בתשובה לעוזי ו., 31/05/03 0:09
 |
|
 |
||
|
||||
 |
זה נימוק היוריסטי יפה, ואשמח אם תוכל לפרט מעט מה לא מדויק בו. בפרט, האם שכיחות הראשוניים מ-1 עד x הולכת ממש כמו אחד חלקי (log(x, או שזהו חסם עליון? כלומר, אם D(x) היא שכיחות הראשוניים מ-1 עד x, האם הגבול של D(x)*log(x) כאשר x הולך לאינסוף הוא קבוע, או ממש אפס? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנדב לנסות להסביר 1. משפט חשוב בתורת המספרים אומר כי מספר המספרים הראשוניים הקטנים מ- x הוא אסימפטוטית x חלקי log של x. משמעות המילה "אסימפטוטית" כאן הוא שהגבול של היחס בין שני הגדלים הנ"ל הוא 1, כש- x שואף לאינסוף (עוד על המשפט ניתן לקרוא ב- http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html ). לכן, אם נבחר באקראי מספר שלם כלשהו בין 1 ל- x (עבור x גדול), אזי ההסתברות שמספר זה הוא ראשוני היא בערך אחד חלקי log של x. הבעייה המרכזית ב"הוכחה" (הפשוט נפלאה!) שעוזי נתן היא שבעצם אין מובן לביטוי "הסיכוי ש- x הוא ראשוני". בהנתן מספר כלשהו, השאלה האם הוא ראשוני או לא אינה קשורה לתורת ההסתברות - את התשובה ניתן לברר באופן דטרמניסטי, בעזרת מספיק זמן וכוח חישוב. בעייה נוספת: גם אם נקבל את ה"טענה" כי ההסתברות לכך שקיים מספר הגדול מ- 10000 אותו לא ניתן לבטא אותו כסכום של שניים ראשוניים היא זעירה, עדיין אין זה אומר כי מספר כזה לא קיים. זוהי רק "ראייה תומכת", באופן אינטואיטיבי. 1 בחיל ורעדה. עוזי כמובן מוזמן לתקן את השגיאות ולהשלים את שהחסרתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את ההבדל העקרוני בין נימוק היורסטי לבין הוכחה הסביר יובל (תגובה 149537). שתי הערות נוספות: 1. נסמן ב- (pi(x את מספר הראשוניים הקטנים מ- x. קל יחסית1 להוכיח שהיחס בין (pi(x לבין (x/log(x חסום (בין 1/4 ל-4, למשל). צ'ביצ'ב היה הראשון שהוכיח (בסביבות 1850) שאם ליחס יש גבול אז הוא 1, והדמר ופואסון הוכיחו (בנפרד, ב- 1899) שהגבול אכן שווה ל-1 (התוצאה הזו ידועה בשם "משפט המספרים הראשוניים"). תוצאות חזקות יותר עוסקות בחסמים על ההפרש בין שתי הפונקציות; למרות שבפני עצמו ההפרש הזה לא כל-כך מעניין, נסיונות לשיפור החסמים היו המנוע העיקרי להתפתחויות רבות בתורת המספרים, בעיקר במחצית הראשונה של המאה העשרים. השערת רימן, שהיא ככל-הנראה הבעיה הפתוחה החשובה ביותר במתמטיקה, שקולה לכך שההפרש חסום על-ידי קבוע כפול (x*log(x. 2. למרות כל ההסתגויות, מספרים ראשוניים באמת מתנהגים מבחינות רבות כפי שמצופה מהם (דהיינו, כאילו כל מספר x היה בוחר באופן אקראי אם להיות ראשוני, בסיכוי של אחד חלקי (log(x). הדוגמא המובהקת ביותר שעולה בדעתי היא התפלגות מספר הגורמים הראשוניים, שמכלילה את משפט המספרים הראשוניים מהסעיף הקודם: מספרם של המספרים בעלי בדיוק k גורמים ראשוניים עד x הוא (אסימפטוטית) x * log(log(x))^(k-1) / (k-1)! * log(x) במלים אחרות, מספר הגורמים הראשוניים2 של x "מתפלג פואסונית" עם תוחלת ((log(log(x, בדיוק כפי שהיינו מצפים במודל המקרי.1 כמה עשרות שורות; ההוכחה מבוססת על ספירת הגורמים הראשוניים של מקדמים בינומיים וכמה חסמים קלים; לא נדרש ידע מוקדם. 2 פחות 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי, תודה רבה על הטענה ההסתברותית היפה! אני מת על כאלה היוריסטיקות ( למרות שאני מודע לחולשות שלהם). פעם ראיתי טיעון דומה שמסביר את צפיפות הראשוניים, אך לצערי אינני זוכר אותו. זה היה משהו בנוסח : נניח שנמחק מהשלמים מספרים בהסתברות חצי. נבחר את המספר הבא הלא מחוק (נקרא לו N1) ונמחק את מה שנשאר בהסתברות אחד ל N1. וכולי... לצערי אני לא מצליח להמשיך מכאן. האם אתה מכיר\\מבין איך ממשיכים? לבסוף, קראתי לפני הרבה שנים "ביוגרפיה" של פיינמן שהופיע ב "REVIEWS OF MODERN PHYSICS" מאת SCHWEBER. 1 אני לא זוכר פרטים רבים ( אבל אני ממש ממליץ למי שמתעיין בצורת החשיבה של פיינמן). בכל אופן הופיע שם שיקול דומה על איזושהי תכונה אחרת של תורת המספרים, אולי השערת רימן. לצערי אין לי גישה ל RMP ואני לא יכול להוסיף פרטים. 1 Rev. Mod. Phys. 58, 449–508 (1986)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רוב תודות לך וליובל על ההסברים הבהירים. הנימוק ההיוריסטי שהבאת בתגובה 149399 נותן תוצאה חד-משמעית ומשכנעת עבור בחירה *אקראית* של מספר זוגי x. לחילופין יכולנו לבנות איזו סדרה אינסופית של זוגיים, לבחור ממנה באקראי מספר זוגי y, ולחשב מה התוחלת E של מספר הדרכים להביע את y כסכום של שני ראשוניים. E כזה יכול אפילו להיות קטן מן החסם y/2log(y)^2 שהתקבל בתגובה 149399. 1? דרך פשוטה להתהלך על סדרה כזו היא ע"י הגדרת פונקציה f המקבלת מספר טבעי w ומחזירה מספר זוגי y הנוטה להיות "מרושע במובן הגולדבכי". כמובן שביומיים האחרונים ניסיתי לגרד כמה דוגמאות לפונקציות כאלה, אך הישגיי קלושים ביותר. דוגמא פשוטה תהיה f(w) המחזירה את מכפלת w הראשוניים הראשונים. למשל f(5) = 2*3*5*7*11 = 2310 אילו היינו בוחרים את 2310 אקראית מתוך הישר, היו לנו 1155 מספרים החשודים כראשוניים. בפועל אפשר לזרוק את 11 המועמדים הראשונים(2-12), ולהישאר עם 1144 החשודים הבאים 2.זו לא פונקציה מרושעת במיוחד - באופן אסימפטוטי היא מאפשרת לזרוק קטע באורך w*log(w~), מתוך קטע באורך y/2 כאשר y גדל הרבה יותר מהר מ exp(w) 1? השאלה היא אם קיימת איזו פונקציה מרושעת באמת, שתוכל להקטין את מספר הערכים האפשריים של a, מy/2 שבנימוק ההיוריסטי דלעיל, לאיזה ביטוי מסדר log(y) באיזושהיא חזקה. ניחושי הפרוע הוא שאין כזו פונקציה, ולכן תמיד האינטגרל לפי w על ה"סיכוי" שלא ניתן להביע את f(w) כסכום של שני ראשוניים יתן איזו תוצאה אפסית. 1? 1 הלא כן? 2 הסבר: אם x מתחלק במספר ראשוני a<x, אז x-a גם מתחלק בa, ובפרט אינו ראשוני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי את הרעיון העיקרי שלך. האם אתה מנסה לבחור תת סדרה מתוך כל הזוגיים שיש לה פחות קומבינות מותרות? אם כך הרי שתי הסתייגויות: הראשונה, והיא כללית - טיעון של עוזי היה רק "היוריסטי" והזניח שני אפקטים חשובים: האחד, זה שכמובן התפלגות הראשוניים אינה בלתי תלויה, הם לא "סתם" מספרים שניבחרו באקראי - יש קורלציות. השניה היא שמכיוון שיש רק ציר מספרים אחד, למושג "הסתברות" אין משמעות. צריך אנסמבל כדי להגיד משהו הסתברותי1. ההסתייגות השניה היא לגופו של הטיעון- אתה אומר שמתוך כל המספרים הזוגיים יש קבוצה עם פחות אפשרויות לייצר זוגות של ראשוניים (מעין ENRICHMENT של הדגימה). אבל זאת בדיוק הסיבה שעוזי עושה חישוב הסתברותי - כדי לאמוד את ההסתברות של ארועים כאלה. בעיקרון גם התנהגות כזאת ניתנת לתיאור בתוך המודל האקראי. כדי להתקדם אתה צריך להראות שה"הסתברות" למצוא כאלה מספרים היא גבוהה מהחישוב ה"נאיבי" של עוזי, ואז לתקן את התפלגות הראשוניים (ע"י הוספת קורלציות) . מכיוון שגם זה לא באמת "יוכיח" שום דבר, הרי שתתחיל במסע של קירובים שבסופו עדיין תשאר עם היוריסטיקה. 1דווקא יכול להיות מעניין לפתח "תורת מספרים סטטיסטית" ולשאול - אילו תכונות "NUMBER THEORETICAL" נשארות כאשר מחליפים את הראשוניים בקבוצה אקראית של טבעיים עם אותה התפלגות ( למשל פוונקצית זיטה?). זה דומה לנסיונות להתאים את האפסים של הזיטה לערכים עצמיים של מטריצות אקראיות או של המילטוניאנים מסויימים.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להערה שלך על תורת מספרים סטטיסטית, כבר עושים דברים כאלה (אני לא בקי בפרטים). בכיוון קצת אחר, לפולינומים איפריקים מעל שדות סופיים יש כמה תכונות משותפות עם הראשוניים השלמים; לדוגמא, מספר הגורמים האיפריקים של פולינום אקראי מתפלג פואסונית, כמו מספר הגורמים של מספר אקראי. יש לקשרים האלה הסבר עמוק שקשור בעובדה שכל שדה גלובלי הוא (הרחבה סופית של) אחד משניים: המספרים הרציונליים, או שדה פונקציות במשתנה אחד מעל שדה סופי; הראשוניים שלנו והפולינומים האי-פריקים סופרים את מה שנקרא הערכות-מוחלטות של השדות האלה, מה שמוביל אותנו למיון של שדות לוקליים. (זה המקום להתוודות שמזה זמן אני רוצה לשאול את שכ"ג האם הצמצום שלו לשוטי כפר לוקליים מקיים את עקרון Hasse, אבל חששתי שבדיוק כמו רחובות חד-חד-סטריים, ההומור יתבזבז על הלא-מתמטיקאים שבקוראים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. שוטים גלובליים אינם מקיימים אף עיקרון, וזה העיקרון היחיד שנשמר בצמצום. או במצמוץ. עוד משהו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא רואה צורך לבחור סדרות של מספרים "בעייתיים" (כי ממילא איננו מתעניינים בשכיחות שלהם, אלא רק בקיומו של אחד כזה). אחת הנקודות החלשות בנימוק ההיורסטי שהבאתי קודם לכן היא ההנחה ש(עבור x נתון) הסיכוי של a להיות ראשוני "בלתי תלוי" בסיכוי של x-a להיות ראשוני. זה כמובן לא נכון; למשל, אם x אי-זוגי, שני המרכיבים אינם יכולים להיות ראשוניים בו זמנית (אלא אם a=2). ומאידך, כאשר x זוגי, ועוברים רק על ערכי a אי-זוגיים, הסיכוי שגם a וגם x-a ראשוניים מוכפל. ומה לגבי השארית של x בחלוקה לראשוניים (קטנים) אחרים? כאן מתייצב לעזרתנו משפט דיריכלה, שמדגים את ההתנהגות האקראית של הראשוניים בכלל: בסדרה חשבונית {a+dn}, יתכן שאין בכלל ראשוניים (כי ל- a ו- d גורם משותף >1), אבל בכל מקרה אחר, *צפיפות* הראשוניים שווה למה שהיינו מצפים שתהיה (דהיינו, עבור d קבוע, הראשוניים מתפזרים באופן שווה בין הסדרות החשבוניות בעלות הפרש d). נקבע ראשוני (קטן) p. כדי שמספר יהיה ראשוני, הוא צריך להמנע מלהתחלק ב- p; הסיכוי לזה הוא כמובן p-1)/p). כעת, הסיכוי ששני גורמים (שסכומם קבוע ושווה ל- x) אינם מתחלקים ב- p תלוי בתכונות של x: אם x מתחלק ב- p אז כאשר אחד הגורמים אינו מתחלק, גם השני לא מתחלק. ואחרת, יש שתי שאריות (מודולו p) שצריך להמנע מהן. הסיכוי של a וגם x-a להיות ראשוניים בעת ובעונה אחת הוא, אם כן, המכפלה של p-1)/p) עבור הראשוניים p שמחלקים את x, ושל p-2)/p) עבור הראשוניים שלא מחלקים את x. זה שווה למכפלה של p-2)/p) עבור כל הראשוניים (פרט ל-2) עד x (שזה בערך אחד חלקי log(x)^2), כפול המכפלה של (p-1)/(p-2) עבור הראשוניים (פרט ל-2) שמחלקים את x. מכאן מקבלים את תוחלת מספר הזוגות, על-ידי הכפלה ב- x/2 כמו בנימוק הקודם. סיכום: החישוב המדויק מאשש את ההערכה הקודמת (סדר גודל של x חלקי log(x)^2). מספרים עם הרבה גורמים ראשוניים קטנים אפשר לכתוב כסכום שני ראשוניים ב*יותר* צורות מאשר מספרים אחרים. לדוגמא, את 2310 אפשר להביע כסכום ראשוניים בפי 3.5 יותר דרכים מאשר מספרים זוגיים אחרים באותו גודל. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |