בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 14/12/10 20:23
 |
|
 |
||
|
||||
 |
יפה. גם אני עשיתי מחקר קטן ולא מדעי. נבחן בגרות מלפני שנתיים זוכר במעורפל שסיפרו לו על אקסיומות אבל בדרך כלל התבסס על "רשימת משפטים מותרים" הכוללים חפיפות משולשים וכולי. אינו זוכר בדיוק מניין הגיעו המשפטים הבסיסים הללו ( "כנראה הוכיחו לנו אי פעם, אבל אני לא זוכר בדיוק"). תלמידת כיתה ח יודעת מה זה "אקסיומה" אבל האקסיומה היחידה שהיא זוכרת שהצהירו עליה בשיעור ( בכיתה ז') היא אחת ממשפטי החפיפה וגם זה לא בטוח. בקיצור, להערכתי כל ההתעסקות הזאת עם איזה מערכת אקסיומות היא הטובה נראית לי כעורבא פרח סכולסטית (הא!) כי הנושא הזה בעצם לא נבחן בשום מקום ונמוג בערפילי תחילת החטיבה. אני דווקא מסכים עם מבקרי התוכנית (אבל גם עם כותביה) בכך שהחשיבות של לימוד גאומטריה היא לימוד (או כמו שאומרים במערכת "הקניה") של מושג ההוכחה הריגורוזית. כלומר - מה נתון, במה השתמשו כדי לעבור מטענה לטענה, וכולי. הדברים הללו הובררו לשני התלמידים שאיתם דיברתי, אבל ההוכחות עצמן בדרך כלל לא התחילו מהאקסיומות אלא משלב אחד יותר גבוה- משפטי חפיפה וכולי. אני גם לא השתכנעתי בשום אופן שיש בעיה מתמטית עם השימוש ב"אקסיומת המלבן", בוודאי לא "באופן שערוריתי". אקסיומת ההעתקות מתברר שמבוססת על אקסיומות הילברט (אם כי אני מודה שלא ירדתי לעומק ההתבססות) אז אני מניח שגם זה כשר, למרות הטענה שזאת אקסיומה "רשלנית". |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אלא טעות דידקטית קשה. עמדתי על כך בתגובה אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד טעות דידקטית, אם כי לא חמורה, היא ההנחה שקוראים כאן את כותרת התגובה לפני שקוראים את התגובה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין לעומק את הטענות של מתנגדי התוכנית בעצמי, אבל הניחוש שלי הוא שהבעיה היא כזו - במתמטיקה, ברגע שאיבדת מישהו, הוא אבוד ''לנצח'', במובן זה שיהיה לו הרבה יותר קשה להיכנס לעניינים מאשר, נאמר, מישהו שנמנם כשדיברו על המשבר הכלכלי בארה''ב אבל מתעורר כשמגיעים לאקשן של מלחמת העולם השנייה. אז אם כבר בתחילת לימודי הגאומטריה מהממים אותם עם אקסיומות לא ברורות שהם לא מצליחים לעשות איתן כלום, גם המשך לימודי הגאומטריה יהיו קשים יותר לתלמידים והעניין יסתיים בקטסטרופה, אפילו אם הם לא באמת צריכים את האקסיומות הללו בהמשך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יודע שמשתמשים במספרים ממשיים בחטיבה? בלי לבנות אותם! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים; הנקודה היא שאולי נכון לוותר לגמרי על האקסיומות, אבל לא נכון להחליף אותן במשהו "מפחיד" שיקשה על התלמידים להישאר בתמונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במשהו מפחיד אתה מתכוון לאקסיומות המלבן וההעתקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הן מפחידות? אם כן, אז כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני שואל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני לא יודע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, לא הבנתי את תגובה 559133, התוכל לפרט עוד? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אומר ככה - אם אכן האקסיומות החדשות ''מפחידות'' ויקשו על התלמידים, אז קריטי לא לעבור אליהן ואפילו אם בהמשך הלימודים לא באמת ישתמשו בהן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. אז אתה מנחש שהביקורת היא שהתוכנית החדשה משתמשת במושגים מסובכים המרתיעים את התלמידים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לנחש? הם לא אומרים את זה במפורש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת "אם אכן" מכאן שאינך יודע אם אכן, ולכן אתה מנחש. אם אני שוב טועה, אני פשוט הולך להתעלם מתגובה 559133. לדעתי האקסיומות המוצעות1 לא נראות יותר מפחידות מהאקסיומות של אוקלידס, הנוסחא למשוואה ריבועית, תולדות האמנסיפציה, תקבולת ניגודית חיאסטית או כל נושא טיפה מסובך אחר שלומדים בחטיבה. זאת אומרת- כן, זה מפחיד אבל פחות מהמגיפה השחורה. 1 בקריאה חוזרת של תוכנית הלימוד אני מסכים שיש עמימות עם "אקסיומת ההעתקה" אבל נראה לי שזה פשוט דרך לא סטנדרטית לדבר על חפיפה של צורות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם לא? לא ברור לי למה חשוב כל־כך להשתמש דווקא באותו אוסף של חמש אקסיומות. לא ברור לי למה הן פחות מפחידות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לסכם את כל הטענות למילה אחת: שמרנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור, אני לא באמת יודע. בשביל לדעת אני אצטרך לשבת ולקרוא את האקסיומות בעצמי ולקרוא את הטיעונים של שני הצדדים ולחשוב עליהם. המעורבות שלי בדיון התחילה מכך שהתרעמתי על אלו שמנסים לגרור אותו לכיוון האישי-לעגני; זה לא אומר שאני באמת בקיא בפרטים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפטי חפיפה הם אקסיומות לכל דבר (אחד מהם, לפחות). אין שום ''דילוג'' בהתבססות עליהם כנקודת מוצא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מכיר. איזה משפט חפיפה מופיע בחמשת האקסיומות של אוקלידס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומה III-4 (כמדומני) לפי אמירה דיבשה היא בעצם אקסיומת חפיפה. מכיוון שאני מתקשה לקרוא מהר את הסימונים שלה אני מניח שמדובר באקסיומה שאומרת בערך את הדבר הבא: בהנתן שני משולשים ששווים בהתאמה באורכי שתי צלעות שלהם וכן שווים בגודל הזווית הכלואה בין אותן צלעות — מובטח ששתי הצלעות השלישיות במשולשים שוות גם כן באורכן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע מי זה/זאת אמירה דיבשה, אבל אין לי כל ספק שצזצ נגזרת מהאקסיומות של אוקלידס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההוכחה למשפט החפיפה שאתה מזכיר (2 צלעות וזוית כלואה ביניהן) --- היא מה שניקרא במתמטיקה "הוכחה על ידי ניפנופי ידיים". הוכחה על ידי ניפנופי ידיים = הוכחה כביכול, לא ריגורוזית, שמוסווית על ידי טיעונים נכונים רק למראית עין. אגב, הסתכלתי היום בספר של לדיז'ינסקי (חשבתי אתמול שהוא טמון אצלי בארגז). מסתבר שגם הוא "הוכיח" את אקסיומת החפיפה על ידי ניפנופי ידיים. לא אתפלא אם ניפנוף הידיים התחיל כבר בספרי "יסודות" של אוקלידס. את ספרי "יסודות" של אוקלידס, מתורגמים לאנגלית ניתן למצוא באינטרנט בעזרת גוגל. דויד הילברט (גדול המתמטיקאים במאה ה- 19) עשה מחקר ענק על גיאומטריה האוקלידית. הספר שלו בעניין זה ניקרא GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE (אני מקווה שאיני טועה יותר מדי בשם הספר ובגרמנית בכלל). דויד הילברט הציג את התיאוריה של "גיאומטריה אוקלידית" (כולל גיאומטריה של המרחב) בצורה ריגורוזית באמצעות בערך 23 אקסיומות (לא פחות !!!). אמירה דיבשה טוענת (וכנראה לא הפריכו את דבריה) שניתן לשכתב את התיאוריה של הילברט על ידי הצגת מערכת אקסיומות חילופית (למערכת האקסיומות של הילברט) שמונה 22 אקסיומות. היא פירסמה חוברת סיכום בעברית שיועדה ללימוד על-תיכוני לתלמידי תיכון מחוננים. אם אתה ממש רוצה להבין את עניין האקסיומטיקה בגיאומטריה אוקלידית, תנסה להשיג את החוברת של אמירה דיבשה בחנות לספרי לימוד עתיקים. אני בטוח גם שתוכל לצלם עותק שלו בספריה של אחת האוניברסיטאות. מדובר בחוברת של בערך 100 עמודים שתוכננה ללימוד על-תיכוני (לא מצריך ידע מתמטי מוקדם , מצריך מחוייבות לריגורוזיות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התואר ''ריגורוזי'' שגור מאוד בפקולטות העבריות למדעים מדויקים, כמחמאה להוכחה קפדנית. בנקודה זו, אין מקום לביקורת על אמ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למלה ריגורוזי יש משמעות מתמטית טכנית שאינה זהה (בעברית של היום) למַחְמִיר, קָשׁוּחַ, קַפְּדָן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי. תודה לאא ולאגג על ההבהרה. אני מכירה את המילה משימושה הנפוץ בגרמנית, שבה המשמעות הינה בדיוק מַחְמִיר, קָשׁוּחַ, וקַפְּדָן (לא תמיד במובן השלילי של המילה). מהי המשמעות המתמטית הטכנית הנוספת? האם התכוון אמ בהתשמשו במילה למשהו נוסף מעבר למַחְמִיר, קָשׁוּחַ, או קַפְּדָן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכוונה היא פשוט להוכחה מתמטית במלוא מובן המילה (דהיינו, http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_proof ), להבדיל נניח, מהוכחות של פיזיקאים. כמובן, עד שנגיע ליום שבו מאמרים ילווו בקוד של ההוכחה לא נוכל להשתמש במילה כפשוטה, ועל כן כעת משתמשים בה כעת לציין משהו שברור לכל מתמטיקאי בתחום איך לתרגם להוכחה פורמלית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למי שתוהה מהם נפנופי ידיים, הנה משפט החפיפה הראשון מתוך ספר הגיאומריה הישן והטוב של לדיז'ינסקי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו דווקא נראית לי הוכחה משכנעת ביותר. כל עוד, כמובן, לא משתמשים בכלים ובאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית אלא, נאמר, בגאומטריה אנליטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני סומך על הילברט ותלמידיו שבדקו היטב את ההוכחה הזו וכנראה מצאו אותה פגומה. אם יהיה לי זמן אפנה את תשומת ליבך לכמה טיעונים בהוכחה זו שנראים לי במבט חטוף מפוקפקים מבחינה מתמטית, למרות שהתיאור הציורי משכנע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מה שהייתי מצפה מהמורה הוא שיציין את הנקודות הבעיתיות בהוכחה הזאת בלי להכנס לעבי הקורה. אין צורך ללמד את הפרינקיפיה מתמטיקה בתיכון, אבל לא יזיק להפנות את תשומת הלב לתחום העדין בין מה שמוכח בצורה מדויקת לבין מה שרק נראה כזה. אפילו הדגמה של הבעייתיות בהנחות עמומות ובאלמנטים שלא הוגדרו היטב אינה מיותרת בעיני, ועשויה דוקא למשוך את ליבם של בני התשחורת. כמה זמן צריך לקחת להסביר את האנטינומיה של ראסל? | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |