בתשובה ליהודי עקשן, 22/10/09 22:44
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בכובע יש שישה קלפים. כל אחד מסומן במספר ובאות: 1A 1A 2A 2B 3B 3B אתה שולף קלף, מציץ רק באות, ורואה שהיא "A". מה ההסתברות שהמספר הוא "1"?
|
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
2/3 שאלה נגדית: בכובע יש שני קלפים: אחד אדום משני צידיו ואחד לבן מצד אחד ואדום מצד שני. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; כשפוקחים אותן, רואים שהוא נחת כך שצידו העליון אדום. מהי ההסתברות שזה הקלף אדום־אדום? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
3\2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה טועה, כמובן. ההסתברות הינה חצי. אם תסביר את תשובתך, אוכל אולי להצביע על מקור הטעות (שאני יכול רק לשער בשלב זה). ושאלה נוספת, שאולי תסביר לך ולשכ"ג את המקור לטעותכם: בכובע יש שלושה קלפים. כל אחד מסומן במספר ובאות: 1A 1A 2A. אתה שולף קלף, מציץ רק באות, ורואה שהיא "A". מה ההסתברות שהמספר הוא "1"? מה ההבדל, לדעתך, בין שאלה זו לבין שאלתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי, במקום להודיע לכל העולם שהוא טועה, תסביר אתה את החישוב שלך? לחילופין, אני טרחתי והבאתי הסבר (טרחני למדי, יש להודות) לטענה שלי. סתם לבוא ולהגיד "אתה טועה, כמובן" בלי להצביע על הטעות לא מקדם אותנו, ובטח לא את הסטודנטית. יש לגישה שלך רק יתרון אחד: אם, בסוף, אתה תבין מי באמת טועה כאן, אתה עשוי להפיק איזה לקח חשוב בעניין המילה השניה בניק שלך. __________ (למה תמיד מי שהניק שלו כולל את שיוכו האתני או מתיחס לעמדה הפוליטית שלו -זוכרים את דני האדום? המתנחלת? האילה מארץ ישראל ודומיהם - מתבטא בצורה לנדוורית כזאת?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסטודנטית כבר הסבירה את החישוב הנכון, ולכן אין טעם שאחזור עליו. מה שאני מנסה לעשות הוא להסביר לך (ולידידיה) את מקור טעותכם. אם אתה שותף לתשובתו, אשמח אם לשם כך תשיב על שאלתי שבתגובה 528527. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי! בא לך להפגש מתישהו להתערבות ידידותית? נגיד, 100 שקלים לסיבוב, 10 סיבובים, אני תמיד אהמר על אדום, והיחס יהיה 1:1? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הצעה בלתי הוגנת, כי הרי לשיטתך ההסתברות הינה 2/3 אדום. לכן, אם תסכים גם לסיכוי "שווה" לשיטתך - כלומר גם לאותו יחס כספי - אהלן וסהלן. ויפה שעה אחת קודם! ועכשיו שאלה: מציגים לך קלף שצידו הפונה למעלה הינו הינו אדום, כשאתה יודע, שצבע צידו השני (המוסתר) הינו אדום או לבן. מה ההסתברות לכך, שצידו השני (המוסתר) הינו אדום? במה *בדיוק* שונה שאלה זו מהשאלה הנדונה? איזו רלוונטיות בשאלה הנדונה יש, לדעתך, למספר הקלפים האחרים או לצבעם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עם יחס כספי של 7:12? מבחינתך זה כסף קל, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין, גם אני חשבתי להטיל קוביה בשלב הבא, אם יהיה צורך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חייב תשובות לכמה אנשים ועוד אעשה כן. מבטיח. לעתה עתה ומכיוון שאני זקוק לכסף מהיר אומר שאני מסכים להצעתך הנדיבה, וכל שנותר לנו הוא להסכים על האופן *המדויק* שבו נבצע את ההתערבות. אני מציע כך: מס' הפעמים בהם ייבחר קלף וייזרק יהיה 50, כאשר בכל מקרה שהקלף שיעלה בגורל הינו "אדום-אדום" אתה תזכה ב- 70 ש"ח/דולר/פאונד ובכל מקרה אחר אני אזכה ב- 120 ש"ח/דולר/פאונד. הכל במזומן. מסכים? אם לא - מהי הצעתך הנגדית ובעיקר ארצה לדעת, כיצד לדעתך עלינו להתייחס לכל אותם מקרים בהם ייבחר קלף "לבן-אדום", שצידו *הלבן* יפנה למעלה? האם תסכים שמקרים כאלה לא יימנו כלל? אם לא תסכים - מדוע וכיצד זה מתיישב עם השאלה הנדונה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההצעה שלך נשמעת מצוינת, אבל הייתי שמח לשחק 500 פעם (או 5000 או 50000, תלוי כמה כסף אתה רוצה לבזבז). בוחרים קלף באקראי וזורקים אותו. אם פונה למעלה צד לבן, לא עושים כלום. אם פונה למעלה צד אדום וזה הקלף האדום-לבן, אתה מקבל ממני 120 דולר. אם פונה למעלה צד אדום וזה הקלף האדום אדום, אני מקבל ממך 70 דולר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זה לא ילך עם ידידיה, פנה אלי. אני מוכן להציע לך תנאים טובים יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לידידיה - מקובל עליי, פרט למספר הפעמים. מוכן להגדיל ל- 100, נניח, כדי למנוע מקריות. אבל שכ"ג מציע תנאים טובים יותר, אז תן קודם לשמוע מהי הצעתו, כדי שאוכל להחליט עם מי משניכם להתחיל. שכ"ג - אשמח לקבל פרטים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא אוהב את הרעיון של שני הקלפים, כי קשה יחסית לערבב אותם בצורה מניחה את הדעת ובטח לא נוח לזרוק קלף לריצפה הרבה פעמים, ובטח לא קל לוודא שאין העדפה לתד אחד של הקלף בגלל אסימטריה קטנה שלו. לכן אני מציע להחליף את הקלפים בקוביות, שיעורבבו ע"י טילטולן בקופסא קטנה, ויוטלו על השולחן בדרך שבה מטילים אותן כשמשחקים שש-בש. ההצעה היא כזאת: קוביה אחת תהיה הקוביה הרגילה שכולנו מכירים, והשניה תישא את הסיפרה "1" על כל שש הדפנות שלה (להלן: "קוביה אחידה" - אני מתנדב להכין אותה). אנחנו נבחר באקראי קוביה (את הדרך לעשות את זה נקבע אם נסכים על כל השאר, זה לא צריך להיות קשה), נטיל אותה, ונתבונן במספר שפונה למעלה. אם הוא לא "1" אנחנו מתעלמים מהסיבוב הזה (כמו הצד הלבן בקלפים) ועוברים הלאה. אם קיבלנו "1", במקרה והקוביה שהטלנו היא הקוביה הרגילה אתה מקבל ממני 50 ש"ח, ובמקרה שהיא הקוביה האחידה אני מקבל ממך 25 ש"ח. הכל מתבצע במזומן מיד לאחר כל סיבוב, והמשחק מסתיים כשאחד משנינו כילה את 1000 השקלים (הסכומים נתוני למו"מ בתנאי שהם לא יהיו קטנים מכדי לטרוח) איתם אנחנו מתחילים (או בהסכמה הדדית שנמאס לנו, אם משום מה הקופות שלנו מסרבות להתרוקן). הנחת יסוד: כמו במקרה הקלפים, אם קיבלנו "1" אתה טוען שההסתברות של שתי הקוביות שווה. אם ההנחה אינה נכונה, נא הסבר לי מה ההבדל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה! רק עכשיו הבנתי את תגובה 528585 . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמע נא, שוטה: פחות חשוב לי להיות צודק ויותר חשוב לי להרויח. לכן אני נאלץ לדחות את הצעתך (שאינה טוב יותר מזו של ידידיה), משום שעצם הבחירה האקראית בקוביה האחידה היא כשלעצמה מבטיחה *בוודאות* את זכייתך בעוד שעצם הבחירה האקראית בקוביה הרגילה אינה מבטיחה בוודאות את זכייתי ולשם כך יש צורך שהיא גם תצביע על "1" (מתוך 6 אפשרויות). היוצא מכך - התוצאות הצפויות מתוך עשרה נסיונות, למשל, הינן כך: בחמישה מקרים, בהם תעלה בגורל הקוביה האחידה, אתה תזכה *בוודאות*. מתוך יתר חמשת המקרים בהם תעלה בגורל הקוביה הרגילה יהיה מקרה אחד (בקושי, כי יש 6 אפשרויות) בו אזכה. סיכום סיכויי הזכייה לפי הצעתך: מיותר לסכם... וזה אומר שלושה דברים: האחד - אקבל את הצעתך בשינוי קל, המתחייב מכך שהבחירה בקוביה האחידה מבטיחה בוודאות את זכייתך: לא נזרוק בפועל את הקוביות ונסתפק בכך, שאם תעלה בגורל הקוביה האחידה - די בכך כדי שאתה תזכה אבל בכל מקרה אחר - אני אזכה. השני - קילקלת לידידיה, משום שבעקבות הצעתך אני חוזר בי מהסכמתי להצעתו ואני חוזר להצעתי המקורית שבתגובה 528664. לתשומת ליבך, ידידיה. השלישי - הצעתך אכן מחייבת אותי לשקול את עמדתי. תן זמן לחשוב על הדברים. מבטיח להשיב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השלישי הוא, כמובן, מה שקיויתי שיקרה. המשחק שלי מדגיש את הטעות שאתה עושה בעניין הקלפים (מדגדג לי להוסיף כאן "כמובן" אבל אני אתגבר) ואם תיישם את הניתוח שלך שבעטיו אתה מסרב לשחק מולי למשחק שידידיה מציע לך, אני לא מאמין שתסכים ליישם את מה שהצעת בתגובה 528664 . ידידיה - אני חייב לך קצת כסף, אבל אני לא נוהג לשלם חובות מוסריים. סורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בסדר, נראה לי שקוראי האייל כולם עשויים להיות בעלי חוב כלפיך. לפרטים ראה תגובה 528522 תגובה 527602 וההערה שהוספת לתגובה 528528 . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי מה ההבדל בין הצעתך המקורית לבין הצעתי. אתה מוכן להפסיד 300 דולר אבל לא מוכן להפסיד 3000? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(רק למען הסר ספק, מה שאתה מנסה להסביר מיועד לא רק לשכ"ג ולידידיה, אלא לכל המתמטיקאים בתבל. בהצלחה!) וכדי שלא אהיה סתם שלילי, הנה אנסה לספק כמה נקודות-מבט על שאלתך עם שני הקלפים בכובע (בהצלחה גם לי! נראה לי שסיכויי ההצלחה שלנו די שקולים.) אם כן, כובע, שני קלפים, אחד אדום-אדום, אחד אדום-לבן, בוחרים באקראי קלף ומביטים בצידו האחד, רואים אדום. מה הסיכוי שגם מן העבר השני יש אדום? יהודי: 1/2. אלון: 2/3. שאלה 1: אם בוחרים קלף באקראי ולא מסתכלים על כלום - מה הסיכוי שהוא אדום-אדום? התשובה: 1/2. על זה מסכימים? שאלה 2: אם בוחרים קלף באקראי, מסתכלים ורואים דווקא לבן. מה הסיכוי שהוא אדום-אדום? התשובה: 0. על זה מסכימים? שאלה 3: לדבריך, אם כך, כשרואים אדום זה ממש כאילו לא ראינו כלום, ואילו כשרואים לבן ההסתברות משתנה דרמטית. מדוע ההבדל? שאלה 4: נניח שהצבעים מעט יותר מעניינים. קלף אחד לבן-אדום, קלף שני כחול-ירוק. בוחרים קלף באקראי ומביטים על צידו האחד. לבן? הרי זה הלבן-אדום. אדום? הרי זה הלבן-אדום. כחול? הרי זה הכחול-ירוק. ירוק? הרי זה הכחול-ירוק. נניח שאני בוחר את הקלף, מביט בצידו האחד, ואומר לך רק: אני רואה *צבע*. לא לבן, צבע כלשהו, אך איני אומר לך מהו. מה לדעתך הסיכוי שהצבע שאני רואה הוא אדום? כחול? ירוק? מה הסיכוי שהקלף הוא הכחול-ירוק? ואם אני עיוור-צבעים ורואה כל הצבעים כאדום (חוץ מלבן), מה אז? ומה זה אומר על השאלה המקורית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי! (ואני עוד חשבתי ש*אני* מנסה להרוג זבוב עם פטיש עשר קילו!) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שולפים קלף באקראי. מה הסיכוי שמשני צדדיו אותו צבע? 2/3 מטעמי סימטריה בין הצבעים, לראות מה הצבע שלמעלה לא נותן שום אינפורמציה על האם שני צדי הקלף זהים. על כן הסיכוי המותנה הוא גם כן 2/3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה יופי! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>>שולפים קלף באקראי. מה הסיכוי שמשני צדדיו אותו צבע? - 2/3<< אם אנחנו עדיין מדברים על שני קלפים (אדום-אדום ואדום-לבן), אז על זה בדיוק אני חולק. לדעתי, ההסתברות הינה חצי. נסמן קלף אחד (אדום-אדום) ב- A וקלף שני (אדום-לבן) ב- B. מה הסיכוי שנבחר ב- A? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אורי מדבר (כמובן) על הבעייה המקורית (שלושה קלפים, אחד כולו לבן, אחד כולו אדום, אחד גם וגם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל בבעיה המקורית *ידוע* שצבע צד אחד של הקלף הנבחר הינו אדום, מה שמוציא את הלבן-לבן מחישוב ההסתברות לכך, שהוא יהיה אדום-אדום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מציע לך לקרוא שוב את התגובה של אורי. הוא מציין ש*לפני* שראינו צבע של צד אחד, הסיכוי לקלף חד-צבעי הוא 2/3. לזה אתה מסכים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי. שאלה: יהיו אדום-אדום = A, אדום-לבן = B ולבן-לבן = C האם, לדעתך, השאלה הבאה שקולה לבעיה המקורית: מה הסיכוי ל-A, כשידוע שהוא אינו C? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. יותר מזה - השאלה ששאלת כאן אינה מוגדרת היטב ויש לה הרבה תשובות שונות. אם אתה מדבר על "הסיכוי ל-A" אתה צריך להסביר איזו הגרלה מתרחשת בדיוק, ואיך. בנוסף, אתה צריך להגיד מה בדיוק ידוע - ייתכן שהמידע הקיים הוא יותר מקיף מסתם "מה שהוגרל אינו C" (המידע "הוגרל צד אדום" מכיל יותר אינפורמציה מ"לא הוגרל C"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שמובן שכל מה שאני מנסה לעשות הוא רק לנסח בדרך שונה את הבעיה המקורית. ובדרך מפורשת יותר: הבעיה המקורית: >>בכובע יש שלושה קלפים: אחד אדום משני צידיו, שני לבן משני צידיו, ושלישי לבן מצד אחד ואדום מצד שני. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; כשפוקחים אותן, רואים שהוא נחת כך שצידו העליון אדום. מהי ההסתברות שזה הקלף אדום־אדום?<< השאלה הינה, האם הבעיה המקורית שקולה לבעיה זו, ואם לא - במה בדיוק היא שונה: בכובע יש שלושה קלפים: אחד מסומן A, שני מסומן C, ושלישי מסומן B. מוציאים בעיניים עצומות קלף אחד וזורקים אותו לאויר; מהי ההסתברות שזה הקלף A, כשידוע שהוא אינו C? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה באמת לא מבין את ההבדל? זה לא רק ש"ידוע" שהקלף אינו C, אלא גם *ידוע* שהקלף לא נפל על הצד הלבן של A. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Allow me to rephrase: אם אתה חושב שהסיכוי שהצד השני יהיה אדום אם ראינו אדום הוא חצי, אז מטעמי סימטריה תסכים שהסיכוי שיהיה לבן אם ראינו לבן הינו גם כן חצי. כלומר, ללא תלות בצבע שראינו, הסיכוי שבצד השני יהיה אותו צבע הוא חצי. אבל הסיכוי לשלוף קלף שמשני צדדיו אותו צבע הוא 2/3.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. התשובה, כפי שכבר אמרתי, היא "לא". בבעיה המקורית ההסתברות היא 2/3. בבעיה המנוסחת-מחדש ההסתברות היא 1/2. ההבדל: בבעיה המקורית יש מידע נוסף, שנותן "עדיפות" לקלף האדום-אדום. פורמלית: לניסוי "הוצא קלף והשלך אותו באוויר" יש שש תוצאות אפשריות שוות הסתברות (לכל זוג אפשרי של קלף+צד שעליו הוא נפל). בבעיה המקורית שלוש מהתוצאות האפשריות מושלכות לפח (ומבין השלוש שנותרות, שתיים שייכות לקלף האדום-אדום). בבעיה המנוסחת-מחדש רק שתיים מהתוצאות האפשריות מושלכות לפח (שתי אלו של הקלף הלבן-לבן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חושבני שהסברתי לסטודנטית איפה, לדעתי, היא טועה. אתה יכול להצביע על הפירכה בהסבר שלי? תזכורת: ההנחה שמאחר ונותרו רק שני קלפים הרי שההסתברות של כל אחד מהם שווה היא לא הנחה מוצדקת. היא נכונה אם לא יודעים כלום על שני הקלפים, אבל אנחנו כן יודעים עליהם משהו. קרי: שיצא אדום. זה לא פוסל אף אחד משניהם, אבל זה כן משנה את ההסתברות שלהם, כפי שהסברתי באפוס הפסאודו-ממוחשב. אם טעיתי, בבקשה אל תחוד לי חידות אלא הצבע על הטעות שלי. בלי להעלב, למה שלא תעשה את הניסוי? עשרים הטלות אמורות להספיק (אלון וגדי תיכף יתנו מספר מדוייק שיספיק לתקפות של 99%), וזה ייקח פחות זמן מההתנצחות כאן. אחרי זה יהיה יותר קל ללבן את מקור הבעיה שלך או שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אגב, כיף לשמוע ממך. וקוראים לה אמי נתר.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנ"ל. לא ידעתי שהיא עברתה את שמה :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל היפני :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה לשאלתך היא 2/3 והנה הניסיון פשוט להסבר (למרות ששכ"ג טוען שהוא לא יעיל): כשאתה זורק את הקלף והוא עדיין באוויר, תשאיר את העיניים עצומות. הסיכוי שמה שתראה על הרצפה כשתפקח אותן הוא לבן - 1/4. אם תראה את הצד הלבן על הרצפה, הסיכוי שזה הקלף האדום-אדום הוא בדיוק אפס. הסיכוי שתפקח עיניים ותראה צד אדום הוא 3/4. בוא נקרא לסיכוי שהקלף הוא אדום-אדום X. עכשיו, בשניה לפני שאתה פותח את העיניים הסיכוי ששלפת קלף אדום-אדום הוא חצי בדיוק. בשניה אחרי הסיכוי נשאר חצי בדיוק, אבל צריך לחלק את החצי הזה בין שתי האפשרויות למה שתראה על הרצפה: (רבע) כפול (אפס) ועוד (שלושה רבעים) כפול X צריך להיות חצי וחשבון פשוט יראה ש X הוא 2/3. סליחה על הניסוח המסורבל והתגובה הטריוויאלית. זה מה שיש לי להציע בימים אלה כנראה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |