בתשובה ליהונתן אורן, 30/07/05 12:29
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני לא חושב שיש צורך לחזור על כך פעם נוספת, ובכל זאת: משפט גדל מראה איזושהי חולשה מסוימת של מערכות פורמליות שבעטיה לא יתכן שמערכת פורמלית אחת (סבירה) תתאר את כל המתמטיקה (אפילו זה ניסוח קצת חזק מדי). זה לא מראה על חולשה של המתמטיקה ולא תומך או שולל את הפלטוניזם. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא מראה על חולשה של המתמטיקה, נכון. אבל מדוע זה לא קשור לפלטוניזם? נעזוב רגע פלטוניזם, שיכול להתפרש בצורות שונות, ונחזור לגרסה של תנועת ההשכלה: האמת היא מערכת *אחת*, קוהרנטית, *שניתן להגיע אליה (ולהראות שהיא נכונה) רק באמצעות התבונה*. מצטער על איטיות התפיסה, אבל למה גדל לא רלוונטי כאן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כמה דברים שמפריעים לי כאן. - 1 - החידוד הישן "משפט זה הוא שקר", אינו אמת ואינו שקר. אפשר לנסחו באופן יותר מתאים לתיאור שלך כ"אל משפט זה לא ניתן להגיע רק באמצעות התבונה", משפט שאם הוא אמת, אז לא ניתן לתבונה להגיע אליו, ואם הוא שקר, אז התבונה מגיעה למסקנה שקרית. אם יש אמת אחת שניתן להגיע אליה, הרי שהמשפט הנ"ל מראה שיש סייגים לראייה הזו: יש דברים שניתן לדבר עליהם, אפילו בעברית פשוטה, והם חד-משמעיים, אך מעמד-האמת שלהם אינו נגיש לתבונה. האם, להערכתך, התחכמויות שכאלה מציבות אתגר אמיתי לתיזה של תנועת ההשכלה? לדעתי, לא. הן לא מפריעות לתורת-המוסר לתפוס את כל האמת על המוסר, ולפיסיקה לתפוס את כל האמת על המציאות החומרית, וכן-הלאה. הן רק מצביעות על כך שהשפה הטבעית מאפשר לומר היגדים מתחכמים, מתייחסים-לעצמם, שמוציאים עצמם בכוח מחוץ ל"אמת שניתן להגיע אליה בכוח התבונה". אפשר, אולי לסייג את התיזה שהצגת ולומר "האמת היא מערכת *אחת*, קוהרנטית, *שניתן להגיע אליה (ולהראות שהיא נכונה) רק באמצעות התבונה* (פרט לאוסף קטן ושולי של התחכמויות זולות ולא-מעניינות)". מה שמשפט גדל עושה הוא לא יותר מלהציב התחכמויות כאלה במקום מאוד מפתיע - תורות פורמליות של המספרים הטבעיים. אבל איני רואה מדוע לזה יש השלכה יותר חמורה על התיזה מאשר המשפטים המצחיקים בשפה הטבעית שהזכרתי. למען ההגינות עלי לציין שיש משפטים מאוחרים יותר מגדל המראים שלא רק טיעונים-מתחכמים שכאלה פגיעים למשפט-גדל. עם זאת, גם זה לא נראה לי סוף העולם, מסיבות שתכף אפרט. - 2 - גדל לא מראה שלא ניתן להגיע אל כל האמת המתמטית באמצעות התבונה. בשיטה שהוא מדבר עליה, צריך *ממילא* להניח הנחות שאליהן לא "הגענו באמצעות התבונה" ולא "הראינו שהן נכונות", כדבריך. פשוט הנחנו אותן. מה שגדל מראה הוא שהניסיון לצמצם את החולשה של השיטה הזו ולבחור אחת ולתמיד אוסף קטן-יחסית ואינטואיטיבי של הנחות כאלה, שמהן נוכל "להגיע" אל כל האמת, נדון לכשלון: תמיד תישארנה עוד הנחות שניאלץ להניח. אבל אם במסגרת התבונה מותר להניח את ההנחות הראשונות, מותר גם להניח עוד, וכך לכאורה ייתכן שבכל פעם שניתקל באמת-לא-נגישה, פשוט נניח את ההנחה המתאימה. - 3 - לי נראה שבמסגרת חקירת-התבונה צריך תמיד להניח הנחות שלא ניתן "להראות שהן נכונות". להראות איך? מאילו הנחות אחרות? אם אתה מתחיל משום-דבר, תישאר עם שום-דבר. האם אפשר להראות את נכונותו של מודוס-פוננס? לואיס קארול הצביע על כך שאם צבים מסויימים רוצים, הם יכולים גם עליו לערער. -- לסיכום, נראה לי שהתיזה שהצגת היא אכן אופטימית מדי, אבל: 1. לא רק בגלל גדל, אלא גם מסיבות פשוטות בהרבה; 2. הסייגים הדרושים כדי להפוך אותה לנכונה, ייתכן שהם קלים למדי ואינם מצביעים על איזו בעייה עמוקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אתה מגזים כאן. גדל הראה משהו עקרוני לגבי המתמטיקה שמשמשת מודל לפלטוניזם, בעוד שפרדוקס השקרן וכאלה נתפסים בד"כ כהתחכמויות או כבעיות צדדיות שאפשר אולי לפתור באמצעות מידול נכון. אף אחד לא חושב לוותר על הלוגיקה בגלל התחכמויות, אבל גדל היה בין הגורמים המרכזיים לנפילה של אחד הפרוייקטים המרכזיים של התקופה - הפרינקיפיה של ראסל - שיש לו השפעה בפילוסופיה (לפחות מבחינת כיווני מחשבה) עד היום. האמת, כשאני חושב על זה, נראה לי שלפי מה שאתה אומר הפוזיטיביסטים היו צריכים מלכתחילה לוותר על ההסתמכות על השימוש בכלי הלוגיקה, בגלל שהם מביאים לסתירות בסיסיות כאלה. האם יש לך רעיון מדוע הם לא עשו זאת? 2+3. אתה צודק, אבל זה נראה לי לא ממש קשור כאן. היסטורית, היו לתנועת ההשכלה טעמים טובים להנחות שלה, והיו לחוג הווינאי טעמים טובים למתודה שלו. אם אני באמת אתאמץ אולי אפילו אזכר מה הם, אבל זה לא ממש חשוב. אנחנו עוסקים בהשתעשעות בשאלה מה הייתה יכולה להיות ההשפעה של גדל (אבל ברור שזאת רק השתעשעות: במקרה של תנועת ההשכלה לא הייתה יכולה להיות השפעה כזאת, בגלל סדר הזמנים). עם הסיכום שלך אני מסכים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ננסה להגיע לזה מזווית אחרת: אלון, מעניין אותי לשמוע איך *אתה* הגבת כששמעת על גדל לראשונה. אתה יכול לזכור ולשחזר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא זוכר בדיוק איך הגבתי כששמעתי על משפטי גדל, אבל אני כן זוכר איך הגבתי בעשר או עשרים הפעמים הראשונות שנתקלתי במשפטים על כך שבניות גאומטריות מסויימות אינן אפשריות, או שאי אפשר לפתור משוואות ממעלה חמישית באמצעות פעולות אריתמטיות והוצאת שורש: "למה הם לא מסבירים שום דבר? איך אני אמור להבין משהו אם הספרים רק אומרים שזה ככה-וככה ולא אומרים *למה*?" | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם הטענות האלה על חוסר אפשרויות מוכחות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי. יש קצת הסברים על בניות גיאומטריות בתגובה 165550 ותגובה 165626. לגבי משוואות ממעלה חמישית, *מהות* הטענה מתוארת בגוף דיון 1571; ההוכחה שלה דורשת קצת עבודה. אם זה מעניין אותך אני יכול לסקור אותה בקווים כלליים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטח שאני זוכר. אני לא בטוח מה מטרת התרגיל, אבל הנה סקירה זריזה: בפעם הראשונה קראתי על המשפט בספר "מתמטיקה" מסדרת Time Life; היתה שם תמונה מרשימה של גדל ותאור קצרצר וגס מאוד של מה שאח"כ הבנתי היה תכנית הילברט, והמשפט של גדל. לא הבנתי באמת על מה מדובר, אבל לפחות זכרתי את שם האיש ואת תחום הפעילות, מה שהספיק לי כדי לשאול את אבי "מה הקשר?" כשהביא לי את "גדל, אשר, באך". הקריאה בספר הזה היוותה, עבורי, הצצה ראשונה למהות המשפט. הספר עשה עלי רושם גדול מאוד, ובמידה רבה גם עזר לי למקם את המשפטים בהקשר הנכון, והיותר-זהיר שלהם; לפני יותר מעשרים שנה כבר התווכחתי עם חברים על הקשר בין גדל לתודעה (חשוב לי לציין שזה לא היה כל-כך טראגי. שיחקתי גם כדורגל). התפיסה הפילוסופית שלי *את המתמטיקה* עברה לא מעט תהפוכות, גם אחרי לימודי התואר הראשון. באמת לקח לי הרבה זמן להבין מה, בדיוק, אומרים משפטי גדל בהקשר של תורות מסדר שני, או פסוקים מטיפוס גולדבאך. אבל מחוץ למתמטיקה נדמה לי שתמיד הייתי ספקן לגבי היישומים הנלהבים של משפט גדל לתחומים אחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם מישהו היה שואל אותי, הייתי עונה את מה שאתה ענית, רק בלי הכדורגל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. איני בעמדה לשפוט את החשיבות של הפרינקיפיה לפילוסופיה, אז והיום. כל מה שאני אומר הוא, שגם אם לא ניתן באופן פורמלי להפריד בין המשפטים ה"בעייתיים" למשפטים ה"לא-בעייתיים", יש יסוד סביר להניח שרוב מוחלט של ההיגדים המעניינים על העולם הם מהסוג השני. גם במתמטיקה עצמה, משפט גדל לא מטריד את מנוחתם של רוב העוסקים במלאכה. לגבי השאלה על הפוזיטיביסטים - אף פעם לא הצלחתי לסדר בראשי את כל הזרמים הפילוסופיים, כך שאין לי בדיוק מושג על מה אתה מדבר. 2+3. זה שעשוע מעניין, אבל ניסיתי לטעון שמשפט גדל הוא רק היבט מסויים של עיקרון פשוט בהרבה שהיה צריך להטריד את אנשי תנועת ההשכלה אם אכן שאפו להגיע לאוטופיה שתיארת. לגבי הסיכום, חשוב לי להדגיש שאני, אישית, במידה רבה ממשיך להחזיק בראייה הנאיבית שיש "אמת אחת", ושניתן לחשוף אותה בכוח ההגיון (ובשיטות אמפיריות). מובן שאני מתייחס כאן במיוחד למדעי-הטבע, ובמגבלות מסויימות גם למתמטיקה, ולא - כפי שהסברתי - לתחומים "רכים". לא נראה לי שבכוח התבונה נפתור אי-פעם את על הדילמות המוסריות האפשריות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עמוק בפנים גם אני מאמין שיש אמת אחת, דרך חיים ראויה באמת, הנערה הנכונה, טוהר וקדושה. רק שברגעי הצלילות שלי אני חושב שאלו אמונות תפלות. (אל תתייחס). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל מה אני בכלל טורח להגיב? מה שאלון אמר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, זה היה כל כך קשה לכתוב את התגובה הזאת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"רק באמצעות התבונה" כוונתך - "באמצעות התבונה לבדה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אבל לא התכוונתי שאין מקום לחקירה אמפירית, אלא שהיא צריכה להיות מודרכת ע''י התבונה ומוכפפת לה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |