרנט עומד להתחיל בערוץ שידורים ישירים של מה שלפי הבטחתו יהיה מתמטיקה תיכונית בצורה קצת אחרת מהמקובל. היום ב 22:00 הרצאה על משוואות מהמעלה השניה (כן, אני יודע). לא ברור לי מה היתרון בשידור ישיר וממילא בשעה היעודה אהיה עסוק בעניינים אחרים, אבל אולי מישהו ירצה לראות (או להפנות נערים ונערות בגיל המתאים). הנה: https://www.youtube.com/watch?v=MHXO86wKeDY | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, גם אני קיבלתי את ההודעה הזאת (האם גם אתה תומך בו בפטראון?). ונאמן למשפט המפורסם של בגין, "לא שואלים ג'נטלמן איפה הוא בילה את הלילה", לא אחקור מהם העניינים האחרים שיעסיקו אותך ב-22:00. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא תומך אפילו בעצמי, אבל אני מנוי על הערוץ שלו. לא שאלת אבל אענה: הערב אני עומד להפעיל את הסעיף "סיוע לאדם עם קושי או מצוקה הדורשים סיוע". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניטפיקינג לוגי פילוסופי - צורת החישוב של משהו היא טכניקה ספציפית, וייתכן שיש אחרות. האם טכניקה ספציפית מצדיקה את האמירה העקרונית "ההתפלגות הנורמלית קשורה לפאי כי... השתמשתי בעיגול כדי לחשב את האינטגרל"? דוגמה ממקום אחר - מן הידועות שחלק מבעיות הבסיסיות שפותרת מכניקת הקוונטים ניתנות לפתרון בכמה שיטות. למשל, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית של שרדינגר, או ע"י חשבון המטריצות של הייזנברג. האם היינו אומרים ש"רמות האנרגיה של אטום המימן הן כאלה כי הפתרון משתמש במטריצות"? האם שיטת פתרון ספציפית מצדיקה אמירה על התכונה הבסיסית של הבעייה המתימטית שפתרנו? אני בכלל לא בטוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש למילה "סיבה" שני פירושים: 1. גורם של אירוע. "הסיבה לכך שנדבקת בקורונה היא שהיית במגע עם חולה מספר 241" 2. הסבר, תירוץ. "אתה לא יכול לתת לי דוח בלי סיבהײ. "הסיבה שאתם לא יכולים לראות טלוויזיה היא שכבר הייתם היום 27 שעות מול מסך" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסכים. וחלק מהדיון הוא האם מדובר כאן בדבר אחד או בדבר שניים. האם הגורם להופעת פאי היכנשהוא הוא מעגל חבוי, או שכשהוא מופיע יש צורת הצגה כלשהיא - אבל לא הכרחית או יחידה - שניתן דרכה לתרץ את הופעתו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מעניין - אני לא בטוח אם פירוש מספר 1 בכלל קיים במתמטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הספציפי, להרחבת הפונקציה בשני מימדים יש סימטריה מעגלית. כמו שאתה יודע היטב, זה כבר יותר מסתם עניין של בחירת צורת חישוב. גם אם הפיי היה נעלם מהתוצאה הסופית, הוא כנראה היה צץ איפשהו בדרך לשם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שהקשה המקשה כבר אמר: במקרה זה המעגל קשור קשר הדוק, שכן הפונקציות מהצורה משהו בחזקת x בריבוע הן היחידות שיש להן את התכונה שכשאר מכפילים שתיים מהן מקבלים משהו שתלוי רק במרחק מהראשית (זה נכון גם במימדים גבוהים יותר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו בדיוק היתה הטענה שלי, אחרת לא הייתי מזכיר אותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי חוסר ההסכמה בינינו הוא רק ענין של סמנטיקה. בעיני הקשר של הפונקציה האקספוננציאלית למעגל הוא ענין בסיסי ואי אפשר להגיד שפאי הוא חצי המחזור שלה בכיון המדומה אבל שמעגלים זה תופעת לוואי לא מהותית. לא, המשוואה הדיפרנציאלית שמגדירה את הפונקציה האקספוננציאלית מתארת תנועה מעגלית (בקצב של 1) כשמתקדמים בכיון המדומה וזהו לב הענין. העובדה שזו פונקציה מרוכבת אולי מטשטשת קצת את זה אבל הענין הוא שאם f'(z)=f(z) ונגדירg(t)=f(it) כאשר חושבים על t כעל משתנה ממשי, נקבל שמתקיימת המשוואהg'(t)=ig(t). מכיוון שהכפלה ב-i היא סיבוב ב-90 מעלות נקבל ש-g מתארת תנועה של גוף שהמהירות שלו תמיד מאונכת למיקום שלו, כלומר תנועה מעגלית סביב ראשית הצירים במהירות ששווה לרדיוס.בקיצור, זה לא ש- exponential function harbors the trigonometric functions and the trigonometric functions connect back to circles אלא שלהתנהגות של הפונקציה האקספוננציאלית יש שני מרכיבים: 1) גידול מעריכי (במובל הרגיל) בציר הממשי 2) תנועה סיבובית בציר המדומה. איך אפשר לראות אותה ולא לראות מעגלים?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, זה דווקא ברור: הנוסחאות הרקורסיביות של שתיהן קשורות זו לזו. זה מופיע בצורה הכי ברורה בנוסחה הרקורסיה שמורידה את המימד בשתיים: שם יש מעגל ולכן מופיע פאי. מכיון שזו ירידה של שתיים במימד, נקבל באופן טבעי שורש פאי בחזקת המימד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו אני בדילמה מה יותר מתסכל: לדבר עם דב על ענייני דיומא או לדבר איתך, עם עומר ועם אלון על ענייני מתמטיקה? דומני שהפיתרון נמצא אצל ויטגנשטיין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מתמטיקאי והזיכרון שלי כבר די מעורבל, אבל פונקציות גמא אינן קשורות איכשהו לאינטגרלים אליפטיים שמחשבים אותם ע"י חישוב מסלול מעגלי או כדורי סביב קטבים במרחב? ואם אתה כבר פה, ב. יש לך איזה הפנייה או רמז טוב לאיך מחשבים את סכום הטור: ...+pai/4=1-1/3+1/5-1/7 (מקדמי טור טילור של איזושהי פונקציה?)ג. האם כל הפונקציות הטריגונומטריות אינן מבטאות אורך קטעים על מעגל היחידה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל"ע אבל זה טור טיילור של ארקטאנגנס: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. כן, אבל אני לא יודע על זה הרבה. ג. אני לא בטוח למה אתה מתכוון, בד''כ מגדירים אותן גיאומטרית באמצעות אורכי היטלים של נקודות על מעגל היחידה. בכל מקרה, זו פרספקטיבה מועילה (מאד) רק במרחבים שטוחים. כאשר עקמומיות נכנסת לתמונה, אני חושב שאין הרבה ברירה אלא לדבר על משולשים גאודזיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ג. כן, פחות או יותר. לפי הבנתי מציירים מעגל יחידה וכל הטריגונומטריה עוסקת ביחסים בין קטעים שונים שאפשר לצייר במעגל זה. (אפשר להרחיב לפי מימדים). לכן גם האקספוננט של מס' מדומה איכשהו קשור למעגל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. דוגמא אחרת אצל ידידנו בעל העיניים המשונות (והפעם המעגל באמת נדחק הנה בקושי רב, כלומר הוא חלק מהדרך המוצעת לפתרון אבל בסוף הוא שם רק דרך העובדה שישר הוא מעגל ברדיוס אינסופי, מה שהופך את העניין לגרוטסקי במקצת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק מה שחשבתי על הסרטון - המגניב כשלעצמו - הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, יש בעיה אחת בסרטון והיא שהוא לא מצדיק את המעבר ממעגלים הולכים וגדלים לישר. זה לא קשה (למי שמבין טורים), אבל קצת פוגם בטוהר הטיעון הגאומטרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגמרי מסכים. כבר כתבתי כאן כמה פעמים שלדעתי גרנט סנדרסון הוא עילוי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגלית המפתיעה הזאת זכתה להכלל בערך שמוקדש לפיי בויקיפדיה (ותודה לעע) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני אפס" - נכתב על ידי יוצא התיכון בן ארצי בן ה-17. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |