בתשובה לסטודנטית א, 14/10/09 0:24
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אפשר לענות על זה בכמה דרכים. בראשונה, את יכולה להציב את הערכים המתאימים בנוסחת ההסתברות המותנית ולראות מה מתקבל. זאת, כמובן, דרך לא מומלצת כי קשה ללמוד ממנה משהו מועיל מלבד עבור המקרה המטופש של מישהו שזורק קלפים על הרצפה. יותר מזה, לא מספיק לראות למה התשובה היא שני שלישים, חשוב גם להבין איפה הטעות המחשבתית שמובילה לתשובה השגויה (חצי). בכלל, הצבה בנוסחה היא סירוס אינטלקטואלי, מה שמביא אותי לקטר, שוב, על כך שבכלל מלמדים ערך משולש, שלא לדבר על הטבלאות בהם משתמשים תיכוניסטים לפתור בעיות תנועה, כאילו המטרה היא באמת לדעת באיזו נקודה ייפגש קטר דמיוני א' עם מכונית בדויה ב', ולא פיתוח החשיבה של התלמיד כדי שיוכל להתמודד בעתיד עם בעיות אמיתיות. טוב, סליחה, לא התכנסתם כאן כדי לשמוע אותי מקטר. דרך שניה היא להפנות את תשומת ליבך לכך שהצד האדום שהתגלה פוסל את הקלף הלבן-לבן (לל), כפי שאמרת נכונה, אבל אולי הוא מוסיף עוד אינפורמציה מעבר לזה? נכון שנשארו רק שני קלפים, אא ו-אל, אבל אולי הם כבר לא שווי הסתברות? האם מרחב המדגם שאת מציעה - שני קלפים - הוא באמת של מאורעות שווי הסתברות? מנין לך? שמא המאורע שנמדד הוא "צד אדום מופנה מעלה", ואם נסתכל על כל האפשרויות של המאורע הזה נוכל לספור שלוש כאלה? ושלישית, אם יש לך סבלנות כי זה הולך להיות ארוך למדי, אני מציע להתייחס להצעה של אורי כאן מעלי, למרות שהיא נשמעת על פניה כמתנשאת למדי (היא רק נשמעת כזאת, אני בטוח שאורי לא התכוון לכך), ולערוך ניסוי. מאחר ואנחנו עצלנים לא נעשה את זה בפועל, אלא ניתן למחשב לעשות את העבודה. למעשה, כפי שתראי במהרה, גם את זה לא נעשה, אבל נשחק קצת בכאילו. הפסקאות הבאות אמורות להיות מובנות גם לקוראים שעבורם מחשב הוא רק הקופסא הזאת שלפעמים רואים עליה את האייל. אשמח לקבל משוב מהקוראים בעניין זה. אוקיי, אז אנחנו חושבים על התוכנית הבאה: נדמה בעיני רוחנו שישנם שלושה קלפים, הלא הם לל, אל, אא המפורסמים, והדבר הראשון שאנחנו רוצים זה להגריל אחד מהם, זה יהיה הקלף שאותו נזרוק אח"כ לרצפה. להגריל אחד מתוך שלושה זה משהו שמחשב יודע לעשות בקלות (כל מדעני המחשב כאן יתכבדו ולא יבלבלו את המוח בבקשה. אני מבטיח להם שהכל יבוא על מקומו בשלום). עכשיו ניקח את הקלף שעלה בגורל, ונגריל איזה צד שלו יהיה למעלה כשהוא "ייזרק" לרצפה, שוב רק בדמיוננו, כמובן; אנחנו לא מאלה שאוהבים להתכופף אם יש אלטרנטיבה. שוב, אם נחשוב על זה שניה, מדובר בהגרלה של מספר אחד מתוך שניים, כשאחד מסמל "אדום" ושניים "לבן". אחרי ההגרלה הזאת, אם יצא אדום אנחנו נוסיף 1 לתא בזכרון שבו אנחנו שומרים כמה פעמים הקלף שלנו נפל על אדום. יהיו, כמובן, שלושה תאים כאלה, אחד לכל קלף. על התהליך הזה של שתי ההגרלות וההוספה לתא המתאים נחזור המון פעמים, ובסוף נסתכל מה כתוב בכל אחד מהתאים. אם עניין ה"תא" בזכרון נראה ערטילאי, אפשר לחשוב שלוש קופסאות, אחת לכל קלף, בתוכן אנחנו שמים גרגיר אפונה אם התוצאה של ההגרלה יצאה "א". ובכן, נניח שאנחנו רוצים לחזור על הפעולה ממש המון פעמים, כמה טריליונים למשל, כדי להוריד כל ספק בקשר לאיכות התשובה שנקבל. מן הסתם התוכנית הקטנה שהצעתי תגזול המון זמן, שהרי טריליון הוא מספר גדול למדי, ואנחנו חושבים מה אפשר לעשות בנדון כדי לקצר. אחרי הכל, אנחנו רוצים לדעת את התשובה עוד לפני שהשמש הופכת לענק אדום, אם אפשר. מחשבה קצרה מלמדת אותנו שבכלל אין טעם לשתף את הקלף לל בהגרלה הראשונה והשניה, כי אנחנו יודעים שהוא לעולם לא יראה "א" ולכן לעולם התא שהוקצב עבורו יישאר מאופס. זה השלב שמתאים לאבחנה הנכונה שלך, ושל רוב האנשים שנתקלים בחידה, שהקלף לל לא מעניין בכלל ומספיק להתייחס לשני הקלפים אל ו-אא. טוב ויפה, חסכנו קצת טירחה מיותרת מהמחשב. עכשיו נשאל עצמנו אם אין עוד משהו שאפשר לעשות. רגע, דוקא יש: אם הקלף שעלה בגודל הוא אא אנחנו בכלל לא צריכים לבצע את ההגרלה השניה! לא חשוב אם ייצא שם "1" או "2", בכל מקרה הצבע הוא אדום ולכן אפשר מיד להוסיף 1 לתא המתאים (זה של אא) ולעבור לסיבוב הבא. חסכנו עוד קצת זמן מחשב, אבל מה שיותר חשוב הוא שהגענו לתובנה חדשה: אנחנו מוסיפים "1" *בכל* מקרה שבהגרלה הראשונה נבחר הקלף אא, ורק *בחצי המקרים* בהם הזוכה המאושר היה הקלף אל (בגלל ההגרלה השניה). הידד. מכאן אנחנו יודעים שבסוף התהליך בתא של קלף אא יהיה רשום מספר גדול פי שניים (בקירוב, כמובן) מזה שרשום בתא של אל, ומכאן עפ"י הגדרת ההסתברות, ההסתברות של אא גדולה פי שניים מזאת של אל, ומאחר ושתיהן ביחד נותנות 1 הרי הראשונה היא 2/3 ושניה 1/3, מ.ש.ל., ואנחנו פטורים מלכתוב תוכניות מחשב בכלל, מה שמאד מקל עלינו כי אין לנו מושג איך עושים את זה. ובכל זאת, עוד שתי מלים: יעיר מי שיעיר, ובצדק יעיר, שבעצם לא צריך לערוך שום הגרלה. מאחר והסדר בו אנחנו מוסיפים את אותם "1" לתאים השונים לא מעניין אותנו, אלא רק התוצאה הסופית, ואנחנו יודעים איך הגרלה אמורה להתנהג אחרי מספר גדול מספיק של סיבובים, אנחנו יכולים לחסוך את כל הסיבובים. נניח שתכננו מתכתחילה לערוך שלושה טריליון הגרלות של הקלף. אנחנו יודעים שטריליון פעם ייבחר לל, טריליון אל, וטריליון אא. הטריליון של לל לא מעניין, כאמור, כי טריליון כפול אפס הוא עדיין אפס. מתוך הטריליון של אל אנחנו יודעים שחצי טריליון ייצא בהגרלה השניה "א", ומתוך הטריליון של אא יצאו טריליון "א", וכך אנחנו יודעים שבסוף יהיה רשום 0 בתא של לל, חצי טריליון בתא של אל וטריליון בתא של אא, כלומר היחס הוא זה שקיבלנו קודם, ועכשיו גם אנשי המחשב שרצו כל הזמן להתערב ולהגיד דברים חכמים (ולא רלוונטיים) בקשר להגרלות שהמחשב יודע, או לא יודע, לעשות כמו שצריך, יכולים לבוא על סיפוקם. ולבסוף, כדאי להעיף מבט ב: http://gadial.blogli.co.il/archives/232 . באופן מפתיע את יכולה לגלות דמיון מסויים בין קלפים לבני אדם, ואני לא מתכוון לכך שגדי א. הוא ג'וקר. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הצלחתי להבין! (אני מאלה שרואים את האייל בקופסא החשמלית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובה שלי נשמעת מתנשאת מפאת קוצרה הנובע מיכולת הקלדה ירודה בעברית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקדים ואומר, שאתה טועה וסטודנטית א' צודקת. *לאחר* שהקלף נזרק, *בשלב זה* ההסתברות לכך שהוא אדום-אדום הינה חצי בדיוק. אתה מוזמן לנסות. אבל זה לא כל כך מעניין, כי זה קל וברור (וגם מקור הטעות שלך גלוי וברור). מה שיותר מעניין הוא, שה"הסבר" הארוף והמפותל שלך מוכיח טענה שאני טוען מזה שנים רבות, לפיה דווקא אנשים אינטליגנטים מתקשים לעתים קרובות (קרובות מדי) לראות את המציאות הפשוטה. מה שמטריד וחמור הוא, שקושי זה אינו מוגבל למשחקי קלפים. אבל זהו, ככל הנראה, מחירה של אינטליגנציה גבוהה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכובע יש שישה קלפים. כל אחד מסומן במספר ובאות: 1A 1A 2A 2B 3B 3B אתה שולף קלף, מציץ רק באות, ורואה שהיא "A". מה ההסתברות שהמספר הוא "1"?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2/3 שאלה נגדית: בכובע יש שני קלפים: אחד אדום משני צידיו ואחד לבן מצד אחד ואדום מצד שני. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; כשפוקחים אותן, רואים שהוא נחת כך שצידו העליון אדום. מהי ההסתברות שזה הקלף אדום־אדום? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
3\2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה טועה, כמובן. ההסתברות הינה חצי. אם תסביר את תשובתך, אוכל אולי להצביע על מקור הטעות (שאני יכול רק לשער בשלב זה). ושאלה נוספת, שאולי תסביר לך ולשכ"ג את המקור לטעותכם: בכובע יש שלושה קלפים. כל אחד מסומן במספר ובאות: 1A 1A 2A. אתה שולף קלף, מציץ רק באות, ורואה שהיא "A". מה ההסתברות שהמספר הוא "1"? מה ההבדל, לדעתך, בין שאלה זו לבין שאלתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי, במקום להודיע לכל העולם שהוא טועה, תסביר אתה את החישוב שלך? לחילופין, אני טרחתי והבאתי הסבר (טרחני למדי, יש להודות) לטענה שלי. סתם לבוא ולהגיד "אתה טועה, כמובן" בלי להצביע על הטעות לא מקדם אותנו, ובטח לא את הסטודנטית. יש לגישה שלך רק יתרון אחד: אם, בסוף, אתה תבין מי באמת טועה כאן, אתה עשוי להפיק איזה לקח חשוב בעניין המילה השניה בניק שלך. __________ (למה תמיד מי שהניק שלו כולל את שיוכו האתני או מתיחס לעמדה הפוליטית שלו -זוכרים את דני האדום? המתנחלת? האילה מארץ ישראל ודומיהם - מתבטא בצורה לנדוורית כזאת?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסטודנטית כבר הסבירה את החישוב הנכון, ולכן אין טעם שאחזור עליו. מה שאני מנסה לעשות הוא להסביר לך (ולידידיה) את מקור טעותכם. אם אתה שותף לתשובתו, אשמח אם לשם כך תשיב על שאלתי שבתגובה 528527. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי! בא לך להפגש מתישהו להתערבות ידידותית? נגיד, 100 שקלים לסיבוב, 10 סיבובים, אני תמיד אהמר על אדום, והיחס יהיה 1:1? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הצעה בלתי הוגנת, כי הרי לשיטתך ההסתברות הינה 2/3 אדום. לכן, אם תסכים גם לסיכוי "שווה" לשיטתך - כלומר גם לאותו יחס כספי - אהלן וסהלן. ויפה שעה אחת קודם! ועכשיו שאלה: מציגים לך קלף שצידו הפונה למעלה הינו הינו אדום, כשאתה יודע, שצבע צידו השני (המוסתר) הינו אדום או לבן. מה ההסתברות לכך, שצידו השני (המוסתר) הינו אדום? במה *בדיוק* שונה שאלה זו מהשאלה הנדונה? איזו רלוונטיות בשאלה הנדונה יש, לדעתך, למספר הקלפים האחרים או לצבעם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עם יחס כספי של 7:12? מבחינתך זה כסף קל, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין, גם אני חשבתי להטיל קוביה בשלב הבא, אם יהיה צורך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חייב תשובות לכמה אנשים ועוד אעשה כן. מבטיח. לעתה עתה ומכיוון שאני זקוק לכסף מהיר אומר שאני מסכים להצעתך הנדיבה, וכל שנותר לנו הוא להסכים על האופן *המדויק* שבו נבצע את ההתערבות. אני מציע כך: מס' הפעמים בהם ייבחר קלף וייזרק יהיה 50, כאשר בכל מקרה שהקלף שיעלה בגורל הינו "אדום-אדום" אתה תזכה ב- 70 ש"ח/דולר/פאונד ובכל מקרה אחר אני אזכה ב- 120 ש"ח/דולר/פאונד. הכל במזומן. מסכים? אם לא - מהי הצעתך הנגדית ובעיקר ארצה לדעת, כיצד לדעתך עלינו להתייחס לכל אותם מקרים בהם ייבחר קלף "לבן-אדום", שצידו *הלבן* יפנה למעלה? האם תסכים שמקרים כאלה לא יימנו כלל? אם לא תסכים - מדוע וכיצד זה מתיישב עם השאלה הנדונה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההצעה שלך נשמעת מצוינת, אבל הייתי שמח לשחק 500 פעם (או 5000 או 50000, תלוי כמה כסף אתה רוצה לבזבז). בוחרים קלף באקראי וזורקים אותו. אם פונה למעלה צד לבן, לא עושים כלום. אם פונה למעלה צד אדום וזה הקלף האדום-לבן, אתה מקבל ממני 120 דולר. אם פונה למעלה צד אדום וזה הקלף האדום אדום, אני מקבל ממך 70 דולר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זה לא ילך עם ידידיה, פנה אלי. אני מוכן להציע לך תנאים טובים יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לידידיה - מקובל עליי, פרט למספר הפעמים. מוכן להגדיל ל- 100, נניח, כדי למנוע מקריות. אבל שכ"ג מציע תנאים טובים יותר, אז תן קודם לשמוע מהי הצעתו, כדי שאוכל להחליט עם מי משניכם להתחיל. שכ"ג - אשמח לקבל פרטים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא אוהב את הרעיון של שני הקלפים, כי קשה יחסית לערבב אותם בצורה מניחה את הדעת ובטח לא נוח לזרוק קלף לריצפה הרבה פעמים, ובטח לא קל לוודא שאין העדפה לתד אחד של הקלף בגלל אסימטריה קטנה שלו. לכן אני מציע להחליף את הקלפים בקוביות, שיעורבבו ע"י טילטולן בקופסא קטנה, ויוטלו על השולחן בדרך שבה מטילים אותן כשמשחקים שש-בש. ההצעה היא כזאת: קוביה אחת תהיה הקוביה הרגילה שכולנו מכירים, והשניה תישא את הסיפרה "1" על כל שש הדפנות שלה (להלן: "קוביה אחידה" - אני מתנדב להכין אותה). אנחנו נבחר באקראי קוביה (את הדרך לעשות את זה נקבע אם נסכים על כל השאר, זה לא צריך להיות קשה), נטיל אותה, ונתבונן במספר שפונה למעלה. אם הוא לא "1" אנחנו מתעלמים מהסיבוב הזה (כמו הצד הלבן בקלפים) ועוברים הלאה. אם קיבלנו "1", במקרה והקוביה שהטלנו היא הקוביה הרגילה אתה מקבל ממני 50 ש"ח, ובמקרה שהיא הקוביה האחידה אני מקבל ממך 25 ש"ח. הכל מתבצע במזומן מיד לאחר כל סיבוב, והמשחק מסתיים כשאחד משנינו כילה את 1000 השקלים (הסכומים נתוני למו"מ בתנאי שהם לא יהיו קטנים מכדי לטרוח) איתם אנחנו מתחילים (או בהסכמה הדדית שנמאס לנו, אם משום מה הקופות שלנו מסרבות להתרוקן). הנחת יסוד: כמו במקרה הקלפים, אם קיבלנו "1" אתה טוען שההסתברות של שתי הקוביות שווה. אם ההנחה אינה נכונה, נא הסבר לי מה ההבדל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה! רק עכשיו הבנתי את תגובה 528585 . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמע נא, שוטה: פחות חשוב לי להיות צודק ויותר חשוב לי להרויח. לכן אני נאלץ לדחות את הצעתך (שאינה טוב יותר מזו של ידידיה), משום שעצם הבחירה האקראית בקוביה האחידה היא כשלעצמה מבטיחה *בוודאות* את זכייתך בעוד שעצם הבחירה האקראית בקוביה הרגילה אינה מבטיחה בוודאות את זכייתי ולשם כך יש צורך שהיא גם תצביע על "1" (מתוך 6 אפשרויות). היוצא מכך - התוצאות הצפויות מתוך עשרה נסיונות, למשל, הינן כך: בחמישה מקרים, בהם תעלה בגורל הקוביה האחידה, אתה תזכה *בוודאות*. מתוך יתר חמשת המקרים בהם תעלה בגורל הקוביה הרגילה יהיה מקרה אחד (בקושי, כי יש 6 אפשרויות) בו אזכה. סיכום סיכויי הזכייה לפי הצעתך: מיותר לסכם... וזה אומר שלושה דברים: האחד - אקבל את הצעתך בשינוי קל, המתחייב מכך שהבחירה בקוביה האחידה מבטיחה בוודאות את זכייתך: לא נזרוק בפועל את הקוביות ונסתפק בכך, שאם תעלה בגורל הקוביה האחידה - די בכך כדי שאתה תזכה אבל בכל מקרה אחר - אני אזכה. השני - קילקלת לידידיה, משום שבעקבות הצעתך אני חוזר בי מהסכמתי להצעתו ואני חוזר להצעתי המקורית שבתגובה 528664. לתשומת ליבך, ידידיה. השלישי - הצעתך אכן מחייבת אותי לשקול את עמדתי. תן זמן לחשוב על הדברים. מבטיח להשיב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השלישי הוא, כמובן, מה שקיויתי שיקרה. המשחק שלי מדגיש את הטעות שאתה עושה בעניין הקלפים (מדגדג לי להוסיף כאן "כמובן" אבל אני אתגבר) ואם תיישם את הניתוח שלך שבעטיו אתה מסרב לשחק מולי למשחק שידידיה מציע לך, אני לא מאמין שתסכים ליישם את מה שהצעת בתגובה 528664 . ידידיה - אני חייב לך קצת כסף, אבל אני לא נוהג לשלם חובות מוסריים. סורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בסדר, נראה לי שקוראי האייל כולם עשויים להיות בעלי חוב כלפיך. לפרטים ראה תגובה 528522 תגובה 527602 וההערה שהוספת לתגובה 528528 . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי מה ההבדל בין הצעתך המקורית לבין הצעתי. אתה מוכן להפסיד 300 דולר אבל לא מוכן להפסיד 3000? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(רק למען הסר ספק, מה שאתה מנסה להסביר מיועד לא רק לשכ"ג ולידידיה, אלא לכל המתמטיקאים בתבל. בהצלחה!) וכדי שלא אהיה סתם שלילי, הנה אנסה לספק כמה נקודות-מבט על שאלתך עם שני הקלפים בכובע (בהצלחה גם לי! נראה לי שסיכויי ההצלחה שלנו די שקולים.) אם כן, כובע, שני קלפים, אחד אדום-אדום, אחד אדום-לבן, בוחרים באקראי קלף ומביטים בצידו האחד, רואים אדום. מה הסיכוי שגם מן העבר השני יש אדום? יהודי: 1/2. אלון: 2/3. שאלה 1: אם בוחרים קלף באקראי ולא מסתכלים על כלום - מה הסיכוי שהוא אדום-אדום? התשובה: 1/2. על זה מסכימים? שאלה 2: אם בוחרים קלף באקראי, מסתכלים ורואים דווקא לבן. מה הסיכוי שהוא אדום-אדום? התשובה: 0. על זה מסכימים? שאלה 3: לדבריך, אם כך, כשרואים אדום זה ממש כאילו לא ראינו כלום, ואילו כשרואים לבן ההסתברות משתנה דרמטית. מדוע ההבדל? שאלה 4: נניח שהצבעים מעט יותר מעניינים. קלף אחד לבן-אדום, קלף שני כחול-ירוק. בוחרים קלף באקראי ומביטים על צידו האחד. לבן? הרי זה הלבן-אדום. אדום? הרי זה הלבן-אדום. כחול? הרי זה הכחול-ירוק. ירוק? הרי זה הכחול-ירוק. נניח שאני בוחר את הקלף, מביט בצידו האחד, ואומר לך רק: אני רואה *צבע*. לא לבן, צבע כלשהו, אך איני אומר לך מהו. מה לדעתך הסיכוי שהצבע שאני רואה הוא אדום? כחול? ירוק? מה הסיכוי שהקלף הוא הכחול-ירוק? ואם אני עיוור-צבעים ורואה כל הצבעים כאדום (חוץ מלבן), מה אז? ומה זה אומר על השאלה המקורית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי! (ואני עוד חשבתי ש*אני* מנסה להרוג זבוב עם פטיש עשר קילו!) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שולפים קלף באקראי. מה הסיכוי שמשני צדדיו אותו צבע? 2/3 מטעמי סימטריה בין הצבעים, לראות מה הצבע שלמעלה לא נותן שום אינפורמציה על האם שני צדי הקלף זהים. על כן הסיכוי המותנה הוא גם כן 2/3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה יופי! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>>שולפים קלף באקראי. מה הסיכוי שמשני צדדיו אותו צבע? - 2/3<< אם אנחנו עדיין מדברים על שני קלפים (אדום-אדום ואדום-לבן), אז על זה בדיוק אני חולק. לדעתי, ההסתברות הינה חצי. נסמן קלף אחד (אדום-אדום) ב- A וקלף שני (אדום-לבן) ב- B. מה הסיכוי שנבחר ב- A? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אורי מדבר (כמובן) על הבעייה המקורית (שלושה קלפים, אחד כולו לבן, אחד כולו אדום, אחד גם וגם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל בבעיה המקורית *ידוע* שצבע צד אחד של הקלף הנבחר הינו אדום, מה שמוציא את הלבן-לבן מחישוב ההסתברות לכך, שהוא יהיה אדום-אדום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מציע לך לקרוא שוב את התגובה של אורי. הוא מציין ש*לפני* שראינו צבע של צד אחד, הסיכוי לקלף חד-צבעי הוא 2/3. לזה אתה מסכים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי. שאלה: יהיו אדום-אדום = A, אדום-לבן = B ולבן-לבן = C האם, לדעתך, השאלה הבאה שקולה לבעיה המקורית: מה הסיכוי ל-A, כשידוע שהוא אינו C? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. יותר מזה - השאלה ששאלת כאן אינה מוגדרת היטב ויש לה הרבה תשובות שונות. אם אתה מדבר על "הסיכוי ל-A" אתה צריך להסביר איזו הגרלה מתרחשת בדיוק, ואיך. בנוסף, אתה צריך להגיד מה בדיוק ידוע - ייתכן שהמידע הקיים הוא יותר מקיף מסתם "מה שהוגרל אינו C" (המידע "הוגרל צד אדום" מכיל יותר אינפורמציה מ"לא הוגרל C"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שמובן שכל מה שאני מנסה לעשות הוא רק לנסח בדרך שונה את הבעיה המקורית. ובדרך מפורשת יותר: הבעיה המקורית: >>בכובע יש שלושה קלפים: אחד אדום משני צידיו, שני לבן משני צידיו, ושלישי לבן מצד אחד ואדום מצד שני. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; כשפוקחים אותן, רואים שהוא נחת כך שצידו העליון אדום. מהי ההסתברות שזה הקלף אדום־אדום?<< השאלה הינה, האם הבעיה המקורית שקולה לבעיה זו, ואם לא - במה בדיוק היא שונה: בכובע יש שלושה קלפים: אחד מסומן A, שני מסומן C, ושלישי מסומן B. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; מהי ההסתברות שזה הקלף A, כשידוע שהוא אינו C? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה באמת לא מבין את ההבדל? זה לא רק ש"ידוע" שהקלף אינו C, אלא גם *ידוע* שהקלף לא נפל על הצד הלבן של A. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Allow me to rephrase: אם אתה חושב שהסיכוי שהצד השני יהיה אדום אם ראינו אדום הוא חצי, אז מטעמי סימטריה תסכים שהסיכוי שיהיה לבן אם ראינו לבן הינו גם כן חצי. כלומר, ללא תלות בצבע שראינו, הסיכוי שבצד השני יהיה אותו צבע הוא חצי. אבל הסיכוי לשלוף קלף שמשני צדדיו אותו צבע הוא 2/3.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. התשובה, כפי שכבר אמרתי, היא "לא". בבעיה המקורית ההסתברות היא 2/3. בבעיה המנוסחת-מחדש ההסתברות היא 1/2. ההבדל: בבעיה המקורית יש מידע נוסף, שנותן "עדיפות" לקלף האדום-אדום. פורמלית: לניסוי "הוצא קלף והשלך אותו באוויר" יש שש תוצאות אפשריות שוות הסתברות (לכל זוג אפשרי של קלף+צד שעליו הוא נפל). בבעיה המקורית שלוש מהתוצאות האפשריות מושלכות לפח (ומבין השלוש שנותרות, שתיים שייכות לקלף האדום-אדום). בבעיה המנוסחת-מחדש רק שתיים מהתוצאות האפשריות מושלכות לפח (שתי אלו של הקלף הלבן-לבן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חושבני שהסברתי לסטודנטית איפה, לדעתי, היא טועה. אתה יכול להצביע על הפירכה בהסבר שלי? תזכורת: ההנחה שמאחר ונותרו רק שני קלפים הרי שההסתברות של כל אחד מהם שווה היא לא הנחה מוצדקת. היא נכונה אם לא יודעים כלום על שני הקלפים, אבל אנחנו כן יודעים עליהם משהו. קרי: שיצא אדום. זה לא פוסל אף אחד משניהם, אבל זה כן משנה את ההסתברות שלהם, כפי שהסברתי באפוס הפסאודו-ממוחשב. אם טעיתי, בבקשה אל תחוד לי חידות אלא הצבע על הטעות שלי. בלי להעלב, למה שלא תעשה את הניסוי? עשרים הטלות אמורות להספיק (אלון וגדי תיכף יתנו מספר מדוייק שיספיק לתקפות של 99%), וזה ייקח פחות זמן מההתנצחות כאן. אחרי זה יהיה יותר קל ללבן את מקור הבעיה שלך או שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אגב, כיף לשמוע ממך. וקוראים לה אמי נתר.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנ"ל. לא ידעתי שהיא עברתה את שמה :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל היפני :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה לשאלתך היא 2/3 והנה הניסיון פשוט להסבר (למרות ששכ"ג טוען שהוא לא יעיל): כשאתה זורק את הקלף והוא עדיין באוויר, תשאיר את העיניים עצומות. הסיכוי שמה שתראה על הרצפה כשתפקח אותן הוא לבן - 1/4. אם תראה את הצד הלבן על הרצפה, הסיכוי שזה הקלף האדום-אדום הוא בדיוק אפס. הסיכוי שתפקח עיניים ותראה צד אדום הוא 3/4. בוא נקרא לסיכוי שהקלף הוא אדום-אדום X. עכשיו, בשניה לפני שאתה פותח את העיניים הסיכוי ששלפת קלף אדום-אדום הוא חצי בדיוק. בשניה אחרי הסיכוי נשאר חצי בדיוק, אבל צריך לחלק את החצי הזה בין שתי האפשרויות למה שתראה על הרצפה: (רבע) כפול (אפס) ועוד (שלושה רבעים) כפול X צריך להיות חצי וחשבון פשוט יראה ש X הוא 2/3. סליחה על הניסוח המסורבל והתגובה הטריוויאלית. זה מה שיש לי להציע בימים אלה כנראה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין משמעות לאמירה כמו "בשלב זה" כשמדובר בהסתברות. אם אתה לוקח מופע בודד של ההתרחשות האקראית, אז ה"הסתברות" לכך שהקלף הוא אדום-אדום באותו מופע היא או 1 או 0 (כי הוא או אדום-אדום, או לא). יש טעם בדיבורים על הסתברות רק כשחוזרים על אותו משחק שוב ושוב. כשעושים את זה, צריך לשחק את כל המשחק, ולא להתחיל אותו מחדש מהאמצע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקוה שלפחות העליתי את הרייטינג של הבלוג שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תצטנע, קצת מאמץ ואתה מביס את אלון ואת הדיון 1571 העלוב שלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאחר שנראה שעקשן השתתק, אפשר להניח שהוא השתכנע בטעותו או, לחילופין, נואש מיכולתו להסביר לנו את טעותנו שלנו ופרש במשיכת כתפיים תוך שהוא ממשיך לאחוז באותה הוכחה נהדרת לטענה שהוא טוען מזה שנים רבות (אאל"ט משהו שקשור לטעויות טריביאליות שנעשות ע"י אנשים אינטלגינטיים, ונובעות דוקא מהיותם אינטליגנטיים "מדי" עבור בעיה מסוימת1). מכל מקום, יהודי עקשן אחד לא ממש משנה, אלא שהודגמה כאן התופעה שכבר הצבעתי עליה פעם, של היאחזות עיקשת בפתרון שגוי ועמידות מרשימה בפני הסברים שמפריכים אותו. זאת תופעה די מעניינת, שכרוכים בה מן הסתם משחקי אגו ווריאנט של דיסוננס קוגניטיבי - ככל שהשקעת יותר בויכוח עד נקודה מסוימת כך גדול סכום ההימור שהנחת על כפות המאזניים, לא סכום כספי אם כי תיאורטית כמעט הגענו אפילו לשם, אלא סכום שמתבטא במוניטין שלך. המעניין הוא שלפי נסיוני חידות הסתברותיות עמידות בפני הודאה בטעות יותר מנושאים אחרים, אולי בגלל שהאינטואיציה בקשר לפתרון חזקה מאד (שהוא עניין מעניין לכשלעצמו). אני רוצה לשוב ולהציע, כפי שעשיתי פעם ללא הצלחה רבה מדי: לומדים עדיין "שיטות מחקר" בחוגי מדעי החברה? צריכים עדיין לעשות מחקרים קטנים בהיקף של עבודה סמינריונית? נראה לי שחידת שלושת הקלפים היא נושא מעניין. אני מציע שהיא תוגש לשתי קבוצות של נחקרים, קבוצה אחת תקבל את הנוסח שבמאמר והשניה נוסח בו מיד בתחילה יש רק שני קלפים, אא ו- אל. מעניין להשוות את אחוזי ההצלחה בשתי הקבוצות. יותר מזה, אם לאלה ששגו יוצגו הסברים שונים לגבי הפתרון הנכון (עד שיאמרו "מודה אני" או עד שהנסיין יתייאש והם יירשמו כעמידים לחלוטין), אפשר יהיה למדוד גם את מידת הקבעון של הפתרון השגוי ולהשוותה בין הקבוצות. ההשערות שלי הן: 1. אחוז גבוה יותר של נחקרים ישגה בחידת שלושת הקלפים מאשר בחידת שני הקלפים. 2. יהיה קשה יותר לשכנע את הטועים בחידת שלושת הקלפים מאשר את אלה שקיבלו את חידת השניים. יהיה מגניב לחלוטין אם יתברר שההסבר הנהדר של אג"ג, ההוא שמתבסס על הסימטריה הראשונית בחידת השלושה ומראה איך אספקט מסויים שלה דוקא לא נשבר ע"י התגלות הצד "א", יהפוך דוקא את מקבלי חידת השלושה לפחות עיקשים2. קדימה, פרחי פסיכולוגיה, חוקרים זוטרים והמשתוקקים לפרס נובל, לעבודה. ___________ 1- אני לא מתכוון להתייחס למידת האינטליגנציה שהוא משייך לי, אבל אין ספק שבבעיה הזאת אני באמת שותף לדעתם של אנשים אינטליגנטיים למהדרין. 2- אבל אני סקפטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהסיבה שחידות הסתברותיות כל כך "מוצלחות" בהקשר הזה היא שבכל הנוגע לחידות הסתברותיות תמיד יש תיאור מילולי של החידה, ויש אינטואיציה יומיומית לגבי מה המשמעות של המילה "הסתברות" בהקשר שלה, ואת אלו ניתן לתרגם לפרשנות מתמטית מדוייקת במספר דרכים שונות, ולא ממש ברור תמיד מה הדרך ה"נכונה". כלומר, הויכוח הוא ויכוח פרשני בעיקרו ולא מתמטי; והבעיות מתחילות כשמישהו *חושב* על פרשנות א' ואפילו *מרגיש* את פרשנות א', אבל כשהוא מנסה להסביר במילים, מה שיוצא הוא תיאור של פרשנות ב'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב כך. בעיית מונטי הול (כשהיא מנוסחת כפי שצריך לנסח אותה, כלומר מונטי *חייב* לפתוח מסך שמאחריו יש עז), חידת שלושת הקלפים, החידה שאתה עוסק בה בבלוג שכבר קישרתי אליו (ההנחה הסמויה היא שילד אקראי פותח את הדלת, וזאת ההנחה שצריך גם השומע להניח, לפחות בגלל שאין סיבה להניח אחרת. אם זאת לא הנחה סבירה בעיניך, אפשר להצהיר עליה מפורשות בגוף השאלה. אתה חושב שפחות אנשים יטעו? אני מסופק) - בכל אלה הבעיה,בעיני, אינה בפרשנות מתמטית שונה אלא בטעות לוגית טבין ותקילין. אל תקבל את זה אישית, כי אני לא מנסה לרמוז כלום (ובאמת אין לי מושג לגביך), אבל דומני שהטענה על פרשנות אלטרנטיבית אפשרית מובאת הרבה פעמים כתירוץ, אחרי שמישהו שאמור לדעת טוב יותר טועה. בחידה של מונטי הול נתקלתי כבר בכל מיני טענות לגבי הניסוח שלה, אבל הן לא נשמעו רציניות באזני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהטבין והתקילין הם הדרך הטובה ביותר לשכנע את הספקנים. אילו רק יכולת לתרגם את הויכוח עם שדמי להתערכות כספית היה גם הוא מסכים איתך (אבל זה בלתי אפשרי, כמובן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מגיע ה"פרדוקס" האינטואיטיבי הבא להעכיר את שלוותך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה! גם אני נפלתי בפח, ואני מתפרנס מהוראת החומר הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וזה מזכיר לי עוד עניין עדין עם הסתברות מותנית שטעיתי בו פעם: "פרדוקס" הבן/בת. מי שפקח את העיניים שלי היה גדי אלכסנדרוביץ', בפוסט מצוין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוקא על זה עליתי די מהר. הקודם עם ההטלות האי-זוגיות נראה לי סבוך מדי... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההסתברות ל 6 בהטלה הראשונה בהנתן תוצאה זוגית היא שליש, כך שבשליש מהמקרים התשובה היא 1. אם אני מבין נכון ההסתברות ל 6 בהטלה השניה מתוך שתים בהנתן התנאי היא 2/9, ובשלישית 4/27. אם כך ההסתברות שיצא 6 תוך 2 הטלות בהנתן התנאי היא סכום שליש ו 2/9 - היינו גדולה מחצי. אז אם מציעים לי הימור אם יצא 6 תוך שתי הטלות, בהנתן התנאי, אני צריך לקחת את הצד של "כן". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לחידת הבן/בת יש גרסה חריפה עוד יותר, שבה החבר מספר לך שאחד הילדים הוא בת שנולדה ביום שלישי. מה ההסתברות עכשיו לשתי בנות? (וכדי למנוע אי-בהירות בנוסח איך החבר בחר מה לספר לך, אפשר לנסח לגמרי נקי: בוחרים באקראי משפחה בהתפלגות אחידה מבין כל המשפחות שלהן שני ילדים שאינם תאומים ולפחות ילדה אחת ילידת יום שלישי. מה ההסתברות שבמשפחה שתי ילדות?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אונסק"ו היה נאמן למטרותיו הוא היה צריך להעניק לך פרס על פעילותך ב-quora. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז זה מה שאונסק"ו אמור לעשות! תמיד תהיתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי לא הבהרתי מספיק, אבל גדי שכנע אותי בפוסט שלו שהתשובה 2/3 היא שגויה. בעצם - השאלה בניסוח הראשוני אצל גדי, עם ביקור בבית ובת שפותחת את הדלת, לא מוגדרת היטב, כי לא מצוין איך נקבע הילד שנשלח לפתוח את הדלת. הוא מראה אז איך דרכים שונות לקבוע מי יפתח את הדלת מובילות לתשובות סופיות שונות. בגירסה הראשונית אצלך, עוד לפני התוספת של יום שלישי, הניסוח שונה ("בוחרים בהסתברות אחידה משפחה מבין כל המשפחות בעלות שני ילדים ולפחות בת אחת...") ולכן אין לי בעיה עם התשובה 2/3. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו צרלי בראון שמנסה לבעוט בכדור, גם אני לא יכול לעמוד בפיתוי ולנסות להתנצח עם אנשים חכמים ממני. אז ככה: בהנחה שכל ההתפלגויות בשאלה אחידות: רבע מאוכלוסית שני הילדים שאינם תאומים היא BG, רבע GB, ורבע GG. שביעית מהבנות נולדו בשלישי, ולכן החלק באוכלוסיה שמורכב מבת שנולדה בשלישי ויש לה אח הוא: 2/4*1/7 או 1/4 * 14/49 החלק באוכלוסיה שהוא משפחות GG ש*אף אחת* מהן לא נולדה ביום שלישי הוא: 1/4 * 6/7 * 6/7 = 1/4 * 36/49 כלומר החלק המשלים - משפחות GG שלפחות אחת מהן נולדה בשלישי הוא 1/4*13/49 אז היחס בין זוגות האחים שלפחות אחד מהם הוא בת שנולדה ביום שלישי הוא 13:14 לרעת האחיות. ואם בחרנו בת כזאת באקראי אז טיפונת סביר יותר שיש לה אח. איפה טעיתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא טעית. כל מה שכתבתי בתגובות הקודמות שלי התייחס לגירסה הפשוטה של השאלה, עוד לפני שנכנס העניין של יום שלישי (הפיסקה הראשונה מתחת ל-Tuesday Girl אצל אלון, וכל הפוסט של גדי). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |