בתשובה לאלון עמית, 29/07/05 0:52
 |
|
 |
||
|
||||
 |
המתמטיקה, מלכת המדעים, נתפשת כתחום טהור, נקי מהאמפיריצזם של הפיזיקה, מהפוליטיקה של הסוציולוגיה וממצבי־הרוח של השירה. בפרפרזה על ג'ורג' בול, היא ניסיון לבחון את כוחה של התבונה האנושית, תחת משמעת ברזל והיגיון קר. אם הבנתי נכון, מאז גדל המתמטיקאים יודעים שכל תורה מתמטית היא אחת מהנ"ל: 1. לא מדעית. כוללת יצירה נסית של אקסיומות. מה שאתם מכנים לא אפקטיבית. 2. לא חזקה. לא מסוגלת למדל חלק חשוב של התבונה - המספרים הטבעיים. 3. לא עקבית. מוכיחה כל דבר וכן את היפוכו. 4. לא שלמה. אילמת לגבי טענות כלשהן. מכאן שהניסיון של עידן התבונה לנתח את המציאות במלואה בדיוק ובהיגיון נועד לכישלון. עם זאת, "האיש ברחוב" עדיין חושב שהיגיון צרוף יפתור כל בעיה סבוכה, שהמגבלות על היגיון הן רק עניין של משאבים, ושמחשב יכול לחשב כל דבר. זו הסיבה לצהלות של "מדעני הבערך" כשהם שומעים על גדל וטורינג. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"מכאן שהניסיון של עידן התבונה לנתח את המציאות במלואה בדיוק ובהיגיון נועד לכישלון" - מה הקשר בין תורה מתמטית הנוגעת למשפטים על המספרים לבין ניתוח המציאות? האם לפרדוקס בנך-טרסקי יש השפעה כלשהיא על המציאות? את אי היכולת לנתח את המציאות במלואה אפשר, אם בכלל, לזקוף לזכות עקרון אי-הודאות של הייזנברג. אבל גם זה עקרון שעשו ממנו הרבה יותר ממה שיש בו (ויש בו המון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו נקודה חשובה, שכנראה לא הדגשתי מספיק במאמר. החולשה העיקרית בתיאור שלך נמצאת, להערכתי, בנקודה 2, ובקפיצה ממנה ל"ניסיון של עידן התבונה לנתח את המציאות במלואה בדיוק". באיזה מובן, לדעתך, לא ניתן לתאר את המציאות אם לא יודעים להכריע כל טענה אריתמטית? מה ייגרע מכוחה של תורה פיסיקלית, כלכלית, פילוסופית או פסיכולוגית אם נגביל את כל המספרים המופיעים בה למיליון ספרות? מה ייגרע מכוחה של תורת-מוסר אם היא תוכל להכריע חד-משמעית בכל שאלה מוסרית - אוטופיה נאיבית ממילא - אבל לא תוכל להכריע אם יש או אין אינסוףMersenne Primes? העולם המתמטי כולל מושגים מופשטים, שהם לדעתי האישית מעניינים עד מאוד, אבל האם הם חלק הכרחי מ"ניתוח המציאות במלואה"? אני סבור שלא - ממש לא. גם בנקודה 1 שלך יש חולשה, או עיוות מסויים. תורה לא אפקטיבית איננה כרוכה ב"יצירה נסית" של אקסיומות. אפקטיביות היא בלי ספק תכונה רצויה, אבל חוסר אפקטיביות אינו כרוך בשום נס; זה סתם... חוסר אפקטיביות. יתרה מזו, מתמטיקאים עובדים כל הזמן עם תורות לא אפקטיביות: מערכות הבנויות על השפה של לוגיקה מסדר *שני* הן הרבה יותר נוחות לעבודה, בהרבה מקרים, מאלו הבנויות על לוגיקה מסדר ראשון; יש מערכות כאלה שהן גם אריתמטיות, גם שלמות, גם עקביות, ואפילו עשויות מאוסף סופי וקטן של אקסיומות (ולכן אפקטיביות לגמרי). הסדק היחיד הוא שאין עבורן מערכת אפקטיבית ושלמה של *כללי היסק*, מה שלא מפריע לאיש להסיק מסקנות בתוכן, בדרכים המקובלות (למרות שידוע שהן לא מכסות את כל המושג של "גרירה" בתורות האלה). "הגיון צרוף" במתמטיקה עדיין יכול לפתור כל בעייה סבוכה: מקסימום נמציא עוד אקסיומה, גדל לא מפריע לזה לקרות. "הגיון צרוף" *מחוץ* למתמטיקה הוא, ככל הנראה, לא מספיק, אבל מסיבות אחרות לגמרי (והרבה יותר פשוטות), שאת חלקן הזכרתי - החל מבעיית האינדוקציה בפיסיקה וכלה בערפול המובנה בתחומים "רכים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההשקפה ביסוד תנועת ההשכלה הייתה שהאמת היא מערכת אחת, לכידה ושניתן להגיע אליה באמצעות חקירה תבונית. נכון שתורת הספרות, תורת המוסר והמתמטיקה הם תחומים שונים, אבל זה רק בגלל שתחום החלות שלהם שונה. למעשה, הם כולם שייכים לאותה מערכת של אמת (וזה, כמובן, פלטוניזם). אם מדובר על אמת, נראה שבמידה ו-(א) תורת מוסר לא מאפשרת לנו להכריע בכל הדילמות המוסריות או המתמטיקה לא מאפשרת לנו לעשות את מה שגדל הראה שלא נוכל לעשות (אני לא לוקח סיכונים מיותרים כאן), ובמידה ו-(ב) זאת בעיה עקרונית שלא תלויה בזמן ומאמצים, אז זאת בעיה להשקפה של תנועת ההשכלה ושל המודרניזם. המתמטיקה חשובה כאן כי היא המודל של הפלטוניזם. אמת שלא תלויה בשינויים מקריים או אמפיריים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שיש צורך לחזור על כך פעם נוספת, ובכל זאת: משפט גדל מראה איזושהי חולשה מסוימת של מערכות פורמליות שבעטיה לא יתכן שמערכת פורמלית אחת (סבירה) תתאר את כל המתמטיקה (אפילו זה ניסוח קצת חזק מדי). זה לא מראה על חולשה של המתמטיקה ולא תומך או שולל את הפלטוניזם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא מראה על חולשה של המתמטיקה, נכון. אבל מדוע זה לא קשור לפלטוניזם? נעזוב רגע פלטוניזם, שיכול להתפרש בצורות שונות, ונחזור לגרסה של תנועת ההשכלה: האמת היא מערכת *אחת*, קוהרנטית, *שניתן להגיע אליה (ולהראות שהיא נכונה) רק באמצעות התבונה*. מצטער על איטיות התפיסה, אבל למה גדל לא רלוונטי כאן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כמה דברים שמפריעים לי כאן. - 1 - החידוד הישן "משפט זה הוא שקר", אינו אמת ואינו שקר. אפשר לנסחו באופן יותר מתאים לתיאור שלך כ"אל משפט זה לא ניתן להגיע רק באמצעות התבונה", משפט שאם הוא אמת, אז לא ניתן לתבונה להגיע אליו, ואם הוא שקר, אז התבונה מגיעה למסקנה שקרית. אם יש אמת אחת שניתן להגיע אליה, הרי שהמשפט הנ"ל מראה שיש סייגים לראייה הזו: יש דברים שניתן לדבר עליהם, אפילו בעברית פשוטה, והם חד-משמעיים, אך מעמד-האמת שלהם אינו נגיש לתבונה. האם, להערכתך, התחכמויות שכאלה מציבות אתגר אמיתי לתיזה של תנועת ההשכלה? לדעתי, לא. הן לא מפריעות לתורת-המוסר לתפוס את כל האמת על המוסר, ולפיסיקה לתפוס את כל האמת על המציאות החומרית, וכן-הלאה. הן רק מצביעות על כך שהשפה הטבעית מאפשר לומר היגדים מתחכמים, מתייחסים-לעצמם, שמוציאים עצמם בכוח מחוץ ל"אמת שניתן להגיע אליה בכוח התבונה". אפשר, אולי לסייג את התיזה שהצגת ולומר "האמת היא מערכת *אחת*, קוהרנטית, *שניתן להגיע אליה (ולהראות שהיא נכונה) רק באמצעות התבונה* (פרט לאוסף קטן ושולי של התחכמויות זולות ולא-מעניינות)". מה שמשפט גדל עושה הוא לא יותר מלהציב התחכמויות כאלה במקום מאוד מפתיע - תורות פורמליות של המספרים הטבעיים. אבל איני רואה מדוע לזה יש השלכה יותר חמורה על התיזה מאשר המשפטים המצחיקים בשפה הטבעית שהזכרתי. למען ההגינות עלי לציין שיש משפטים מאוחרים יותר מגדל המראים שלא רק טיעונים-מתחכמים שכאלה פגיעים למשפט-גדל. עם זאת, גם זה לא נראה לי סוף העולם, מסיבות שתכף אפרט. - 2 - גדל לא מראה שלא ניתן להגיע אל כל האמת המתמטית באמצעות התבונה. בשיטה שהוא מדבר עליה, צריך *ממילא* להניח הנחות שאליהן לא "הגענו באמצעות התבונה" ולא "הראינו שהן נכונות", כדבריך. פשוט הנחנו אותן. מה שגדל מראה הוא שהניסיון לצמצם את החולשה של השיטה הזו ולבחור אחת ולתמיד אוסף קטן-יחסית ואינטואיטיבי של הנחות כאלה, שמהן נוכל "להגיע" אל כל האמת, נדון לכשלון: תמיד תישארנה עוד הנחות שניאלץ להניח. אבל אם במסגרת התבונה מותר להניח את ההנחות הראשונות, מותר גם להניח עוד, וכך לכאורה ייתכן שבכל פעם שניתקל באמת-לא-נגישה, פשוט נניח את ההנחה המתאימה. - 3 - לי נראה שבמסגרת חקירת-התבונה צריך תמיד להניח הנחות שלא ניתן "להראות שהן נכונות". להראות איך? מאילו הנחות אחרות? אם אתה מתחיל משום-דבר, תישאר עם שום-דבר. האם אפשר להראות את נכונותו של מודוס-פוננס? לואיס קארול הצביע על כך שאם צבים מסויימים רוצים, הם יכולים גם עליו לערער. -- לסיכום, נראה לי שהתיזה שהצגת היא אכן אופטימית מדי, אבל: 1. לא רק בגלל גדל, אלא גם מסיבות פשוטות בהרבה; 2. הסייגים הדרושים כדי להפוך אותה לנכונה, ייתכן שהם קלים למדי ואינם מצביעים על איזו בעייה עמוקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אתה מגזים כאן. גדל הראה משהו עקרוני לגבי המתמטיקה שמשמשת מודל לפלטוניזם, בעוד שפרדוקס השקרן וכאלה נתפסים בד"כ כהתחכמויות או כבעיות צדדיות שאפשר אולי לפתור באמצעות מידול נכון. אף אחד לא חושב לוותר על הלוגיקה בגלל התחכמויות, אבל גדל היה בין הגורמים המרכזיים לנפילה של אחד הפרוייקטים המרכזיים של התקופה - הפרינקיפיה של ראסל - שיש לו השפעה בפילוסופיה (לפחות מבחינת כיווני מחשבה) עד היום. האמת, כשאני חושב על זה, נראה לי שלפי מה שאתה אומר הפוזיטיביסטים היו צריכים מלכתחילה לוותר על ההסתמכות על השימוש בכלי הלוגיקה, בגלל שהם מביאים לסתירות בסיסיות כאלה. האם יש לך רעיון מדוע הם לא עשו זאת? 2+3. אתה צודק, אבל זה נראה לי לא ממש קשור כאן. היסטורית, היו לתנועת ההשכלה טעמים טובים להנחות שלה, והיו לחוג הווינאי טעמים טובים למתודה שלו. אם אני באמת אתאמץ אולי אפילו אזכר מה הם, אבל זה לא ממש חשוב. אנחנו עוסקים בהשתעשעות בשאלה מה הייתה יכולה להיות ההשפעה של גדל (אבל ברור שזאת רק השתעשעות: במקרה של תנועת ההשכלה לא הייתה יכולה להיות השפעה כזאת, בגלל סדר הזמנים). עם הסיכום שלך אני מסכים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ננסה להגיע לזה מזווית אחרת: אלון, מעניין אותי לשמוע איך *אתה* הגבת כששמעת על גדל לראשונה. אתה יכול לזכור ולשחזר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא זוכר בדיוק איך הגבתי כששמעתי על משפטי גדל, אבל אני כן זוכר איך הגבתי בעשר או עשרים הפעמים הראשונות שנתקלתי במשפטים על כך שבניות גאומטריות מסויימות אינן אפשריות, או שאי אפשר לפתור משוואות ממעלה חמישית באמצעות פעולות אריתמטיות והוצאת שורש: "למה הם לא מסבירים שום דבר? איך אני אמור להבין משהו אם הספרים רק אומרים שזה ככה-וככה ולא אומרים *למה*?" | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם הטענות האלה על חוסר אפשרויות מוכחות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי. יש קצת הסברים על בניות גיאומטריות בתגובה 165550 ותגובה 165626. לגבי משוואות ממעלה חמישית, *מהות* הטענה מתוארת בגוף דיון 1571; ההוכחה שלה דורשת קצת עבודה. אם זה מעניין אותך אני יכול לסקור אותה בקווים כלליים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטח שאני זוכר. אני לא בטוח מה מטרת התרגיל, אבל הנה סקירה זריזה: בפעם הראשונה קראתי על המשפט בספר "מתמטיקה" מסדרת Time Life; היתה שם תמונה מרשימה של גדל ותאור קצרצר וגס מאוד של מה שאח"כ הבנתי היה תכנית הילברט, והמשפט של גדל. לא הבנתי באמת על מה מדובר, אבל לפחות זכרתי את שם האיש ואת תחום הפעילות, מה שהספיק לי כדי לשאול את אבי "מה הקשר?" כשהביא לי את "גדל, אשר, באך". הקריאה בספר הזה היוותה, עבורי, הצצה ראשונה למהות המשפט. הספר עשה עלי רושם גדול מאוד, ובמידה רבה גם עזר לי למקם את המשפטים בהקשר הנכון, והיותר-זהיר שלהם; לפני יותר מעשרים שנה כבר התווכחתי עם חברים על הקשר בין גדל לתודעה (חשוב לי לציין שזה לא היה כל-כך טראגי. שיחקתי גם כדורגל). התפיסה הפילוסופית שלי *את המתמטיקה* עברה לא מעט תהפוכות, גם אחרי לימודי התואר הראשון. באמת לקח לי הרבה זמן להבין מה, בדיוק, אומרים משפטי גדל בהקשר של תורות מסדר שני, או פסוקים מטיפוס גולדבאך. אבל מחוץ למתמטיקה נדמה לי שתמיד הייתי ספקן לגבי היישומים הנלהבים של משפט גדל לתחומים אחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם מישהו היה שואל אותי, הייתי עונה את מה שאתה ענית, רק בלי הכדורגל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. איני בעמדה לשפוט את החשיבות של הפרינקיפיה לפילוסופיה, אז והיום. כל מה שאני אומר הוא, שגם אם לא ניתן באופן פורמלי להפריד בין המשפטים ה"בעייתיים" למשפטים ה"לא-בעייתיים", יש יסוד סביר להניח שרוב מוחלט של ההיגדים המעניינים על העולם הם מהסוג השני. גם במתמטיקה עצמה, משפט גדל לא מטריד את מנוחתם של רוב העוסקים במלאכה. לגבי השאלה על הפוזיטיביסטים - אף פעם לא הצלחתי לסדר בראשי את כל הזרמים הפילוסופיים, כך שאין לי בדיוק מושג על מה אתה מדבר. 2+3. זה שעשוע מעניין, אבל ניסיתי לטעון שמשפט גדל הוא רק היבט מסויים של עיקרון פשוט בהרבה שהיה צריך להטריד את אנשי תנועת ההשכלה אם אכן שאפו להגיע לאוטופיה שתיארת. לגבי הסיכום, חשוב לי להדגיש שאני, אישית, במידה רבה ממשיך להחזיק בראייה הנאיבית שיש "אמת אחת", ושניתן לחשוף אותה בכוח ההגיון (ובשיטות אמפיריות). מובן שאני מתייחס כאן במיוחד למדעי-הטבע, ובמגבלות מסויימות גם למתמטיקה, ולא - כפי שהסברתי - לתחומים "רכים". לא נראה לי שבכוח התבונה נפתור אי-פעם את על הדילמות המוסריות האפשריות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עמוק בפנים גם אני מאמין שיש אמת אחת, דרך חיים ראויה באמת, הנערה הנכונה, טוהר וקדושה. רק שברגעי הצלילות שלי אני חושב שאלו אמונות תפלות. (אל תתייחס). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל מה אני בכלל טורח להגיב? מה שאלון אמר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, זה היה כל כך קשה לכתוב את התגובה הזאת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"רק באמצעות התבונה" כוונתך - "באמצעות התבונה לבדה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אבל לא התכוונתי שאין מקום לחקירה אמפירית, אלא שהיא צריכה להיות מודרכת ע''י התבונה ומוכפפת לה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מה ייגרע מכוחה של תורה פיסיקלית, כלכלית, פילוסופית או פסיכולוגית אם נגביל את כל המספרים המופיעים בה למיליון ספרות?" גועל נפש! הפיזיקאים מסתובבים מדוכאים כיוון שהם אינם מסוגלים להסביר גדלים כמו מטען האלקטרון, קבוע פלנק או מקדם הגרביטציה של ניוטון. הם חולמים על נוסחה שתנבא אותם, ואתה מבקש להכניס גודל שרירותי נוסף? ועוד כזה שברור לך ולי שאם נכפיל אותו כפליים שום דבר לא ישתנה בעולם? "העולם המתמטי כולל מושגים מופשטים ... האם הם חלק הכרחי מניתוח המציאות במלואה" לשיטתי המטריאליסטית־הומניסטית, מוחו של מתמטיקאי ומחשבותיו ופרותיהן, הם חלק חשוב של המציאות הגשמית. באופן אישי, הכרתי בעובדה שאני לא אצליח להבין את החלק הזה של המציאות כבר באינפי1 ואני מסתדר עם זה לא רע. אבל העובדה שתחת כל קבוצת הנחות יהיו הגדים שלא ניתן לומר עליהם בוודאות אם הם אמת או לא, ושאין אלה סתם התחכמויות ביוונית שניתן לטאטא מתחת לשטיח, ממשיכה להדיר שינה מעיניי[*]. [*] טוב, לא ממש. הרבה יותר מציקה לי השאלה מאין נובעת תאוות ההרס שממשלתי מתעתדת לבצע במבנים נטושים. ואפילו עם זה אני מסתדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גודל שרירותי: אני לא מציע להוסיף גודל כזה, רק מבקש להצביע על העובדה שלתורה העוסקת בעולם לא מאוד אכפת מה קורה אחרי גוגולפלקס, ולמרבה השמחה משפט גדל מצוי רק שם. "מוחו של מתמטיקאי ומחשבותיו ופרותיהן, הם חלק חשוב של המציאות הגשמית". בהחלט. המספרים הטבעיים, עם זאת, אינם חלק ממוחו של אף מתמטיקאי בן-תמותה. מה שיש במוח ובמחשבות אלו אוספים סופיים של דוגמאות, חוקים, כללים, אנלוגיות, השערות, תקוות והוכחות. חבל שזה מדיר שינה מעיניך (אבל אם זה כך, אין הרבה מה לעשות). למה משפט גדל כן, ופרדוקס השקרן, או פרדוקס הספרן, לא? אלה הם מה שאתה מכנה "התחכמויות שניתן לטאטא מתחת לשטיח"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה שאני מתערב, אבל בכל זאת, הוא לא *רומז*1 שמתמטיקה היא שפה טיבעית? 1 כמה שאפשר בהיגד מתמטי |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השפה המתמטית שונה מהשפה הטבעית בהרבה מובנים. באיזה מובן משפט גדל רומז שמתמטיקה היא שפה טבעית? זו נראית לי פרשנות מרחיקת-לכת ומעורפלת קצת... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרדוקס הספרן? מה זה? אותו פרינציפ כמו הספר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חשבתי שפרדוקס הספרן הוא משהו כמו 1)ספרן מחלק את הספרים בספריתו לפי קיום או אי קיום תנאי כלשהו 2) הוא מכין קטלוג של כל הספרים בסיפריה 3) לאיזה קבוצה עליו לשייך את הקטלוג אני לא זוכר כרגע מהו התנאי הפרדוקסלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התנאי יכול להיות "ספרים שלא מאזכרים את עצמם". זה פרדוקס אחר, יותר מפורסם ופחות מעניין (לדעתי) מפרדוקס הספרן עליו דיברתי, המכונה כך כי ראסל ייחס אותו לבחור בשם Berry שהיה הספרן של אוקספורד (אז. אני חושב שהיום הוא כבר לא, אם כי אצל האנגלים אי אפשר לדעת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמעט: בסיפריה יש קטלוגים שמכילים את עצמם ויש כאלה שלא. מכינים שני סופר-קטלוגים חדשים: אחד מכיל את רשימת כל הקטלוגים שלא מכילים את עצמם והשני את רשימת כל הקטלוגים שמכילים את עצמם. הפרדוקס הוא איפה לקטלג את הסופר-קטלוג הראשון. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |