בתשובה ליובל נוב, 13/12/10 9:15
 |
|
 |
||
|
||||
 |
רון אהרוני זה לא הפרופסור המתמחה בחינוך מתמטי שפעם ניסה ללמד בכיתה ח מתמטיקה ונשבר לאחר שני שעורים? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, בוא לא נגזים, לא שני שיעורים אלא חודשיים :) אבל עכשיו מדובר על תוכנית הלימודים עצמה, לא על בעיות המשמעת - אלה שני דברים שונים. ולהיכנס לכיתת קריצ'רים אימתניים בני 13-14 "מתוך הנחה שהם רוצים ללמוד", הוא דבר שלישי - למען האמת, לא ברור לי מאיזו פלנטה הוא נחת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, חודשיים. כיתה של 14 תלמידים. מעניין מה היה קורה לו אילו היה מנסה ללמד אותם את "אקסיומת המלבן". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אהבתי את נימת הזילזול (אולי לא מכוונת) שעלתה מהתגובה. פרופ' אהרוני הוא לא "מומחה לחינוך מתמטי" אלא מומחה לתורת הגרפים, פחות או יותר. הוא מלמד (או לימד) מתמטיקה ביסודי בהתנדבות וזה הרבה יותר ממה שרובינו עשינו לאחרונה. הספר שלו "חשבון להורים" הוא ספר מעולה וחשוב. נכון - הוא כשל בחטיבה. אבל מה הקשר לדעתו על תוכנית הלימודים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מכחיש שהיתה נימה, אולי לא של זילזול בדיוק, אלא יותר אותה תחושה של שמחה לאיד של ההדיוט כשהוא רואה איך "תחושת הבטן" מנצחת את המומחיות. הנה בדיחה: מגיע תייר לשוק של רמלה, ורוצה לשאול מה מחיר האננסים היפים בדוכן. הוא פונה למוכר באנגלית, צרפתית, גרמנית, רוסית, תאית, אספרנטו יוונית והודית. המוכר מגיב במשיכת כתף על כל הפניות. נעצב התייר והולך, והמוכר פונה לעמיתו לדוכן ואומר: "תראה את זה, מדבר עשרים שפות. מה עזר לו?" אבל כן, יש לזה קשר לתוכנית הלימודים. לא מפני שאני מטיל ספק בניתוחו של פרופסור אהרוני ( ובאמת, מי הם החתומים הנוספים?) אלא משום שמתקבל הרושם שעל אף הרצון הטוב, גם הוא, המומחה, לא יודע מה צריך לעשות כדי ללמד מתמטיקה בחטיבת הביניים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צריך להבדיל בין תוכנית הלימודים, ובין השליטה על התלמידים. אלו שני דברים אורתוגונליים (כמו שאומרים המתמטיקאים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכמו שאומרים המהנדסים: תנאי מוקדם לבדיקת יעילות תוכנית הלימודים, צריך להיות שליטה על התלמידים. מכיוון שאת שלב א לא עברנו יש לנו בעיה להעריך את שלב ב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תלוי כמה זמן אמור שלב א' להימשך. אהרוני מעיד בכתבה ש''השיעורים הראשונים היו נפלאים, אבל תוך זמן קצר הכל הידרדר'' - כלומר, בשיעורים הראשונים לא היתה שום נורה אדומה שתרמוז לו על העתיד לקרות בתוך זמן קצר, והוא כנראה מצא בהתחלה סיבות טובות לאופטימיות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדרך כלל נהוג ללמד את כיתה ז' במשך שנת לימודים אחת או עד השביתה הראשונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כן, אתה אומר שגם אם יוחלט לשנות את תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבת הביניים כך שראשית כל ילמדו את התלמידים נושאים מתקדמים בתורת גלואה, גם אז לאהרוני לא תהיה זכות דיבור נגד חוסר ההגיון שבתוכנית הלימודים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו אכן כמעט בדיוק מה שאני אומר! אני נדהם מההבנה העמוקה שלך. אך בכל זאת תן לי קצת לעדן מספר נקודות: 1) במקרה של תורת גלואה יש לו זכות הדיבור. 2) גם במקרה הזה יש לו זכות הדיבור. 3) יכולת ההוראה של המומחה להוראת מתמטיקה אינה מעידה על היכולת שלו להעריך תוכניות הוראה במתמטיקה. 4) יחד עם זאת, זה היה קצת מלחיץ לגלות שהמומחה להוראת מתמטיקה לא היה מודע לתנאים בהם התוכניות מיושמות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
4. אדרבא. אם בתנאים אופטימליים יש סכוי גם לתכנית בינונית להציג הצלחות פה ושם, הרי בתנאים קטסטרופליים נדרשת תכנית מעולה. ____ מצד שני, ייתכן כי בתנאים הנתונים זה לא כל כל משנה - לאף תכנית אין סכוי להצליח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטיב של התוכנית גם תלוי בסביבה בה היא אמורה לפעול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שלא הולך דרך הראש הולך דרך הרגליים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם, אבל למשל, בכיתות נמוכות מקובל שהמורה נותן עבודה בכיתה ואז ניגש למתקשים. זאת שיטה גרועה מאוד לדעתי כאשר יש בעיות משמעת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לענ''ד, בעיות משמעת הן בעיה בכל שיטת לימוד. אם פתרת את בעיות המשמעת, כבר פתרת חצי מבעיה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לתת עבודה בכיתה זו שיטה טובה *נגד* בעיות משמעת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מסכים. כשהמורה עסוק עם תלמיד מתקשה אחד, שאר הכיתה חוגגת. אני לא מדבר על השיטה של "פיתרו את עמודים 40-43 בחוברת ותגישו לי בסוף השעור". זאת באמת מעולה לפיתרון בעיות משמעת וזוועתית מכל בחינה (חה!) אחרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, או קיי. דווקא על זה בדיוק דיברתי... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שיטת הלימוד אצלי בתיכון, ב-5 יח"ל מתמטיקה. המורה כותב תרגיל על הלוח. כולם פותרים. בסוף המורה כותב את הפתרון. "מי הצליח?" אחד (תמיד אותו אחד) מרים את היד. "טוב, נעבור הלאה". __________ כך סיפרו לי אלה שלמדו 5 יח"ל. אני למדתי ב-3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונתי לקשר לזה תגובה 532958 אבל אז ראיתי שכל הפתיל החל מתגובה 532900 עוסק בהוראת המתמטיקה וברון אהרוני. מצער לראות שגם לא זכרתי את הדיון ההוא וגם לא הייתי מקורי במיוחד בדיון הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהרוני אמנם עוסק הרבה בנושא של חינוך מתמטי, בעיקר במסגרת העמותה לקידום החינוך המתמטי, אבל עפ"י הגדרה הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון, הוא לא "מומחה להוראת המתמטיקה" - מונח שמופיע ברשת בעיקר בהמון הודעות של אחד, "אבנר", שנותן, או שנורא רוצה לתת, שיעורים פרטיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מומחה" זה לא תואר שמקבלים מהאוניברסיטה, זה תאור די סוביקטיבי. אני מוכן לקבל את מומחיותו גם במטמטיקה וגם בהוראתה כ(האם אעז לומר זאת?) אקסיומה, ולהמשיך מכאן. אני ממש לא רוצה לתת שיעורים פרטיים. אישתי, כשהיא מתרגזת מסוג העזרה בשיעורי בית שאני נותן לילדי אומרת שהעולם חייב לי הרבה תודה על שלא נעשיתי מורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין לאן אתה חותר. בפרט, עכשיו מי שאתה מכנה באופן שנראה חצי לועג "המומחה להוראת מתמטיקה" כבר מודע למה שאתה קורא לו "התנאים שבהם התוכניות מיושמות", והוא עדיין מתנגד לתוכנית החדשה. אז מה אתה רוצה ממנו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי הוא מודע ואולי לא. אבל אני כבר מודע. אני לא חותר. אני מציין כקוריוז. אבל אתה קצת תוקפן, לא? יש לי רקע מתמטי כלשהו ואני יכול לנסות לטרוח לשפוט בעצמי, אבל אם אני צריך ללכת על פי מוניטין, הרי גם בצד השני יש איזה פרופסור או שניים, נכון? האם מדובר כאן בקונסנסוס מדעי שהתוכנית מטופשת וגרועה ומי שכתב את התוכנית לא מבין מהחיים שלו? זאת לא תהיה הפעם הראשונה, אבל בוא תגיד אם לכאן אתה חותר. אגב, יש לך מושג מה לימדו עד התוכנית הזאת ? באמת את האקסיומות של אוקלידס? וחוץ מזה, האם באמת "אקסיומת המלבן" היא כל כך זוועתית? במכתבי המתגוננים הם נתלים באיזה ענף או שניים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק העניין. אתה לא צריך ללכת על פי מוניטין, אלא על פי טיעונים עניינים לגופה של התוכנית. דיון נכון על התוכנית הזו יכלול, מה לעשות, את פרטי הפרטים הטכניים של התוכנית. אם אתה פותח את הדיון בלעג לאחד ממבקריה בגלל פרשיה (קוריוזית משהו) שנקשרה בשמו (ומתעלם מדברים אחרים שהוא עשה, גם בתחום החינוך), לא נראה לי שיש מנוס מהמשך דיון תוקפני. לי עצמי אין מושג מה לימדו עד עכשיו. לא עקבתי אחרי תוכנית הלימודים בגאומטריה (להבדיל, נניח, ממה שקורה באלגברה או חדו"א), ובשיעור שבו לימדו את האקסיומות לא הייתי (לא בצחוק! ברצינות! נעדרתי מהשיעור הראשון בגאומטריה וכתוצאה מכך עד היום אני לא יודע מה היה הבסיס לכל מה שלמדנו אחר כך!) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. גם אני עשיתי מחקר קטן ולא מדעי. נבחן בגרות מלפני שנתיים זוכר במעורפל שסיפרו לו על אקסיומות אבל בדרך כלל התבסס על "רשימת משפטים מותרים" הכוללים חפיפות משולשים וכולי. אינו זוכר בדיוק מניין הגיעו המשפטים הבסיסים הללו ( "כנראה הוכיחו לנו אי פעם, אבל אני לא זוכר בדיוק"). תלמידת כיתה ח יודעת מה זה "אקסיומה" אבל האקסיומה היחידה שהיא זוכרת שהצהירו עליה בשיעור ( בכיתה ז') היא אחת ממשפטי החפיפה וגם זה לא בטוח. בקיצור, להערכתי כל ההתעסקות הזאת עם איזה מערכת אקסיומות היא הטובה נראית לי כעורבא פרח סכולסטית (הא!) כי הנושא הזה בעצם לא נבחן בשום מקום ונמוג בערפילי תחילת החטיבה. אני דווקא מסכים עם מבקרי התוכנית (אבל גם עם כותביה) בכך שהחשיבות של לימוד גאומטריה היא לימוד (או כמו שאומרים במערכת "הקניה") של מושג ההוכחה הריגורוזית. כלומר - מה נתון, במה השתמשו כדי לעבור מטענה לטענה, וכולי. הדברים הללו הובררו לשני התלמידים שאיתם דיברתי, אבל ההוכחות עצמן בדרך כלל לא התחילו מהאקסיומות אלא משלב אחד יותר גבוה- משפטי חפיפה וכולי. אני גם לא השתכנעתי בשום אופן שיש בעיה מתמטית עם השימוש ב"אקסיומת המלבן", בוודאי לא "באופן שערוריתי". אקסיומת ההעתקות מתברר שמבוססת על אקסיומות הילברט (אם כי אני מודה שלא ירדתי לעומק ההתבססות) אז אני מניח שגם זה כשר, למרות הטענה שזאת אקסיומה "רשלנית". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלא טעות דידקטית קשה. עמדתי על כך בתגובה אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד טעות דידקטית, אם כי לא חמורה, היא ההנחה שקוראים כאן את כותרת התגובה לפני שקוראים את התגובה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין לעומק את הטענות של מתנגדי התוכנית בעצמי, אבל הניחוש שלי הוא שהבעיה היא כזו - במתמטיקה, ברגע שאיבדת מישהו, הוא אבוד ''לנצח'', במובן זה שיהיה לו הרבה יותר קשה להיכנס לעניינים מאשר, נאמר, מישהו שנמנם כשדיברו על המשבר הכלכלי בארה''ב אבל מתעורר כשמגיעים לאקשן של מלחמת העולם השנייה. אז אם כבר בתחילת לימודי הגאומטריה מהממים אותם עם אקסיומות לא ברורות שהם לא מצליחים לעשות איתן כלום, גם המשך לימודי הגאומטריה יהיו קשים יותר לתלמידים והעניין יסתיים בקטסטרופה, אפילו אם הם לא באמת צריכים את האקסיומות הללו בהמשך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יודע שמשתמשים במספרים ממשיים בחטיבה? בלי לבנות אותם! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים; הנקודה היא שאולי נכון לוותר לגמרי על האקסיומות, אבל לא נכון להחליף אותן במשהו "מפחיד" שיקשה על התלמידים להישאר בתמונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במשהו מפחיד אתה מתכוון לאקסיומות המלבן וההעתקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הן מפחידות? אם כן, אז כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני שואל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני לא יודע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, לא הבנתי את תגובה 559133, התוכל לפרט עוד? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אומר ככה - אם אכן האקסיומות החדשות ''מפחידות'' ויקשו על התלמידים, אז קריטי לא לעבור אליהן ואפילו אם בהמשך הלימודים לא באמת ישתמשו בהן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. אז אתה מנחש שהביקורת היא שהתוכנית החדשה משתמשת במושגים מסובכים המרתיעים את התלמידים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לנחש? הם לא אומרים את זה במפורש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת "אם אכן" מכאן שאינך יודע אם אכן, ולכן אתה מנחש. אם אני שוב טועה, אני פשוט הולך להתעלם מתגובה 559133. לדעתי האקסיומות המוצעות1 לא נראות יותר מפחידות מהאקסיומות של אוקלידס, הנוסחא למשוואה ריבועית, תולדות האמנסיפציה, תקבולת ניגודית חיאסטית או כל נושא טיפה מסובך אחר שלומדים בחטיבה. זאת אומרת- כן, זה מפחיד אבל פחות מהמגיפה השחורה. 1 בקריאה חוזרת של תוכנית הלימוד אני מסכים שיש עמימות עם "אקסיומת ההעתקה" אבל נראה לי שזה פשוט דרך לא סטנדרטית לדבר על חפיפה של צורות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם לא? לא ברור לי למה חשוב כל־כך להשתמש דווקא באותו אוסף של חמש אקסיומות. לא ברור לי למה הן פחות מפחידות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לסכם את כל הטענות למילה אחת: שמרנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור, אני לא באמת יודע. בשביל לדעת אני אצטרך לשבת ולקרוא את האקסיומות בעצמי ולקרוא את הטיעונים של שני הצדדים ולחשוב עליהם. המעורבות שלי בדיון התחילה מכך שהתרעמתי על אלו שמנסים לגרור אותו לכיוון האישי-לעגני; זה לא אומר שאני באמת בקיא בפרטים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפטי חפיפה הם אקסיומות לכל דבר (אחד מהם, לפחות). אין שום ''דילוג'' בהתבססות עליהם כנקודת מוצא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מכיר. איזה משפט חפיפה מופיע בחמשת האקסיומות של אוקלידס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומה III-4 (כמדומני) לפי אמירה דיבשה היא בעצם אקסיומת חפיפה. מכיוון שאני מתקשה לקרוא מהר את הסימונים שלה אני מניח שמדובר באקסיומה שאומרת בערך את הדבר הבא: בהנתן שני משולשים ששווים בהתאמה באורכי שתי צלעות שלהם וכן שווים בגודל הזווית הכלואה בין אותן צלעות — מובטח ששתי הצלעות השלישיות במשולשים שוות גם כן באורכן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע מי זה/זאת אמירה דיבשה, אבל אין לי כל ספק שצזצ נגזרת מהאקסיומות של אוקלידס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההוכחה למשפט החפיפה שאתה מזכיר (2 צלעות וזוית כלואה ביניהן) --- היא מה שניקרא במתמטיקה "הוכחה על ידי ניפנופי ידיים". הוכחה על ידי ניפנופי ידיים = הוכחה כביכול, לא ריגורוזית, שמוסווית על ידי טיעונים נכונים רק למראית עין. אגב, הסתכלתי היום בספר של לדיז'ינסקי (חשבתי אתמול שהוא טמון אצלי בארגז). מסתבר שגם הוא "הוכיח" את אקסיומת החפיפה על ידי ניפנופי ידיים. לא אתפלא אם ניפנוף הידיים התחיל כבר בספרי "יסודות" של אוקלידס. את ספרי "יסודות" של אוקלידס, מתורגמים לאנגלית ניתן למצוא באינטרנט בעזרת גוגל. דויד הילברט (גדול המתמטיקאים במאה ה- 19) עשה מחקר ענק על גיאומטריה האוקלידית. הספר שלו בעניין זה ניקרא GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE (אני מקווה שאיני טועה יותר מדי בשם הספר ובגרמנית בכלל). דויד הילברט הציג את התיאוריה של "גיאומטריה אוקלידית" (כולל גיאומטריה של המרחב) בצורה ריגורוזית באמצעות בערך 23 אקסיומות (לא פחות !!!). אמירה דיבשה טוענת (וכנראה לא הפריכו את דבריה) שניתן לשכתב את התיאוריה של הילברט על ידי הצגת מערכת אקסיומות חילופית (למערכת האקסיומות של הילברט) שמונה 22 אקסיומות. היא פירסמה חוברת סיכום בעברית שיועדה ללימוד על-תיכוני לתלמידי תיכון מחוננים. אם אתה ממש רוצה להבין את עניין האקסיומטיקה בגיאומטריה אוקלידית, תנסה להשיג את החוברת של אמירה דיבשה בחנות לספרי לימוד עתיקים. אני בטוח גם שתוכל לצלם עותק שלו בספריה של אחת האוניברסיטאות. מדובר בחוברת של בערך 100 עמודים שתוכננה ללימוד על-תיכוני (לא מצריך ידע מתמטי מוקדם , מצריך מחוייבות לריגורוזיות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התואר ''ריגורוזי'' שגור מאוד בפקולטות העבריות למדעים מדויקים, כמחמאה להוכחה קפדנית. בנקודה זו, אין מקום לביקורת על אמ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למלה ריגורוזי יש משמעות מתמטית טכנית שאינה זהה (בעברית של היום) למַחְמִיר, קָשׁוּחַ, קַפְּדָן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי. תודה לאא ולאגג על ההבהרה. אני מכירה את המילה משימושה הנפוץ בגרמנית, שבה המשמעות הינה בדיוק מַחְמִיר, קָשׁוּחַ, וקַפְּדָן (לא תמיד במובן השלילי של המילה). מהי המשמעות המתמטית הטכנית הנוספת? האם התכוון אמ בהתשמשו במילה למשהו נוסף מעבר למַחְמִיר, קָשׁוּחַ, או קַפְּדָן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכוונה היא פשוט להוכחה מתמטית במלוא מובן המילה (דהיינו, http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_proof ), להבדיל נניח, מהוכחות של פיזיקאים. כמובן, עד שנגיע ליום שבו מאמרים ילווו בקוד של ההוכחה לא נוכל להשתמש במילה כפשוטה, ועל כן כעת משתמשים בה כעת לציין משהו שברור לכל מתמטיקאי בתחום איך לתרגם להוכחה פורמלית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למי שתוהה מהם נפנופי ידיים, הנה משפט החפיפה הראשון מתוך ספר הגיאומריה הישן והטוב של לדיז'ינסקי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו דווקא נראית לי הוכחה משכנעת ביותר. כל עוד, כמובן, לא משתמשים בכלים ובאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית אלא, נאמר, בגאומטריה אנליטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני סומך על הילברט ותלמידיו שבדקו היטב את ההוכחה הזו וכנראה מצאו אותה פגומה. אם יהיה לי זמן אפנה את תשומת ליבך לכמה טיעונים בהוכחה זו שנראים לי במבט חטוף מפוקפקים מבחינה מתמטית, למרות שהתיאור הציורי משכנע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מה שהייתי מצפה מהמורה הוא שיציין את הנקודות הבעיתיות בהוכחה הזאת בלי להכנס לעבי הקורה. אין צורך ללמד את הפרינקיפיה מתמטיקה בתיכון, אבל לא יזיק להפנות את תשומת הלב לתחום העדין בין מה שמוכח בצורה מדויקת לבין מה שרק נראה כזה. אפילו הדגמה של הבעייתיות בהנחות עמומות ובאלמנטים שלא הוגדרו היטב אינה מיותרת בעיני, ועשויה דוקא למשוך את ליבם של בני התשחורת. כמה זמן צריך לקחת להסביר את האנטינומיה של ראסל? | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |